第21章 一元二次方程单元测试•能力提升卷-2025-2026学年人教版九年级数学上册考点精讲与题型精练

第21章一元二次方程（单元测试•培优提升卷） 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ▣===。====================== 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填 写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考 考生禁填： 缺考标记 ▣ 证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：填空题和解答题 以上标记由监考人员用2B铅 必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔 笔填涂 或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3. 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答， 选择题填涂样例： 超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题 卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【][/] 一、选泽题：本题共10小题，每小题3分， 共30分。在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1[A]B][CD] 5 [A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[A]B][CD] 6 [A][B][C][D] 10 [A][B][C][D] 3 [A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4 [A][B][C][D] 8 [A][B][C][D] 填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 12 15 6 17 18 三、解答题：本题共8小题，共6分。解答应写出文字说明、证明过程 或演算步聚。 19.(8分) 请在各题目的答题第域愿作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) 21.(6分) 25m D 3m B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 单)打 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(8分) 23.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 笔3页 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(8分) 图1 图2 凤3 图4 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 第4项 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(10分) ) oc B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 第5页 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 第21章 一元二次方程（单元测试•培优提升卷） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．做选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．做填空题和解答题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．已知方程配方后是，那么与的值分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是解题的关键． 通过配方法将原方程转化为给定形式，比较系数确定和的值即可． 【详解】解：将方程展开得 ，整理为一般式得 该方程与是同一个方程，故对应项系数相等 可得， 解得 综上，，． 故选：C． 2．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（    ） A．1 B．3 C． D．1和3 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键，利用一元二次方程的定义判断即可确定出的值． 【详解】解：关于x的方程是一元二次方程， 且， 解得：， 故选：：C． 3．已知，则的值为（   ） A．或2 B．或8 C．2 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，掌握运用换元法解一元二次方程是解题关键． 设，将原方程转化为关于的一元二次方程，结合非负性确定解即可． 【详解】解：令， 则原方程变为． 提取公因式，得． 解得或． ， 舍去，唯一解为． 因此，的值为． 故选：D． 4．关于的方程的两个根是等腰的两条边长，已知一个根是2，则的周长为（   ） A．14 B．10 C．14或10 D．10或12 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，等腰三角形的定义；由方程的解求出，解方程求出另一个根，由等腰三角形的定义即可求解． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， 设另一根为， ， 解得：， 当为腰时， 此种情况不符合； 当为腰时， ， 符合题意， 的周长为：， 故选：A． 5．已知关于的一元二次方程的较大的一根小于1，则实数的取值范围是（    ） A．一切实数 B． C． D． 【答案】D 【分析】用公式法求出方程的解，根据题意得出关于b的不等式，解不等式可得答案． 【详解】解：解方程得：， ∵一元二次方程的较大的一根小于1， ∴， ∴， 两边平方得：， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，能够根据题意得出关于b的不等式是解题的关键． 6．一元二次方程有两个实数根，那么一次函数的图象一定不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一次函数经过的象限，由根与系数的关系得到，则一次函数为，据此可得一次函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴一次函数的解析式为， ∴一次函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故选：C． 7．关于x的方程的两个根满足，且，则m的值为（　　） A． B．1 C．3 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的根．根据，得到，由可得m的方程，解m的方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 故选：C． 8．电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段．阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形．若车棚占地面积为，则电动车车棚的长（）为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设电动车车棚的宽为，则车棚的长，根据车棚占地面积为，列出一元二次方程，解方程取符合题意的值即可． 【详解】解：设电动车车棚的宽为，则车棚的长， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去 ， 故选：B． 9．已知方程的两根分别为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根的定义及根与系数的关系由题意得，，将代数式变形后再代入求解即可． 【详解】解：∵方程的两根分别为、， ∴，，， ∴， ∴ ． 故选：A． 10．已知关于的一元二次方程有一个实数根为，且，则下列说法错误的是（   ） A．当时， B．当，时， C．方程的另一个实数根不可能是 D．方程的另一个实数根有可能是1 【答案】D 【分析】此题主要 考查了一元二次方程根与系数关系、一元二次方程根的定义等知识．根据已知条件，将根代入方程得到关系式，并结合分析各选项的正确性． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个实数根为， ∴， 即， ∵， ∴与符号相反， 当时，，，即，得到，故选项A正确； 当，时，则，则，即，得到，故选项B正确； 若方程的另一个实数根是，则方程有两个相等的实数根，则，即， 即，则，与已知矛盾， ∴方程的另一个实数根不可能是， 故选项C正确； 若方程的另一个实数根是1，则，即，， ∴，与已知矛盾， 即方程的另一个实数根不可能是1， 故选项D错误，符合题意． 故选：D 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11．把方程化成一般形式，则一次项系数为 ． 【答案】13 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式．方程整理为一般形式后，求出一次项系数即可． 【详解】解：， 则， 则， ∴化成一般形式，一次项系数为13． 故答案为：13． 12．已知两个不相等的实数，分别满足方程和，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据两个不相等的实数，分别满足方程和，可知、是一元二次方程的两个实数根，根据一元二次方程根与系数关系可得：，，计算可得． 【详解】解：两个不相等的实数，分别满足方程和， 、是一元二次方程的两个实数根， 整理， 可得：， ，， ． 故答案为：． 13．已知m，n是方程的两根，则＝ ． 【答案】8 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，掌握一元二次方程的解是解题的关键． 根据，是一元二次方程的两个数根，可得，，则有，，然后代入求解即可． 【详解】解：、是一元二次方程的两个根， ，， ，， ，， ． 故答案为：8． 14．已知方程的两根恰好是的两条边的长，则的第三边长为 ． 【答案】13或/13或 【分析】本题主要考查了勾股定理，解一元二次方程，解题的关键是分类讨论． 解一元二次方程，分类讨论，利用勾股定理求解即可． 【详解】解： 解得， 当为的两直角边时，第三条边长为； 当为的一条直角边和一条斜边时，第三条边长为； 故答案为：13或． 15．化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会 名同学． 【答案】6 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，审清题意、找准等量关系、列出一元二次方程是解题的关键． 设一个人每节课手把手教会了x名同学，根据第二节课后全班49人恰好都会做这个实验了，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可解答． 【详解】解：设1人每次能手把手教会x名同学．由题意，得， 解得：（不合题意，舍去）， ∴1人每次能手把手教会6名同学． 故答案为：6． 16．定义，则方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法-公式法以及新定义运算，正确运用新定义化简方程是解题的关键． 利用题中的新定义化简所求方程，然后再运用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：根据题中的新定义得：， ∵， ∴，整理得：， 这里， ∵， ∴，即． 故答案为：． 17．在平面直角坐标系中，对于点，若，均为整数，则称点为“整点”．特别地，当时，称“整点”为“平衡整点”．已知点是一个“平衡整点”，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系，解分式方程，新定义，掌握知识点的应用是解题的关键．由新定义得出方程，然后解方程并检验即可． 【详解】解：由题意得，， ， 解得：，， 经检验：，是原方程的解， 当时，点，不符合题意； 当时，点，符合题意； ∴， 故答案为：． 18．已知矩形的一边长为2，另一边长为1．如果存在另一个矩形，周长是已知矩形周长的2倍，面积是已知矩形面积的倍，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，不等式的应用．根据题意得到矩形周长为12，面积为，设矩形的一边长为，则另一边为，则，即，根据方程有实数根列出不等式，求解即可． 【详解】解：根据题意知，这个矩形周长为，面积为， 设矩形的一边长为，则另一边为， 则， 整理得：， 由题意得原方程有实数根， ， ． 又， ， 即的取值范围为：． 三、解答题：本题共8小题，共66分。 19．解下列方程： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)， (2)， (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程、解一元一次方程，解分式方程，熟练掌握解方程的步骤是解题的关键． （1）运用直接开平方法解方程即可； （2）运用公式法解方程即可； （3）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1 的步骤解方程即可； （4）先给方程两边同乘以，将分式方程化成整式方程，再按照解整式方程的步骤求解，最后再进行检验即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，． （2）解：∵， ∴， ∴，． （3）解： 去分母，得， ， ， 解得． （4）解：方程 两边同乘以，得， ， ， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 20．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求的取值范围； (2)若方程的两实数根分别为，，且满足．求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有实数根”；（2）利用根与系数的关系结合，找出关于的一元二次方程． （1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出实数的取值范围； （2）利用根与系数的关系可得出，，结合，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出实数的值，即可求出，，代入即可得答案． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：， 实数的取值范围为． （2），是关于的一元二次方程的两实数根， ，． ， ， ， ，即， 解得：或， 当时，方程变为， ，不符合题意，舍去， 当时，方程变为， ，， ， ． 21．学校准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园．围墙最长可利用．与围墙平行的一边 上要预留宽的入口（如图中所示），不用砌墙．现在已备足可以砌长的墙的材料，问当矩形的长为多少米时，矩形花园的面积为？ 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是找出题目中的等量关系．设，则；，则，求解之后根据题中条件取舍，最后可得出的值． 【详解】解：设， 则，， 则， 解得：或（舍去）, ∵, ∴不合题意，舍去， ∴ ∴当长度是时，矩形花园的面积为． 22．对于问题：关于的方程的解是，、、均为常数，，求方程的解． (1)小明的思路如图所示，请你按照他的思路解决这个问题： 小明的思路 第1步 把1，代入到第1个方程中求出的值； 第2步 把的值代入到第1个方程中求出的值； 第3步 解第2个方程． (2)小红仔细观察两个方程，她把第2个方程中的“”看作第1个方程中的“”，则“”的值为　　　　，从而更简单地解决了问题． 【答案】(1)， (2)1或 【分析】本题考查一元二次方程的解，解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）把，分别代入原方程求得，于是得到原方程为：，求得，将和代入第2个方程得于是得到结论； （2）把第二个方程中的“”看作第一个方程中的“”，即可得到答案． 【详解】（1）解：把，分别代入原方程得，， 得：， ∵， ∴， 解得：， 原方程为：， ， 将和代入第2个方程得，， 解得：，； （2）解：把第二个方程中的“”看作第一个方程中的“”， ∵x的值为1或, 则“”的值为1或； 故答案为：1或； 23．某超市以每箱25元的进价购进一批龙眼．当该龙眼的售价为40元/箱时，七月销售250箱，八、九月该龙眼十分畅销，销量持续上涨，在售价不变的基础上，九月的销量达到360箱． (1)若七月份到九月份的月平均增长率都相同，求这两个月的月平均增长率． (2)十月份该超市为了减少库存，开始降价促销．经调查发现，该龙眼每箱每降价1元，月销量在九月销量的基础上增加5箱．当龙眼每箱降价多少元时，该超市十月可获利元? 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设七月份到九月份的月平均增长率为，利用九月的销售量七月的销售量（七月份到九月份的月平均增长率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设龙眼每箱降价元，则每箱盈利元，月销售量为箱，利用总利润每箱的销售利润月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】（1）解：设七月份到九月份的月平均增长率为， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：七月份到九月份的月平均增长率为． （2）设龙眼每箱降价元，则每箱盈利元，月销售量为箱， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：当龙眼每箱降价元时，该超市十月可获利元． 24．小乐同学在手工课上利用等边三角形、白色正方形和黑色正方形按一定规律搭建图形，观察图形，回答下列问题：    (1)图1中黑色正方形有：，白色正方形比黑色正方形多1个； 图2中黑色正方形有：，白色正方形比黑色正方形多2个； 图3中黑色正方形有：，白色正方形比黑色正方形多3个； …… 图n中黑色正方形有：__________，白色正方形有__________个． (2)若图n中黑色正方形比等边三角形多45个，求图n中白色正方形的个数． 【答案】(1)， (2)66 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，解一元二次方程，解题的关键是掌握以上知识点． （1）求出前面几个图形中黑色正方形和白色正方形的个数，进而得到规律求解即可； （2）根据前面所得规律可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题干得，图n的黑色正方形有，白色正方形比黑色正方形多n个 ∴图n 的白色正方形有个； （2）解：图1中，等边三角形的个数为2个； 图2中，等边三角形的个数为3个： 图3 中，等边三角形的个数为4个； 图4中，等边三角形的个数为5个； ……， 以此类推可知，图n 中等边三角形的个数为个， ∵图n 中黑色正方形的个数比等边三角形的个数多45个， ∴， 解得或（舍去）， 当时，， ∴图n 中白色正方形的个数为66个． 25．在矩形中，，，点P从点A开始沿边以的速度移动，点Q从点C开始沿边以的速度移动，如果点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中有一点到达点B或点D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s）． (1)当t为何值时，点P、Q之间的距离为； (2)连接、，当t为何值时，为直角三角形． 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题考查了矩形的性质与判定、勾股定理、一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识点，学会利用勾股定理列出一元二次方程是解题的关键． （1）作交于点，利用矩形的性质得到，，再利用勾股定理列出方程求解即可； （2）分两种情况①；②，根据矩形的性质和勾股定理分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：作交于点，则， 由题意得，，， ， 四边形是矩形， ，， 在中，， ， ， ， 解得：， 当时，点P、Q之间的距离为． （2）解：①若，作交于点，则， 由题意得，，， ， 在中，， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，， 在中，， ， 解得：，， 或； ②若， ， 四边形是矩形， ，， ， 由①得，， 在中，， ， 解得：，（舍去负值）， ； 综上所述，当或或时，为直角三角形． 26．阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)应用：一元二次方程的两个实数根为，则 ， ； (2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，则的值为 ； (3)提升：已知实数s，t满足，且，则的值 ； (4)拓展：已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数的取值范围是 ． 【答案】(1)， (2) (3)或 (4) 【分析】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出，，再根据，最后代入求值即可； （3）由题意可将s、t可以看作方程的两个根，即得出，，从而由，求得或，最后分类讨论分别代入求值即可； （4）根据方程有两个不相等的实数根得到，求出，然后利用根与系数的关系得到，，然后代入求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴，． 故答案为：，； （2）解：∵一元二次方程的两根分别为m、n， ∴，， ∴ ； （3）解：∵实数s、t满足， ∴s、t可以看作方程的两个根， ∴，， ∵ ， ∴或， 当时， ， 当时， ， 综上分析可知，的值为或． （4）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ 解得 ∵关于的一元二次方程 ∴， ∵ ∴ ∴ 解得 综上所述，． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，完全平方公式的变形计算．理解题意，掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21章 一元二次方程（单元测试•培优提升卷） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．做选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．做填空题和解答题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．已知方程配方后是，那么与的值分别为（   ） A． B． C． D． 2．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（    ） A．1 B．3 C． D．1和3 3．已知，则的值为（   ） A．或2 B．或8 C．2 D．8 4．关于的方程的两个根是等腰的两条边长，已知一个根是2，则的周长为（   ） A．14 B．10 C．14或10 D．10或12 5．已知关于的一元二次方程的较大的一根小于1，则实数的取值范围是（    ） A．一切实数 B． C． D． 6．一元二次方程有两个实数根，那么一次函数的图象一定不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．关于x的方程的两个根满足，且，则m的值为（　　） A． B．1 C．3 D．9 8．电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段．阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形．若车棚占地面积为，则电动车车棚的长（）为（    ） A． B． C． D． 9．已知方程的两根分别为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．已知关于的一元二次方程有一个实数根为，且，则下列说法错误的是（   ） A．当时， B．当，时， C．方程的另一个实数根不可能是 D．方程的另一个实数根有可能是1 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11．把方程化成一般形式，则一次项系数为 ． 12．已知两个不相等的实数，分别满足方程和，则代数式的值为 ． 13．已知m，n是方程的两根，则＝ ． 14．已知方程的两根恰好是的两条边的长，则的第三边长为 ． 15．化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会 名同学． 16．定义，则方程的解为 ． 17．在平面直角坐标系中，对于点，若，均为整数，则称点为“整点”．特别地，当时，称“整点”为“平衡整点”．已知点是一个“平衡整点”，则 ． 18．已知矩形的一边长为2，另一边长为1．如果存在另一个矩形，周长是已知矩形周长的2倍，面积是已知矩形面积的倍，则的取值范围是 ． 三、解答题：本题共8小题，共66分。 19．解下列方程： (1)． (2)． (3)． (4)． 20．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求的取值范围； (2)若方程的两实数根分别为，，且满足．求的值． 21．学校准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园．围墙最长可利用．与围墙平行的一边 上要预留宽的入口（如图中所示），不用砌墙．现在已备足可以砌长的墙的材料，问当矩形的长为多少米时，矩形花园的面积为？ 22．对于问题：关于的方程的解是，、、均为常数，，求方程的解． (1)小明的思路如图所示，请你按照他的思路解决这个问题： 小明的思路 第1步 把1，代入到第1个方程中求出的值； 第2步 把的值代入到第1个方程中求出的值； 第3步 解第2个方程． (2)小红仔细观察两个方程，她把第2个方程中的“”看作第1个方程中的“”，则“”的值为　　　　，从而更简单地解决了问题． 23．某超市以每箱25元的进价购进一批龙眼．当该龙眼的售价为40元/箱时，七月销售250箱，八、九月该龙眼十分畅销，销量持续上涨，在售价不变的基础上，九月的销量达到360箱． (1)若七月份到九月份的月平均增长率都相同，求这两个月的月平均增长率． (2)十月份该超市为了减少库存，开始降价促销．经调查发现，该龙眼每箱每降价1元，月销量在九月销量的基础上增加5箱．当龙眼每箱降价多少元时，该超市十月可获利元? 24．小乐同学在手工课上利用等边三角形、白色正方形和黑色正方形按一定规律搭建图形，观察图形，回答下列问题：    (1)图1中黑色正方形有：，白色正方形比黑色正方形多1个； 图2中黑色正方形有：，白色正方形比黑色正方形多2个； 图3中黑色正方形有：，白色正方形比黑色正方形多3个； …… 图n中黑色正方形有：__________，白色正方形有__________个． (2)若图n中黑色正方形比等边三角形多45个，求图n中白色正方形的个数． 25．在矩形中，，，点P从点A开始沿边以的速度移动，点Q从点C开始沿边以的速度移动，如果点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中有一点到达点B或点D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s）． (1)当t为何值时，点P、Q之间的距离为； (2)连接、，当t为何值时，为直角三角形． 26．阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)应用：一元二次方程的两个实数根为，则 ， ； (2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，则的值为 ； (3)提升：已知实数s，t满足，且，则的值 ； (4)拓展：已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数的取值范围是 ． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $