21.2解一元二次方程知识梳理精选题练习-2025-2026学年数学九年级上册人教版

21.2解一元二次方程知识梳理 精选题练习-2025-2026学年数学九年级上册人教版 知识梳理 解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 解一元二次方程-公式法 （1）把x（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 根与系数的关系 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 精选题练习 一、单选题 1．若抛物线与x轴有交点，则m的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 2．已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则方程的另一个根是（　　） A． B． C．1 D．2 3．已知三边分别为a、b、c，其中，，c是一元二次方程的一个根，则的面积是（    ）． A．12或 B．24或 C．24或 D．12或 4．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 5．已知实数x满足，那么的值为（   ） A． B． C．1 D．或1 6．已知，，，是非零实数，和是方程的解，和是方程的解，则的值为（  ） A． B． C．1 D． 7．已知一元二次方程的两根分别是，，则一元二次方程的根为（    ） A． B． C． D． 8．已知、是一元二次方程两个不同的根．若，，则（    ） A．c和都小于 B．c和至少一个小于 C．c和都大于 D．c和至少一个大于 二、填空题 9．方程的解是 ． 10．若，且，，则化简 ． 11．已知为有理数，若关于的一元二次方程有一个实根为，则该方程的另一个实根为 ． 12．嘉阳准备解一元二次方程，发现常数项“”印刷不清楚，嘉阳妈妈看了该题的答案后说：“这个方程是有实数根的．”则印刷不清楚的常数项“”可能是 ． 13．设实数m，n分别满足，，= ． 14．若一元二次方程有两个不等的实数根，且，则 ． 15．已知，是矩形的对角线，，，若，是关于x的一元二次方程的两个根，则m的值为 ． 16．定义新运算：，若，则的值为 ． 三、解答题 17．解方程： 18．解方程： (1)； (2)． 19．关于的一元二次方程有两个不等实根、．若方程两实根满足，求的值． 20．已知方程的两根是、． (1)求的值； (2)求的值． 21．如图，一条长为米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为米，如果梯子的顶端下滑米，那么底端滑动的距离与梯子顶端滑动的距离相等吗？若相等，请说明理由；若不相等，回答下列问题： （1）梯子顶端下滑米，则底端滑动几米？ （2）梯子顶端下滑多少米正好等于底端滑动的距离？ 22． 已知关于的方程． (1)若两根异号，且正根的绝对值较大，求整数的值； (2)若等腰的一边长为，另两边的长恰好是方程的两个根，求的周长 23．阅读下面的材料： 解方程这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，则，∴原方程可化为，解得，当时， ，当时，．∴原方程有四个根是： ， ，，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题． (1)解方程：． (2)已知实数a，b满足，试求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《21.2解一元二次方程知识梳理 精选题练习-2025-2026学年数学九年级上册人教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A C A A D D B 1．B 【分析】本题考查了抛物线与轴交点问题，解题的关键是根据抛物线定义结合一元二次方程判别式求解． 先根据抛物线定义确定，再由抛物线与轴有交点，即对应的一元二次方程有实数根，利用判别式求解的取值范围，最后取两者交集． 【详解】解：因为是抛物线，根据抛物线定义，二次项系数不能为0， 所以． 抛物线与轴有交点 所以，也就是． 解得． 结合前面和，所以的取值范围是且． 故选：B． 2．A 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，则．设该方程的另一个根为，则根据根与系数的关系得，然后解一次方程即可． 【详解】解：设该方程的另一个根为， 根据根与系数的关系，得， 解得． 故选：． 3．C 【分析】本题考查了解一元二次方程、等腰三角形的性质、勾股定理及其逆定理、三角形面积公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由c是一元二次方程的一个根，可得或，再分2种情况讨论：①；②，再利用等腰三角形的性质、勾股定理及其逆定理、三角形面积公式即可求解． 【详解】解： ， 解得：，， ∵c是一元二次方程的一个根， ∴或， ①当时，则， 如图，作于点， 则， ∴， ∴； ②当时， 则， ∴是直角三角形， ∴； 综上，的面积是24或； 故选：C． 4．A 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当0 ，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得且． 故选：A． 5．A 【分析】本题主要考查运用因式分解法解一元二次方程，在解此题时要把看成一个整体，然后用因式分解法进行解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或． ∵在实数范围内无解， ∴． 故选：A． 6．D 【分析】本题考查一元二次方程的解，根与系数之间的关系，因为c和d是方程的解，a和b是方程的解，根据方程的解和根与系数的关系，确定字母系数a，b，c，d之间的关系，然后求出的值即可． 【详解】∵c是方程的解， ∴① ∵a是方程的解， ∴② 得：③， 由根与系数的关系有：④，⑤， 得：⑥ ， ∴或， 当时，则：， 由⑤可知，则， ∵是非零实数， ∴ ∴，代入⑥得， ∴； 故选：D． 7．D 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据根与系数的关系得到，，求出，，然后代入利用因式分解法求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别是，， ∴， ∴， ∴一元二次方程为， ∴ 解得，． 故选：D． 8．B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 根据根与系数的关系得到b，c与，的关系，通过假设法，推导出A、C错误，此时可假设只有一个大（小）于，即，设出一对符合要求的，求出的大小，即可求解． 【详解】解：、是二次方程两个不同的根， 由根与系数的关系得，， ∵，， ∴， ∴ 设，则，， 假设，， ，， ， ∴， ∵，，， ∴，， ∴，与产生矛盾， 所以假设不成立， 故C错误； 假设，， ，， ， ∴， ∵，，， ∴，， ∴，与产生矛盾， 所以假设不成立， 故A错误； ∵B. c和至少一个小于，D. c和至少一个大于 ∴可假设只有一个大（小）于，即另一个等于， 设， ∵ ∴可设， 此时， ， 故选：B. 9．， 【分析】本题主要考查一元二次方程的求解相关知识点，具体涉及到移项、因式分解法解一元二次方程.通过移项将方程化为标准形式，再利用提取公因式的方法进行因式分解，根据“若两个数的乘积为，则至少其中一个数为”的原理求出方程的解． 【详解】解：， 移项，得， 因式分解，得， 则或， 解得，， ∴方程的解是，． 故答案为：， 10．3 【分析】本题考查根与系数的关系，根据，且，，得到是一元二次方程的两个根，，根据根与系数的关系，得到，整体代入法求出代数式的值即可． 【详解】解：∵，且，， ∴，是一元二次方程的两个根， ∴， ∴原式； 故答案为：3． 11． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，二次根式的混合计算，由根与系数的关系可得，，由a，b，c是有理数，，得到和都是有理数，，则可设（n为有理数），求出，根据是有理数，且n是有理数，得到，即，据此可得答案． 【详解】解；设方程的另一个根为m， 由根与系数的关系可得，， ∴， ∵a，b，c是有理数，， ∴和都是有理数， ∴和都是有理数， ∴可设（n为有理数）， ∴ ， ∵是有理数，且n是有理数， ∴， ∴， ∴， ∴原方程的另一个根为， 故答案为：． 12．（答案不唯一） 【分析】本题考查根的判别式，设常数项“”为，根据方程的系数，结合根的判别式，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的任意一值，即可得出结论．牢记“当方程有实数根”是解题的关键． 【详解】解：设常数项“”为，则， ∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， ∴常数项“”可能是． 故答案为：（答案不唯一）． 13． 【分析】本题考查了根与系数的关系，利用根与系数的关系是解题关键． 根据，，可得，是方程的两个根，再根据根与系数的关系即可求解． 【详解】， ， ， ，是方程的两个根， ，， ． 故答案为： 14． 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，首先根据题意得到，求出，然后得到一元二次方程，解方程求出，或，，然后代入求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不等的实数根，且， ∴ ∴ ∴一元二次方程 ∴ ∴，或， ∴或． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，矩形的性质，根据矩形性质可知方程有两个相等的实数根，再根据判别式等于零列式求解即可 【详解】解：，是矩形的对角线， ， ，是关于x的一元二次方程的两个根， 方程有两个相等的实数根， ， 即， 解得：， 故答案为： 16．或 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是正确理解题意． 根据题意，可得，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴或， 故答案为：或． 17．， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键． 方程移项后运用因式分解法求解即可． 【详解】， 移项得，， ， 或， 解得，． 18．(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程-因式分解法及解一元二次方程-配方法． （1）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可； （2）利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ∴或， 解得，； （2）解：， ， ， ， ∴， 解得，． 19． 【分析】本题主要考查的是一元二次方程中根的判别式、根与系数的关系的应用，熟练掌握其基础知识是解题的关键． 根据根的判别式得出k的取值范围，再根据根与系数的关系得出k的值． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ， 解得：． 由根与系数的关系，得． ， ， 解得：或， 又 ∵， ∴． 20．(1) (2)4 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，巧妙的将式子变形转化是解题的关键． （1）根据题意由韦达定理可得，，然后利用完全平方公式，将式子变形，代入数值，即可求解； （2）先确定的符号，由此可得，，再由利用完全平方公式进行变形，再代入数值即可求解． 【详解】（1）解：（1）由韦达定理可得：，， ， 则的值为； （2）由（1）可知，， 且， ，， 则，， ， 由， ， 则的值为4． 21．不相等；（1）米；（2）米 【分析】本题考查勾股定理的运用，解一元二次方程，掌握勾股定理是解题的关键． （1）梯子长度始终不变，设底端滑动x米，滑动后，梯子和墙仍能构成直角三角形，用勾股定理解三角形即可； （2）设梯子顶端下滑y米正好等于底端滑动的距离， 同（1）根据勾股定理列出方程求解． 【详解】解：底端滑动的距离与梯子顶端滑动的距离不相等． 由题意知，，，， ． （1）设底端滑动x米， 由题意得，， 解得，（不合题意，舍去）， 即梯子顶端下滑米，则底端滑动米； （2）设梯子顶端下滑y米正好等于底端滑动的距离， 由题意得，， 解得，（不舍题意，舍去）， 即梯子顶端下滑2米正好等于底端滑动的距离． 22．(1) (2)等腰三角形的周长为或 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的意义，解一元二次方程，三角形的三边关系，掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． （1）利用公式法进行求解一元二次方程，得出，，再利用两根异号，且正根的绝对值较大，得出，即可求解； （2）当边长为3的边为底时，可知方程有两个相等的实数根，可求得m的值，再解方程，确定出三边长；当边长为3的边为腰时，则可知方程有一个根为3，代入可求得m的值，则可求得方程的另一根，进而求得周长，注意根据三角形的三边关系定理判断是否成立． 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∵两根异号，且正根的绝对值较大， ∴， ∴整数的值为； （2）解：①当为底边长时，， ， 此时原方程为， 解得：． 、、能组成三角形， 三角形的周长为； ②当为腰长时，将代入原方程，得：， 解得：， 此时原方程为， 解得：． 、、能组成三角形， 三角形的周长为， 综上所述：等腰三角形的周长为或． 23．(1)， (2) 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，代数式求值，熟练掌握换元法是解题的关键． （1）设，则，整理，得，解关于y的一元二次方程，然后解关于x的一元二次方程即可求解； （2）设，则，整理得，解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：设，则， 整理得：， 解得：， 当，即时， 解得； 当，即时， 解得． 综上，原方程的解为，． （2）设，则， 整理得：， 解得： (舍去)， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $