1.3.2 空间向量运算的坐标表示 课时练习（一）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.3.2空间向量运算的坐标表示课时练习（一) 2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019)选择性必修一 一、单选题（共6题，每题5分） 1.已知向量=(-2,3,1)，=(0，-1,4)，则2a+3死=() A.(-4,6,14)B.(-4,0,6) C.(-4,3,6) D.(-4,3,14) 2.已知=(2，-3,1)，则下列向量中与平行的是（) A.(1,1,1) B.(-2,-3,5) C.(2,-3,5) D.(-4,6-2) 3.长方体ABCD-A1B1CD1中，AB=BC=4,E为A1C1与BD1的交点，F为BC1与 B1C的交点，又AFLBE,则长方体的高BB1等于() A.马 B.2 C.22 D.4W2 4.=(1,0,1),=(8,1,2),且6=3，则向量a与的夹角为() A. B.牙 C. D. 5.已知向量ā=(1,2,3)，=(-2，-4，-6)，|c=√14，若（+6)t=7,则a 与的夹角为() A.30 B.60 C.120 D.150° 6.已知空间向量a=(3,0,1),b=(-2,1,n),c=(1,2,3),且(a-c)b-2,则a与 的夹角的余弦值为() A.210 21 B._y210 21 C. D.-7 二、多选题（共2题，每题6分） 7.=(1,1,0),与共线的单位向量为() A.(9,盟) B.(0,1,0) C. (-9o) D.(o） 8在正方体ABCD-A1B1C,D1中，下列各组向量的夹角为45的是() 试卷第1页，共3页 B B A.AB与A1C1 B.AB与C1A1 C.BC与CB D.BC与AD1 三、填空题（共4题，每题5分） 9.在空间直角坐标系中，=(2x-4,x,-4),=(-1,-4,1),若/乃，则实 数x= 10.a=(2,-1,3),b=(-4,2x,c=（1,-x,2),若（a+6)1c,则实数 8= 11.已知在标准正交基i,j,下，a=i-2j+成，-=2i-3j-2丞，则 a-2= 12.已知a、6是空间相互垂直的单位向量，且=8，元=6=26，则 |c-ma-n的最小值是」 四、解答题 13.如图，已知A(y1Z1),B(2VzZ2)两点，点M在直线AB上，A=λMi, 入为实数且入≠-1，求点M的坐标. 试卷第1页，共3页 M ·B 14.在正方体ABCD-A1BCD1中，E为AA1的中点，F为CC1的中点，M为CD的 中点证明： (1)BF//D1E; (2)BE不与D1M平行； (3)BE⊥C1M 试卷第1页，共3页 15.空间中A(3,1,-1),B(2,0,-1),C(4,1,-3),设a=A,i-A元 (1)若C=3,且BC,求向量； (2)求以五，b为一组邻边的平行四边形的面积S. 试卷第1页，共3页 1.3.2空间向量运算的坐标表示课时练习（一） 参考答案 题号 1 2 3 4 5 7 8 答案 D D C D B AD AD 1.D 【分析】根据空间向量线性运算的坐标表示计算可得 【详解】因为a=(-2,3,1),=(0,-1,4), 所以2a+3=2(-2,3,1)+3(0,-1,4)=(-4,3,14): 故选：D 2.D 【分析】根据空间向量共线的等价条件判断即可， 【详解】对于A选项，因为子≠3≠片，所以A选项中的向量与不平行； 对于B选项，因为=≠号，所以B选项中的向量与不平行； 对于C选项，因为号=≠号，所以C选项中的向量与不平行： 对于D选项，因为=。=，所以D选项中的向量与平行： 故选：D 3.C 【分析】由长方体的性质建立如图所示的空间直角坐标系，设长方体的长为， 表示出A正，B正，由空间向量的坐标表示代入求解即可得出答案 【详解】设长方体的长为，由长方体的性质建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(4,0,0),B(4,4,0),E(2,2,h),F(2,4,号)， 则AF=（-2,4,9),BE=(-2,-2,h), 由AF1BE可得A正B配=0，所以4-8+今=0， 解得：h=22 故选：C 答案第1页，共2页 B 4.D 【分析】利用空间向量的数量求出x,再利用向量夹角公式求解即得 【详解】向量a=(1,0,1),=(8,1,2),由a6=3,得x+2=3,解得x=1, 6=(1,1,2), 因此cos(- 同1+1×W1+1+4 -号，面aco,.测a-, 所以向量与的夹角为 故选：D 5.C 【分析】由条件求得c=-7,再结合夹角公式即可求解 【详解】由于+6=(-1，-2，-3)=-a, 故(+6)t=-c=7,即ac=-7, 又因为=V1+4+9=V14, 所以c0s(司c)-器=一，所以a与元的夹角为120 故选：C 6.B 【分析】根据给定条件，利用空间向量坐标运算，求出n值，再利用夹角公式计 算作答 【详解】向量=(3,0,1)，=（-2,1，n),c=(1,2,3),则a-c=(2,-2,-2), 由(-)6=2，得-4-2-2m=2,解得n=-4,-(-2,1,-4), 答案第1页，共2页 因此a6-3×(-2)+0×1+1×(-4)=-10,=V3+12=√10， 6=(-2)+12+(-4)7-21, 所以a与6的夹角的余弦值c0sa,=码 -10 210 间10W21 21 故选：B 7.AD 【分析】与共线的单位向量为冒或膏，从而求出答案 【详解】|到-√1+1=V2,则与共线的单位向量为后或青， 其中情-2-(9号.o,青-(-号.9) 故选：AD 8.AD 【分析】如图建立空间直角坐标系，然后利用向量的夹角公式逐个计算 【详解】如图，以D为原点，分别以DA,DC,DD所在直线为Xy,z轴建立空间直角 坐标系， 设正方体的棱长为1， 则 D(0,0,0)A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0)A1(1,0,1)B1(1,1,1),C1(0,1,1),D1(0,0,1), 对于A,因为AB=(0,1,0),A1C1=(-1,1,0),所以 co5(ABAC)0-古-号，因(为(ABAC)E[0I,以(ABAC,= ,所以A正确， 对于B,因为AB=(0,1,0),C1A1=(1,-1,0),所以 cos(ABCA)爵-清=-号因为(ABCA)Ei0,所以 (AB,CA1)=平，所以B错误， 对打C,因为BC=(←10,0).cB=(10,-).所以cos(CB)需-9. 因为(BC,CB)E[0,π]，所以(BC,CB)=亚，所以C错误， 对于D,因为BC=(-1,0,0),AD1=(-1,0,1),所以 答案第1页，共2页 cos(ECAD,)器論言-号，因为(BCAD,)EO,mj,所以(ECAD,)-, 所以D正确， 故选：AD D B1 D C B 9.4 【分析】由题意可得=λ，即可得到方程组，进而解出方程组即可. 【详解】由题意得，=λ6，即(2x-4x2,-4)=入(-1，-4,1)，所以 2x-4=-入 2=一4，解得X=4· ,（λ=-4 -4=λ 故答案为：4 10.-4 【分析】 利用空间向量的坐标运算法则进行计算即可！ 【详解】因为向量a=(2,-1,3),b=(-4,2,x),c=(1,-x2), 所以向量a+b=(-2,1x+3),因为(a+b)1c, 所以(+6)t=0,即-2×1+1×(-x)+2(x+3)=0,解得x=-4 故答案为：一4. 11.52 【分析】计算出京-2五，再求出a-22,由此即可得出答案 答案第1页，共2页 【详解】因为a-26=(-2j+-2(2i-3j-2=-3i+4j+5R, 所以 |a-262=(-3i+4+5函2=97+16+25f-241j-30i+40=50, 所以a-2=52. 故答案为：52 12.4 【分析】利用坐标法，根据空间向量数量积的坐标运算，向量线性运算，不等式 思想即可求解. 【详解】：，是空间相互垂直的单位向量， :设=(1,0,0)，i=(0,1,0),设元=(W,2), 又ca=元6=6，x=y=26, 又1c=x2+y2+z2=V24+24+z2=8, …z2=16, ÷元=(2y6,2y6,2),其中z2=16, 元-ma-ni=(2W6-m26-n,z）), ÷|e-ma-n6=2W6-m+(2y6-n+z2 =V(26-m)+(26-m+16≥4， 当且仅当m=n=2y6时取得等号， ：c-ma-n6的最小值是4. 故答案为：4. 13.(授，樱授） 【分析】根据空间向量的坐标运算，相等向量的定义可得解. 【详解】解：设M(xyz), 则AM=(x-1y-y1z-z1),MB=(&2-y2y,z2-z), 答案第1页，共2页 由已知AM=λM,得(X-x1yy1Z-Z1)=入(8-y2V22-z), 因而xX=(x2x)X按2， yty2 y-y1=λ(y2y)→y=1+, 2-21=1(22-2)→2=盈 1+λ 因此点M的坐标为(=，授，操） 我们称点M为有向线段AB的定比分点. 14.(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】(1)设正方体ABCD-A1BC1D1的棱长为2，以点A为坐标原点，AB、 AD、AA1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，证明出DE=-BF, 可证得结论成立； (2)证明出B正、D1M不共线，可证得结论成立； (3)计算得出B正CM=0,可证得结论成立. 【详解】(1)证明：设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2， 以点A为坐标原点，AB、AD、AA1所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的 空间直角坐标系， A D B 则B(2,0,0)、C1(2,2,2)、D1(0,2,2)、E(0,0,1)、F(2,2,1)、M(1,2,0), 所以，B=(0,2,1),DE=(0,-2,-1),则D1正=-B, 答案第1页，共2页