专题10.4 平面与平面间的位置关系(7大题型+能力提升）讲义-2025-2026学年高二上学期数学沪教版必修第三册

2025-2026学年高二数学必修三同步培优讲义【精英班课程】 专题10.4 平面与平面间的位置关系 知识点一、两个平面的位置关系：______________________ 知识点二、平面与平面平行的判定与性质 1、平面与平面平行的判定定理: 如果_____________________，那么这两个平面平行 2、平面与平面平行的性质定理: 两个平面平行，如果_________，那么__________ 该定理提供了证明线线平行的另一种方法，应用时要紧扣与两个平行平面都相交的第三个平面； 知识点三、平面与平面重直的判定与性质 1、平面与平面垂直的定义:两个平面相交，如果__________，就说这两个平面互相垂直，平面α与β垂直. 2、平面与平面垂直的判定定理: 如果__________，那么这两个平面垂直 3、平面与平面垂直的性质定理: 如果两个平面垂直，那么_____________ 题型1：平面与平面平行的判定 【例1】下列说法正确的 ．（填序号） ①如果一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行； ②如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行； ③分别在两个平行平面内的两条直线互相平行； ④过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面平行． 【跟踪训练】 1．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使α、β都平行于γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l，m，使得lα，lβ，mα，mβ..其中可以判断两个平面α与β平行的条件有 个． 2．在下列条件中，可判断平面与平行的是（ ） A．， B．m，n是两条异面直线，且，，， C．m，n是内的两条直线，且， D．内存在不共线的三点到的距离相等 题型2：平面与平面平行的性质 【例2】已知平面，，直线，若，，则直线与平面的位置关系为______. 【例3】已知直线l与平面α，β，γ依次交于点A，B，C，直线m与平面α，β，γ依次交于点D，E，F，若αβγ，AB=EF=3，BC=4，则DE=________. 【跟踪训练】 1．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则是异面直线 D．若，，，则 2．在空间中，设是不同的直线，表示不同的平面，则下列命题正确的是 （ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．已知平面α∥平面β，P是α、β外一点，过P点的两条直线PAC、PBD分别交α于A、B，交β于C、D，且PA=6，AC=9，AB=8，则CD的长为___________． 题型3：证明面面平行 【例4】正方体中，、分别为、的中点，、分别是、的中点． (1)求证：E、F、B、D共面； (2)求证：平面平面． 【跟踪训练】 1．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是线段B1D1上的一个动点，E，F分别是BC，CM的中点． (1)求证：EF平面BDD1B1； (2)设G为棱CD上的中点，求证：平面GEF平面BDD1B1． 题型4：平面与平面垂直的判定 【例5】已知是两个不同的平面，是平面及之外的两条不同的直线，给出下列四个论断： ①；②；③；④. 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题： .（用序号表示） 【例6】在正方体中，直线、分别在平面和内，且，则下列命题中正确的是（    ） A．若垂直于，则垂直于 B．若垂直于，则不垂直于 C．若不垂直于，则垂直于 D．若不垂直于，则不垂直于 【跟踪训练】 1．空间四边形ABCD中，，，是AC的中点，则平面BDE与平面ABC的位置关系是 . 2．如图，已知矩形ABCD所在的平面，则下列说法中正确的是 ．（写出所有满足要求的说法序号） ①平面PAD⊥平面PAB；        ②平面PAD⊥平面PCD； ③平面PBC⊥平面PAB；        ④平面PBC⊥平面PCD． 3．设为两个平面，则的充要条件是（    ） A．垂直于同一条直线 B．内有两条直线与内无数条直线垂直 C．内有一条直线与垂直 D．垂直于同一平面 4．若为一条直线，为三个互不重合的平面，给出下面四个命题：①，；②，；③，：④，．其中正确命题的序号有 ． 5．设m,n是两条不同的直线,是三个不同的平面,给出如下命题： ①若则； ②若,则； ③若,则； ④若则. 其中正确命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型5：平面与平面垂直的性质 【例7】设，为两个不重合的平面，m，n为两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若，，则；②若，，，，则；③若，，，则；④若，，与相交且不垂直，则n与m不垂直，其中所有假命题的序号是（ ） A．①③ B．②③④ C．①④ D．②③ 【跟踪训练】 1．已知，，为空间里不重合的三条直线，，为空间里不重合的两个平面，则下列判断正确的是（ ） A．若，，，则 B．若，，，，则 C．若，，，，则 D．若，，，，，则 2．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 3．如图：已知平面.满足 求证： 4．如图，在长方体中，，，，分别是平面，平面的中心，则点到直线距离为__. 题型6：证明面面垂直 证明面面垂直的核心思维：寻找其中一个平面的垂线（及其平行线） 【例8】如图，在三棱锥S—ABC中，SC⊥平面ABC，点P、M分别是SC和SB的中点，设PM=AC=1，∠ACB=90°，直线AM与直线SC所成的角为60°. (1)求证：平面MAP⊥平面SAC. (2)求二面角M—AC—B的平面角的正切值； 宁夏银川一中2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题 【例9】如图，四棱锥的底面为正方形，底面，分别是的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【例10】如图，四棱柱的底面为菱形，底面，，，，分别为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若AA1=2，求二面角的正弦值． 【例11】如图所示，已知平面ACD，平面ACD，为等边三角形，，F为CD的中点.求证： (1)平面BCE； (2)平面平面CDE. 题型7：空间中面面平行与垂直关系探索 找面的经验：任何一对互相平行平面，和第三个平面相交，交线互相平行 【例12】如图，在四棱柱中，点M是线段上的一个动点，E，F分别是的中点. (1)设G为棱上的一点，问：当G在什么位置时，平面平面？ (2)设三棱锥的体积为，四棱柱的体积为，求. 【例13】如图，在四棱锥中，底面四边形是平行四边形，分别为棱的中点. (1)证明：平面； (2)在底面四边形内部（包括边界）是否存在点，使得平面平面？如果存在求点的位置，并求的最大值，如果不存在请说明理由. 【例14】如图，在正方体中，点E，F，M分别是棱的中点. (1)求证：E、M、B、D四点共面； (2)是否存在过点E，M且与平面平行的平面?若存在，请作出这个平面并证明，若不存在，请说明理由. 【例15】如图，在正方体中，E为的中点． (1)求证：∥平面； (2)上是否存在一点，使得平面∥平面，若存在请说明理由． 【例16】直三棱柱中，，，，点是线段上的动点. （1）当点是的中点时，求证：平面； （2）线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，试求出的长度；若不存在，请说明理由. 一、填空题 1．若夹在两个平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面的位置关系为________． 2．已知点S是正三角形ABC所在平面外一点，点D，E，F分别是SA，SB，SC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是________． 3．已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面命题： ①m∥n，m⊥α⇒n⊥α； ②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n； ③α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β. 其中正确命题的序号是________． 4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面AA1C1C与平面C1BD的位置关系是________． 5．已知直线a，b，平面α，β，下列命题： ①若a∥b，a⊥α，则b⊥α； ②若α∥β，a⊥α，则a⊥β； ③若a∥α，a⊥β，则α⊥β； ④若a⊥α，α⊥β，则α∥β 其中真命题是(　　) A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 6．已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列四个结论： ①若l⊂β，且α⊥β，则l⊥α；②若l⊥β，且α∥β，则l⊥α； ③若l⊥β，且α⊥β，则l∥α；④若α∩β＝m，且l∥m，则l∥α. 则所有正确结论的序号是________． 7．设a，b是两条不同直线，，是两个不同平面，给出下列四个命题： ①若，，，则；②若，，则；③若，，则或；④若，，，则．其中正确的命题是 ． 8．在棱长为的正方体中，点分别是、、的中点，则过线段且平行于平面的截面图形的周长为 . 9．如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，①平面AEND；②平面ABFE；③平面平面AFN；④平面平面以上四个命题中，正确命题的序号是 . 10．已知长方体中，，点M为的中点，且，则平面被长方体截得的平面图形的周长为 ． 11．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，分别为的中点，点在棱上，且平面，则 ．    12．如图，点为正方形边上异于点的动点，将沿翻折成，使得平面平面，则下列说法中正确的是 .(填序号)     （1）在平面内存在直线与平行；   （2）在平面内存在直线与垂直 （3）存在点使得直线平面 （4）平面内存在直线与平面平行. （5）存在点使得直线平面 二、选择题 13．如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′.若PA′∶AA′＝2∶5，则△A′B′C′与△ABC的面积比为(　　) A.2∶5 B．2∶7 C．4∶49 D．9∶25 14．(2021·唐山高一检测)如图，在三棱锥S­ABC中，∠SBA＝∠SCA＝90°，且△ABC是斜边AB＝a的等腰直角三角形，给出下列结论中，正确的是(　　) A.SB⊥AC B．SB⊥平面ABC C．平面SBC⊥平面SAC D．点C到平面SAB的距离为a 15．已知两条直线与两个平面、，且，，则下列说法正确的是（    ） ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则 A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 16．如图，正四面体ABCD中，E，F分别是线段AC的三等分点，P是线段AB的中点，G是线段BD上的动点，则（    ） A．存在点G，使PG⊥EF成立 B．存在点G，使FG⊥EP成立 C．不存在点G，使平面EFG⊥平面ACD成立 D．不存在点G，使平面EFG⊥平面ABD成立 三、解答题 17．如图，在正方体中，求证：平面平面． 18．如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，，，且，． (1)判断CD是否与平面PAD垂直，并证明你的结论； (2)求证：平面平面ABCD． 19．如图，三棱柱中，平面ABC，，点M，N分别是线段，的中点． (1)求证：平面平面； (2)设平面与平面的交线为l，求证：． 20．如图，在斜三棱柱中，四边形是边长为2的菱形，，为正三角形，平面平面，点P是棱的中点．    (1)求证：平面平面； (2)求与平面所成角． 21．如图所示，已知平面ACD，DE平面ACD，△ACD为等边三角形.，F为CD的中点. (1)证明：AF∥平面BCE. (2)证明：平面BCE⊥平面CDE. (3)在DE上是否存在一点P，使直线BP和平面BCE所成的角为 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学必修三同步培优讲义【精英班课程】 专题10.4 平面与平面间的位置关系 知识点一、两个平面的位置关系 位置关系 图示 表示法 公共点个数 两平面平行 α∥β 0个 两平面相交 α∩β＝l 无数个点(共线) 【说明】如何从有无公共点的角度理解两平面位置关系？如果两个平面有一个公共点，那么由公理3可知：这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面相互平行； 知识点二、平面与平面平行的判定与性质 1、平面与平面平行的判定定理 文字语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 符号语言 a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α 图形语言 【说明】（1）平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条相交直线”是必不可少的； （2）面面平行的判定定理充分体现了等价转化思想，即把面面平行转化为线面平行； 2、平面与平面平行的性质定理 文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b 图形语言 【说明】1、用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件：①平面α和平面β平行，即α∥β； ②平面γ和α相交，即α∩γ＝a；③平面γ和β相交，即β∩γ＝b，以上三个条件缺一不可． 2、已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线． 3、该定理提供了证明线线平行的另一种方法，应用时要紧扣与两个平行平面都相交的第三个平面； 知识点三、平面与平面重直的判定与性质 1、平面与平面垂直的定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，平面α与β垂直，记作α⊥β． 2、平面与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直 符号语言 ⇒α⊥β 图形语言 【说明】定理的关键词是“过另一个平面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另一个平面的垂线． 3、平面与平面垂直的性质定理 文字语言 如果两个平面垂直，那么其中一个平面上垂直于两平面交线的直线与另一个平面垂直 符号语言 ⇒a⊥β 图形语言 【说明】对面面垂直的性质定理的理解；1、用于面面垂直⇒线面垂直；2、作面的垂线；3、定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直；4、已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直； 题型1：平面与平面平行的判定 【例1】下列说法正确的 ．（填序号） ①如果一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行； ②如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行； ③分别在两个平行平面内的两条直线互相平行； ④过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面平行． 【答案】②④ 【分析】根据平面平行的判定和性质，结合选项，进行逐一分析即可． 【解析】对①：只有一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，那么有两个平面平行，故①错误； 对②：根据平面平行的判定定理，显然成立，故②正确； 对③：在两个平行平面内的两条直线，可以平行，也可以为异面直线，故③错误； 对④：根据平面平行的判定定理，显然成立，故④正确. 综上所述，正确的有②④， 故答案为：②④. 【跟踪训练】 1．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使α、β都平行于γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l，m，使得lα，lβ，mα，mβ..其中可以判断两个平面α与β平行的条件有 个． 【答案】2 【分析】举反例否定①③，进而得到可以判断两个平面α与β平行的条件为②④. 【解析】如图取α、β、γ，易知α⊥γ，β⊥γ，但是α与β相交，不平行，故排除①； 若存在平面γ，使α、β都平行于γ，则可以判断两个平面α与β平行.②是正确的； 若α与β相交，如图所示，, ，且l与m，n两直线等距离， 则α内不共线的三点A，B，C到β的距离相等. 所以排除③； 存在异面直线l，m，使得lα，lβ，mα，mβ. 则可以判断两个 平面α与β平行. ④是正确的． 故答案为：2 2．在下列条件中，可判断平面与平行的是（ ） A．， B．m，n是两条异面直线，且，，， C．m，n是内的两条直线，且， D．内存在不共线的三点到的距离相等 【答案】B 【分析】根据面面的位置关系和面面平行的判定定理逐一判断选项即可. 【详解】对于A选项：若，，则平面与平行或相交，故A不正确； 对于B选项： 在直线n.上取一点Q，过点Q作直线m的平行线m'，所以m'与n是两条相交直线， 所以，，且，根据面面平行的判定定理可得，所以B正确. 对于C选项：若m，n是内的两条直线，且，，则根据面面平行的判定定理可得，平面与平行或相交，所以C不正确. 对于D选项：若内不共线的三点到的距离相等，则根据面面的位置关系可得：平面与平行或相交，故D不正确. 故选：B. 题型2：平面与平面平行的性质 【例2】已知平面，，直线，若，，则直线与平面的位置关系为______. 【答案】 【分析】根据面面平行的性质即可判断. 【详解】若，则与没有公共点， ，则与没有公共点，故. 故答案为：. 【点睛】本题考查面面平行的性质，属于基础题. 【例3】已知直线l与平面α，β，γ依次交于点A，B，C，直线m与平面α，β，γ依次交于点D，E，F，若αβγ，AB=EF=3，BC=4，则DE=________. 【答案】 【分析】连结，交于，从而利用两平行平面的性质定理得线线平行，再由平行直线分线段成比例定理即可得解． 【详解】连结，交平面于点，连结，，，，如图所示． ，与确定一个平面，设为， ，，且， ， ． 同理可证， ， ． ． 故答案为： 【点睛】本题考查了面面平行的性质定理的应用，考查了平行直线分线段成比例定理，属于基本知识的考查． 【跟踪训练】 1．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则是异面直线 D．若，，，则 【答案】A 【分析】利用线面垂直的判定，线面平行的判定，线线的位置关系及面面平行的性质逐一判断即可. 【详解】对于A，垂直于同一个平面的两条直线互相平行，故A正确. 对于B，若，，则或，故B错误. 对于C，若，，则位置关系为平行或相交或异面，故C错误. 对于D，若，，，则位置关系为平行或异面，故D错误. 故选：A 【点睛】本题主要考查了线面垂直的性质，线面平行的判定和面面平行的性质，属于简单题. 2．在空间中，设是不同的直线，表示不同的平面，则下列命题正确的是 （ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】由面面平行和线面平行的性质可判断A；由面面垂直和线面垂直的性质可判断B；由面面垂直和线面平行的性质可判断C；由面面垂直和线面垂直的性质可判断D. 【详解】对于A，若，可得或，故A错误； 对于B，若，可得或，故B错误； 对于C，若，则，或，或与相交，故C错误； 对于D，若，则，正确. 故选：D. 【点评】本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，主要是平行和垂直的关系，考查空间想象能力和推理能力，属于基础题. 3．已知平面α∥平面β，P是α、β外一点，过P点的两条直线PAC、PBD分别交α于A、B，交β于C、D，且PA=6，AC=9，AB=8，则CD的长为___________． 【答案】20或4； 【分析】由面面平行，可得线线平行，，在利用相似三角形的相似比可得的长 【详解】解：如图所示，因为平面平面， 所以，， ． 当在平面与平面之间时， ． 故答案为：20或4． 【点睛】面面平行的性质定理的应用问题，往往涉及面面平行的判定，线面平行的判定与性质的综合应用．解题时，要注意三种平行关系之间的相互转化． 题型3：证明面面平行 【例4】正方体中，、分别为、的中点，、分别是、的中点． (1)求证：E、F、B、D共面； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）根据题意证明，即可得结果； （2）根据线面、面面平行的判定定理分析证明. 【解析】（1）连接，由题意可得：分别为的中点，则， ∵，，则为平行四边形， ∴， 则，故E、F、B、D共面. （2）由题意可得：分别为的中点，则， ∵，则，且平面，平面， ∴平面， 连接，由题意可得：分别为的中点，则，， ∵，，则，，即为平行四边形， ∴， 平面，平面， ∴平面， ，平面， 故平面平面. 【跟踪训练】 1．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是线段B1D1上的一个动点，E，F分别是BC，CM的中点． (1)求证：EF平面BDD1B1； (2)设G为棱CD上的中点，求证：平面GEF平面BDD1B1． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面平行的判定定理求证即可； （2）根据面面平行的判定定理证明即可． 【解析】（1）证明：在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，连接BM，如图， 因E，F分别是BC，CM的中点， 则有EFBM， 又EF平面BDD1B1，BM平面BDD1B1， 所以EF平面BDD1B1． （2）证明：取CD的中点G，连接EG，FG，如图， 而E是BC的中点， 于是得EGBD， 而EG平面BDD1B1，BD平面BDD1B1， 从而得EG平面BDD1B1， 由（1）知EF平面BDD1B1， EFEG＝E，且EF、EG平面GEF， 因此，平面GEF平面BDD1B1， 所以当G是DC的中点时， 平面GEF平面BDD1B1． 题型4：平面与平面垂直的判定 【例5】已知是两个不同的平面，是平面及之外的两条不同的直线，给出下列四个论断： ①；②；③；④. 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题： .（用序号表示） 【答案】①③④②(或②③④①) 【分析】已知①③④时，将平移到相交位置，根据线面垂直的判定与性质以及直二面角的定义可推出②；已知②③④时，根据直二面角的定义可推出①. 【解析】若，，，则. 证明：过平面和平面外一点，作，交于，作，交于， 则，，， 显然与不平行，设，则，， 因为，平面，所以平面， 延展平面交于点，连，则，， 则是二面角的一个平面角， 因为，，所以，同理有， 又，所以四边形为矩形，则， 则平面和平面形成的二面角的平面角直二面角，故，    若，，，则. 证明：因为，所以与所成的二面角为， 因为，，所以直线所成的角也为，即. 若，，，则与相交或或. 若，，，则与相交或或. 故答案为：①③④②(或②③④①). 【例6】在正方体中，直线、分别在平面和内，且，则下列命题中正确的是（    ） A．若垂直于，则垂直于 B．若垂直于，则不垂直于 C．若不垂直于，则垂直于 D．若不垂直于，则不垂直于 【答案】C 【分析】根据线面垂直的判定定理及直线位置关系来判定选项即可. 【解析】AB选项，若垂直于，由面面，面面，可得垂直于面， 即面内的所有直线均与垂直，而可能垂直于，也可能不垂直于，故A错误，B错误； CD选项，若不垂直于，则为面内的两条相交直线，由题可知，，则垂直面，又面，所以垂直于，故C正确，D错误. 故选：C 【跟踪训练】 1．空间四边形ABCD中，，，是AC的中点，则平面BDE与平面ABC的位置关系是 . 【答案】垂直 【分析】由题意AC⊥BE，AC⊥DE，可得AC⊥平面BDE，从而平面BDE⊥平面ABC． 【解析】 如图，∵AB＝BC，CD＝DA，E是AC的中点， ∴AC⊥BE，AC⊥DE， 又BE∩DE＝E，BE,DE平面BDE， ∴AC⊥平面BDE， ∵AC平面ABC，∴平面BDE⊥平面ABC． 故答案为：垂直． 2．如图，已知矩形ABCD所在的平面，则下列说法中正确的是 ．（写出所有满足要求的说法序号） ①平面PAD⊥平面PAB；        ②平面PAD⊥平面PCD； ③平面PBC⊥平面PAB；        ④平面PBC⊥平面PCD． 【答案】①②③ 【分析】根据线面垂直的性质定理及面面垂直的判定定理证明判断即可． 【解析】①由矩形ABCD所在的平面，所以， 又，且，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面，故①正确； ②由矩形ABCD所在的平面，所以， 又，且，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面，故②正确； ③由矩形ABCD所在的平面，所以， 又，且，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面，故③正确； ④依题意得，若平面PBC⊥平面PCD，作交于，平面PBC平面PCD，所以平面PCD，又平面，所以, 因为，平面，所以平面，因为平面，所以,与矛盾，故④错误． 故答案为：①②③． 3．设为两个平面，则的充要条件是（    ） A．垂直于同一条直线 B．内有两条直线与内无数条直线垂直 C．内有一条直线与垂直 D．垂直于同一平面 【答案】C 【分析】逐项分析选项中的直线，平面的位置关系，选出充要条件. 【解析】对于A项，，垂直于同一条直线则两个平面平行，A项错误； 对于B项，如图长方体中，平面中直线，直线与平面中平行于直线的无数条直线都垂直， 但是平面与平面不垂直，B项错误； 对于C项，平面过垂直于的直线，则；反之，若，在内作垂直于交线的直线垂直于，C项正确； 对于D项，如图长方体中，平面与平面都垂直于平面，但是平面与平面不垂直，D项错误. 故选：C. 4．若为一条直线，为三个互不重合的平面，给出下面四个命题：①，；②，；③，：④，．其中正确命题的序号有 ． 【答案】①③ 【分析】依据直线与平面、平面与平面的位置关系，找出反例逐一分析，即可得出答案. 【解析】 若，则又因为,所以则，①正确. 如果是长方体相对的两侧面,则它们都垂直底面,但这两个平面互相平行,故也可能平行,②不正确. ,则存在,,则由面面垂直的判定定理,③正确. 如果是长方体相邻的两侧面,为长方体不在这两个面内的侧棱, ,,也可能相交,④不正确. 综上，正确的命题的序号是①③. 故答案为:①③. 5．设m,n是两条不同的直线,是三个不同的平面,给出如下命题： ①若则； ②若,则； ③若,则； ④若则. 其中正确命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据线面平行,线面垂直,以及面面平行和面面垂直的判定和性质,逐个选项进行分析,可得答案. 【解析】根据平面与平面垂直的性质知①正确； 对于②中,α,β可能平行,也可能相交,不正确； 对于③中,时,只可能有,正确； 对于④中,m与的位置关系可能是或或m与相交,不正确．综上,可知正确命题的个数为2. 故选：B． 题型5：平面与平面垂直的性质 【例7】设，为两个不重合的平面，m，n为两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若，，则；②若，，，，则；③若，，，则；④若，，与相交且不垂直，则n与m不垂直，其中所有假命题的序号是（ ） A．①③ B．②③④ C．①④ D．②③ 【答案】C 【分析】①由线面关系判断；②由面面垂直的性质定理判断；③由线面垂直的判定定理判断；④举例判断. 【详解】①若，，则或，故错误； ②由面面垂直的性质定理知：若，，，，则，故正确； ③由线面垂直的判定定理知：若，，，则，又，则，故正确； ④如图：平面，平面，而，故错误； 故选：C 【跟踪训练】 1．已知，，为空间里不重合的三条直线，，为空间里不重合的两个平面，则下列判断正确的是（ ） A．若，，，则 B．若，，，，则 C．若，，，，则 D．若，，，，，则 【答案】D 【分析】利用线线，线面，面面的位置关系，判断选项. 【详解】A有可能是，故A不对；B不知道，是否是相交的位置关系,故B不正确；C可能是，故C不正确；根据面面垂直性质定理和线面垂直的性质，可知D正确. 故选：D. 2．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】D 【分析】举出反例可以判断ABC选项，根据线面垂直的性质和判断可以判断D. 【详解】对于A，如下图长方体中，，，则，错误； 对于B， 如下图长方体中， ，，则不与垂直，错误； 对于C，如下图长方体中， ，，，则不与垂直，错误； 对于D， 若，，则， 因为，所以，正确. 故选：D. 3．如图：已知平面.满足 求证： 【分析】设，在平面内取一点，过作于，过作于C，则可证得，，从而可证得，，进而可证得 【详解】证明：设， 在平面内取一点，过作于，过作于C. 且， 又，， 又，， 同理可证， 又且， 4．如图，在长方体中，，，，分别是平面，平面的中心，则点到直线距离为__. 【答案】. 【分析】连接，，，根据题中条件，计算的边长和面积，利用面积公式求出到的距离. 【详解】连接，，， ，分别是平面，平面的中心， 是的中位线，， 平面，， ，同理可得， ，， ， 设点到直线距离为，则， . 故答案为：. 【点睛】本题考查了空间距离的计算，考查空间垂直的转化，属于基础题. 题型6：证明面面垂直 证明面面垂直的核心思维：寻找其中一个平面的垂线（及其平行线） 【例8】如图，在三棱锥S—ABC中，SC⊥平面ABC，点P、M分别是SC和SB的中点，设PM=AC=1，∠ACB=90°，直线AM与直线SC所成的角为60°. (1)求证：平面MAP⊥平面SAC. (2)求二面角M—AC—B的平面角的正切值； 宁夏银川一中2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知可证BC⊥平面SAC，又PM∥BC，则PM⊥面SAC，从而可证平面MAP⊥平面SAC； （2）由AC⊥平面SBC，可得∠MCB为二面角M—AC－B的平面角，过点M作MN⊥CB于N点，连接AN，则∠AMN=60°，由勾股定理可得，在中，可得，从而在中，即可求解二面角M—AC—B的平面角的正切值. (1) 证明：∵SC⊥平面ABC，∴SC⊥BC， 又∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，又ACSC=C， ∴BC⊥平面SAC， 又∵P，M是SC、SB的中点， ∴PM∥BC，∴PM⊥面SAC，又PM平面MAP， ∴平面MAP⊥平面SAC； (2) 解：∵SC⊥平面ABC，∴SC⊥AC，又AC⊥BC，BCSC=C， ∴AC⊥平面SBC， ∴AC⊥CM，AC⊥CB，从而∠MCB为二面角M—AC－B的平面角， ∵直线AM与直线PC所成的角为60°， ∴过点M作MN⊥CB于N点，连接AN， 则∠AMN=60°，在△CAN中，由勾股定理可得， 在中，， 在中，. 【例9】如图，四棱锥的底面为正方形，底面，分别是的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 甘肃省武威市凉州区2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）连接BD，根据线面平行的判定定理只需证明EF∥PD即可； （2）利用线面垂直的判定定理可得面，再利用面面垂直的判定定理即证． (1) 如图，连结，则是的中点，又是的中点， ∴， 又 ∵平面，面， ∴平面； (2) ∵底面是正方形， ∴ ， ∵平面，平面， ∴ ，又， ∴面，又平面， 故平面平面. 【例10】如图，四棱柱的底面为菱形，底面，，，，分别为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若AA1=2，求二面角的正弦值． 天津市红桥区2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）取的中点，连接证明，原题即得证； （2）连接,证明平面，原题即得证； （3）取CC1中点M，连接,证明即为二面角的平面角，再解三角形得解. (1) 证明：取的中点，连接    ，，，， ∴，．        ∴四边形是平行四边形．   ∴．          . 又平面，平面， ∴平面． (2) 证明：连接,在菱形中，∵，∴． ∴是等边三角形． ∴．        ∴．      又平面，∴．        又，平面，     ∴平面．           ∴平面平面．        (3) 解：取CC1中点M，连接,则ME//DC1//AB1，所以ME在平面B1AE内. 由平面，得平面CDD1C1，∴ME，ED1 即为二面角的平面角， 在中，，，， 所以,. 【例11】如图所示，已知平面ACD，平面ACD，为等边三角形，，F为CD的中点.求证： (1)平面BCE； (2)平面平面CDE. 西藏自治区拉萨中学2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取的中点，连接，由三角形中位线定理结合已知条件可证得四边形为平行四边形，则∥，再由线面平行的判定定理可证得结论， （2）由等边三角形的性质可得，由平面ACD，可得，则由线面垂直的判定可得平面，而∥，所以可得平面，然后由面面垂直的判定定理可证得结论 (1) 取的中点，连接， 因为F为CD的中点， 所以∥，， 因为平面ACD，平面ACD， 所以∥， 所以∥， 因为，所以， 所以四边形为平行四边形， 所以∥， 因为平面，平面， 所以∥平面， (2)因为为等边三角形，F为CD的中点，所以，因为平面ACD，平面ACD， 所以，因为，所以平面，因为∥， 所以平面，因为平面，所以平面平面 题型7：空间中面面平行与垂直关系探索 找面的经验：任何一对互相平行平面，和第三个平面相交，交线互相平行 【例12】如图，在四棱柱中，点M是线段上的一个动点，E，F分别是的中点. (1)设G为棱上的一点，问：当G在什么位置时，平面平面？ (2)设三棱锥的体积为，四棱柱的体积为，求. 江苏省无锡市天一中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题 【答案】(1)G为中点时，平面平面； (2) 【解析】 【分析】 （1）G为中点时，先证平面，再证平面，即可证得平面平面； （2）由，结合平面得即可求得. (1) G为中点时，平面平面，理由如下：连接，取的中点，连接， 因为E，F分别是的中点，则，平面，平面，则平面， 同理可得，平面，平面，则平面， 又，平面，则平面平面； (2) 由F是的中点得，又，平面，平面，则平面， 又点M是线段上的一个动点，则， 则，则. 【例13】如图，在四棱锥中，底面四边形是平行四边形，分别为棱的中点. (1)证明：平面； (2)在底面四边形内部（包括边界）是否存在点，使得平面平面？如果存在求点的位置，并求的最大值，如果不存在请说明理由. 湖北省问津联合体2021-2022学年高一下学期5月质量检测数学试题 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，理由见解析，的最大值为2 【解析】 【分析】 （1）作出辅助线，证明线线平行，从而得到线面平行； （2）取中点为，连接，，证明出面面平行，从而得到点的位置，且求出的最大值. (1) 证明：取的中点，连接. 中，分别为的中点，， 分别为的中点，，， 故四边形为平行四边形，， 平面平面，平面. (2) 解：取中点为，连接，， 在中，分别为的中点，， 平面平面，平面. 因为且，且、分别为、的中点，所以，且， 所以，四边形为平行四边形，，且， 平面平面，平面. 又，且平面，故平面平面. 所以点存在，且，即点在线段上移动，可使平面平面， 当点运动到时，此时的最大值，最大值为2. 【例14】如图，在正方体中，点E，F，M分别是棱的中点. (1)求证：E、M、B、D四点共面； (2)是否存在过点E，M且与平面平行的平面?若存在，请作出这个平面并证明，若不存在，请说明理由. 广东省广州市海珠外国语实验中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，图形见解析，证明见解析 【解析】 【分析】 （1）连接、，即可证明四边形为平行四边形，则，再由中位线的性质得到，即可得到，从而得证； （2）取靠近的四等分点，连接、，平面即为所求，取的中点，连接、，连接交于点，连接，即可证明、，从而得证； (1) 证明：连接、，在正方体中，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又是的中点，是的中点，所以， 所以，所以、、、四点共面； (2) 解：取靠近的四等分点，连接、，则平面平面，平面即为所求，图形如下所示， 证明：取的中点，连接、，连接交于点，连接， 依题意可得且，所以为平行四边形，所以 又为的中点，为的中点，所以， 所以，因为平面，平面，所以平面， 显然为靠近点的四等分点， 又，所以，因为平面，平面， 所以平面， 又，平面， 所以平面平面； 【例15】如图，在正方体中，E为的中点． (1)求证：∥平面； (2)上是否存在一点，使得平面∥平面，若存在请说明理由． 山西省大同市第二中学校2021-2022学年高一下学期期中数学试题 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，为的中点，理由见解析. 【解析】 【分析】 (1)连结交于，连结．由三角形的中位线定理、线面平行的判定定理即可证明； (2)上的中点即满足平面∥平面．由平行四边形的性质和线面平行的判定定理，以及面面平行的判定定理，可得证明． (1) 连结交于，连结． ∵为正方体，底面为正方形， ∴为的中点， ∵为的中点，在中，是的中位线， 所以， 又平面，平面， ∴∥平面； (2) 上的中点即满足平面∥平面． ∵为的中点，为的中点，∴，且， ∴四边形为平行四边形，∴， ∵平面，平面， ∴∥平面； 由(1)知∥平面， 又∵， ∴平面∥平面． 【例16】直三棱柱中，，，，点是线段上的动点. （1）当点是的中点时，求证：平面； （2）线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，试求出的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【试题分析】（1）连接，交于点，连接，则点是的中点，利用三角形的中位线有,，由此证得线面平行.（2）当时平面平面.利用，可证得平面，由此证得两个平面垂直.利用等面积法求得的长. 【试题解析】 （1）如图，连接，交于点，连接，则点是的中点， 又点是的中点，由中位线定理得， 因为平面，平面， 所以平面. （2）当时平面平面. 证明：因为平面，平面，所以． 又，，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 故点满足. 因为，，，所以， 故是以角为直角的三角形， 又，所以. 一、填空题 1．若夹在两个平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面的位置关系为________． 【解析】三条平行线段共面时，两平面可能平行也可能相交，当三条平行线段不共面时，两平面一定平行． 答案：平行或相交 2．已知点S是正三角形ABC所在平面外一点，点D，E，F分别是SA，SB，SC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是________． 【解析】由D，E，F分别是SA，SB，SC的中点，知EF是△SBC的中位线，所以EF∥BC.又因为BC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，所以EF∥平面ABC.同理DE∥平面ABC，又因为EF∩DE＝E，所以平面DEF∥平面ABC. 答案：平行 3．已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面命题： ①m∥n，m⊥α⇒n⊥α； ②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n； ③α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β. 其中正确命题的序号是________． 【解析】用线面垂直的性质和面面平行的性质可判断①③正确，②中m，n可能平行或异面． 答案：①③ 4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面AA1C1C与平面C1BD的位置关系是________． 【解析】因为BD⊥AC，BD⊥C1C，且AC∩C1C＝C， 所以BD⊥平面AA1C1C. 因为BD⊂平面C1BD，所以平面AA1C1C⊥平面C1BD. 答案：垂直 5．已知直线a，b，平面α，β，下列命题： ①若a∥b，a⊥α，则b⊥α； ②若α∥β，a⊥α，则a⊥β； ③若a∥α，a⊥β，则α⊥β； ④若a⊥α，α⊥β，则α∥β 其中真命题是(　　) A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【解析】选A.对于①，若a∥b，a⊥α，则由线面垂直的性质可得b⊥α，故①正确； 对于②，若α∥β，a⊥α，则由线面垂直的性质可得a⊥β，故②正确； 对于③，若a∥α，则存在a′⊂α，使得a∥a′，若a⊥β，则a′⊥β，则α⊥β，故③正确； 对于④，若a⊥α，α⊥β，则a∥β或a⊂β，故④错误． 6．已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列四个结论： ①若l⊂β，且α⊥β，则l⊥α；②若l⊥β，且α∥β，则l⊥α； ③若l⊥β，且α⊥β，则l∥α；④若α∩β＝m，且l∥m，则l∥α. 则所有正确结论的序号是________． 【解析】若l⊂β，α⊥β，则l，α可以平行或相交，l也可能在平面α内，故①错误；由面面平行的性质、线面垂直的判定方法，得②正确；若l⊥β，α⊥β则l∥α或l⊂α，故③错误；若α∩β＝m，l∥m，则l∥α或l⊂α，故④错误．所以正确结论的序号是②. 答案：② 7．设a，b是两条不同直线，，是两个不同平面，给出下列四个命题： ①若，，，则；②若，，则；③若，，则或；④若，，，则．其中正确的命题是 ． 【答案】①③④ 【分析】过直线a上一点作直线b的平行线，推理判断①；举例说明判断②；在平面内作与交线的垂线，推理判断③；利用①的结论结合已知推理判断④作答. 【解析】在直线a上取点A，过点A作直线，如图，因，则，直线确定平面，， 因，则，于是得，又，所以，①正确； 如图，长方体中，平面、平面分别视为，直线为直线a， 显然有，，而，②不正确； 因，则令，在平面内作直线，则，因，于是得， 而，当时符合条件，当时，，因此，或，③正确； 因，，由①知，在内存在直线，而，则，所以，④正确， 所以正确的命题序号是①③④. 故答案为：①③④ 8．在棱长为的正方体中，点分别是、、的中点，则过线段且平行于平面的截面图形的周长为 . 【答案】 【分析】结合面面平行性质定理画出截面图形，再求出截面图形的边长，即可得出答案. 【解析】取的中点为，连接，， 因为点分别是、、的中点， 由正方体性质可得，所以四点共面， 因为，平面，平面， 所以平面， 因为，， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面， 又，平面， 所以平面平面， 四边形即为经过线段且平行于平面的截面图， 正方体棱长为，所以，，，， 所以截面图形周长为. 故答案为：. 9．如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，①平面AEND；②平面ABFE；③平面平面AFN；④平面平面以上四个命题中，正确命题的序号是 . 【答案】①②③④ 【分析】将展开图还原成正方体，根据线面平行以及面面平行的判定逐一判定即可. 【解析】把正方体的平面展开图还原成正方体，如图所示： 对于①，因为，平面AEND，平面AEND，所以平面AEND，命题①正确； 对于②，，平面ABFE，平面ABFE，所以平面ABFE，命题②正确； 对于③，，面，面，，面，面， 所以面，面，又，BD、平面BDN， 所以平面平面AFN，命题③正确； 对于④，，面NCF，面NCF，，面NCF，面NCF， 所以面NCF，面NCF，又，BD、平面BDE， 所以平面平面NCF，命题④正确． 故答案为：①②③④． 10．已知长方体中，，点M为的中点，且，则平面被长方体截得的平面图形的周长为 ． 【答案】 【分析】首先利用几何体中的垂直关系求出，进一步求出截面，再求出周长． 【解析】长方体中，，点为的中点，且，如图所示： 设，由于点为的中点，则，, 由于，利用勾股定理， 即，解得，故， 设为平面与棱的交点， 则平面被长方体截得的平面图形为四边形， 连接，由于平面平面，平面平面，平面平面， ，又，， 为的中点，为的中点， 所以，，，，， 因此，截面图形的周长为. 故答案为：. 11．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，分别为的中点，点在棱上，且平面，则 ．    【答案】2 【分析】连接、，设、，连接，过点作交于点，连接、，即可证明平面平面，从而得到平面，再根据线段平行得到线段的关系，即可得解. 【解析】连接、，设、，连接， 过点作交于点，连接、， 因为、分别为、的中点，所以，平面，平面， 所以平面， 同理可得平面，，平面， 所以平面平面，平面，所以平面， 因为、分别为、的中点，则为的中点， 又为的中点，所以，， 所以，又，所以， 所以，又为的中点， 所以， 则， 所以.    故答案为： 12．如图，点为正方形边上异于点的动点，将沿翻折成，使得平面平面，则下列说法中正确的是 .(填序号)     （1）在平面内存在直线与平行；     （2）在平面内存在直线与垂直 （3）存在点使得直线平面 （4）平面内存在直线与平面平行. （5）存在点使得直线平面 【答案】（2）（4） 【分析】采用逐一验证法，利用线面的位置关系判断，可得结果. 【解析】（1）错，若在平面内存在直线与平行， 则//平面，可知//， 而与相交，故矛盾 （2）对，如图 作， 根据题意可知平面平面 所以，作，点在平面， 则平面，而平面， 所以，故正确 （3）错，若平面，则，而 所以平面，则，矛盾 （4）对，如图 延长交于点连接,作// 平面，平面， 平面，所以//平面，故存在 （5）错，若平面，则 又，所以平面 所以，可知点在以为直径的圆上 又该圆与无交点，所以不存在. 故答案为：（2）（4） 【点睛】本题主要考查线线，线面，面面之间的关系，数形结合在此发挥重要作用，属中档题. 二、选择题 13．如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′.若PA′∶AA′＝2∶5，则△A′B′C′与△ABC的面积比为(　　) A.2∶5 B．2∶7 C．4∶49 D．9∶25 【解析】选C.因为平面α∥平面ABC，A′B′⊂α，AB⊂平面ABC， 所以A′B′∥AB.所以A′B′∶AB＝PA′∶PA. 又PA′∶AA′＝2∶5，所以A′B′∶AB＝2∶7. 同理B′C′∶BC＝2∶7，A′C′∶AC＝2∶7， 所以△A′B′C′∽△ABC，所以S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶49. 14．(2021·唐山高一检测)如图，在三棱锥S­ABC中，∠SBA＝∠SCA＝90°，且△ABC是斜边AB＝a的等腰直角三角形，给出下列结论中，正确的是(　　) A.SB⊥AC B．SB⊥平面ABC C．平面SBC⊥平面SAC D．点C到平面SAB的距离为a 【解析】选ABC.由于AC⊥BC，AC⊥SC，SC，BC⊂平面SBC，SC∩BC＝C，所以AC⊥平面SBC， 所以SB⊥AC，故选项A正确； 前面已经证明AC⊥平面SBC，AC⊂平面SAC，所以平面SBC⊥平面SAC，所以选项C正确； 因为SB⊥AC，SB⊥AB，AB，AC⊂平面ABC，AB∩AC＝A，所以SB⊥平面ABC，故选项B正确； 取AB的中点D，连接CD，则CD⊥AB，CD⊥SB，因为AB，SB⊂平面SAB，AB∩SB＝B，故CD⊥平面SAB，则CD的长度即为点C到平面SAB的距离，而CD＝a，故选项D错误． 15．已知两条直线与两个平面、，且，，则下列说法正确的是（    ） ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则 A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】根据线面关系的平行和垂直判定性质，逐个分析判断即可得解. 【解析】（1）若，则当时，结论不成立，故①错误； （2）若，，则与没有公共点，故，故②正确； （3）若，，，则和可能平行，可能相交，可能异面， 故③错误； （4）若，，则，故④正确. 故选：C. 16．如图，正四面体ABCD中，E，F分别是线段AC的三等分点，P是线段AB的中点，G是线段BD上的动点，则（    ） A．存在点G，使PG⊥EF成立 B．存在点G，使FG⊥EP成立 C．不存在点G，使平面EFG⊥平面ACD成立 D．不存在点G，使平面EFG⊥平面ABD成立 【答案】C 【分析】A选项假设PG⊥EF，证得面，与题设矛盾即可判断；B选项由求出异面直线的夹角小于即可判断；C选项取中点，过作于，先证面，再由与面相交即可判断；D选项直接证明当与中点重合时，面面即可. 【解析】 在A中，取中点，连接，易得，面，，故面， 又面，故，若PG⊥EF，面，，则面，显然不成立， 故不存在点G，使PG⊥EF成立，故A错误； 在B中，连接，易得，故或其补角即为异面直线的夹角，不妨设，在中， 由余弦定理，即，解得，同理， 在中，，则，显然， 故不存在点G，使FG⊥EP成立，故B错误； 在C中，取中点，连接，过作于，易得，面，， 故面，又面，故，又面，，故面， 若平面EFG⊥平面ACD，则面或面，显然与面相交，故不存在点G，使平面EFG⊥平面ACD成立，故C正确； 在D中，当与中点重合时，由A选项知有面，即面，又面，故面面， 故存在点G，使平面EFG⊥平面ABD成立，故D错误． 故选：C． 三、解答题 17．如图，在正方体中，求证：平面平面． 【答案】证明见详解. 【分析】证出平面，再利用面面垂直的判定定理即可证明. 【解析】在正方体中， 可得平面， 因为平面， 所以， 又，且， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面． 18．如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，，，且，． (1)判断CD是否与平面PAD垂直，并证明你的结论； (2)求证：平面平面ABCD． 【答案】(1)垂直，理由见解析； (2)证明见解析. 【分析】(1)根据给定条件证明即可推理作答. (2)利用(1)的信息可得，结合已知证得平面即可推理作答. (1) CD与平面PAD垂直， 在四棱锥中，四边形是直角梯形，，， 则有，即，而，，平面， 所以平面. (2) 由(1)知，平面，而平面，则，又， 因是直角梯形的两条腰，即直线必相交，因此，平面，而平面， 所以平面平面. 19．如图，三棱柱中，平面ABC，，点M，N分别是线段，的中点． (1)求证：平面平面； (2)设平面与平面的交线为l，求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】(1)根据给定条件证明即可推理作答. (2)连接，证明平面，再结合线面平行的性质即可推理作答. 【解析】（1）三棱柱中，平面ABC，而平面ABC，则， 又，，平面，于是得平面，而平面， 所以平面平面. （2）连接，如图，因点M，N分别是线段，的中点，则，因平面，平面， 因此，平面，而平面平面，平面， 所以. 20．如图，在斜三棱柱中，四边形是边长为2的菱形，，为正三角形，平面平面，点P是棱的中点．    (1)求证：平面平面； (2)求与平面所成角． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)利用面面垂直的判定定理即可进行证明； (2)根据几何关系证明平面，则即为与平面所成的角，再利用几何关系求出线面角. 【解析】（1）   证明：连接交于点，连接， 取中点，连接， ∵，且， ∴，且， ∴四边形为平行四边形， ∴． ∵为正三角形， ∴， ∵平面平面，平面平面， ∴平面，∴平面， 又∵平面， ∴平面平面； （2）由（1）得平面平面， 平面平面，平面， ∴平面，则即为与平面所成的角， 又， ∴在中，， ∵， ∴． 故与平面所成角为． 21．如图所示，已知平面ACD，DE平面ACD，△ACD为等边三角形.，F为CD的中点. (1)证明：AF∥平面BCE. (2)证明：平面BCE⊥平面CDE. (3)在DE上是否存在一点P，使直线BP和平面BCE所成的角为 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)存在. 【分析】(1)取中点，连结，，证明四边形是平行四边形； (2)证明BM∥AF⊥CD，BM⊥MF即可； (3)假设上存在一点，使直线和平面所成的角为.连结，过作，垂足为，连结，则.设PN＝x，表示出其他边，在中，由余弦定理解出x，若x＜MD，则满足题意. 【解析】（1） 取中点，连结，， 是的中位线，，， ∵平面ACD，DE平面ACD ∴，又，，，四边形是平行四边形， ，平面，平面， ∥平面； （2）平面，平面， ，四边形是矩形，． 是正三角形，是中点，． ，， ，平面，平面， 平面，平面， 平面平面； （3） 假设上存在一点，使直线和平面所成的角为. 连结，过作，垂足为，连结. 由(2)知平面平面，又平面平面＝CE， ∴PN⊥平面BCE，∴∠PBN为BP和平面BCE的夹角，∴. 设，则 ，，， 设，由题知∠CED＝45°，则在Rt△EPN中， 在Rt△PBN中，， ∴在中，由余弦定理得：， ，解得， 若P在线段DE上，则PN最长为MD＝，∵，∴满足题意， 上存在一点，使直线和平面所成的角为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $