2.3.1二次根式的概念和性质同步练习2025-2026学年北师大版八年级数学上册

2.3.1二次根式的概念和性质 一．选择题（共10小题） 1．若在实数范围内有意义，则a的取值范围是（　　） A．a＞0 B．a＞5 C．a≥5 D．a≤5 2．下列各式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 3．化简的结果是（　　） A．25 B．﹣5 C．5 D．±5 4．若，ab＜0，则a+b＝（　　） A．﹣8 B．±2 C．±8 D．±8或±2 5．下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 6．若x﹣1，则x满足的条件是（　　） A．x≥1 B．x≤1 C．x＞1 D．x＜1 7．下列四个数中，负数是（　　） A． B． C． D． 8．已知b＜0，化简二次根式的正确结果是（　　） A． B． C． D． 9．已知1＜x＜2，化简的结果正确的是（　　） A．2 B．﹣2 C．2x﹣8 D．8﹣2x 10．若，则n的值为（　　） A．40 B．41 C．50 D．51 二．填空题（共6小题） 11．当x＝1时，二次根式的值是　 　 ． 12．若是有理数，则满足条件的最大正整数a的值是　 　 ． 13．若式子有意义，则实数x的取值范围是 　 　 ． 14．若，则xy的值为 　 　 ． 15．计算： （1）　 　 ； （2）　 　 ． 16．实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|的结果是　 　 ． 三．解答题（共8小题） 17．当x分别取下列值时，求二次根式的值． （1）x＝0； （2）x； （3）x＝﹣2． 18．（1）问题背景：请认真阅读下列这道例题的解法． 例：已知，求的值． 解：由 ，得x＝2020，∴y＝2021， ∴　 　 ； （2）尝试应用：若x，y为实数，且，化简：； （3）拓展创新：已知，求a﹣b的值． 19．【课本再现】 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为；0的算术平方根是0，即．所以被开方数a为非负数． 【探究新知】 （1）若，则a的取值范围是 　 　 ． 【知识应用】 （2）若，求（a+b）2024的值． 【拓展应用】 （3）若，求a﹣20232的值． 20．若x＜2，化简|4﹣x|，小明的解答过程如下： 解：原式（4﹣x） 第一步 ＝x﹣2+4﹣x 第二步 ＝2 第三步 （1）小明的解答从第 　 　 步出现错误的，错误的原因是用错了性质：　 　 ； （2）写出正确的解答过程． 21．已知实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示． （1）化简：　 　 ；　 　 ； （2）化简：． 22．在研究二次根式的化简时，遇到了这样一个问题：化简，过程如下： 根据你从上述材料中得到的启发，化简：． 23．观察下列各式及其验证过程： 2.验证：2． 3验证：． （1）按照上述规律，直接写出4的结果是　 　 ． （2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为自然数，且n≥2）表示的等式，并给出证明． 24．【阅读材料】小聪在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： 5+2； 8+48+2（2+6）+2（）2+（）2+2（）2． 【类比归纳】 （1）请你仿照小聪的方法将3+2化成另一个式子的平方； （2）请你运用小聪的方法化简； 【类比归纳】 （3）若a+2，且a，m，n均为正整数，m＞n，求a的值． 2.3.1二次根式的概念和性质 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C B D A B A D A 一．选择题（共10小题） 1．若在实数范围内有意义，则a的取值范围是（　　） A．a＞0 B．a＞5 C．a≥5 D．a≤5 【解答】解：∵在实数范围内有意义， ∴a﹣5≥0， 解得a≥5． 故选：C． 2．下列各式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、4，故该项不正确，不符合题意； B、±±3，故该项不正确，不符合题意； C、4，故该项不正确，不符合题意； D、（）2＝3，故该项正确，符合题意； 故选：D． 3．化简的结果是（　　） A．25 B．﹣5 C．5 D．±5 【解答】解：5． 故选：C． 4．若，ab＜0，则a+b＝（　　） A．﹣8 B．±2 C．±8 D．±8或±2 【解答】解：∵a2＝25， ∴a＝5或a＝﹣5． ∵，得|b|＝3， ∴b＝3或b＝﹣3． ∵ab＜0， ∴当a＝﹣5时，b＝3， ∴a+b＝﹣5+3＝﹣2． ∴当a＝5时，b＝﹣3， ∴a+b＝5+（﹣3）＝2． 故选：B． 5．下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A：，根指数为2，但被开方数x的符号不确定．当x＜0时，无意义，因此不一定是二次根式，不符合题意； B：是立方根，不符合二次根式根指数为2的要求，不符合题意； C：，根指数为2，但被开方数1﹣m的符号取决于m的取值．当m＞1时，1﹣m＜0，此时式子无意义，因此不一定是二次根式，不符合题意； D：，根指数为2，被开方数6恒为正数，无论何种情况都满足二次根式的条件，因此一定是二次根式，符合题意； 故选：D． 6．若x﹣1，则x满足的条件是（　　） A．x≥1 B．x≤1 C．x＞1 D．x＜1 【解答】解：由于|x﹣1|＝x﹣1， 所以x﹣1≥0， 即x≥1， 故选：A． 7．下列四个数中，负数是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：运用绝对值、算术平方根知识逐项分析判断如下： ∵， ∴选项A不符合题意； ∵， ∴选项B符合题意； ∵， ∴选项C不符合题意； ∵， ∴选项D不符合题意， 故选：B． 8．已知b＜0，化简二次根式的正确结果是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由条件可知a＜0，b＜0， ∴； 故答案为：A． 9．已知1＜x＜2，化简的结果正确的是（　　） A．2 B．﹣2 C．2x﹣8 D．8﹣2x 【解答】解：由条件可知x﹣5＜0，x﹣3＜0， ∴原式＝5﹣x+3﹣x ＝8﹣2x； 故选：D． 10．若，则n的值为（　　） A．40 B．41 C．50 D．51 【解答】由已知约分得9， 故2n+1＝81，即n＝40， 故选：A． 二．填空题（共6小题） 11．当x＝1时，二次根式的值是　1　 ． 【解答】解：当x＝1时，1． 故答案为：1． 12．若是有理数，则满足条件的最大正整数a的值是　10　 ． 【解答】解：根据算术平方根的非负性可得，10﹣a≥0， 解得：a≤10， 由条件可知正整数a＝10或9或6或1， 则满足条件的最大正整数a的值是10， 故答案为：10． 13．若式子有意义，则实数x的取值范围是 　x≥1且x≠2　 ． 【解答】解：由题可知， x﹣1≥0且x﹣2≠0， 解得x≥1且x≠2． 故答案为：x≥1且x≠2． 14．若，则xy的值为 　﹣3　 ． 【解答】解：∵x0，x≥0， ∴x， ∴y＝﹣6， ∴xy（﹣6）＝﹣3， 故答案为：﹣3． 15．计算： （1）　9　 ； （2）　20　 ． 【解答】解：（1）， 故答案为：9； （2）， 故答案为：20． 16．实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|的结果是　b　 ． 【解答】解：由数轴可得：|a|＞b， 原式＝﹣（a﹣b）﹣（﹣a） ＝﹣a+b+a ＝b． 故答案为：b． 三．解答题（共8小题） 17．当x分别取下列值时，求二次根式的值． （1）x＝0； （2）x； （3）x＝﹣2． 【解答】解：（1）把x＝0，代入二次根式3； （2）把x，代入二次根式； （3）把x＝﹣2，代入二次根式5． 18．（1）问题背景：请认真阅读下列这道例题的解法． 例：已知，求的值． 解：由 ，得x＝2020，∴y＝2021， ∴　　 ； （2）尝试应用：若x，y为实数，且，化简：； （3）拓展创新：已知，求a﹣b的值． 【解答】解：（1）由，得：x＝2020， ∴y＝2021， ∴； 故答案为：； （2）由题意得：， 解得：x＝3， ∴y＞2， ∴ ＝1+（﹣1） ＝0； （3）由题意得：， 解得：ab＝10， ∴b＝﹣a+7， ∴a+b＝7， ∵（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝72﹣4×10＝9， ∴a﹣b＝±3． 19．【课本再现】 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为；0的算术平方根是0，即．所以被开方数a为非负数． 【探究新知】 （1）若，则a的取值范围是 　a≥0　 ． 【知识应用】 （2）若，求（a+b）2024的值． 【拓展应用】 （3）若，求a﹣20232的值． 【解答】解：（1）因为， 所以a≥0． 故答案为：a≥0． （2）由得， ， 解得， 所以（a+b）2024＝（﹣2+1）2024＝（﹣1）2024＝1． （3）因为， 所以a﹣2024≥0， 则a≥2024， 所以2023﹣a＜0， 则原方程可化为：a﹣2023， 所以， 则a＝20232+2024， 所以a﹣20232＝2024． 20．若x＜2，化简|4﹣x|，小明的解答过程如下： 解：原式（4﹣x） 第一步 ＝x﹣2+4﹣x 第二步 ＝2 第三步 （1）小明的解答从第 　二　 步出现错误的，错误的原因是用错了性质：　|a|＝﹣a（a＜0）　 ； （2）写出正确的解答过程． 【解答】解：（1）由化简过程可知，从第二步出现错误，． 故答案为：二，|a|＝﹣a（a＜0）； （2）∵x＜2 ∴x﹣2＜0，4﹣x＞0， ∴原式 ＝2﹣x+4﹣x ＝6﹣2x． 21．已知实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示． （1）化简：　﹣a　 ；　1﹣b　 ； （2）化简：． 【解答】解：（1）根据， ∴a＜0，1＜|a|＜2，b＞0，0＜|b|＜1， ∴，， 故答案为：﹣a，1﹣b． （2）根据， ∴a＜0，1＜|a|＜2，b＞0，0＜|b|＜1， ∴a+1＜0，a+b＜0，b＞0， ∴ ＝|a+1|+|b|﹣|a+b| ＝﹣a﹣1+b+a+b＝2b﹣1． 22．在研究二次根式的化简时，遇到了这样一个问题：化简，过程如下： 根据你从上述材料中得到的启发，化简：． 【解答】解：原式 ． 23．观察下列各式及其验证过程： 2.验证：2． 3验证：． （1）按照上述规律，直接写出4的结果是　　 ． （2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为自然数，且n≥2）表示的等式，并给出证明． 【解答】解：（1）∵2． 根据题干中反映的规律可得： ， 故答案为：； （2）（n为自然数，且n≥2）， 证明：． 24．【阅读材料】小聪在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： 5+2； 8+48+2（2+6）+2（）2+（）2+2（）2． 【类比归纳】 （1）请你仿照小聪的方法将3+2化成另一个式子的平方； （2）请你运用小聪的方法化简； 【类比归纳】 （3）若a+2，且a，m，n均为正整数，m＞n，求a的值． 【解答】解：（1） ； （2） ； （3）由条件可知， ∴a＝m+n，mn＝15， ∵a，m，n均为正整数，m＞n， ∴m＝15，n＝1或m＝5，n＝3， ∴a＝16或8． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $