精品解析：湖南省永州市第一中学2026届高三上学期第2此模拟数学试卷

永州一中高三第2次模拟考试数学试卷 一､单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式的解法化简集合，再根据交集的定义求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 2. 的展开式中的系数为 A. 10 B. 20 C. 40 D. 80 【答案】C 【解析】 【详解】分析：写出，然后可得结果 详解：由题可得 令,则 所以 故选C. 点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题． 3. 设为虚数单位，若复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数即可. 【详解】. 故选：A. 4. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充分必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量共线的向量坐标运算列式求得或，再根据充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】向量，，由，得， 解得或，由能推出或成立，反之不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 正四棱台中，与底面所成的角为，则此四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，分别取的中点，过作交于，确定，由线面角，求得棱台高，代入体积公式即可求解； 【详解】 ∵，，∴上、下底面的面积分别为， 设正四棱台的高为， 连接，分别取的中点， 由正四棱台性质可知：面，面，∴， 过作交于，则，面， ∴，为与底面所成的角， ∵， 由， 可得：，即， 所以. 故选：B. 6. 在中，内角的对边分别为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用余弦定理求解. 【详解】由及，得， 由余弦定理，得， 因为，所以. 故选：C 7. 直线与圆交于两点，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，联立方程组得出，由平面向量数量积的坐标运算列出方程求解即可． 【详解】设， 由得，，则， ， 由得，， 故选：B． 8. 已知、，且，则（ ） A. B. C. D. 无法确定、的大小 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数、，利用导数分析这两个函数的单调性，结合零点存在定理可得出、的大小关系. 【详解】令，则， 当时，，故恒成立， 故在上单调递增， 又，， 由零点存在定理得， 令，则， 由上面的求解可知在上单调递增， 且存在，使得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，， 故的零点，，所以. 故选：A. 二､多选题 9. 掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，下列统计情况中，可能有出现过点数1的有（ ） A. 平均数为4，中位数为5 B. 平均数为4，众数为3 C. 平均数为4，方差为1.6 D. 平均数为5，标准差为2 【答案】AD 【解析】 【分析】根据统计数据特征的定义，举例说明AD正确，推导出数据的矛盾说明BC错误. 【详解】对于A，有可能出现点数1，例如：1，4，5，5，5.故A正确； 对于B，因为众数为3，则点数3至少出现2次，如果点数1出现1次，那么剩下的2次都取最大点数6，平均数还是小于4 ，所以不可能出现过点数1，故B错误； 对于C，平均数为4，如果出现点数1，则，即方差不可能为1.6，所以不可能出现过点数1，故C错误； 对于D，有可能出现点数1，例如：1，6，6，6，6. 故D正确. 故选：AD. 10. 已知定圆，点是圆所在平面内异于的定点，点是圆上的动点，若线段的中垂线交直线于点．则点的轨迹可能为（ ） A. 椭圆 B. 双曲线的一支 C. 双曲线 D. 圆 【答案】AC 【解析】 【分析】根据点的不同，结合图形以及椭圆和双曲线的定义进行判断即可. 【详解】由题知，，圆半径为，连接， 则， 当在圆内时，如图所示， 所以， 可得点的轨迹为到两定点之间的距离之和为的椭圆； 当在圆上时，如图，为圆的弦， 则点的轨迹是点， 当点在圆外时，如图， 则， 所以点的轨迹为到两定点之间距离之差的绝对值为的双曲线. 故选：AC 11. 曲线C是平面内与三个定点和的距离的和等于的点的轨迹，P为C上一点，则（ ） A. 曲线C关于y轴对称 B. 存在点P，使得 C. 面积的最大值大于1 D. 存在点P，使得 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，由已知表示出曲线C的方程，观察方程的对称性可以判断结果；B选项，假设结论成立，推理出曲线存在，符合题意；C选项，点P在椭圆上顶点时，面积最大；D选项，寻找曲线C上的一个特殊点P，验证. 【详解】设曲线C上任意一点， 由题意可知C的方程为. 对于A，在方程中，用替代，方程不变，可得曲线C关于轴对称，故A正确； 对于B，若，则，所以这样的点P存在，故B正确； 对于C，，P应该在椭圆D：内（含边界）， 曲线C与椭圆D有唯一的公共点， 此时，， 当点P为点时，的面积最大，最大值是1，故C不正确； 在曲线C上再寻找一个点，，若， 则，即，解得, 所以，故存在点，使，故D正确. 故选：ABD. 三､填空题 12. 记为正项等比数列的公比，若，则__________. 【答案】5 【解析】 【分析】根据等比数列通项公式的基本量计算，得到关于公比的一元二次方程，解方程求解即可. 【详解】由题意，，则，因为，所以 ， 由可知，则有，即，解得或. 因为数列是正项等比数列，则，所以. 故答案为：5. 13. 已知函数，则函数在上恰有1个零点，则实数的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】由题可得，利用整体法结合三角函数的图象与性质即可求解. 【详解】因，则， 若函数在上恰有1个零点，则 故答案为： 14. 如图，有排列整齐的20个盒子和20个球（其中红球和黄球各5个，黑球10个），在每个盒子中随机放入了一个球，球的颜色可能是红色、黄色、黑色中的一种.现随机先后打开每个盒子（直到打开所有盒子结束），则红球最先被全部开出的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】记最后打开的盒子中的球是黄球为事件，最后打开的盒子中的球是黑球为事件，记装有红球的盒子最先全部被打开为事件，则，利用全概率公式和乘法公式求出，即可得解． 【详解】由题知红球、黄球、黑球个数分别为5，5，10. 记“最后打开的盒子中的球是黄球”为事件，“最后打开的盒子中的球是黑球”为事件，显然事件与互斥， 记“红球最先全部开出”为事件，则. 当事件发生时，只需考虑装红球、黑球的所有盒子已全部打开，最后被打开的那一个盒子是黑球，可得， 则. 当事件发生时，只需考虑装有红球、黄球的所有盒子已全部打开，最后被打开的那一个盒子是黄球，可得， 则， 所以. 故答案为：. 四､解答题 15. 如图，长方体底面是边长为2的正方形，高为4，E为线段AB的中点，F为线段的中点. （1）证明：平面； （2）求直线EF与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 如图建立空间直角坐标系，则，，，， 又为线段的中点，所以， 所以， 易知平面的法向量可以为， 所以，即，又平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与直线的方向向量，即可得证； （2）求出平面的法向量，再由空间向量法计算可得； 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由（1）可得，所以，， 设平面的法向量为，则， 令，可得，则， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 16. 在一不透明的纸箱中有5个完全相同的小球，其中白色小球2个，红色小球2个，黄色小球1个，现在A同学每次不放回从箱中随机取出一个球，若取到白色小球，则再取一次，直至取到红色或黄色小球为止. （1）求同学取到红色小球的概率； （2）当同学取球结束后，纸箱内还剩余个球，求的分布列以及数学期望. 【答案】（1） （2）的分布列为： 2 3 4 【解析】 【分析】（1）按照第几次取球取到红球来分类计算即可； （2）根据取球次数确定剩余球数，计算各个次数对应的概率，进而建立分布列并求期望. 【小问1详解】 设“同学取到红色小球的事件”记为事件， 则； 【小问2详解】 当同学取球结束后，纸箱内还剩余个球，则的可能取值有， 即， 所以的分布列为： 2 3 4 所以. 17. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求的极值； （3）当时，判断零点个数，并说明理由． 【答案】（1） （2），无极小值 （3）当时有一个零点，当时无零点 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程； （2）求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出极值； （3）依题意可得，令，则判断的零点个数，即判断的零点个数，利用导数说明的单调性，求出，再令，，利用导数说明的单调性，即可求出，从而得解. 【小问1详解】 当时，则，， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 函数的定义域为，且， 令，则， 因为，所以恒成立，所以在上单调递减， 即在上单调递减， 又， 所以当时，当时， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，无极小值. 【小问3详解】 令，即， 因为，所以， 令， 所以判断的零点个数，即判断的零点个数， 又，， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 令，， 则，因为，所以， 所以在上单调递减， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 所以当时有一个零点，即有一个零点， 当时无零点，即无零点， 综上可得当时有一个零点，当时无零点. 【点睛】关键点点睛：第三问的关键是首先将问题转化为，利用导数求出，再构造函数，. 18. 在已知数列中， （1）求数列的通项公式. （2）数列中是否存在不同的三项恰好成等差数列？若存在，求出的关系；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）不存在，理由如下： 设中存在不同的三项恰好成等差数列， ①若均为奇数，不妨设，则，即， 得，因为是奇数，是偶数，故不可能成立； ②若二奇一偶，不妨设为奇数，为偶数， 则为偶数，为奇数，则，即， 因为被3除余2，同理也被3除余2， 故被3除余1，而为3的倍数，故不可能成立； ③若一奇二偶，不妨设为偶数，为奇数，则为奇数，为偶数， 则，即， 因为为3的倍数，不是3的倍数（被3除余1），故不可能成立； ④若均为偶数，不妨设，则，即， 得，因为被3除余是3的倍数，故不可能成立， 综上中不存在不同的三项恰好成等差数列. 【解析】 【分析】（1）由题意中的递推公式可得、，结合等比数列的定义即可求解；（2）设中存在不同的三项恰好成等差数列，分类讨论均为奇数、二奇一偶、一奇二偶、均为偶数的情况下，结合等差中项的应用即可下结论. 【小问1详解】 由题意得，， 所以成等比数列，故； ，而， 所以成等比数列，故，故； 【小问2详解】 中不存在不同的三项恰好成等差数列，理由略. 19. 已知双曲线的左顶点，渐近线方程为，直线经过点，与C交于不与A重合的两点P，Q， （1）求双曲线C的方程； （2）求直线AP，AQ的斜率之和； （3）设在射线AQ上的点R满足∠APQ＝∠ARP，求直线PR斜率的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由双曲线顶点以及渐近线方程，建立方程，可得答案； （2）设出直线方程，联立方程写出韦达定理，利用两点斜率公式，可得答案； （3）设出直线方程，联立表示每个点的坐标，根据距离公式以及圆的性质，可得答案. 【小问1详解】 由双曲线的左顶点，则， 由双曲线的渐近线，则，即， 所以双曲线. 【小问2详解】 设，由，已知直线斜率存在， 则直线方程可设为， 设直线的斜率为，直线的斜率为， 联立，消去可得， 由，则，， 又因为，，所以 ，代入，， 可得， 所以直线的斜率之和为. 【小问3详解】 设，，， 联立，解得，同理可得， 联立，解得，同理可得， 所以，， 因为，所以为外接圆的切线，且， 所以，由，， 则化简可得，当时取等号， 所以直线的斜率的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永州一中高三第2次模拟考试数学试卷 一､单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 的展开式中的系数为 A. 10 B. 20 C. 40 D. 80 3. 设为虚数单位，若复数，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充分必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 正四棱台中，与底面所成的角为，则此四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，内角的对边分别为，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 直线与圆交于两点，，则为（ ） A. B. C. D. 8. 已知、，且，则（ ） A. B. C. D. 无法确定、的大小 二､多选题 9. 掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，下列统计情况中，可能有出现过点数1的有（ ） A. 平均数为4，中位数为5 B. 平均数为4，众数为3 C. 平均数为4，方差为1.6 D. 平均数为5，标准差为2 10. 已知定圆，点是圆所在平面内异于的定点，点是圆上的动点，若线段的中垂线交直线于点．则点的轨迹可能为（ ） A. 椭圆 B. 双曲线的一支 C. 双曲线 D. 圆 11. 曲线C是平面内与三个定点和的距离的和等于的点的轨迹，P为C上一点，则（ ） A. 曲线C关于y轴对称 B. 存在点P，使得 C. 面积的最大值大于1 D. 存在点P，使得 三､填空题 12. 记为正项等比数列的公比，若，则__________. 13. 已知函数，则函数在上恰有1个零点，则实数的取值范围为________. 14. 如图，有排列整齐的20个盒子和20个球（其中红球和黄球各5个，黑球10个），在每个盒子中随机放入了一个球，球的颜色可能是红色、黄色、黑色中的一种.现随机先后打开每个盒子（直到打开所有盒子结束），则红球最先被全部开出的概率为______. 四､解答题 15. 如图，长方体底面是边长为2的正方形，高为4，E为线段AB的中点，F为线段的中点. （1）证明：平面； （2）求直线EF与平面所成角的正弦值. 16. 在一不透明的纸箱中有5个完全相同的小球，其中白色小球2个，红色小球2个，黄色小球1个，现在A同学每次不放回从箱中随机取出一个球，若取到白色小球，则再取一次，直至取到红色或黄色小球为止. （1）求同学取到红色小球的概率； （2）当同学取球结束后，纸箱内还剩余个球，求的分布列以及数学期望. 17. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求的极值； （3）当时，判断零点个数，并说明理由． 18. 在已知数列中， （1）求数列的通项公式. （2）数列中是否存在不同的三项恰好成等差数列？若存在，求出的关系；若不存在，请说明理由. 19. 已知双曲线的左顶点，渐近线方程为，直线经过点，与C交于不与A重合的两点P，Q， （1）求双曲线C的方程； （2）求直线AP，AQ的斜率之和； （3）设在射线AQ上的点R满足∠APQ＝∠ARP，求直线PR斜率的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $