山东省昌乐二中2025-2026学年高二上学期开学考试数学试卷

2025-2026学年山东省潍坊市昌乐二中高二（上）开学数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若复数为虚数单位，则(    ) A. B. C. D. 2.在四边形中，若，则“”是“四边形是菱形”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 3.已知向量，，若，则(    ) A. B. C. D. 4.已知函数，则(    ) A. 在定义域内是增函数 B. 是奇函数 C. 的最小正周期为 D. 图象的一个对称中心是 5.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，，则的原图形的面积为(    ) A. B. C. D. 6.设函数为偶函数，则(    ) A. B. C. D. 7.在九章算术中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑已知在鳖臑中，，平面，则它的外接球半径和内切球半径的比值为(    ) A. B. C. D. 8.如图，为圆锥的底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是(    ) A. 圆锥的侧面积为 B. 三棱锥的体积的最大值为 C. 的取值范围是 D. 若，为线段上的动点，则的最小值为 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是(    ) A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10.在中，内角，，的对边分别为，，，下列说法正确的是(    ) A. 若，，，则只有一解 B. 若，则为钝角三角形 C. 若的外心为，，，则 D. 若，则的形状是直角三角形 11.如图，已知圆台形水杯盛有牛奶不计厚度，杯口的直径为，杯底的直径为，杯高为，当杯底水平放置时，牛奶面的高度为水杯高度的一半，若加入颗大小相同的椰果球形，椰果沉入杯底，牛奶恰好充满水杯，则(    ) A. 该水杯侧面积为 B. 该水杯里牛奶的体积为 C. 放入的椰果半径为 D. 该水杯外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知点，，，在半径为的同一球面上，且，，则三棱锥体积的最大值为______． 13.如图，在正方体中，，，分别是棱，的中点，则正方体被平面所截得的截面周长是______． 14.如图所示的是某城市的一座纪念碑，一位学生为测量该纪念碑的高度，选取与碑基在同一水平面内的两个测量点，现测得，，米，在点处测得碑顶的仰角为，则该同学通过测量计算出纪念碑高为______米保留根号 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知复数，，是虚数单位． 若是实系数一元二次方程的一个根，求实数和的值； 当为何值时，关于的二次方程有一个实根． 16.本小题分 高一年级举办立体几何模型制作大赛，某同学想制作一个顶部是正四棱锥、底部是正四棱柱的模型，并画出了如图所示的直观图其中正四棱柱的高是正四棱锥的高的倍． Ⅰ若，． 求该模型的体积； 求顶部正四棱锥的侧面积； Ⅱ若顶部正四棱锥的侧棱长为，当为多少时，底部正四棱柱的侧面积最大？并求出的最大值． 17.本小题分 已知函数，将函数图象向左平移个单位长度，得到函数的图象． 求的单调递增区间； 在中，若，求面积的最大值． 18.本小题分 锐角的三个内角角，，所对的边分别为，，，满足． 求角的大小及角的取值范围； 若，求的周长的取值范围； 若的外接圆的圆心为，且，求的取值范围． 19.本小题分 任意一个复数的代数形式都可写成三角形式，即，其中为虚数单位，，，，棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗创立，指的是设两个复数用三角函数形式表示为：，，则，且，若令，则能导出复数乘方公式：． 请用以上知识解决以下问题： 试将写成三角形式； 已知，，，求的值； 设，，，当时，求的最大值和最小值． 参考答案 1.  2.  3.  4.  5.  6.  7.  8.  9.  10.  11.  12.  13.  14.  15.若是实系数一元二次方程的一个根，则也是的另一个根， 由根与系数的关系的关系知，，， 所以，； 由，得， 所以，则，解得， 由，得，， 当时，原方程有一个实根为． 16.解：Ⅰ由，得，又， 因此正四棱锥的体积， 正四棱柱的体积， 所以模型有体积； 取的中点，连接，，由，得， 所以正四棱锥的侧面积； Ⅱ设，正四棱柱的侧面积为， 则，，， 于是 ，而， 因此当，即时，， 所以当时，下部分正四棱柱的侧面积最大，最大面积是．  17. ， 根据题意可知，将的图象向左平移个单位长度， 得到， 因为的单调递增区间是，， 所以的单调递增区间是，； 已知，因为，所以， 由余弦定理，则，即， 根据基本不等式，所以，当且仅当时取等号，即， 三角形面积公式， 因为，所以，即面积的最大值为． 18.因为， 由正弦定理可得， 所以， 故，因为为锐角，所以， 因为为锐角三角形，则， 解得，所以，角的取值范围是； 因为，由正弦定理得， 所以 ， 因为，所以，所以， 所以，所以， 所以周长的取值范围为； 设的外接圆半径为，所以， ，所以 设，则，则， 所以 因为，所以，所以，所以， 所以，所以的取值范围为． 19.运用复数的三角形式得； 如图， 设复数对应向量为， 设复数对应向量为， 则在，运用余弦定理，， 所以， 由题意； 因为，设，， 则 ， 因为，可得， 所以，． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $