14.3角的平分线知识梳理精选题练习-2025-2026学年数学八年级上册人教版（2024）

14.3角的平分线知识梳理 精选题练习-2025-2026学年数学八年级上册人教版（2024） 知识梳理 角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质。 精选题练习 一、单选题 1．到三角形三边距离相等的点是（    ） A．三条边中线的交点 B．三条边的高的交点 C．三个角的角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 2．如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有（    ） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 3．如图，在中，是内一点且到三边的距离相等，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，，，．则长度是（　　） A． B． C． D． 5．如图，的三边，，的长分别为20，30，40，O是三条角平分线的交点，则等于（　　） A． B． C． D． 6．如图，是中的角平分线，于点E，，则长是（    ）．    A．3 B．4 C．6 D．5 7．如图，平分，于C，于D，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 8．如图，已知平分，点在上，于点，，点是射线上的动点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．3 二、填空题 9．如图，在中，，若平分，，，则点D到的距离为 ． 10．如图，平分，点在上，，，则点到射线的距离是 ． 11．如图，分别平分，且于点的周长为，则的面积为 ． 12．如图，的外角和的平分线相交于点F，连接．若，则 ． 13．如图，是的平分线，于点E，，，，则的长是 ． 14．把两个相同的含有角的直角三角尺像如图所示那样放置，其中M是与的交点，，若，则 用含m的式子表示 15．如图，已知，点C是的平分线上一点，，，E、F为垂足，点B在的延长线上，点D在上，若，，，则的长为 ． 16．如图，点E在延长线上，交于点F，且，，比的余角小，P为线段上的一动点，Q为上一点，且满足，为的平分线，则下列结论： ①；②平分；③；④的角度为定值，其中正确的结论有 ． 三、解答题 17．如图，，． (1)延长到E，使，延长到F，使，连接，求证：． (2)在（1）的条件下，作的平分线（尺规作图，保留痕迹），交于点H． 18．如图，在中，，D、F分别为上的点，连接，过点D作于点E，．求证：平分． 19．如图，点D在边的延长线上，，的平分线交于点E，过点E作于点H，且． (1)证明：平分； (2)若，，，且，求的面积． 20．如图，在中，的平分线与的外角的平分线相交于点． (1)若，，求的度数； (2)求证：点到三边所在直线的距离相等． 21．如图，，，，，交于点H，连接 (1)求证：； (2)求；用含的式子表示 (3)求证：平分 22．中，，点在直线上，点在直线上，． (1)如图1，当点、分别在边、上时，求证：； (2)如图2，当点在延长线上，点在延长线上时，、延长线交于点，作的角平分线交于点，若，求的度数； (3)在（2）的条件下，如图3，连接，若点是线段的中点，，且时，求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《14.3角的平分线知识梳理 精选题练习-2025-2026学年数学八年级上册人教版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D B B C B B A 1．C 【分析】根据角平分线的性质和线段的垂直平分线的性质判断即可． 本题考查角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握角平分线的性质定理． 【详解】解：到三角形三边距离相等的点是三个角的角平分线的交点． 故选：C． 2．D 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角的两边距离相等，分情况找点P的位置即可． 【详解】解：①三角形两个内角平分线的交点，共一处； ②三个外角两两平分线的交点，共三处， ∴中转站P可选择的点共有四处． 故选：D． 3．B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握角平分线上的点到两边距离相等成为解题的关键． 由题意可知平分，即，再运用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵是内一点且到三边的距离相等， ∴平分， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 4．B 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，根据角平分线的性质得到，证明和，根据全等三角形的性质得到，结合图形计算，得到答案，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：∵是的平分线，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选：B． 5．C 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，掌握角平分线的性质是解题的关键． 过点作于，于，于，由角平分线的性质得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于，于，于， 点O是三条角平分线的交点， ， ∵， ， ， ． 故选：C 6．B 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积公式，熟练应用角平分线的性质定理是解题的关键．过D作于F，根据角平分线性质求出，根据和三角形面积公式求出即可． 【详解】解：如图，过D作于F，    ∵是中的角平分线，于点E，， ， ∵， ， ， ， 解得：． 故选：B． 7．B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，根据角平分线上的一点到两边的距离相等的性质，得出结论一定要与选项进行比对． 【详解】解：利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知． 故选：B． 8．A 【分析】本题考查垂线段的性质，角平分线的性质定理．由垂线段最短可知，当时，有最小值，再根据角平分线的性质定理即可求解． 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，有最小值， 平分，， ， 的最小值为4， 故选A． 9．3 【分析】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，作出辅助线，找出点到的距离的线段是解题的关键． 过点作，垂足为，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，即可得解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， ∵，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 即点到的距离为3． 故答案为：3． 10． 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，作，垂足为，然后根据角平分线的性质定理解答即可，熟练掌握该知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，作，垂足为， ∵平分，点在上，， ∴， ∴点到射线的距离是． 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，判断出三角形的面积与周长的关系是解题的关键． 连接，作于点，作于点，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点到的距离都相等（即，从而可得到的面积等于周长的一半乘以3，代入求出即可． 【详解】解：连接，作于点，作于点， ∵分别平分和，， ∴， ∵的周长是于，且， ∴， 故答案为：． 12．/25度 【分析】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质定理以及判定定理． 过F作于M，于N，于K，由角平分线的性质定理推出，，得到，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，求出． 【详解】解：过F作于M，于N，于K， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵于M，于N， ∴平分， ∴． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，过D作于F，根据角平分线的性质得到，又，，，由此可以得到关于的方程，解方程即可求出． 【详解】解：如图，过D作于F， ∵是的平分线，于点E， ∴， 而， ∴， ∴， 而， ∴． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，列代数式，关键是由角平分线的性质推出． 过M作于H，由角平分线的性质推出，于是得到． 【详解】解：过M作于H， ， ， ， 平分， ， ， ， 故答案为：． 15．15 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．先根据角平分线的性质得到，证明，得到，证明，得到，设，，由此建立方程求解即可． 【详解】解：∵平分，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：15． 16．①②③④ 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质，余角和补角的性质，准确分析计算是解题的关键． 利用平行线的判定和性质，角平分线的性质，余角和补角的性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：①∵， ∴， ， ∵， , ∴， 故①正确，符合题意； ②∵， ∴ ∵， ∴， ∴平分， 故②正确，符合题意； ③∵， ， ∵比的余角小， 则， ， ， ∴, 故③正确，符合题意； ④∵为的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故④正确，符合题意； 故答案为：①②③④． 17．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，尺规作角平分线，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据题意画出图形，证明，得出，则，即可得证； （2）利用尺规作角平分线的方法作的平分线，交于点H，即可作答． 【详解】（1）证明：如图所示， ∵，,， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：如图，的平分线和点H即为所求： 18．见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质，角平分线的判定是解题的关键． 先证明，得到，再根据角平分线的判定即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， 在和中， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴平分． 19．(1)详见解析 (2)32 【分析】本题考查角平分线的性质与判定、直角三角形两锐角互余、三角形的面积，掌握角平分线的性质与判定定理是解题的关键． （1）过点作于于，根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得、，即可得到，根据角平分线的判定定理即可解答； （2）根据结合已知条件可得的长，最后运用即可解答． 【详解】（1）解：证明：过点作于于， 平分， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：，且， ， ， ， ， 的面积为32． 20．(1) (2)证明见解析 【分析】（）利用角平分线的定义求出和，再根据三角形外角性质解答即可； （）过作于，于，于，由角平分线的性质可得，，即得，进而即可求证； 本题考查了角平分线的定义，三角形的外角性质，角平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵平分，， ∴， ∴； （2）证明：过作于，于，于， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴点到三边所在直线的距离相等． 21．(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． （1）由，利用，即可证明； （2）由，可得，继而求得； （3）首先作于M，于N，由，可得，即可证得平分 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ； （2）解：， ， 又， ； （3）证明：过点C作于M，于N， ， ，， 平分 22．(1)见详解 (2) (3) 【分析】（1）根据题意得，结合已知得得到，即可判定； （2）过点G作交于点N，则，可得，进一步得到，由角平分线得，利用即可判定，有，结合，即可求得； （3）设，，则，，，，由三角形面积公式得，进一步得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则； （2）解：过点G作交于点N，如图， 则， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 则， ∴， ∵的角平分线交于点， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，解得； （3）解：设，， ∵， ∴， 则， ∵点是线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 则． 【点睛】本题主要考查直角三角形的性质、平行线的判定和性质、角平分线的定义、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理以及中点的性质，解题的关键是熟悉三角形的性质和整体代入思想的应用． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $