13.2与三角形有关的线段知识梳理精选题练习-2025-2026学年数学八年级上册人教版（2024）

13.2与三角形有关的线段知识梳理 精选题练习-2025-2026学年数学八年级上册人教版（2024） 知识梳理 三角形的角平分线、中线和高 （1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． （2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． （3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． （4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． （5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 三角形三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． （2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． （3）三角形的两边差小于第三边． （4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． 精选题练习 一、单选题 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A．5，6， B．7，8， C．3，4，8 D．5，5， 2．在中，，，则第三边的长可能是（　　） A．2 B．3 C．6 D．16 3．一个三角形的周长是偶数，其中的两条边长分别是和，满足上述条件的三角形（三角形的边长均为整数）的个数为（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（   ） A． B． C． D． 5．若是三角形的三边长，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． 6．在中，，边上的中线把分成周长差为5的两个三角形，则的长为（   ） A．2 B．19 C．2或19 D．2或12 7．如图，的面积为，，，则图中四边形的面积等于（    ） A．50 B．55 C．60 D．65 8．如图，在中，G是边上任意一点，D、E、F分别是、、的中点，，则的值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 二、填空题 9．空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种固定的方法应用的几何原理是 ． 10．已知一个三角形一边长为，另一边长为，第三边是最长边且为偶数，则此三角形的周长为 ． 11．设a，b，c是的三边，则 ． 12．下列说法：①平分三角形内角的射线是三角形的角平分线；②三角形的中线、角平分线、高都是线段；③一个三角形有三条角平分线和三条中线；④直角三角形只有一条高；⑤三角形的中线、角平分线、高都在三角形的内部．其中正确的有 （填序号）． 13．如图，在中，点D、E、F分别是线段、、的中点．若的面积为10，则阴影部分图形的面积为 ． 14．如图所示，长方形的面积为36平方厘米，、、分别为边、、的中点，为边上任意一点，则阴影部分的面积是 平方厘米． 三、解答题 15．作三角形中边上的高． 16．已知的三边长为，且，，都是整数． (1)若，，且为奇数，求的周长． (2)化简：． 17．如图，，分别是的高，，，，求的长． 18．如图，为△的中线，为的中线． (1)作图：在△中作出边上的高；边上的高； (2)若的面积为40，，则中边上的高为多少？ 19．如图，在三角形中，点是的中点，作于点于点． (1)三角形和三角形的面积有怎样的关系？为什么？ (2)和有怎样的位置和数量关系？为什么？ 20．如图，在中，，D是的中点，于点E，于点F． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 21．如图1，在平面直角坐标系中，，其中a，b满足，现将线段先向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到线段． (1)直接写出点C，D的坐标：C______，D______； (2)若点P在x轴上，且使得三角形的面积是三角形面积的倍，求点P坐标； (3)如图2，点是三角形内部的一个动点，连接，，，若三角形与三角形面积之比为，求m，n之间满足的关系式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《13.2与三角形有关的线段知识梳理 精选题练习-2025-2026学年数学八年级上册人教版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C B C A D B A 1．A 【分析】本题考查了构成三角形的条件，解题关键是掌握构成三角形的条件并能运用求解． 根据构成三角形的条件，对四组数据分别通过计算，再作出判断． 【详解】解：，5，6，能组成三角形，故A符合； ，7，8，不能组成三角形，故B不符合； ，3，4，8不能组成三角形，故C不符合； ，5，5，不能组成三角形，故D不符合， 故选：A． 2．C 【分析】本题考查三角形三边关系，能根据三角形的三边关系确定的取值范围是解决此题的关键． 根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，就可求出第三边长的范围． 【详解】解：根据三角形的三边关系得， 即， 所以第三边可能是6， 故选：C． 3．B 【分析】此题考查了三角形的三边关系，首先设三角形第三边长为，根据三角形的三边关系可得，解不等式可得的取值范围，再根据周长是偶数确定的值，进而可得答案，解题的关键是掌握三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 【详解】解：设三角形第三边长为， 由题意得：， ∴， ∵周长是偶数，， ∴，，，共个， 故选：B． 4．C 【分析】本题考查了三角形的高线、中线、角平分线，熟练掌握三角形的高线、中线、角平分线的定义是解题的关键．根据三角形的高线、中线、角平分线的定义，逐项分析即可判断． 【详解】解：，，分别是的高、角平分线、中线， ，，． 结合选项可知，A、B、D选项不符合题意，C选项符合题意； 故选C． 5．A 【分析】本题考查了三角形的三边关系，绝对值的化简，根据三角形的三边关系得出之间的大小关系，再根据绝对值的性质化简即可，熟练掌握以上知识点是关键． 【详解】解：由三角形的三边关系得，，，， ∴，，， ∴原式， 故选：． 6．D 【分析】本题考查了中线，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得，再进行分类讨论以及运用数形结合思想，结合三角形的周长之间的关系进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵是的中线， ∴， 依题意，当时，如图所示： ∵边上的中线把分成周长差为5的两个三角形， ∴， ∴， ∴； 当时，如图所示： ∵边上的中线把分成周长差为5的两个三角形， ∴， ∴， ∴； 综上：的长为2或12， 故选：D 7．B 【分析】本题主要考查三角形的面积计算，弄清楚各部分面积之比以及利用底一定时三角形面积与高成正比的性质成为解题的关键． 如图：连接，由的面积为、、，可求出的面积．根据底一定时，三角形面积与高成正比或高一定时，三角形面积与底成正比，求出的面积，从而得到与高之比为，即与的高之比为，进而得到的面积，最后求出四边形的面积． 【详解】解：如图：连接， ∵的面积为，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴与面积比为， ∴与高之比为，即与的高之比为， ∴， ∴四边形的面积为． 故选：B． 8．A 【分析】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵点是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴． 故选：A． 9．三角形的稳定性 【分析】本题考查了三角形的稳定性，钉在墙上的方法是构造三角形支架，根据三角形的性质即可得解，熟练掌握三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：这种固定的方法应用的几何原理是三角形的稳定性， 故答案为：三角形的稳定性． 10． 【分析】本题考查了三角形的三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，正确理解三角形的三边关系是解题的关键．设第三边为，根据三角形三边关系求出的取值范围，由此得到偶数的值，再计算周长即可． 【详解】解：设第三边为， ∵三角形一边长为，另一边长为，第三边是最长边， ∴，即， ∵第三边是偶数， ∴， ∴此三角形的周长为． 故答案为： 11． 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用、化简绝对值，由三角形三边关系可得，，，再根据绝对值的意义化简即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵a，b，c是的三边， ∴，，， ∴，， ∴， 故答案为：． 12．②③ 【分析】本题考查了三角形的角平分线、高线、中线的定义与性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 根据三角形的角平分线、高线、中线对各说法分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：①三角形的角平分线是线段，不是射线，故说法错误； ②三角形的中线、角平分线、高都是线段，故说法正确； ③一个三角形有三条角平分线和三条中线，故说法正确； ④直角三角形有两条直角边和直角顶点到对边的垂线段共三条高，故说法错误； ⑤三角形的中线、角平分线都在三角形的内部，而钝角三角形的高有两条在三角形外部，故说法错误． 故答案为：②③． 13． 【分析】本题考查了三角形的面积和中线的性质：三角形的中线将三角形面积分成相等的两部分． 连接，根据中线将三角形面积分成相等的两部分可知阴影部分的面积是的面积的，依此可求解． 【详解】解：连接， 点D、E、F分别是线段、、的中点， ，，， ， ∴， 的面积为10， ， 故答案为：． 14． 【分析】此题考查了长方形的性质，以及三角形的中线性质，利用了等量代换及转化的思想，由等底同高得到：三角形的中线将三角形分成的两三角形面积相等，熟练运用此性质是解本题的关键． 连接，，由为的中点，得到，再由长方形的性质得到与垂直，可利用等底同高得到三角形与三角形面积相等，同理得到三角形与三角形面积相等，三角形与三角形面积相等，而这六个三角形面积之和为长方形的面积，等量代换可得出阴影部分为其中的三个不同的三角形面积之和，为长方形面积的一半，求出即可． 【详解】解：连接，，如图所示： 为的中点， ， ， 同理得到，， ， ． 故答案为． 15．见解析 【分析】本题考查三角形高的概念，三角形的高是从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 【详解】解：∵要作中边上的高， ∴根据三角形高的定义，需要从所对的顶点出发， 用三角板的一条直角边与边重合，边需要延长，另一条直角边过点， 然后沿着过点的直角边作直线，这条直线与边的延长线相交于一点，设为点； ∴线段就是中边上的高． 16．(1)12 (2) 【分析】本题考查三角形三边关系，绝对值的意义，关键是掌握三角形三边关系定理，绝对值的性质． （1）三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到，得到，即可求出的周长； （2）由三角形三边关系定理得到，即可化简． 【详解】（1）解：由三角形三边关系定理得到：， ， 为奇数， ， 的周长． （2）由三角形三边关系定理得到：，， ， ． 17． 【分析】本题考查的是等面积法的应用，由等面积法可得，再进一步计算即可. 【详解】解：，分别是的高， ∴， ∴， ，，， ∴， ∴． 18．(1)见解析 (2)中边上的高为4 【分析】本题考查三角形的高线，三角形的中线，掌握三角形中线的性质是解题的关键． （1）根据高线的定义，画高即可； （2）根据中线平分三角形的面积以及三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，EF、DG即为所求作； （2）解：为的中线，为的中线， ， ， 的面积为40，， ， ， 即中边上的高为4． 19．(1)三角形和三角形的面积相等，见解析； (2)且，见解析． 【分析】本题考查了三角形中线性质，平行线的判定，三角形面积，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过作，则，然后根据三角形中线性质即可求解； （）由，，则，然后通过等面积法即可求解． 【详解】（1）解：三角形和三角形的面积相等，理由如下： 如图，过作，则， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴三角形和三角形的面积相等； （2）解：且，理由如下： ∵，， ∴， 由（）得， ∴． 20．(1)见解析 (2)18 【分析】（1）D是的中点，得，于是，结合，即可得证； （2）根据题意，结合． 本题考查了三角形中线的性质，三角形面积的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵D是的中点，，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：由，， 得， 故． 21．(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）根据非负数的性质，平移的性质即可得到结论； （2）根据三角形的面积公式列方程即可得到结论； （3）根据三角形的面积公式列方程即可得到m，n之间满足的关系． 【详解】（1）解：， ，， ，, ，， 将线段先向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到线段， ，； 故答案为：，； （2）由（1）可知，，，， ， ， ， ，且点P在x轴上，， ， ， ， 点P的坐标为或； （3）已知，如图所示，连接， ，，， ， ， ∵三角形与三角形面积之比为， ， 化简得：． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了非负数的性质，平移的性质，三角形的面积公式，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $