22.1.3二次函数y=a(x-h)²+k的图象性质（基础练+提升练+拓展练+达标检测）大单元教学分层优化练 2025-2026学年人教版数学九年级上册

2025学年人教版九年级数学大单元教学分层优化练 22.1.3二次函数y=a(x-h)²+k的图象性质（基础练+提升练+拓展练+达标检测） 知识点1二次函数y=a(x-h)²+k的图像 1.二次函数y=a(x-h)²+k的图像特征： （1） a>0,开口向上，a<0,开口向下； （2） 对称轴直线x=h; （3） 顶点坐标:（h,k） 2.要点诠释： 函数y = a(x-h)2 + k 是由 y = ax2 的图象向右( h > 0 ) 或向左( h < 0 )平移 |h| 个单位，再向上 ( k > 0 )或向下 ( k < 0 )平移 |k| 个单位得到的。 ★简记为：上下平移，常数项上加下减；左右平移，自变量左加右减.二次项系数 a 不变. 题型1二次函数y=a(x-h)²+k的图像基本性质 例1．二次函数的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】．抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【变式1-2】．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而增大 【变式1-3】．已知二次函数的图象如图，则一次函数的大致图象可能是（　　） A． B．C． D． 题型2画二次函数y=a(x-h)²+k的图像 例2．用描点法画出二次函数的图像,列表如下： x … 0 1 2 3 4 … y … 15 m n 5 … (1)填空：表中________,________； (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象. 【变式2-1】．在平面直角坐标系中画出函数的图像． (1)指出该函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标． (2)说明该函数图像与二次函数的图像的关系． (3)根据图像说明，何时随的增大而减小． 【变式2-2】．二次函数图像上部分点的横坐标x与对应纵坐标y的值如下表： x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 ··· y ··· 5 0 -3 -4 -3 0 5 ··· （1）求这个二次函数的解析式； （2）当x>3时，求y的取值范围． 【变式2-3】．已知抛物线． (1)该抛物线开口向 　　，对称轴是 　　，顶点坐标是 　　． (2)在直角坐标系中画出的图象． 知识点2二次函数y=a(x-h)²+k的性质 y＝a(x﹣h)2+k a > 0 a < 0 图象 h＞0，k＜0 h＜0，k＞0 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 直线x=h 直线x=h 顶点坐标 (h，k)，抛物线最低点 (h，k)，抛物线最高点 最值 当x=h 时，y最小值=k 当x=h时，y最大值=k 增减性 当x＜h时，y随x增大而减小； 当x＞h 时，y随x增大而增大. 当x＞h时，y随x增大而增大； 当x＜h 时，y随x增大而减小. 要点诠释： 1. 二次函数y=a（x-h）2+k的图象核心性质的要点是由其系数a、h、决定的，a>0开口向上，a<0开口向下,对称轴直线x=h；a>0,x>h时，y随x增大而增大，x<h时，y随x增大而减小；a<0,x>h时，y随x增大而减小，x<0时，y随x增大而增大。 2. 二次函数y=a（x-h）2+k的图象常与直线、三角形、面积等问题结合在一起，借助它的图象性质，运用数形结合、函数、方程思想解决问题。 题型3二次函数y=a(x-h)²+k的图像增减性 例3．已知，，是抛物线上的点，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】．已知二次函数，下列结论正确的是（   ） A．其图像的开口向上 B．当时，随的增大而增大 C．图像的对称轴为直线 D．函数有最小值 【变式3-2】．点，都在抛物线上．若，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】．是抛物线上三点，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 题型4二次函数y=a(x-h)²+k的图像的平移 例4．将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】．把抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则平移后抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】．已知抛物线向左平移3个单位后再沿x轴翻折得到抛物线，则a，h的值分别为（   ） A． B． C． D．2，4 【变式4-3】．将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 题型5二次函数y=a(x-h)²+k的图像的最值 例5．抛物线有（   ） A．最小值3 B．最大值3 C．最大值 D．最小值 【变式5-1】．关于二次函数的最值，下列叙述正确的是（   ） A．当时，有最小值 B．当时，有最小值 C．当时，有最大值 D．当时，有最大值 【变式5-2】．已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【变式5-3】．已知二次函数，其中，当且仅当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型6二次函数y=a(x-h)²+k的图像的实际问题 例6．要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管高度应为 ． 【变式6-1】．公园要建造一个如图1的圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子，高度为米，O恰在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，设计成水流在与水平距离为1米时，达到距水面最大高度米，（不计其他因素）水池的半径至少 米，才能使喷出的水流不致落到池外． 【变式6-2】22011年被列入国家级非物质文化遗产．在某地筹备的龙舟比赛路线上，有一座拱桥（图1），图2是该桥露出水面部分的主桥拱的示意图，其形状可看作抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，桥拱上各点到水面的竖直高度（单位：）与到点的水平距离（单位：）近似满足二次函数关系．据测量，水面两端点的距离，主桥拱距离水面的最大高度为． (1)求主桥拱所在抛物线的函数表达式； (2)据测量，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少．要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为，求最多可设计龙舟赛道的数量． 【变式6-3】．一座隧道的截面由抛物线和长方形组成，长方形的长为8m，宽为2m，隧道的最高点P位于的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系． (1)求抛物线的解析式． (2)一辆货车高4m，宽2m，能否从该隧道内通过，为什么？ (3)如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？ 题型7二次函数y=a(x-h)²+k的图像与几何图形综合 例7．如图，已知抛物线经过三点，直线l是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的表达式； (2)设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A，B的距离之和最短时，求点P的坐标； (3)点M也是直线l上的一个动点，且为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 【变式7-1】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，C两点，交y轴于点B，． (1)求此抛物线的表达式； (2)已知抛物线的对称轴上存在一点M，使得周长最小，请求出点M的坐标； (3)连接，点P是线段上一点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求当四边形为平行四边形时点P的坐标． 【变式7-2】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、B两点，其顶点为，直线与x轴交于点D，与y轴交于点C，点P是x轴下方的抛物线上一动点，过P点作轴于点F，交直线于点E，设点P的横坐标为m． (1)请直接写出抛物线的解析式； (2)若，求m的值； (3)连接，是否存在点P，使是以为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 【变式7-3】．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，其顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿抛物线的对称轴向下运动，连接，，设运动时间为t秒，在点M的运动过程中，当时，求t的值． 例8．如图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分．在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡的底部（原点O处），石块从投石机竖直方向上的点C处被投出，在斜坡上的点A处建有垂直于水平面的城墙．已知石块的运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是，． (1)求抛物线的表达式； (2)通过计算说明石块能否飞越城墙． 【变式8-1】．如图所示，一个运动员推铅球，铅球在点A处出手，出手时球离地面约球落地点在B处，铅球运行中在运动员前4 m处（即）达到最高点，最高点高3m．已知铅球经过的路线是抛物线，根据图示的直角坐标系，你能算出该运动员的成绩吗？ 【变式8-2】．周末，小明与几个同学去户外玩弹力球．小明站在点处并在距地面高的处抛出一个弹力球，弹力球的运动路线可看作抛物线的一部分，弹力球在距离小明水平距离处时到达最高点，此时弹力球距离地面，当弹力球落在斜坡上的点处时回弹，回弹后的运动路线可看作抛物线的一部分；其中抛物线的开口大小和方向与抛物线相同，且在距离地面处到达最高点．已知斜坡与地面的夹角为，斜坡底部点与点的距离为，为． (1)求抛物线的函数表达式及点的坐标； (2)若弹力球从点回弹后，落在地面点处，求的长． 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．二次函数的图象的顶点坐标是( ) A. B. C. D. 2．关于二次函数,下列说法正确的是( ) A.开口向上 B.当时,y随x的增大而增大 C.有最小值4 D.顶点坐标是 3．已知二次函数的图象上有三点，，，，则，，的大小关系为( ) A. B. C. D. 4．二次函数的图象大致是( ) A. B. C. D. 5．已知二次函数,当时,函数y的最小值是( ) A.1 B. C. D. 6．若，且，，则的值可能是( ) A. B. C. D. 7．将二次函数的图象绕点旋转得到的图象满足的解析式为( ) A. B. C. D. 8．已知抛物线过不同的两点，，则当点在该抛物线上时，m的值为( ) A.0 B.1 C.0或1 D. 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．请写出一个图象开口向上,顶点坐标为的二次函数的表达式：______. 10．已知关于x的二次函数,当时,y的取值范围为____________ 11．一次足球训练中，小明从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线.已知球门高为2.44米，现以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系.抛物线关系式为.通过计算判断球_________（能或不能）射进球门.（忽略其他因素） 12．已知二次函数的图象经过点，，若，，都有，则t的最大值为_____. 13．已知二次函数（a为常数），当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”.如图是当a取四个不同数值时此二次函数的图象，发现它们的顶点在同一条直线上，那么这条直线的关系式是__________. 三、解答题（每小题7分，共56分） 14．已知抛物线. (1)若点,都在该抛物线上,试比较与的大小 (2)当时,求y的取值范围. 15．已知抛物线. （1）请你直接写出该抛物线的顶点坐标和对称轴； （2）请你在所给平面直角坐标系（如图）中画出该抛物线上满足的一段. 16．已知函数． (1)指出它的图像的开口方向、对称轴和顶点坐标以及函数的最大值或最小值． (2)当x取何值时，y随x的增大而减小？ 17．已知抛物线． (1)写出抛物线的对称轴； (2)完成下表： x … 1 3 5 … y … ______ ______ ______ ______ ______ … (3)在平面直角坐标系中描点画出抛物线的图象． 18．在平面直角坐标系中，已知抛物线过点，． (1)求抛物线的解析式； (2)已知和是抛物线上的两点，若对于，，都有，求的取值范围． 19．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，． (1)求点，，的坐标， (2)在抛物线上是否存在一点，使？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 20．（1）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C（0，3），顶点为D    ①求抛物线的解析式； ②求△ABD的面积． （2）将图①中的抛物线y轴右侧的部分沿y轴折叠到y轴的左侧，将折叠后的这部分图象与原抛物线y轴右侧的部分（包括点C）的图象组成新的图象，记为图像M，如图②． ①直接写出图像M所对应的函数解析式； ②直接写出图像M所对应的函数y随x的增大而增大时x的取值范围． B抓核心 三大题型提升练 C 抓拓展 能力拓展练 达标检测 A夯基础 四大题型提分练 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年人教版九年级数学大单元教学分层优化练 22.1.3二次函数y=a(x-h)²+k的图象性质（基础练+提升练+拓展练+达标检测）（解析版） 知识点1二次函数y=a(x-h)²+k的图像 1.二次函数y=a(x-h)²+k的图像特征： （1） a>0,开口向上，a<0,开口向下； （2） 对称轴直线x=h; （3） 顶点坐标:（h,k） 2.要点诠释： 函数y = a(x-h)2 + k 是由 y = ax2 的图象向右( h > 0 ) 或向左( h < 0 )平移 |h| 个单位，再向上 ( k > 0 )或向下 ( k < 0 )平移 |k| 个单位得到的。 ★简记为：上下平移，常数项上加下减；左右平移，自变量左加右减.二次项系数 a 不变. 题型1二次函数y=a(x-h)²+k的图像基本性质 例1．二次函数的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】此题考查了二次函数的性质，顶点坐标是，对称轴是． 直接根据顶点式的特点作答即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是， 故选：B． 【变式1-1】．抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】根据抛物线的性质，确定对称轴为直线，解答即可． 本题考查了抛物线的顶点式中确定对称轴，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得抛物线的对称轴是直线， 故选：C． 【变式1-2】．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质对各选项进行判断． 【详解】解：A．，抛物线的开口向上，所以A选项正确，不符合题意； B．抛物线的对称轴为直线，所以B选项正确，不符合题意； C．抛物线的顶点坐标为，所以C选项正确，不符合题意； D．在对称轴左侧y随x的增大而减小，所以D选项错误，符合题意； 故选：D． 【变式1-3】．已知二次函数的图象如图，则一次函数的大致图象可能是（　　） A． B．C． D． 【答案】B 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】此题主要考查了二次函数的图象以及一次函数的性质，根据已知得出a，c的符号是解题关键．首先根据二次函数的图象得出a，c的符号，进而利用一次函数的性质得出图象经过的象限． 【详解】解：根据二次函数开口向上，得， 根据c是二次函数图象顶点坐标的纵坐标，得， 故一次函数的大致图象经过一、三、四象限， 故选：B． 题型2画二次函数y=a(x-h)²+k的图像 例2．用描点法画出二次函数的图像,列表如下： x … 0 1 2 3 4 … y … 15 m n 5 … (1)填空：表中________,________； (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象. 答案：(1)5； (2)图见解析 解析：(1)根据题意,得,故当时, 当时, 故答案为:5；. (2)画出这个二次函数的图象如下： 【变式2-1】．在平面直角坐标系中画出函数的图像． (1)指出该函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标． (2)说明该函数图像与二次函数的图像的关系． (3)根据图像说明，何时随的增大而减小． 【答案】(1)向下；； (2)二次函数的图象是由二次函数的图象向右平移3个单位长度得到的 (3)时，随的增大而减小 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】（1）根据即可得到答案； （2）根据图象即可得到答案； （3）根据图象即可得到答案． 【详解】（1）解：列表如下： … 0 1 2 … … 0 … … 1 2 3 4 5 … … 0 … 描点连线，画出二次函数和的函数图象如图所示：    ， ， 该函数图象的开口方向向下，对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：由图象可知： 二次函数的图象是由二次函数的图象向右平移3个单位长度得到的； （3）解：由图象可知： 当时，随的增大而减小． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数图象的性质，采用数形结合的解题方法是解题的关键． 【变式2-2】．二次函数图像上部分点的横坐标x与对应纵坐标y的值如下表： x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 ··· y ··· 5 0 -3 -4 -3 0 5 ··· （1）求这个二次函数的解析式； （2）当x>3时，求y的取值范围． 【答案】（1）y=（x+1）2-4；（2）当x>3时，y>12． 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】（1）根据表格的特点可找到函数的顶点，设函数的顶点式，再代入一点即可求解． （2）根据函数的图像与性质即可求解． 【详解】（1）由表格中函数值的对称性可得函数的顶点为（-1，-4） 设函数为y=a（x+1）2-4 代入（1，0）得0=4a-4 解得a=1 ∴函数为y=（x+1）2-4 （2）∵函数的对称轴为x=-1，a=1＞0 故当x＞3时，y随x增大而增大 当x=3时，y=16-4=12 ∴当x>3时，y>12． 【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法的运用． 【变式2-3】．已知抛物线． (1)该抛物线开口向 　　，对称轴是 　　，顶点坐标是 　　． (2)在直角坐标系中画出的图象． 【答案】(1)下，直线x＝2，（2，3） (2)见解析 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】（1）找到对称轴两侧的关键点及顶点坐标即可； （2）由表中的点，即可画出函数图象． 【详解】（1）解：由抛物线可知， a＝﹣1＜0，开口向下， 对称轴是：直线x＝2， 顶点坐标为：（2，3）； 故答案为：下，直线x＝2，（2，3）； （2）①列表： x … 0 1 2 3 4 … y … ﹣1 2 3 2 ﹣1 … 故答案为：（0，﹣1），（1，2），（2，3），（3，2），（4，﹣1）； ②描点、连线： 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握函数图象的画法，理解二次函数的性质． 知识点2二次函数y=a(x-h)²+k的性质 y＝a(x﹣h)2+k a > 0 a < 0 图象 h＞0，k＜0 h＜0，k＞0 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 直线x=h 直线x=h 顶点坐标 (h，k)，抛物线最低点 (h，k)，抛物线最高点 最值 当x=h 时，y最小值=k 当x=h时，y最大值=k 增减性 当x＜h时，y随x增大而减小； 当x＞h 时，y随x增大而增大. 当x＞h时，y随x增大而增大； 当x＜h 时，y随x增大而减小. 要点诠释： 1. 二次函数y=a（x-h）2+k的图象核心性质的要点是由其系数a、h、决定的，a>0开口向上，a<0开口向下,对称轴直线x=h；a>0,x>h时，y随x增大而增大，x<h时，y随x增大而减小；a<0,x>h时，y随x增大而减小，x<0时，y随x增大而增大。 2. 二次函数y=a（x-h）2+k的图象常与直线、三角形、面积等问题结合在一起，借助它的图象性质，运用数形结合、函数、方程思想解决问题。 题型3二次函数y=a(x-h)²+k的图像增减性 例3．已知，，是抛物线上的点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，依据题意，由抛物线为，则抛物线开口向上，对称轴是直线，故抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，结合，，是抛物线上的点，可得，，，，进而可以得解． 【详解】解：∵抛物线为， ∴抛物线开口向上，对称轴是直线， ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小， 又∵，，是抛物线上的点， ∴，，，， ∴． 故选：C． 【变式3-1】．已知二次函数，下列结论正确的是（   ） A．其图像的开口向上 B．当时，随的增大而增大 C．图像的对称轴为直线 D．函数有最小值 【答案】C 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质逐项分析即可，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数中，，∴图像开口向下，故A不正确； ∵，∴对称轴为直线，故C正确； ∵图像开口向下，对称轴为直线，∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，故B不正确； ∵，∴顶点坐标是，∴函数的最大值为，故选项D不正确． 故选C． 【变式3-2】．点，都在抛物线上．若，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于的不等式． 根据列出关于的不等式即可解得答案． 【详解】解：∵点都在二次函数的图象上， ，， ， ， ， 即， ∴，故B正确． 故选：B． 【变式3-3】．是抛物线上三点，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，掌握当开口向下时、离对称轴越近的点、函数值越大成为解题的关键． 根据抛物线确定开口方向及对称轴，判断各点离对称轴的距离，然后结合二次函数的增减性即可确定函数值的大小关系． 【详解】解：抛物线的开口向下，对称轴为直线．当开口向下时，离对称轴越近的点，函数值越大． ∵点的横坐标到对称轴的距离为；点的横坐标到对称轴的距离为；点的横坐标到对称轴的距离为． ∴， ∴． 故选B． 题型4二次函数y=a(x-h)²+k的图像的平移 例4．将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次函数图象的平移、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，根据二次函数图像平移规律“左加右减，上加下减”进行计算即可求解．根据抛物线的函数表达式可知：抛物线的顶点坐标是，根据抛物线平移的方向和距离，可知平移后的抛物线的顶点是，利用顶点坐标式写出平移后的抛物线的函数表达式即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位， 得到的新抛物线的顶点坐标是， 平移后的抛物线的函数表达式是， 整理可得：． 故选：B． 【变式4-1】．把抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则平移后抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次函数图象的平移、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的平移规律，再根据“左加右减，上加下减”的原则写出平移后的抛物线的解析式，再求出顶点坐标即可． 【详解】解：把抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位， 得 ∴平移后抛物线的顶点坐标为， 故选：A 【变式4-2】．已知抛物线向左平移3个单位后再沿x轴翻折得到抛物线，则a，h的值分别为（   ） A． B． C． D．2，4 【答案】D 【知识点】二次函数图象的平移、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查二次函数平移性质等．通过逆向分析抛物线的平移和翻折变换，确定原抛物线的参数． 【详解】解：∵的顶点为， ∴向左平移3个单位后，顶点变为， ∴平移后抛物线解析式为：， ∴沿x轴翻折后，抛物线为：，顶点仍为，开口方向相反， ∵翻折后的抛物线为，其顶点为，开口向下， ∴，解得， ∴，解得， 故选：D． 【变式4-3】．将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数图象的平移、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，二次函数的性质，熟知“上加下减，左加右减”的平移法则是解题的关键． 根据“上加下减，左加右减”的平移法则得到平移后的函数解析式，再由顶点式二次函数解析式写出顶点坐标即可解决问题． 【详解】解：由题知， ， 则将抛物线的图象向右平移1个单位后，再将所得抛物线向下平移2个单位后，所得抛物线的解析式为， 此时抛物线的顶点坐标为． 故选：C． 题型5二次函数y=a(x-h)²+k的图像的最值 例5．抛物线有（   ） A．最小值3 B．最大值3 C．最大值 D．最小值 【答案】B 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质；根据二次函数顶点式知，当二次项系数为负时，函数有最大值，据此即可求解． 【详解】解：对于， 二次项系数为负，从而函数有最大值3； 故选：B． 【变式5-1】．关于二次函数的最值，下列叙述正确的是（   ） A．当时，有最小值 B．当时，有最小值 C．当时，有最大值 D．当时，有最大值 【答案】B 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数顶点式的图象与性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数顶点式中的正负性，判定图象开口，顶点坐标为，结合图形开口和对称轴直线确定最值即可求解． 【详解】解：二次函数中，，顶点坐标为，对称轴直线为， ∴二次函数图象开口向上，二次函数在时，取得最小值， 故选：B ． 【变式5-2】．已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据题意，结合二次函数的对称性和增减性建立关于的不等式组即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线，对称轴上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵，当时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值， ∴， ∴， 故选：A． 【变式5-3】．已知二次函数，其中，当且仅当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．由，可知图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，，则关于对称轴对称的点坐标为，由当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，可得，即可解答． 【详解】解：∵， ∴图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而减小， 当时，， ∴关于对称轴对称的点坐标为， ∵当且仅当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值， ∴， ∴， 故选：A． 题型6二次函数y=a(x-h)²+k的图像的实际问题 例6．要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管高度应为 ． 【答案】 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用．设抛物线的解析式为，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令，求得的值，即可得出答案． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 由题意可知抛物线的顶点坐标为，与轴的一个交点为， ， 解得：， 抛物线的解析式为：， 当时，， 水管的高度为， 故答案为：． 【变式6-1】．公园要建造一个如图1的圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子，高度为米，O恰在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，设计成水流在与水平距离为1米时，达到距水面最大高度米，（不计其他因素）水池的半径至少 米，才能使喷出的水流不致落到池外． 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用二次函数解决喷水问题，求抛物线的解析式等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． 先利用顶点式求出抛物线解析式，然后转化成一元二次方程进行求解即可． 【详解】解：根据题意，右侧抛物线的顶点坐标是，并且经过点， 设抛物线解析式为， 则， 解得， ∴右侧的抛物线解析式为， 当时，， 解得（舍去）， ∴水池的半径至少米． 故答案为：． 【变式6-2】22011年被列入国家级非物质文化遗产．在某地筹备的龙舟比赛路线上，有一座拱桥（图1），图2是该桥露出水面部分的主桥拱的示意图，其形状可看作抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，桥拱上各点到水面的竖直高度（单位：）与到点的水平距离（单位：）近似满足二次函数关系．据测量，水面两端点的距离，主桥拱距离水面的最大高度为． (1)求主桥拱所在抛物线的函数表达式； (2)据测量，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少．要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为，求最多可设计龙舟赛道的数量． 【答案】(1) (2)4条 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、待定系数法求二次函数解析式、拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法确定函数表达式、解一元二次方程等知识，读懂题意，准确求出二次函数表达式是解决问题的关键． （1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为，设抛物线的顶点式，将代入求解即可得到答案； （2）由（1）知，抛物线的表达式为，，解一元二次方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为（为常数，且）， 将点的坐标代入得， 解得， 抛物线的表达式为； （2）解：由（1）知，抛物线的表达式为， 当时，， 解得或， 可设计赛道的宽度为， ， 最多可设计龙舟赛道的数量为4条． 【变式6-3】．一座隧道的截面由抛物线和长方形组成，长方形的长为8m，宽为2m，隧道的最高点P位于的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系． (1)求抛物线的解析式． (2)一辆货车高4m，宽2m，能否从该隧道内通过，为什么？ (3)如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？ 【答案】(1) (2)可以通过 (3)可以通过 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】此题考查抛物线的性质及其应用，将抛物线上的两个点之间的水平距离与货车宽度作比较，从而来解决实际问题． （1）设出抛物线的解析式，根据抛物线顶点坐标，代入解析式； （2）令，解出x的值，然后将与车宽作比较即可求解； （3）隧道内设双行道后，将（2）求出时的抛物线线上两点的距离与2个车宽作比较． 【详解】（1）解：由题意可知抛物线的顶点坐标， 设抛物线的方程为， 又因为点在抛物线上， 所以有． 所以． 因此抛物线为：． （2）解：令，则有， 解得，， ， ∴货车可以通过； （3）解：由（2）可知， ∴货车可以通过． 题型7二次函数y=a(x-h)²+k的图像与几何图形综合 例7．如图，已知抛物线经过三点，直线l是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的表达式； (2)设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A，B的距离之和最短时，求点P的坐标； (3)点M也是直线l上的一个动点，且为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、线段周长问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）直接将三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可； （2）由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知，直线l与x轴的交点，即为符合条件的P点； （3）由于的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①、②、③；可先设出点的坐标，然后用点纵坐标表示的三边长，再按上面的三种情况列式求解． 【详解】（1）解：将代入抛物线中， 得：， 解得：， 故抛物线的解析式：． （2）解：当P点在x轴上，P、A、B三点在一条直线上时，点P到点A、点B的距离之和最短， 此时， 故； （3）解：如图所示：抛物线的对称轴为：， 设， 已知， 则：； ①若，则， 得：，解得：， ②若，则， 得：，解得：； ③若，则， 得：，解得：； 当时，三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去； 综上可知，符合条件的点，且坐标为或或或． 【点睛】此题主要考查了二次函数综合题涉及了抛物线的性质及解析式的确定、等腰三角形的判定、勾股定理、解方程等知识，在判定等腰三角形时，一定要根据不同的腰和底分类进行讨论，以免漏解． 【变式7-1】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，C两点，交y轴于点B，． (1)求此抛物线的表达式； (2)已知抛物线的对称轴上存在一点M，使得周长最小，请求出点M的坐标； (3)连接，点P是线段上一点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求当四边形为平行四边形时点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)则点P的坐标为：或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、利用平行四边形的性质求解、线段周长问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，轴对称最短路径的计算方法，平行四边形的判定和性质的综合，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据二次函数解析式可求出，可得点的坐标，运用交点式即可求解二次函数解析式； （2）根据抛物线的解析式可得点的对称点为点，结合轴对称最短路径可得的周长为最小，根据点的坐标可求出直线的解析式，由抛物线的对称轴为，代入直线的解析式即可求解； （3）根据平行四边形的判定和性质可得，设点则，由此列式求解即可． 【详解】（1）解：由抛物线的表达式可知，， ∴， ∴， ∴，，， 设抛物线的表达式为：， ∴， ∴， 故抛物线的表达式为：； （2）解：由（1）可知，抛物线的表达式为：， ∴对称轴为直线， ∴点关于抛物线对称轴的对称点为点， ∴交抛物线的对称轴于点，即为所求点的位置，即的周长为最小， 已知，， 设直线的解析式为：， ∴， 解得， ∴直线的解析式为：， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，， 则点； （3）解：由（1）和（2）可知，抛物线的解析式为，直线的解析式为， ∴如图所示，设点，根据过点作轴的平行线交抛物线于点，四边形为平行四边形，则， ∴， ∴， ∴ 解得：，， ∴当时，，即； 当时，，即 ∴点的坐标为：或． 【变式7-2】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、B两点，其顶点为，直线与x轴交于点D，与y轴交于点C，点P是x轴下方的抛物线上一动点，过P点作轴于点F，交直线于点E，设点P的横坐标为m． (1)请直接写出抛物线的解析式； (2)若，求m的值； (3)连接，是否存在点P，使是以为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)1或 (3)存在， 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据抛物线顶点坐标，设抛物线的解析式为，把点A的坐标代入，可得抛物线的解析式； （2）根据抛物线解析式与直线解析式表示出点P、E的坐标，然后表示出，再列出绝对值方程，然后求解即可； （3）根据等腰三角形的性质，可得点C在线段的垂直平分线上，即线段的中点的纵坐标为，再列出关于m的方程，然后求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴可设抛物线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时，， 解得：， ∴点， ∵P在x轴下方， ∴， 设点P的横坐标是m，则， ∴， ∵， ∴， 若， 解得：或5（舍去）； 若， 解得：或（舍去）； 综上所述，或1； （3）解：存在， ∵直线与y轴交于点C，与x轴交于点D， ∴点， ∵是以为底边的等腰三角形， ∴点C在线段的垂直平分线上， 即线段的中点的纵坐标为， 根据题意得：， ∴， 解得：． 【点睛】本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【变式7-3】．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，其顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿抛物线的对称轴向下运动，连接，，设运动时间为t秒，在点M的运动过程中，当时，求t的值． 【答案】(1) (2)当时， 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、用勾股定理解三角形、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）将点A，B的坐标代入抛物线可求出a，b的值即可. （2）先求出顶点D的坐标，设，，分别用含m的代数式表示出，，的值，利用勾股定理可求出m的值，即可得t的值． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点， ， ， 抛物线解析式为. （2）解：如图，由（1）， 顶点 一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿抛物线的对称轴向下运动，连接，，   设，， ，，， ， ， ， （舍），， ， ， ， 当时，． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，角度与动点结合等，解题关键是能够熟练运用含字母的代数式表示线段的长度． 例8．如图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分．在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡的底部（原点O处），石块从投石机竖直方向上的点C处被投出，在斜坡上的点A处建有垂直于水平面的城墙．已知石块的运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是，． (1)求抛物线的表达式； (2)通过计算说明石块能否飞越城墙． 【答案】(1) (2)石块不能飞越城墙，见解析 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用，求出二次函数解析式是解题的关键． （1）根据顶点坐标设出顶点式，将C点坐标代入求解； （2）计算出时对应的y值，得出当到达城墙时，石块的高度，与比较大小即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标是， ∴设抛物线的表达式为：， 将点代入得：， ∴． ∴石块运动轨迹所在抛物线的表达式为：． （2）解：当时，， ∴当到城墙时，石块高度为， ， ∵， ∴石块不能飞越城墙． 【变式8-1】．如图所示，一个运动员推铅球，铅球在点A处出手，出手时球离地面约球落地点在B处，铅球运行中在运动员前4 m处（即）达到最高点，最高点高3m．已知铅球经过的路线是抛物线，根据图示的直角坐标系，你能算出该运动员的成绩吗？ 【答案】该运动员的成绩是 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】此题考查的是二次函数的应用，掌握用待定系数法求二次函数的解析式和实际问题与二次函数图像的关系是解决此题的关键，根据题意可知：点A的坐标为，顶点D的坐标为，设此二次函数的解析式为，将点A的坐标代入解析式中，即可求出二次函数的解析式，然后将代入解析式中，即可求出运动员的成绩． 【详解】解：根据题意可知：点A的坐标为，顶点D的坐标为， 设此二次函数的解析式为， 将点A的坐标代入解析式中，得 解得：， ∴此二次函数的解析式为 将代入解析式中，得 解得：（不符合题意，舍去） 即该运动员的成绩是． 【变式8-2】．周末，小明与几个同学去户外玩弹力球．小明站在点处并在距地面高的处抛出一个弹力球，弹力球的运动路线可看作抛物线的一部分，弹力球在距离小明水平距离处时到达最高点，此时弹力球距离地面，当弹力球落在斜坡上的点处时回弹，回弹后的运动路线可看作抛物线的一部分；其中抛物线的开口大小和方向与抛物线相同，且在距离地面处到达最高点．已知斜坡与地面的夹角为，斜坡底部点与点的距离为，为． (1)求抛物线的函数表达式及点的坐标； (2)若弹力球从点回弹后，落在地面点处，求的长． 【答案】(1)， (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的表达式的求法，二次函数的图象与性质，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据题意可得点A，D坐标分别为，，设抛物线的函数表达式为，将点坐标代入即可，过点B作轴于点F，由题意得，求出，从而可得点B的坐标； （2）由抛物线的开口大小和方向与抛物线相同，顶点纵坐标为3，以及点B坐标可求出抛物线的表达式，进而求出点E坐标，即可得的长． 【详解】（1）解：由题意得点A，D坐标分别为，， 设抛物线的函数表达式为， 则有， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为， 如图1，过点B作轴于点F， ∵， ∴， 由勾股定理得： ∴， ∴， ∴点B坐标为； （2）解：根据题意，得抛物线顶点的纵坐标为3， 又开口大小和方向与抛物线相同， 设抛物线的表达式为， 将代入得：， 解得：（舍）， 抛物线的表达式为， 令得， 解得：（舍去）， 的长为． 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．二次函数的图象的顶点坐标是( ) A. B. C. D. 答案：D 解析：, 抛物线顶点坐标为, 故选：D. 2．关于二次函数,下列说法正确的是( ) A.开口向上 B.当时,y随x的增大而增大 C.有最小值4 D.顶点坐标是 答案：B 解析：在中,, 图象开口向下,故选项A错误； 二次函数的图象关于直线对称,且开口向下, ∴当时,y随x的增大而增大,故选项B正确； ∴当时,y有最大值4,故选项C错误； ∵二次函数 ∴顶点坐标是,故选项D错误； 故选：B. 3．已知二次函数的图象上有三点，，，，则，，的大小关系为( ) A. B. C. D. 答案：A 解析：由题知，二次函数的图象开口向上，且对称轴为直线， 所以抛物线上的点离对称轴越远，相应的函数值越大. 又因为，，， 所以. 故选A. 4．二次函数的图象大致是( ) A. B. C. D. 答案：C 解析：在中由知抛物线的开口向上，故A错误； 其对称轴为直线，在y轴的左侧，故B错误； 由知抛物线与y轴的交点为，在y轴的负半轴，故D错误； 故选：C. 5．已知二次函数,当时,函数y的最小值是( ) A.1 B. C. D. 答案：D 解析：由题意得：二次函数的对称轴为直线, ∵, ∴当时,y随x的增大而减小, ∵, ∴当时,二次函数有最小值,即为：. 故选：D. 6．若，且，，则的值可能是( ) A. B. C. D. 答案：D 解析：∵，， ∴，解得， ∴， ∵， ∴对称轴为直线，抛物线开口向上， 则当时，的值随着n的增大而增大； 当时，；当时，； ∴当时，， 即. 只有D符合题意. 故选D. 7．将二次函数的图象绕点旋转得到的图象满足的解析式为( ) A. B. C. D. 答案：C 解析：抛物线的顶点坐标为，开口向上 绕点旋转后的抛物线的顶点坐标为，开始口向下， 所得到的图象的解析式为， 故选：C. 8．已知抛物线过不同的两点，，则当点在该抛物线上时，m的值为( ) A.0 B.1 C.0或1 D. 答案：C 解析：∵，的纵坐标相等，∴A、B是一对对称点， ∴抛物线的对称轴是直线x=m= 即a+b=2m ∵C（a+b，,m）在该函数图像上，即C（2m，,m）在该函数图像上， ∴-（2m，,m）2 +2m-m=m 解得：m=0或m=-1 故选C 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．请写出一个图象开口向上,顶点坐标为的二次函数的表达式：______. 答案：(答案不唯一) 解析：∵图象开口向上, ∴a可以取1, ∵顶点坐标为 ∴满足题意的二次函数解析式可以为, 故答案为：(答案不唯一). 10．已知关于x的二次函数,当时,y的取值范围为____________ 答案： 解析：抛物线开口向下,对称轴为直线,抛物线顶点坐标为, 在范围内,当,函数有最大值为1；当时函数有最小值：, 故答案为：. 11．一次足球训练中，小明从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线.已知球门高为2.44米，现以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系.抛物线关系式为.通过计算判断球_________（能或不能）射进球门.（忽略其他因素） 答案：不能 解析：当时，， 所以，球不能射进球门. 故答案为：不能. 12．已知二次函数的图象经过点，，若，，都有，则t的最大值为_____. 答案： 解析：当时，则二次函数的顶点，图象开口向下，最大值为m， 不符合题意， 当时，图象开口向上，最小值为m， ，，都有， ， ， 故答案为：. 13．已知二次函数（a为常数），当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”.如图是当a取四个不同数值时此二次函数的图象，发现它们的顶点在同一条直线上，那么这条直线的关系式是__________. 答案： 解析：抛物线的顶点坐标为， 设①，②，①②， 得，即， 故这条直线的关系式是. 三、解答题（每小题7分，共56分） 14．已知抛物线. (1)若点,都在该抛物线上,试比较与的大小 (2)当时,求y的取值范围. 答案：(1) (2)当时, 解析：(1)∵抛物线, ∴抛物线的开口向下,对称轴为直线, ∴当时,y随x的增大而增大, ∵点,都在该抛物线上,且, ∴； (2)∵抛物线, ∴当时,y有最大值,为1, 当时,, 当时,, ∴当时,. 15．已知抛物线. （1）请你直接写出该抛物线的顶点坐标和对称轴； （2）请你在所给平面直角坐标系（如图）中画出该抛物线上满足的一段. 答案：（1）顶点坐标是，对称轴是直线 （2）见解析 解析：（1）抛物线的顶点坐标是，对称轴是直线. （2）经过，，三点画抛物线上满足的一段如图所示. 16．已知函数． (1)指出它的图像的开口方向、对称轴和顶点坐标以及函数的最大值或最小值． (2)当x取何值时，y随x的增大而减小？ 【答案】(1)抛物线开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，当时，y有最大值2，无最小值 (2)当时，y随x的增大而减小 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式可得抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；根据，在对称轴右侧，y随x的增大而减少可得答案． 【详解】（1）解：在函数中，， 所以抛物线开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为， 当时，y有最大值2，无最小值． （2）当时，y随x的增大而减小． 17．已知抛物线． (1)写出抛物线的对称轴； (2)完成下表： x … 1 3 5 … y … ______ ______ ______ ______ ______ … (3)在平面直角坐标系中描点画出抛物线的图象． 【答案】(1)抛物线的对称轴为直线 (2)，，0，， (3)作图见详解 【知识点】求自变量的值或函数值、用描点法画函数图象、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查二次函数顶点式的特点，计算函数值，描点连线作图，掌握二次函数顶点式的特点，代入求值，根据表格信息作图的方法是解题的关键． （1）根据二次函数的顶点坐标为，对称轴直线为，即可求解； （2）把自变量的值代入计算即可求解函数值； （3）根据表格信息，描点、连线即可求解． 【详解】（1）解：抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：把自变量的值代入求解， x … 1 3 5 … y … 0 … 故答案为：，，0，，； （3）解：根据表格信息，描点，连线，作图如下， 18．在平面直角坐标系中，已知抛物线过点，． (1)求抛物线的解析式； (2)已知和是抛物线上的两点，若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】（1）将，代入，待定系数法求解析式，即可； （2）先得出抛物线的对称轴为直线，关于的对称点为，进而分在对称轴的左侧和右侧两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入得 解得： ∴抛物线解析式为； （2）解：，则抛物线的对称轴为直线 ∵， ∴在对称轴的左侧， ∴关于的对称点为， ∴， ∵，， ∴或， 解得：或． 19．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，． (1)求点，，的坐标， (2)在抛物线上是否存在一点，使？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在，或 【知识点】求一次函数解析式、y=a（x-h）²+k的图象和性质、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，抛物线与坐标轴的交点，一次函数，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）分别令，，利用解析式解答即可； （2）先求出，过点作所在直线于点，设，则，利用铅锤法得出，列式求解即可． 【详解】（1）解：令，得， 则， 令，得， 解得：，， ∴，； （2）解：设直线的解析式为， 将，代入， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图，过点作所在直线于点， 设，则， 则， 则， 同理当点在抛物线上段时，， 当点在抛物线上点右侧时，， 综上，， 则， ∴， 即， 当时，解得，， 分别代入， 得，， 即点的坐标为或； 当时，由，无解； 综上所述，点的坐标为或． 20．（1）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C（0，3），顶点为D    ①求抛物线的解析式； ②求△ABD的面积． （2）将图①中的抛物线y轴右侧的部分沿y轴折叠到y轴的左侧，将折叠后的这部分图象与原抛物线y轴右侧的部分（包括点C）的图象组成新的图象，记为图像M，如图②． ①直接写出图像M所对应的函数解析式； ②直接写出图像M所对应的函数y随x的增大而增大时x的取值范围． 【答案】（1）①；②8；（2）① ；②或 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】（1）①用待定系数法即可求解； ②当−（x−1）2＋4＝0时，解得 x1＝−1，x2＝3．则AB＝3−（−1）＝4，进而求解； （2）①根据点的对称性，折叠后的这部分函数的表达式为y＝−（x＋1）2＋4，进而求解； ②观察函数图象即可求解． 【详解】解：（1）①把C（0，3）代入y＝−（x−1）2＋k，得3＝−（0−1）2＋k， 解得 k＝4． ∴y＝−（x−1）2＋4； ②由y＝−（x−1）2＋4．可知顶点D（1，4）． 当−（x−1）2＋4＝0时， 解得 x1＝−1，x2＝3． ∴A（−1，0），B（3，0）． ∴AB＝3−（−1）＝4． ∴S＝×4×4＝8； （2）①根据点的对称性，折叠后的这部分函数的表达式为y＝−（x＋1）2＋4， ∴； ②从函数图象看，M所对应的函数y随x的增大而增大时x的取值范围为：x＜−1或0＜x＜1． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． C 抓拓展 能力拓展练 达标检测 B抓核心 三大题型提升练 A夯基础 四大题型提分练 学科网（北京）股份有限公司 $