精品解析：广东省深圳市宝安区2020～2021学年第一学期期末质量监测九年级数学

宝安区2020-2021学年第一学期期末调研测试卷 九年级 数学 说明： 1．试题卷共4页，答题卡共4页．考试时间90分钟，满分100分． 2．请在答题卡上写上学校、班级、姓名并填涂考生号，不得在其它地方作任何标记． 3．本卷选择题1~10，每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卷选择题答题区内对应题目的答案标号涂黑；非选择题的答案（含作辅助线）必须用规定的笔，写在答题卷指定的答题区内，写在本卷或其他地方无效． 第一部分 选择题 一、选择题（每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，请把答案按要求填涂到答题卡相应位置上） 1. 方程的解是（ ） A B. C. ， D. ， 2. 下列各选项中，其主视图如图所示的是（    ） A. B. C. D. 3. 2020年9月1日，《深圳市生活垃圾分类管理条例》正式实施．滨海学校九（1）班成立了“环保卫士”宣传小组，其中男生2人，女生3人，从中随机抽取一名同学进社区宣传“垃圾分类”，恰好抽到女生的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知是反比例函数上一点，下列各点不在上的是（    ） A. B. C. D. 5. 将二次函数配方成的形式，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，AE⊥BC于点E，交BD于点F，下列三角形中不一定与△BCD相似的是（　　） A. △BFE B. △AFD C. △ACE D. △BAE 7. 下列说法中，正确的是（ ） A. 对于函数，随的增大而减小 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 若，且，则 D. 直线是函数图象的对称轴 8. 为控制物价上涨，有关部门进行多项举措，某种药品经过两次降价，每盒由原来的28.8元降至20元，求平均每次的降价率是多少？假设这两次降价率相同，设每次降价率为x，可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 抛物线的大致图象如图所示，则下列说法中错误的是（　　） A. B. C. 当时，，若，则 D. 10. 边长为4的正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E在BD上，作EF⊥CE交AB于点F，连接CF交BD于H，则下列结论：①EF=EC；②；③；,④若BF=1，则，正确的是（ ） A ①②④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②③④ 第二部分 非选择题 二、填空题（每小题3分，共15分，请把答案填到答题卷相应位置上） 11. 若，则______． 12. 已知是方程的根，则的值为______ ． 13. 在某一时刻，一根长为的竹竿投影在地面上的影长是，此刻测得旗杆投影在地面上的影长是，则旗杆的高度为______． 14. 如图，将一副三角板拼在一起，E为中点，将沿翻折得到，连接，若，则________． 15. 如图，直线y＝x与y＝（x＞0）图象交于点A，点B为y轴负半轴上一点，S△AOB＝+1，点C在x轴正半轴上，且OC＝OB，连接BC，BA＝BC，则k＝_____． 三、解答题（第16题5分，第17题8分，第18题7分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分） 16. 计算：． 17. （1）解方程：； （2）解方程：． 18. 在一个不透明的箱子中装有形状、大小都一样的小球，其中红色小球有个，蓝色小球有个． （1）从箱子中任意摸出一个小球，恰好是红色的概率为______ ； （2）从箱子中任意摸出两个小球，两个小球颜色恰好不同的概率为______ ； （3）将摸出的小球全部放回后，又放入个蓝色小球，摇晃均匀后任意摸出一个，记下颜色后放回，经过大量反复地实验，发现摸到蓝色小球的频率约为，则 ______． 19. 如图，的对角线，交于点，，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 20. 2020年6月1日上午，国务院总理李克强在山东烟台考察时表示，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机．王叔叔在翻身路做起了地摊生意，他以每件40元的价格购进一种商品，在销售过程中发现这种商品每天的销售量（件）与每件的销售单价（元）满足一次函数关系：． （1）若设利润为w元，请求出w与x的函数关系式． （2）若每天的销售量不少于44件，则销售单价定为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？ 21. （1）阅读下列材料，填空： 如图1，已知点C为线段中点，，求证：． 证明：作交延长线于点F 则 ， 为中点， ， ． ． ， ______ ． （2）如图2，为中线，为线段上一点，，为线段上一点，且． 求证：． 若，，当是以为腰的等腰三角形时，求线段的长． 22. 如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，，点是线段上一动点，作交线段于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，延长线段交抛物线于点，点是边中点，当四边形为平行四边形时，求出点坐标； （3）如图2，为射线上一点，且，将射线绕点逆时针旋转，交直线于点，连接，为的中点，连接，，问：是否存在最小值，若存在，请求出这个最小值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宝安区2020-2021学年第一学期期末调研测试卷 九年级 数学 说明： 1．试题卷共4页，答题卡共4页．考试时间90分钟，满分100分． 2．请在答题卡上写上学校、班级、姓名并填涂考生号，不得在其它地方作任何标记． 3．本卷选择题1~10，每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卷选择题答题区内对应题目的答案标号涂黑；非选择题的答案（含作辅助线）必须用规定的笔，写在答题卷指定的答题区内，写在本卷或其他地方无效． 第一部分 选择题 一、选择题（每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，请把答案按要求填涂到答题卡相应位置上） 1. 方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，先移项，再利用因式分解法解答即可求解，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，， 故选：． 2. 下列各选项中，其主视图如图所示的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据主视图是从正面看到的图形，分别求出四个选项中的主视图即可得到答案． 【详解】解：A、正方体的主视图是正方形，因此选项A不符合题意； B、四棱柱的主视图是长方形，且有两条看不见的轮廓线用虚线表示，因此选项B符合题意； C、四棱柱的主视图是长方形，且有两条能看见的轮廓线用实线表示，因此选项C不符合题意； D、圆柱的主视图是长方形，因此选项D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图，熟知三视图的定义是解题的关键． 3. 2020年9月1日，《深圳市生活垃圾分类管理条例》正式实施．滨海学校九（1）班成立了“环保卫士”宣传小组，其中男生2人，女生3人，从中随机抽取一名同学进社区宣传“垃圾分类”，恰好抽到女生的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 【详解】解：∵共5人，女生3人， ∴从中随机抽取一名同学进社区宣传“垃圾分类”，恰好抽到女生的概率为， 故选：A． 【点睛】本题主要考查随机事件的概率，掌握概率公式是关键． 4. 已知是反比例函数上一点，下列各点不在上的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出k的值，再分别判断即可． 【详解】∵是反比例函数上一点， ∴； A．，故在上； B． ，故不在上； C． ，故在上； D． ，故在上； 故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质，熟记是解题的关键． 5. 将二次函数配方成的形式，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点式．利用配方法即可求解． 【详解】解：， 故选：B． 6. 如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，AE⊥BC于点E，交BD于点F，下列三角形中不一定与△BCD相似的是（　　） A. △BFE B. △AFD C. △ACE D. △BAE 【答案】D 【解析】 【分析】由BD⊥AC，AE⊥BC，可得∠BDC＝∠AEC＝90°，由∠EBF=∠DBC，可证△BFE∽△BCD，可判断A；由△BFE∽△BCD，可得∠BFE=∠C，由∠AFD=∠BFE=∠C，和∠ADF=∠BDC=90°可证△ADF∽△BDC可判断B；由∠BDC＝∠AEC＝90°，∠BCD=∠ACE，可证△BDC∽△AEC，可判断C，由，可得，由△BFE∽△BCD，可得可得，由∠BDC=∠AEB=90°，若△ABE∽△BCD， 连结FC，可得△CEF∽△BDC，由∠FEC=∠CDB=90°只要满足∠FCE=∠DBC，应满足BF=FC，由AE⊥BC，需有点EBD中点，已知中没有点E为BD中点条件可判断D． 【详解】解：∵BD⊥AC，AE⊥BC， ∴∠BDC＝∠AEC＝90°， ∵∠EBF=∠DBC ∴△BFE∽△BCD，故选项A正确； ∴∠BFE=∠C， ∵∠AFD=∠BFE=∠C， 又∵∠ADF=∠BDC=90°， ∴△ADF∽△BDC，故选项B正确； ∵∠BDC＝∠AEC＝90°， ∴∠BCD=∠ACE， ∴△BDC∽△AEC， ∴∠DBC＝∠EAC，故选项C正确； ∵， ∴， ∵△BFE∽△BCD， ∴， ∴， ∵∠BDC=∠AEB=90°， 若△ABE∽△BCD， 满足条件， 即， ∴满足即， 连结FC， 应有△CEF∽△BDC， ∵∠FEC=∠CDB， ∴只要满足∠FCE=∠DBC， 应满足BF=FC，由AE⊥BC，需有点E为BD中点， 已知中没有点E为BD中点条件， ∴△BAE不一定与△BCD相似， 故选项D不正确． 【点睛】本题考查三角形相似的判定，掌握相似的判定定理，结合反证法的思想证明不一定相似的选项是解题关键 7. 下列说法中，正确的是（ ） A. 对于函数，随的增大而减小 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 若，且，则 D. 直线是函数图象的对称轴 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质、矩形的判定、相似三角形的性质、二次函数的对称轴，解题的关键是熟练掌握各知识点的定义与性质，逐一分析选项的正确性． 分别根据反比例函数的单调性、矩形的判定定理、相似三角形的面积比与相似比的关系、二次函数的对称轴公式，对每个选项进行分析判断． 【详解】解：A. 对于函数，在每一个象限内，随的增大而减小，故原命题错误，不符合题意； B. 对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意； C. 若，且，则，正确，符合题意； D. 直线是函数图象的对称轴，故原命题错误，不符合题意， 故选：C． 8. 为控制物价上涨，有关部门进行多项举措，某种药品经过两次降价，每盒由原来的28.8元降至20元，求平均每次的降价率是多少？假设这两次降价率相同，设每次降价率为x，可列方程为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意找出等量关系列出方程即可． 【详解】解：设每次降价率为x，可列方程为：． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用和增长率（降低率）相关问题，掌握一元二次方程解决增长率问题的公式模型是解题的关键．设变化前的量为a，变化后的量为b，变化率为x，则． 9. 抛物线的大致图象如图所示，则下列说法中错误的是（　　） A. B. C. 当时，，若，则 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线开口向上得到，利用抛物线的对称轴方程得，利用抛物线与y轴的交点位置得到，则可对A进行判断；利用抛物线的对称性得到时，，可判断B，求出的范围可判断C，由题意可得当时，y有最大值为可判断D． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线x＝＝1， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴， ∴， ∴，故选项A不合题意； ∵时，，对称轴为， ∴时，， ∴， ∴， ∴，故选项B不合题意； ∵当时，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，故选项C不合题意； ∵当时，y有最大值为， ∴， ∴，故选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型． 10. 边长为4的正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E在BD上，作EF⊥CE交AB于点F，连接CF交BD于H，则下列结论：①EF=EC；②；③；,④若BF=1，则，正确的是（ ） A. ①②④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】①由“”可证，可得，，由四边形的内角和定理可证，可得； ②通过证明，可得； ③通过证明，可得，通过证明，可得，可得结论； ④通过证明，可得，即可求解． 【详解】如图，连接， 四边形是正方形， ，， 又， ， ，， ， ， ， 又， ， ， ，故①正确； ，， ， ， 又， ， ， ，故②正确； ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，故③正确； ，， ，， ， ， 又， ， ， ， ，故④正确， 故选：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 第二部分 非选择题 二、填空题（每小题3分，共15分，请把答案填到答题卷相应位置上） 11. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的运算，分式的化简求值，正确掌握设参数表示比值是解题的关键． 先根据比例关系设参数表示变量，再代入分式化简，即可求解． 【详解】解：设 （）， 则 ，，， ． 故答案为 ． 12. 已知是方程的根，则的值为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】把代入到方程中得到关于k的方程，解方程即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴． 解得：． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 13. 在某一时刻，一根长为的竹竿投影在地面上的影长是，此刻测得旗杆投影在地面上的影长是，则旗杆的高度为______． 【答案】18 【解析】 【分析】利用在同一时刻竹竿与影长成比例得出比例式，即可得出结果． 【详解】解：设旗杆高度为． 根据在同一时刻物高与影长成比例可得：， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用；根据同一时刻竹竿与影长成比例得出比例式是解决问题的关键． 14. 如图，将一副三角板拼在一起，E为的中点，将沿翻折得到，连接，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质、含特殊角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关性质是解题的关键． 设与相交于点F，由直角三角形的性质及折叠的性质得出D，E，F三点在一条直线上，求出和的长，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：设与相交于点F， 由题意知，， ∵将沿翻折得到，连接， ， ∵E为的中点， ∴， ∴ 和为等边三角形， ， ， ， ， ∵，， ， ， ∴点F是的中点， 又为等腰直角三角形， ，， ∴D，E，F三点在一条直线上， ． 故答案为：． 15. 如图，直线y＝x与y＝（x＞0）的图象交于点A，点B为y轴负半轴上一点，S△AOB＝+1，点C在x轴正半轴上，且OC＝OB，连接BC，BA＝BC，则k＝_____． 【答案】2 【解析】 【分析】设OB＝OC＝a，则点B（0，−a），BC＝，由得到，由BC＝AB得到，求出m，然后将m代入求出，进而求出即可得解． 【详解】解：设OB＝OC＝a，则点B（0，−a），BC＝， 设点A的坐标为（m，m），则k＝， ∴， ∴，即， ∵ ∴由BC＝AB得，即， 解得：（负值已舍去）， 将值代入得：， 解得：， ∴，即k＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，二次根式的混合运算，解一元二次方程等知识点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强． 三、解答题（第16题5分，第17题8分，第18题7分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分） 16. 计算：． 【答案】6 【解析】 【分析】分别计算零指数幂、负整数指数幂、去绝对值和特殊角的三角函数值，然后按照去括号、先乘除后加减的顺序依次计算即可得出答案． 【详解】解： ． 【点睛】此题考查实数的混合运算，包含零指数幂、负整数指数幂、绝对值和特殊角的三角函数值四类运算．熟练掌握相关运算的运算法则以及整体的运算顺序是解决问题的关键． 17. （1）解方程：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法，公式法解一元二次方程组．熟练掌握因式分解法，公式法解一元二次方程组是解题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程组即可； （2）利用公式法解一元二次方程组即可． 【小问1详解】 解：， ， ∴或， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， ∴， 解得，． 18. 在一个不透明的箱子中装有形状、大小都一样的小球，其中红色小球有个，蓝色小球有个． （1）从箱子中任意摸出一个小球，恰好是红色的概率为______ ； （2）从箱子中任意摸出两个小球，两个小球颜色恰好不同的概率为______ ； （3）将摸出的小球全部放回后，又放入个蓝色小球，摇晃均匀后任意摸出一个，记下颜色后放回，经过大量反复地实验，发现摸到蓝色小球的频率约为，则 ______． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由于是任意摸出一个小球，根据红色小球和蓝色小球的个数，即可得到结论 （2）列表得出所有等可能的结果，从中找出符合条件的结果数，再利用概率公式求解即可 （3）根据概率公式列出方程，解方程即可 【小问1详解】 从箱子中任意摸出一个小球，恰好是红色的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 列表如下： 红 红 红 蓝 红 红，红 红，红 蓝，红 红 红，红 红，红 蓝，红 红 红，红 红，红 蓝，红 蓝 红，蓝 红，蓝 红，蓝 由表知，共有种等可能结果，其中两个小球颜色恰好不同的有种结果， 所以两个小球颜色恰好不同的概率为， 故答案为：． 【小问3详解】 根据题意得：， 解得：， 经检验是分式方程的解， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了概率公式及用频率估计概率，熟练掌握概率公式及列出等可能事件的个数是解题的关键 19. 如图，的对角线，交于点，，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）2 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质与已知得出AB＝OB，易证四边形ABOE是平行四边形，即可得出结论； （2）连接BE，交OA于F，由菱形的性质得OA⊥BE，AF＝OF＝OA＝1，BF＝EF＝BE，由菱形的面积求出BE＝4，则BF＝2，由勾股定理得出OB＝＝，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD＝BD， ∵BD＝2AB， ∴AB＝OB， ∵AE∥BD，OE∥AB， ∴四边形ABOE是平行四边形， ∵AB＝OB， ∴四边形ABOE是菱形； （2）解：连接BE，交OA于F，如图所示： ∵四边形ABOE是菱形， ∴OA⊥BE，AF＝OF＝OA＝1，BF＝EF＝BE， ∵S四边形ABOE＝4， S四边形ABOE＝OA•BE＝×2×BE＝BE， ∴BE＝4， ∴BF＝2， ∴OB＝＝＝， ∴BD＝2OB＝2． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、菱形面积的计算等知识，熟练掌握平行四边形和菱形的判定与性质是解题的关键． 20. 2020年6月1日上午，国务院总理李克强在山东烟台考察时表示，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机．王叔叔在翻身路做起了地摊生意，他以每件40元的价格购进一种商品，在销售过程中发现这种商品每天的销售量（件）与每件的销售单价（元）满足一次函数关系：． （1）若设利润为w元，请求出w与x的函数关系式． （2）若每天的销售量不少于44件，则销售单价定为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当销售单价定为48元时获得最大利润352元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用（利润问题），解题的关键是根据利润公式建立函数关系式，再结合二次函数的性质和销售量的限制条件求解最值． （1）根据“利润=（单价-进价）×销售量”，结合已知的进价、单价与销售量的函数关系，推导利润与单价的函数关系式； （2）先根据“销售量不少于44件”的条件求出x的取值范围；再将利润函数化为顶点式，结合二次函数的增减性，在取值范围内求最大利润及对应的销售单价． 【小问1详解】 解：由题： =； 【小问2详解】 解：由题：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，最大，且最大为， 答：当销售单价定为48元时获得最大利润352元． 21. （1）阅读下列材料，填空： 如图1，已知点C为线段中点，，求证：． 证明：作交延长线于点F 则 ， 为中点， ， ． ． ， ______ ． （2）如图2，为的中线，为线段上一点，，为线段上一点，且． 求证：． 若，，当是以为腰的等腰三角形时，求线段的长． 【答案】（1），；（2）①见解析；②或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，构造出直角三角形是解题的关键 （1）根据平行线的性质、等量代换补全证明过程即可． （2）利用等式的性质判断出，同（1）的方法得，即可得出结论； Ⅰ、当时，可得到，求出，即可得出结论： Ⅱ、当时，先判断出点E，F重合，再判断出，然后用勾股定理求解，即可得出结论． 【详解】（1）证明：作交延长线于点F 则， 中点， ， ． ． ， ． （2），， ， ， ， 同（1）的方法得， ， ， ； 为的中线， ，， 是以为腰的等腰三角形， Ⅰ、当时， ， ， 由知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； Ⅱ、当时，如图， 是的中线， ，，， 是的垂直平分线， ， 点，重合， 由知，， ， ， 设，则， ， 在中，根据勾股定理得，， ， ， ， 综上所述，线段的长为或． 22. 如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，，点是线段上一动点，作交线段于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，延长线段交抛物线于点，点是边中点，当四边形为平行四边形时，求出点坐标； （3）如图2，为射线上一点，且，将射线绕点逆时针旋转，交直线于点，连接，为的中点，连接，，问：是否存在最小值，若存在，请求出这个最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）或； （3）存在，． 【解析】 【分析】（1）用待定系数法解题； （2）由已知点P的横坐标为，可得点P和点D的坐标，用m的代数式表示PD和DE，根据平行四边形对边相等的性质，列出m的方程即可； （3）证明点P在直线上运动，再利用轴对称的性质解决最短路径问题． 【小问1详解】 解：∵点， ∴， 在中，， ∴， ∴，， ∴， 把点，，代入抛物线中得 ，解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 如图中，连接，， ∵，，， ， ∴， ∴直线的解析式为，设， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 把点的坐标代入， 得到，，解得或， ∴或． 【小问3详解】 如图，过点作于，过点作于，过点作于，连接， 设，则， ∵，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹是直线， 作点关于直线是对称点，连接交直线于， 连接，此时的值最小， 最小值． 【点睛】本题考查二次函数综合运用，涉及待定系数法求解析式、平行四边形的性质、等边三角形的性质、勾股定理、利用轴对称求最值问题等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $