专题1.2直线与直线间的位置关系重难点题型专训（5个知识点+7大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高二数学上册重难点专题提升精讲精练（沪教版必修第三册）

专题1.2直线与直线间的位置关系重难点题型专训 （5个知识点+7大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 空间的平行直线 题型二 异面直线的概念及辨析 题型三 异面直线的判定 题型四 异面直线所成的角的概念及辨析 题型五 证明异面直线垂直 题型六 求异面直线所成的角 题型七 由异面直线所成的角求其他量 拓展训练一 异面直线的性质及判定 拓展训练二 异面直线相关问题求解 知识点一：公理4 文字语言 平行于同一条直线的两条直线平行 图形语言 符号语言 直线a，b，c，a∥b，b∥c⇒a∥c 作用 证明两条直线平行 【即时训练】 1．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）空间四边形中，已知，设E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形是（    ）． A．正方形 B．长方形 C．梯形 D．菱形 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用平行公理推理判断即得. 【详解】由分别为中点，得，同理， 则，四边形是平行四边形， 由分别为中点，得，而，则， 所以是菱形. 故选：D 2．（22-23高一下·湖北黄冈·阶段练习）四面体ABCD中，E、F、G、H分别是各边AB、BD、DC、CA的中点，若，则是 形填四边形的形状 【答案】菱 【分析】根据三角形中位线和菱形的知识确定正确答案. 【详解】依题意，E、F、G、H分别是各边AB、BD、DC、CA的中点，    所以， 所以，所以四边形是平行四边形， 同理：， 又，，所以， 所以四边形是菱形. 故答案为：菱 知识点二：等角定理 1．定理 文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 符号语言 OA∥O′A′，OB∥O′B′⇒∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180° 图形语言 作用 判断或证明两个角相等或互补 2个推论 推论 １　 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行 ， 那么这两个角相等或者互补 ． 推论 ２　 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行 ， 那么这两组直线所成的锐角 （ 或直角 ） 相等 ． 【即时训练】 1．（23-24高二·上海·课堂例题）如果两个三角形不在同一平面上，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形（    ） A．全等 B．相似 C．相似但不全等 D．不相似 【答案】B 【分析】根据等角定理进行判断. 【详解】根据等角定理：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补. 两个三角形的两边分别平行，那么这两个三角形的三个角可能出现以下情况： （1）三组角对应相等，那么这两个三角形相似； （2）三组角中有一组对应角互补，如，，， 又，则，所以，此时两个三角形相似； （3）三组角中有两组对应角互补，如，，， 由，则，这与矛盾，故这种情况不会出现. （4）三组对应角都互补，即，，， 这与，矛盾，所以该情况也不会出现. 综上可知，两个三角形相似. 故选：B 2．（24-25高二上·上海·期中）空间中两个角和，若，则的大小是 【答案】或 【分析】根据和相等或者互补即可求解. 【详解】因为， 所以和相等或者互补， 所以或. 故答案为:或. 知识点三：异面直线 1.定义：不同在任何一个平面上的两条直线叫做 异面直线 2.空间的两条直线就有三种不同的位置关系 3.判定定理 　 过平面外一点与平面上一点的直线 ， 和此平面上不经过该点的任何一条直线都是异面直线 【即时训练】 1．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）设，，是空间中不同的三条直线，且，，则和的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】利用正方体模型，确定直线和直线的位置，使得，在满足的情况下通过变换直线的位置，可以得到和相交、平行或异面都有可能，从而得到正确答案． 【详解】如下图， 若，则和相交； 若，则和异面； 若，则和平行； 所以空间中垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面． 故选：D. 2．（24-25高二·上海·课堂例题）若两条直线无公共点，则两直线的位置关系是 ． 【答案】平行或异面 【分析】利用空间中直线的位置关系求解即可. 【详解】因为两条直线无公共点，所以两条直线不可能相交， 而空间中直线的位置关系只有相交，平行或异面， 所以两条直线的位置关系是平行或异面. 故答案为：平行或异面 知识点四：异面直线所成的角 1．已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． 2．空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90°. 注意点： (1)两条异面直线所成的角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关． (2)找出两条异面直线所成的角，要作平行移动(作平行线)，把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角． 【即时训练】 1．（24-25高二下·浙江·阶段练习）异面直线a，b所成的角为，过空间一点P作直线l，使l与a，b所成的角均为，这样的直线条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】数形结合把平移到点处，则与所成的角都为的直线有2条. 【详解】过作与平行的直线， 如图，， 直线过点且，这样的直线有两条. 又，直线为的平分线，则，其他射影落在角平分线的直线与的夹角都大于， 综上，满足条件的直线的条数为2. 故选：C. 2．（2023高三·河北·学业考试）如图,在正方体中,点E,F分别是棱AD,的中点,则异面直线与BF所成角的大小为 ． 【答案】 【分析】先取中点为,连接,记与交点为,根据平行可知与BF所成角即为与所成角,通过正方体性质可得,即,根据可知,即,即可知与BF所成角为. 【详解】取中点为,连接,记与交点为,如图所示: 因为G,F分别是棱,的中点, 所以,且,故四边形为平行四边形, 所以,所以与BF所成角即为与所成角, 因为正方体,E,G是棱AD,的中点, 所以, 所以,即, 因为,所以, 所以, 故与所成角为,即与BF所成角为. 故答案为: 知识点五：直线间的垂直关系 特殊情况:在空间中,两条直线如果垂直,即一条直线与另一条直线的任何线段所成的角都是 90度,这种情况为直线间的一种特殊位置关系。 判断方法:利用向量的点积为零来判断两条直线是否垂直。 【即时训练】 1．（2023高三·广东·学业考试）下图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下判断：①BF与DN平行；②CM与BN是异面直线；③DF与BN垂直；④AE与DN是异面直线．则判断正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】还原为正方体根据空间直线的位置关系结合正方体的性质即得. 【详解】把平面展开图折起，得到如图所示的正方体, 则BF与DN是异面直线，故①错误； CM与BN平行，故②错误； 由题可知，所以DF与BN垂直，故③正确； AE与DN是异面直线，故④正确； 故正确个数为2． 故选：B. 2．（23-24高二·全国·课后作业）空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，若EFGH是矩形，则BD与AC的位置关系是 ． 【答案】相互垂直 【分析】根据题意，作图可得答案. 【详解】 根据题意，作图，根据图中所示，因为，且，所以，，直接可以得到BD与AC的位置关系是相互垂直. 故答案为：相互垂直 【经典例题一 空间的平行直线】 【例1】（24-25高一下·全国·周测）如图，在三棱锥中，分别是边的中点，且，那么四边形是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【分析】根据中位线定理和平行公里，利用平行关系转化，即可判断. 【详解】因为H，G分别是，的中点，所以，且， 同理，且，所以四边形是平行四边形， 同理，且，且，又， 所以，故四边形为菱形. 故选：C. 【例2】（24-25高一下·全国·课堂例题）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，分别为，，，的中点，求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【分析】 利用三角形的中位线及平行四边形的判定来证明. 【详解】 证明： 在中，因为，分别是，的中点， 所以，，同理，． 因为四边形是平行四边形， 所以，． 所以，． 所以四边形是平行四边形. 1．（23-24高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）连接空间四边形四条边的中点，得到四边形，则是一个（　　） A．菱形 B．矩形 C．平行四边形 D．空间四边形 【答案】C 【分析】连接，利用是的中位线，是的中位线，得到，且，即可得证. 【详解】 如图所示，在空间四边形中，分别为的中点， 连接， 是的中位线，所以，且. 同理，且. ，且. 四边形是一个平行四边形. 故选：C 2．（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，A是所在平面外一点，M，N分别是和的重心，若，则MN的长为（    ）    A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】若为的中点，连接，根据重心的性质，且，即可得. 【详解】由M，N分别是和的重心，则为三角形中线的交点， 若为的中点，连接，则分别在上，， 而，，故. 故选：A    3．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，四棱锥中，底面是梯形，，，且是的中点，是的中点，则与的位置关系是 ． 【答案】 【分析】根据中位线性质可证明四边形是平行四边形，可得结论. 【详解】连接，如下图所示： 因为是的中点，是的中点，所以，且． 又，，所以，且， 所以四边形是平行四边形， 所以． 故答案为： 4．（25-26高二·上海·假期作业）如图所示，在空间四边形（不共面的四边形称为空间四边形）中，E，F，G，H分别为、、、的中点．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【分析】只需证明，且即可，依据是平行公理四：和同一条直线平行的直线平行． 【详解】因为在空间四边形中，E，F，G，H分别为、、、的中点， 所以，，， 所以，， 所以四边形是平行四边形． 【经典例题二 异面直线的概念及辨析】 【例1】（24-25高一下·云南曲靖·期末）已知直线，若，是异面直线，则a与d的位置关系为（    ） A．相交 B．异面 C．相交或异面 D．不确定 【答案】C 【分析】根据已知直线的位置关系，结合平面的基本性质，空间想象来判断a与d的位置关系. 【详解】由，是异面直线，则异面或相交，又，故异面或相交. 故选：C 【例2】（23-24高一·湖南·课后作业）如图，是单位正方体，红、黑两只蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”，红蚂蚁的爬行路线是，黑蚂蚁的爬行路线是，它们都依照如下规则：所爬行的第段与第n段所在直线必须是异面直线．设红、黑两只蚂蚁都走完2005段后各停止在正方体的某个顶点处，这时红、黑两只蚂蚁的距离是多少？ 【答案】 【分析】根据题意确定红、黑蚂蚁的行走路线，最终确定红、黑两只蚂蚁都走完2005段后各停在的位置，进而确定距离. 【详解】由正方体特点及题意可知：蚂蚁是走完一段，在每个端点只有一条路可走，故红黑蚂蚁的路线唯一确定，由题意及推理得：红蚂蚁的行走路线为，回到A点后继续重复之前的路线. 同理黑蚂蚁的路线为：，回到A点后继续重复之前的路线，红、黑蚂蚁走2005段：，故红、黑蚂蚁走完之后分别停在处，即此时红黑蚂蚁的距离为线段的长度，为. 1．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知空间中的三条直线l、m、n，若l与m异面，且l与n异面，则m与n（    ） A．异面 B．相交 C．平行 D．均有可能 【答案】D 【分析】根据题意作出图形,进行判断即可. 【详解】空间三条直线. 若与异面,且与异面，则可能平行，如图， 也可能相交，如图， 也可能与异面，如图， 故选：D. 2．（24-25高三上·上海·期中）已知空间三条直线、、.若与异面，且与异面，则（） A．与异面 B．与相交 C．与平行 D．与异面、相交、平行均有可能 【答案】D 【分析】根据题意作出图形,进行判断即可. 【详解】空间三条直线. 若与异面,且与异面,则可能平行（图1）,也可能相交（图2）,也与可能异面（图3）, 故选：D. 3．（24-25高二上·上海浦东新·期中）如图，正六棱柱中与直线异面的侧棱共有 条． 【答案】 【分析】分别写出与平行的侧棱，以及相交的侧棱，即可得出答案. 【详解】根据正六棱柱的性质结合图象可得， 侧棱中，没有与平行的直线； 与相交的有，共2条. 又正六棱柱的侧棱，共有6条， 所以与直线异面的侧棱共有条. 故答案为：4. 4．（23-24高一下·山西朔州·期中）图，在棱长为1的正方体中，红、黑两只蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”，红蚂蚁的爬行路线是，黑蚂蚁的爬行路线是，它们都依照如下规则：所爬行的第段与第n段所在直线必须是异面直线．设红、黑两只蚂蚁都走完2023段后各停止在正方体的某个顶点处，这时红、黑两只蚂蚁的直线距离是多少？ 【答案】 【分析】根据题意确定红、黑蚂蚁的行走路线，最终确定红、黑两只蚂蚁都走完2023段后各停在的位置，进而确定距离. 【详解】由正方体特点及题意可知：蚂蚁是走完一段，在每个端点只有一条路可走，故红黑蚂蚁的路线唯一确定，由题意及推理得：红蚂蚁的行走路线为： ，回到A点后继续重复之前的路线. 同理黑蚂蚁的路线为：，回到A点后继续重复之前的路线，红、黑蚂蚁走2023段：，故红、黑蚂蚁走完之后分别停在处，即此时红黑蚂蚁的距离为线段的长度，为. 【经典例题三 异面直线的判定】 【例1】（24-25高一下·福建福州·期末）如图，平行六面体，E，F分别是，的中点，与成异面直线的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合平行六面体的性质判断选项中各线段与的位置关系，即可得答案. 【详解】由图可知、与均在平面内，故A、D不符合题意； 位于平面内，位于平面内，平面平面， 故与不相交； 又，与相交，故与不平行，则与异面，B正确； 连接，由于，故四边形为平行四边形， 则，又，故，C不符合题意， 故选：B 【例2】（23-24高二·上海·课堂例题）如图，在正方体中，M、N分别是棱、的中点．判断下列结论是否成立，并说明理由： (1)直线与是相交直线； (2)直线与是平行直线； (3)直线与是异面直线． 【答案】(1)结论不成立，直线与是异面直线， (2)结论不成立，直线与是异面直线， (3)结论成立． 【分析】（1）（2）（3）由正方体的结构特征，分析直线与直线的位置关系，即可得答案． 【详解】（1）结论不成立， 直线与既不是相交也不平行， 则直线与是异面直线； （2）结论不成立， 直线与既不是相交也不平行， 直线与是异面直线， （3）结论成立，直线与是异面直线． 1．（23-24高二下·安徽合肥·期末）如图为正方体的平面展开图，则图中的在原正方体中互为异面直线的对数为（   ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】首先画出正方体，根据异面直线的定义，正方体中判断. 【详解】如图，和，和，和都是异面直线，有3对. 故选：B 2．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）在长方体中，下列直线位置关系判断正确的是（   ） A．直线AB与AC异面 B．直线AC与相交 C．直线与AC异面 D．直线与相交 【答案】C 【分析】利用长方体中的线线位置关系，可逐一判断各选项. 【详解】 如图，连接， 对于A，因，故直线AB与AC相交，不异面，故A错误； 对于B，因， ，故得，则有， 故直线AC与不可能相交，故B错误； 对于C，因平面， 平面， 平面， 故直线与AC异面，即C正确； 对于D，因， ，故得，则， 而与相交，故直线与异面，故D错误. 故选：C. 3．（24-25高一下·上海·期末）如图，在正方体中的直线、、、中与直线异面的直线有 条.      【答案】3 【分析】根据异面直线的定义，即可判断. 【详解】和是异面直线， 和是异面直线， 和是相交直线，不是异面直线， 和是异面直线，所以有3条. 故答案为：3 4．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，已知，，，分别是空间四边形的边，，，的中点. (1)若，判断四边形的形状： (2)证明：和是异面直线. 【答案】(1)菱形； (2)证明见解析 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再由证明它是菱形即得； （2）运用反证法思路，先假设和共面，即共面，与题设产生矛盾，得出假设不成立即可. 【详解】（1）因为，，，分别是空间四边形的边，，，的中点， 所以线段是的中位线，所以且， 同理可得且， 即，，所以四边形为平行四边形， 又同理可得且，且，所以， 故平行四边形为菱形； （2）假设和不是异面直线，则与平行或相交， 即与确定一个平面，则，，，， 这与四边形为空间四边形矛盾，故和是异面直线. 【经典例题四 异面直线所成的角的概念及辨析】 【例1】（24-25高一下·江苏南京·期末）如图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则过点B作与异面直线与所成的角都是的直线条数（    ）    A．有无数条 B．有两条 C．有三条 D．有一条 【答案】C 【分析】将平移到，平移到，则过点作与异面直线与所成的角都是的直线，一条在平面内，两条在平面外. 【详解】将平移到，平移到，    所以点作与异面直线与所成的角都是的直线， 即过点作与异面直线与所成的角都是的直线， 因为异面直线与所成的角为， 所以的角平分线平分角为或， 若的角平分线平分角为，则角平分线与异面直线与所成的角都是， 此时将过点的直线平移使其经过点，故有一条， 若的角平分线平分角为， 即角平分线与异面直线与所成的角都是， 则将过点的直线绕点向上转动到与平面垂直的过程中，存在两条与异面直线与所成的角都是的直线， 此时将过点的直线平移使其经过点，故有两条， 综上，过点作与异面直线与所成的角都是的直线条数有三条. 故选：C 【例2】（2023高三·全国·专题练习）证明正三棱柱中，若时，则与就不可能垂直． 【答案】证明见解析 【分析】利用反证法即可证明. 【详解】如图，如果，根据定差幂线定理知    ， 设三棱柱底面边长为a，高为b，则，于是， 而， 得，即，∴，与条件矛盾，∴与不可能垂直． 1．（23-24高一下·江苏南京·期末）异面直线所成的角为，过空间一点P作直线l，使l与所成的角均为，这样的直线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】首先将直线平移至点，再根据两条直线的夹角和其补角的角平分线，判断直线的条数. 【详解】如图，过点作直线，与的夹角为，所以直线与的夹角相等的直线的射影落在或的角平分线上， 的角平分线与的夹角为，则其他射影落在角平分线的直线与的夹角都大于， 的角平分线与的夹角为，其他射影落在角平分线的直线与的夹角都大于， 所以只有1条直线l与所成的角均为，也即只有1条直线l与所成的角均为. 故选：A 2．（22-23高一下·山西朔州·期末）设、、是直线，则（    ） A．若，，则 B．若与所成的角等于与所成的角，则 C．若，，则 D．若，则与、与所成的角相等 【答案】D 【分析】根据各选项中的条件判断线线位置关系，即可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，若，，则与平行、异面或相交，A错； 对于B选项，若与所成的角等于与所成的角，则与平行、异面或相交，B错； 对于C选项，若，，则与平行、异面或相交，C错； 对于D选项，若，则与、与所成的角相等，D对. 故选：D. 3．（22-23高一·全国·课后作业）对于命题：①若、与成等角，则；②若，，则；③若，，则；④若，，，则、不可能平行．其中正确命题的序号是 ． 【答案】③ 【分析】利用特例判断①②④，根据平行公理判断③. 【详解】解：对于①，直线和与直线所成角都是，但与不平行，故①不正确； 对于②，直线和与直线所成角都是，但与不平行，故②不正确； 对于③，若，，则，故③正确； 对于④，若，，，则、可能平行， 如图令，平面为平面，，平面为平面， 则，显然，故④错误； 故答案为：③ 4．（2024高三·全国·专题练习）已知异面直线所成的角为为空间一定点，求经过点且与所成的角都是的直线的条数． 【答案】答案见解析 【分析】过上任一点作的平行线，再分别讨论与的关系，结合的大小关系讨论即可. 【详解】如图（4），过上任一点作的平行线，不妨设不在相交直线所确定的平面内，则过点与所成角都为的直线的条数与过点和所成角都为的直线条数相同，记，则． （1）当时，由于过与所成的相等的角，与所成的相等的角，故这时不存在符合题意的直线，即． （2）当或时，显然有． （3）当时，过点有两条直线分别与及所成角相等，故这时． （4）当时，故． （5）当时，因，从而过点有一条直线与都成，再结合情形（3），可得． （6）当时，仿情形（3）可知这时． 【经典例题五 证明异面直线垂直】 【例1】（24-25高二上·上海·阶段练习）若空间中四条两两不同的直线，满足   则下面结论一定正确的是（  ） A． B． C．既不垂直也不平行 D．的位置关系不确定 【答案】D 【分析】将满足题意的直线放入长方体模型判断即可. 【详解】如图所示，取，，， 当取时，，当取时，，排除ABC. 故选：D. 【例2】（2023高一下·全国·专题练习）空间四边形，，，分别是，，的中点，，，.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】利用平行关系，证明，转化为证明. 【详解】∵点G，E分别是CD，BC的中点，∴GEBD，同理GFAC.∴∠FGE或∠FGE的补角是异面直线AC与BD所成的角． 在△EFG中，∵FG＝2，GE＝，EF＝3，满足FG2＋GE2＝EF2，∴∠FGE＝90°.即异面直线AC与BD所成的角是90°. ∴AC⊥BD. 1．（2024高一下·全国·专题练习）直三棱柱中，，在三棱柱所有的棱中，与AC垂直且异面的有（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【分析】由已知直三棱柱的结构特征，列举与AC垂直且异面的棱即可. 【详解】直三棱柱中，， 则与AC垂直且异面的直线有和. 故选：B. 2．（22-23高二上·上海虹口·期中）如图，上海海关大楼的钟楼可以看作一个正四棱柱，且钟楼的四个侧面均有时钟悬挂，在0点到12点时针与分针的转动中（包括0点，但不包括12点），相邻两面时钟的时针两两相互垂直的情况的次数为（    ） A．0 B．2 C．4 D．12 【答案】B 【分析】根据正四棱柱相邻侧面的线线关系即可判断． 【详解】∵3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直， ∴在0点到12点时针与分针的转动中（包括0点，但不包括12点），相邻两面时钟的时针两两相互垂直的情况的次数为2， 故选：B． 3．（23-24高二上·全国·课后作业）已知垂直于所在的平面，，则点到的距离为 ． 【答案】 【分析】作出到的垂线，利用勾股定理求得到的距离。 【详解】取的中点，连接， ∵平面， ∴为在平面内的投影， 又，∴， 由三垂线定理得，， 又，∴. 故答案为:    4．（2023高三·全国·专题练习）如图，是等腰直角三角形，都垂直于平面，且为线段的中点．证明：. 【答案】证明见解析 【分析】取BC中点为G，连接DG，AG，通过证明，结合可证明结论； 【详解】取BC中点为G，连接DG，AG． 因分别为中点，则． 则四边形是平行四边形，故． 因为，则，所以. 【经典例题六 求异面直线所成的角】 【例1】（24-25高一下·山东德州·期末）在正方体中，E，F分别是的中点，则直线AF与BE所成角的余弦值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，连接，可证为异面直线与所成角或其补角.再根据余弦定理计算即可. 【详解】取的中点，连接， 因为，分别是的中点， 所以，， 在正方体中，∵ ∴，所以四边形为平行四边形， 所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 故为异面直线与所成角或其补角. 设正方体的棱长为2，分别是的中点， 由余弦定理得：， 所以直线与所成角的余弦值为. 故选：D. 【例2】（24-25高一下·江苏盐城·期中）已知三棱锥满足，. (1)证明：直线与直线是异面直线； (2)若为的中点，为的中点，求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据异面直线的定义，结合点平面，点平面，即可判断； （2）取的中点，连接，，根据平行关系可证明异面直线与所成角为（或其补角），结合余弦定理可得解. 【详解】（1）因为直线平面，点平面， 点，点平面，所以直线与直线是异面直线． （2）如图：取的中点，连接，， 因为为的中点，为的中点， 所以，， 所以异面直线与所成角（或其补角）， 因为，所以，， 在中，，则， 所以，即， 在中由余弦定理得， 因为异面直线所成角范围为，所以异面直线与所成角的余弦值为. 1．（24-25高一下·湖南郴州·期末）在长方体中，，，则直线和直线所成角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知找到异面直线所成角的平面角，再根据已知求其大小即可. 【详解】由长方体结构知且，则为平行四边形，故， 所以直线和直线所成角，即为或其补角，而，，， 所以，则. 故选：C 2．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在长方体中，底面是边长为2的正方形，侧棱，点分别为的中点，则异面直线和所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，找到异面直线和所成角，然后得到，最后表示正弦值即可. 【详解】取的中点，连接，如图： 由题可知：，又为的中点，所以，则， 所以异面直线和所成角即为，可知为直角三角形，且， 又，所以， 所以. 故选：C 3．（24-25高一下·山西大同·期末）如图，正四棱柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则在正四棱柱中，异面直线和所成的角的大小为 ． 【答案】/ 【分析】作出四棱柱，即可求出异面直线AK和LM所成的角的大小. 【详解】由题意，还原正四棱柱的直观图，如图所示，取的中点，中点，中点， 连接相关线段，如下图所示， ∴//. 由几何知识得，四边形是平行四边形，//， ∴， 所以或其补角为异面直线AK和LM所成的角． 由题知，，则有，所以， 即异面直线AK和LM所成的角为． 故答案为： 4．（24-25高一下·上海·期中）如图，已知正方体的棱长为1.若分别是的中点，求异面直线与所成角的大小.    【答案】 【分析】作出两异面直线所成的角为，再由正方体性质计算即可. 【详解】因为分别是的中点， 所以，又因为， 所以异面直线与所成角为（或其补角）. 由于，于是， 所以异面直线与所成角的大小为. 【经典例题七 由异面直线所成的角求其他量】 【例1】（23-24高二下·湖南·期末）在长方体中，与所成的角为，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】连接，由，可得是异面直线与所成的角，再利用长方体的性质、直角三角形的边角关系即可得出. 【详解】如图所示，连接，由图知为锐角，   是异面直线与所成的角，即， 在中，， 在中，有，即. 故选：D. 【例2】（23-24高一下·广东深圳·期中）如图，已知圆柱的底面半径和母线长均为1，、分别为上、下底面圆周上的点，若异面直线所成的角为，求的长.    【答案】或 【分析】过点作垂直于上底面于点，则是母线，连接，根据圆柱的性质得到且，从而得到，与所成的角就是或其补角，再分和两种情况讨论，分别计算可得． 【详解】如图，过点作垂直于上底面于点，则是母线，连接， 垂直于上下底面，，，    则四边形是平行四边形，， 与所成的角就是或其补角． 当时，是等边三角形，， 在中，； 当时，在中，， 在中，． 综上，或. 1．（24-25高二·上海·假期作业）如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为，则MN＝（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】平移法找出异面直线所成的角，后用直角三角形知识解决． 【详解】 取AD的中点P，连接PM，PN，则 ∴或其补角即异面直线AC与BD所成的角， ∴，，， ∴. 故选：C. 2．（23-24高一下·山东淄博·期末）在空间四边形中，，，，分别是，，，的中点．若，且与所成的角为，则的长为（    ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】C 【分析】连接，可得或，求解三角形即可求出. 【详解】如图，连接，在中，因为为中点，所以，， 在中，因为为中点，所以，， 因为与所成的角为，所以或， 当时，为等边三角形，所以， 当，由余弦定理可得，即， 所以的长为1或. 故选：C. 3．（24-25高二上·上海·阶段练习）空间四边形分别为的中点，若异面直线和成的角，则 . 【答案】或 【分析】根据已知条件，可得或其补角就是异面直线和所成的角，由异面直线和成的角，可得. 【详解】 分别为的中点，连接， 所以，， 所以或其补角就是异面直线和所成的角， 因为异面直线和成的角， 或. 故答案为：或. 4．（23-24高二·上海·课堂例题）如图，在四面体中，，，、分别为、中点，并且异面直线与所成的角为．求的长． 【答案】 【分析】取中点，连接，，即可得到异面直线与所成的角，再由勾股定理计算可得. 【详解】取中点，连接，， 又因为，，，分别为，的中点， 所以且，且， 又因为异面直线与所成的角为，则为异面直线与所成的角（或补角）， 所以， 所以， 所以． 【拓展训练一 异面直线的性质及判定】 【例1】（2024·江西新余·模拟预测）空间中有三条两两异面的直线，为其中一条直线上一定点，过引直线使其与这三条异面直线都相交，则对于任意的定点，存在的直线有（     ）条. A． B． C． D．无数 【答案】A 【分析】过点作过另两条直线的平面，则两平面有唯一交线，可判断直线的条数. 【详解】如图：在正方体中，不妨设三条两两异面的直线为， 令，作平面过，则过与相交的直线都在平面内， 作平面过，则过与相交的直线都在平面内，. 平面与平面不平行且不重合，有且仅有一条公共直线， 所以直线只有1条. 故选：A. 【例2】（22-23高二上·上海嘉定·开学考试）如图所示，在正方体中，分别是的中点.求证： (1)三线共点； (2)直线和直线是异面直线. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）分别延长，交于点，由平面基本性质知面．再由三角形中位线定理证明，，三线共点于． （2）由反证法以及线面平行的判定以及性质即可得矛盾求解. 【详解】（1）分别延长，，交于点， ，面， 面． 是的中点，， 是的中点， 连接，， 的交点为线段AB的中点，即为E， ，，三线共点于． （2）假如直线和直线不是异面直线，则存在一个平面，使得， 由于在正方体中,,, 因此, 又因为平面,且平面, 故,在正方形中，显然不平行，故矛盾， 因此假设不成立，即直线和直线是异面直线. 1．（22-23高一下·河北·期中）一个正四棱锥的平面展开图如图所示，其中E，F，M，N，Q分别为，，，，的中点，关于该正四棱锥，现有下列四个结论： ①直线与直线是异面直线；②直线与直线是异面直线； ③直线与直线MN共面；④直线与直线是异面直线. 其中正确结论的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】作出直观图，根据直线共面的判定与性质逐个判断即可. 【详解】根据展开图，复原几何体，如下图所示： 对②，因为F，M，N，Q分别为，，，的中点，所以，又，则，故F，N，A，B四点共面，故直线与直线是共面直线，①错误； 对②，E在过F，N，A，B四点的平面外，故直线与直线是异面直线，②正确； 对③，N，Q重合，故直线与直线共面，③正确； 对④，E在过F，N，A，B四点的平面外，故直线与直线是异面直线，④正确； 综上有②③④正确. 故选：B 2．（24-25高一下·河北承德·阶段练习）下列各图是正方体或正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线线平行得出四点共面分别判定A，B，C，根据异面直线判定D. 【详解】 在A中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点， 所以，因为，所以是平行四边形，所以， 所以，∴四点共面． 在B中，取的中点N，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，可得交于直线延长线上一点， ∴P，N，R，S四点共面，设为，因为，∴P，Q，N，S四点共面，设为. ∵都经过不共线的P，N，S三点，∴与重合，∴P，Q，R，S四点共面． 在C中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，所以，所以，∴P，Q，R，S四点共面． 在D中，连接，如图②，∵平面平面且， ∴直线与为异面直线．∴P，Q，R，S四点不共面． 故选：D. 3．（24-25高一下·河北邢台·阶段练习）如图，正方体中，P、Q、R、S、T分别为线段、、、、的中点，联结、，对空间任意两点M、N，若线段与线段不相交或与线段不相交，则称M、N两点可视.则此正方体中的点A、P、Q、R中与点可视的点有 .（答案从“点A、点P、点Q、点R”中选择） 【答案】点A、点Q、点R 【分析】分别连接，再去看是否与和相交. 【详解】对于点A，连接，因为平面， 平面，且，所以直线与是异面直线， 所以点与点可视； 对于点，如图，连接，得平面， 且与相交，连接，因为，， 所以四边形是平行四边形，得与相交，所以点与点不可视， 对于点，如图，连接，，因为平面， 平面，且，所以直线与是异面直线， 所以点与点可视； 对于点，如图，连接，， 因为平面，平面，且， 所以直线与是异面直线，所以点与点可视，故D错误. 故答案为：点、点、点. 4．（23-24高二·全国·课后作业）如图，已知，，，，．求证：b与c是异面直线． 【答案】证明见解析 【分析】假设与是共面于，则点与直线也在此面中，从而可证重合，得到矛盾. 【详解】证明：反证法.假设与不是异面直线即共面于. 所以，因为，故 ∵，∴，∴点与直线确定一个平面（即）. 而过直线和直线外一点有且只有一个平面，故、重合. ∴直线与共面于. 又，故，故重合，与条件矛盾. ∴与是异面直线. 【拓展训练二 异面直线相关问题求解】 【例1】（23-24高二上·北京·期中）.如图，在正方形中，点E、F分别为边，的中点.将沿所在直线进行翻折，将沿所在直线进行翻折，在翻折的过程中，下列说法正确的是（    ）    A．点A与点C在某一位置可能重合 B．点A与点C的最大距离为 C．直线与直线可能垂直 D．直线与直线可能垂直 【答案】D 【分析】将沿所在直线进行翻折，将沿所在直线进行翻折，在翻折过程中A，C的运动轨迹分别是圆，，是以为旋转轴的圆锥侧面；，是以为旋转轴的圆锥侧面； 【详解】由题意，在翻折过程中A，C的运动轨迹分别是两个平行的圆，所以点A与点C不可能重合，故选项A错误； 点A与点C的最大距离为正方形的对角线，故选项B错误； 由题易知直线与直线平行，所以直线与直线所成角和直线与直线所成角相等，显然直线与直线不垂直，故选项C错误； 由题在正方形中直线与直线平行，设翻折后点为， 由题易知初始位置，当沿所在直线翻折到与平面重合时， 所以在此连续变化过程中必存在，即，所以, 所以翻折过程中，直线与直线可能垂直，故选项D正确. 故选：D. 【例2】（24-25高二上·上海·期中）《九章算术》是中国古代数学专著，书中记载了一种名为“刍甍（méng）”的五面体（如图），其中四边形为矩形，.若，和都是正三角形，且，求异面直线与所成角的大小.    【答案】 【分析】在上取一点，使得，可得为异面直线与所成角或其补角，设出边长可得，即可求解. 【详解】    如图，在上取一点，使得， 因为，，四边形为矩形， 所以，，所以四边形为平行四边形， 所以， 所以为异面直线与所成角或其补角， 设，所以，， 因为和都是正三角形，所以， 由，所以， 所以，所以， 所以异面直线与所成角为. 1．（2025高三·全国·专题练习）如图，设地球半径为，点在赤道上，为地心，点在北纬的纬线（为其圆心）上，且点共面，若，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长交球于点，连接，作出和所成角的平面角，在中，应用余弦定理求出，进而得到答案. 【详解】如图，延长交球于点，连接，则， 所以.又，所以四边形是平行四边形， 所以，所以是和所成的角或其补角， 在中，，所以. 在中，，所以. 所以在中，. 故选：A. 2．（23-24高二上·安徽·阶段练习）已知两条异面直线a，b所成角为，若过空间内一定点的直线l和a，b所成角均为，则这样的直线l有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】C 【分析】先将异面直线a，b平移到点P，结合图形知，当使直线l在平面BPE的射影为的角平分线时，存在2条直线满足条件，当直线l在平面EPD的射影为的角平分线时，存在2条满足条件，则可判断4条直线满足. 【详解】如图：    通过平移过点P作a∥BD，b∥CE，由题意，,, 而的角平分线与a和b的所成角为， 的角平分线与a和b的所成角为， 因为，所以直线l和a，b所成角均为的直线有4条， 其中直线l在平面BPE的射影为的角平分线时存在2条直线满足条件， 当直线l在平面EPD的射影为的角平分线时存在2条满足条件，故共4条. 故选：C. 3．（2024高一下·全国·专题练习）正方体的棱长为4，点P是棱上一点(不包括端点)，若异面直线与所成角的余弦值为，则 . 【答案】 【分析】将原正方体补形为长方体，利用线线角的定义得到为异面直线与所成的角，从而利用余弦定理得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】将原正方体的一侧补上另一个正方体变为如图所示的长方体. 在上取点使，连接，则易得， 所以即为异面直线与所成的角(或其补角). 设，则，， ， 又，， 则，所以为锐角， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 4．（23-24高二·全国·课后作业）如图是无盖正方体纸盒的展开图，则原正方体中直线AB，CD所成角的大小为多少？EF与AB所成角的大小为多少？试写出你的解题过程，并说明原理？ 【答案】，. 【分析】将展开图还原为正方体，可得、、分别为正方体下底面与左右侧面的面对角线．等边中得出，即得原正方体中直线、所成角的大小，再由得出EF与AB所成角的大小． 【详解】将展开图还原为正方体，如图， 可得、、分别为正方体下底面与左右侧面的面对角线， 连线，可知为等边三角形，， 即原正方体中直线、所成角的大小为， 又，所以EF与AB所成角等于直线AB，CD所成的角，大小为. 1．（25-26高二上·浙江·开学考试）在正方体中，异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线线角的求法，将异面直线平移至同一平面内，求得正确答案. 【详解】画出图象如下图所示 根据正方形的性质可知 所以是直线与所成角 由于三角形是等边三角形 所以 即直线与所成的角的大小为 故选： 2．（24-25高一下·甘肃庆阳·期末）已知长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据可知或其补角即可所求，然后利用余弦定理求解即可. 【详解】如图所示：连接，根据长方体的性质易知， 所以异面直线与所成角，即为直线与所成角，则或其补角即可所求， 不妨， 在中，， 所以由余弦定理得. 即异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D 3．（24-25高一下·辽宁大连·期末）如图，三棱柱中，点分别为的中点，则下列说法错误的是（   ）. A．四点共面 B．与是异面直线 C．∠=∠ D．三线共点 【答案】C 【分析】由中位线性质可判断选项A，由异面直线的特点可判断选项B，由梯形的性质可判断选项C，由平面基本性质可判断选项D. 【详解】因为分别为的中点，所以，; 所以，所以四点共面，A正确. 因为平面，平面且，平面，所以与是异面直线，B正确. 由，且可知，四边形是梯形， 若∠=∠，则梯形是等腰梯形，而题设条件无法得出， 所以C不一定正确. 如图： 设，则，又平面，所以平面； 同理可得平面，即一定在平面与平面的交线上， 因为平面平面，所以，即三线共点.故D正确. 故选：C 4．（24-25高一下·北京通州·期末）如图，在正方体中，点，，分别为，，的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，取的中点，连接，通过证明可得，即得为异面直线与所成的角或其补角，利用余弦定理即可. 【详解】 如图，连接，取的中点，连接. 因点，，分别为，，的中点，则，即得， 则，易证，即得， 则，故得，即得，从而， 即为面直线与所成的角或其补角. 设正方体棱长为2，则，， 在中，由余弦定理，， 即异面直线与所成的角的余弦值为. 故选：C. 5．（24-25高一下·吉林长春·期末）已知点是正方体的棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方体性质可将平移到与相交，再由其棱长关系即可求得其余弦值为，说明即可得解. 【详解】取的中点为，连接，如下图所示：    利用正方体性质可得，且，所以可得是平行四边形， 即， 所以异面直线与所成的角的平面角即为， 不妨设正方体棱长为，易知； 取的中点为，连接，易知， 所以， 由正方体性质可知，，所以四边形是平行四边形， 所以， 则异面直线与所成角的余弦值为. 故选：B. 6．（24-25高一下·山东泰安·期末）如图，正方体中，，，，，，分别为棱，，，，，的中点，为的中点，连接，，对于空间任意两点，，若线段上不存在线段与上的点，则称，两点“可透视”，则与点“可透视”的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】根据点、线、面的位置关系，在正方体中，易得，即四点共面，可得相交，也相交，另易得，即四点共面，同理可得相交，对于D，根据异面直线的判定可确定与、为异面直线即可判断. 【详解】连接， 在正方体中，分别为的中点， 所以，即四点共面， 则平面，又不平行，所以相交，故A错误； 同理也相交，故B错误； 又分别为的中点，所以， 所以共面，又不平行，所以相交，故C错误； 平面，，所以为异面直线， 同理可知也是异面直线，所以线段上不存在线段与上的点，故D正确； 故选：D. 7．（23-24高一下·河南·阶段练习）已知三棱柱中，底面ABC是边长为1的等边三角形，侧棱长为2．一质点从点A出发沿三棱柱的棱前进，若经过的第1条棱为，第条棱与第n条棱异面，则该质点运动完第2024条棱后，运动的总路程为（    ） A．3036 B．2833 C．2699 D．2698 【答案】C 【分析】根据题意找出规律，第（）条棱的长度为2，第，（）条棱的长度为1，连续3条棱的长度之和为4，即能做出本题. 【详解】根据题意，因为第1条棱为，第条棱与第n条棱异面， 所以第（）条棱的长度为2，第，（）条棱的长度为1， 则连续3条棱的长度之和为4，而， 所以该质点运动完第2024条棱后，运动的总路程为． 故选C． 8．（23-24高二上·河南周口·期中）如图所示为某高中校内伫立于教学楼前的“孔子像”的底座模型图，该底座可看作正方体与直三棱柱的组合体，且为等腰直角三角形，则直线与直线所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，易知，所以为直线与直线所成的角或其补角，设，从而得出，，在中，利用余弦定理即可求出结果. 【详解】如图，连接，易知，所以为直线与直线所成的角或其补角， 设,则，在中，， 在中，由余弦定理得， 又，所以，又直线与直线所成角范围为， 所以直线与直线所成的角为， 故选：D. 9．（22-23高二上·浙江·期中）如图1，在菱形中，，是其对角线，是上一点，且，将沿直线翻折，形成四棱锥（如图2），则在翻折过程中，下列结论中正确的是（    ）    A．存在某个位置使得 B．存在某个位置使得 C．存在某个位置使得 D．存在某个位置使得 【答案】B 【分析】 选项A，在翻折过程中，与夹角始终不变，，故A错误；选项B，，转化为判断和是否会垂直，由图观察翻折过程中和夹角的变化范围可得解；选项C，由图观察翻折过程中和夹角的变化范围可得解；选项D，由于平行于翻折前的，故只需观察翻折过程中与翻折前的的夹角变化范围可得解. 【详解】对于选项A，沿翻折，在翻折过程中，与夹角始终不变，，故A错误；    对于选项B，，转化为判断和是否会垂直，由图观察翻折过程中和夹角变化范围是，故存在某个位置使得，故B正确； 对于选项C，由图观察翻折过程中和夹角的变化范围是，故不存在某个位置使得，故C错误； 对于选项D，由于平行于翻折前的，故只需观察翻折过程中与翻折前的的夹角变化范围，由图观察翻折过程中与的夹角变化范围是，所以不存在某个位置使得，故D错误. 故选：B. 10．（2023·海南·模拟预测）卡夫拉金字塔（如图1）由埃及第四王朝法老卡夫拉建造，可通往另一座河谷的神庙和狮身人面像，是世界上最紧密的建筑．从外侧看，金字塔的形状可以抽象成一个正四棱锥（如图2），其中，点为的中点，则，所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找出的平行线且与相交，并以此构造一个三角形，再根据几何关系求出三角形的三边，最后用余弦定理即可求解出，所成角的余弦值. 【详解】如图设点F为AB中点，连接EF，设，则， 在中，根据余弦定理可知： 即， 解得，，， 根据余弦定理可知， 因为，所以为，所成角的余弦值. 故选：C. 11．（2023·辽宁·模拟预测）我国古代大多数城门楼的底座轮廓大致为上、下两面互相平行，且都是矩形的六面体（如图），现从某城楼中抽象出一几何体ABCD－EFGH，其中ABCD是边长为4的正方形，EFGH为矩形，上、下底面与左、右两侧面均垂直，，，，且平面ABCD与平面EFGH的距离为4，则异面直线BG与CH所成角的余弦值为 ． 【答案】 【分析】补形为正方体，利用正方体的性质以及异面直线所成角的定义，结合余弦定理即可求解. 【详解】如图，把此六面体补成正方体，连接AH，AC，由题可知， 所以∠AHC是异面直线BG与CH所成角或其补角， 在△AHC中，，，， 则． 故答案为： 12．（23-24高一·全国·课后作业）已知，，，是相应长方体或空间四边形的边或对角线的中点，则这四点必定共面的是 ．（写序号） 【答案】①③④ 【分析】利用平面的基本性质及推论，逐一检验即可． 【详解】①中，，，，，四点共面； ②中，和是异面直线，故四点不共面； ③中，，，，，四点共面； ④中，，，，，四点共面； 故答案为：①③④ 13．（23-24高二上·上海青浦·期末）在空间中，直线平行于直线，直线为异面直线，若，则异面直线所成角的大小为 ． 【答案】 【分析】根据异面直线所成角的定义，即可求得答案. 【详解】直线为异面直线，且直线平行于直线， 所以与所成角即为异面直线、所成角， 因为，且异面直线所成角的范围是， 所以异面直线、所成角的大小为, 故答案为： 14．（23-24高二上·上海·期末）如图，在正四棱柱中，分别是棱的中点，直线过点． ①存在唯一的直线与直线和直线都相交； ②存在唯一的直线与直线和直线所成的角都是； ③存在唯一的直线与直线和直线都垂直； 以上三个命题中，所有真命题的序号是 . 【答案】①③ 【分析】根据异面直线的性质以及夹角即可结合选项求解. 【详解】对于①，若直线与直线相交，则直线在平面内，若直线与直线相交，则直线在平面内， 因此直线为平面与平面的交线，因此只有一条； 对于②，直线和直线所成角为，其补角为，，故应该是三条直线； 对于③，异面直线的公垂线有且只有一条，过点作与公垂线平行的直线即可； 故答案为：①③. 15．（24-25高二上·上海黄浦·阶段练习）若两异面直线a，b所成的角为70°，过空间内一点P作于直线a，b所成角均为70°的直线l，则所作直线l的条数为 . 【答案】4 【分析】利用异面直线所成的角的概念进行分类讨论即可求解. 【详解】在空间取一点，经过点分别作，设直线确定平面，如图，    当直线满足它的射影在所成角的平分线上时，与所成的角等于与所成的角， 因为直线，所成的角为，得所成锐角等于， 当射影在所成锐角的平分线上时，与所成角的范围是. 这种情况下，过点有两条直线与所成的角都是， 当的射影在所成钝角的平分线上时，与所成角的范围是. 这种情况下，过点有两条直线与所成的角都是， 综上所述，过空间任意一点可作与，所成的角都是的直线有4条. 故答案为：4 16．（24-25高一下·全国·课前预习）在平面内，两条直线相交形成四个角，其中不大于90度的角称为它们的夹角，用以刻画两直线的错开程度．如图，在正方体中，异面直线AB与HF的错开程度怎样来刻画？这种刻画应用的是什么数学思想？ 【答案】答案见解析 【详解】平移转化成相交直线所成的角，由于，可用EF与HF的夹角来刻画． 应用的是数学上的转换思想，即化空间图形问题为平面图形问题． 17．（23-24高二·上海·课堂例题）如图，在两个相交平面、的交线上任意取两点O与．在平面上，过O与分别作射线OA与垂直于；在平面上，过O与分别作射线OB与垂直于．求证：． 【答案】证明见解析. 【分析】根据给定条件，利用等角定理推理得证. 【详解】依题意，，，则， 又，同理， 观察图形知，射线方向相同，射线方向相同，即的方向相同， 所以. 18．（2024高三·全国·专题练习）作出过三点的截面，其中为所在棱上中点（三条边都在正方体内部）． (1)   (2)   【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】 （1）分别在上取中点，顺次连接形成六边形，进而说明六点共面； （2）分别在上取中点，顺次连接形成六边形，进而说明六点共面即可. 【详解】（1）作法：分别在上取中点，顺次连接，六边形所在平面即为过三点的截面；         简要说明（六点共面）：分别延长相交于，由平面的公理易得五点共面，连接，通过证明为平行四边形，说明点在平面内，同理再证明点在平面内，六点共面可证得. （2）作法：分别在上取中点，顺次连接，六边形所在平面即为过三点的截面；         简要说明（六点共面）：分别延长相交于，由平面的公理易得五点共面，连接，通过证明为平行四边形，说明点在平面内，同理再证明点在平面内，六点共面可证得. 19．（2023高三·全国·专题练习）若一个四面体的五条棱分别与另一四面体的对应棱的对棱垂直，则这个四面体的第六条棱也与另一四面体的对应棱的对棱垂直． 【答案】证明见解析 【分析】设出对应关系，根据勾股定理得出等式，根据对应等式运算往所证明的棱上靠，得出新等式关系，即可根据勾股定理证明. 【详解】证明： 设四面体和中，，，，，，则要证． ， ， ， ， ， 由，得 由，得 由式⑤⑥⑦，得 即， ． 20．（23-24高二上·上海浦东新·阶段练习）空间中A，B，C，D四点任意两点间距离都等于a，E为中点，在由A，B，C，D确定的四个等边三角形中，求与异面的三角形中线与所成角的大小. 【答案】或 【分析】分情况依次讨论与为异面直线的中线与所成角，并结合余弦定理求解即可. 【详解】解：如图1所示，对于由中线和形成的异面直线，连结，取中点G，连结，，则，所以是异面直线和所成角，，，. 则 所以异面直线和所成角的大小为 如图2所示，对于由中线和形成的异面直线， 取中点I，连结，， 则，所以是异面直线和所所成角， 而，，， 则 所以异面直线和所成角的大小为. 如图（3）所示，对于由中线和形成的异面直线，取中点K，连结， 则，所以是异面直线和所成角，而，， 同上理，异面直线和所成角的大小为 所以，与异面的三角形中线与所成角的大小为或 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2直线与直线间的位置关系重难点题型专训 （5个知识点+7大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 空间的平行直线 题型二 异面直线的概念及辨析 题型三 异面直线的判定 题型四 异面直线所成的角的概念及辨析 题型五 证明异面直线垂直 题型六 求异面直线所成的角 题型七 由异面直线所成的角求其他量 拓展训练一 异面直线的性质及判定 拓展训练二 异面直线相关问题求解 知识点一：公理4 文字语言 平行于同一条直线的两条直线平行 图形语言 符号语言 直线a，b，c，a∥b，b∥c⇒a∥c 作用 证明两条直线平行 【即时训练】 1．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）空间四边形中，已知，设E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形是（    ）． A．正方形 B．长方形 C．梯形 D．菱形 2．（22-23高一下·湖北黄冈·阶段练习）四面体ABCD中，E、F、G、H分别是各边AB、BD、DC、CA的中点，若，则是 形填四边形的形状 知识点二：等角定理 1．定理 文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 符号语言 OA∥O′A′，OB∥O′B′⇒∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180° 图形语言 作用 判断或证明两个角相等或互补 2个推论 推论 １　 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行 ， 那么这两个角相等或者互补 ． 推论 ２　 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行 ， 那么这两组直线所成的锐角 （ 或直角 ） 相等 ． 【即时训练】 1．（23-24高二·上海·课堂例题）如果两个三角形不在同一平面上，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形（    ） A．全等 B．相似 C．相似但不全等 D．不相似 2．（24-25高二上·上海·期中）空间中两个角和，若，则的大小是 知识点三：异面直线 1.定义：不同在任何一个平面上的两条直线叫做 异面直线 2.空间的两条直线就有三种不同的位置关系 3.判定定理 　 过平面外一点与平面上一点的直线 ， 和此平面上不经过该点的任何一条直线都是异面直线 【即时训练】 1．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）设，，是空间中不同的三条直线，且，，则和的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都有可能 2．（24-25高二·上海·课堂例题）若两条直线无公共点，则两直线的位置关系是 ． 知识点四：异面直线所成的角 1．已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． 2．空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90°. 注意点： (1)两条异面直线所成的角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关． (2)找出两条异面直线所成的角，要作平行移动(作平行线)，把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角． 【即时训练】 1．（24-25高二下·浙江·阶段练习）异面直线a，b所成的角为，过空间一点P作直线l，使l与a，b所成的角均为，这样的直线条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2023高三·河北·学业考试）如图,在正方体中,点E,F分别是棱AD,的中点,则异面直线与BF所成角的大小为 ． 知识点五：直线间的垂直关系 特殊情况:在空间中,两条直线如果垂直,即一条直线与另一条直线的任何线段所成的角都是 90度,这种情况为直线间的一种特殊位置关系。 判断方法:利用向量的点积为零来判断两条直线是否垂直。 【即时训练】 1．（2023高三·广东·学业考试）下图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下判断：①BF与DN平行；②CM与BN是异面直线；③DF与BN垂直；④AE与DN是异面直线．则判断正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高二·全国·课后作业）空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，若EFGH是矩形，则BD与AC的位置关系是 ． 【经典例题一 空间的平行直线】 【例1】（24-25高一下·全国·周测）如图，在三棱锥中，分别是边的中点，且，那么四边形是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【例2】（24-25高一下·全国·课堂例题）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，分别为，，，的中点，求证：四边形是平行四边形． 1．（23-24高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）连接空间四边形四条边的中点，得到四边形，则是一个（　　） A．菱形 B．矩形 C．平行四边形 D．空间四边形 2．（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，A是所在平面外一点，M，N分别是和的重心，若，则MN的长为（    ）    A．2 B． C．1 D． 3．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，四棱锥中，底面是梯形，，，且是的中点，是的中点，则与的位置关系是 ． 4．（25-26高二·上海·假期作业）如图所示，在空间四边形（不共面的四边形称为空间四边形）中，E，F，G，H分别为、、、的中点．求证：四边形是平行四边形． 【经典例题二 异面直线的概念及辨析】 【例1】（24-25高一下·云南曲靖·期末）已知直线，若，是异面直线，则a与d的位置关系为（    ） A．相交 B．异面 C．相交或异面 D．不确定 【例2】（23-24高一·湖南·课后作业）如图，是单位正方体，红、黑两只蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”，红蚂蚁的爬行路线是，黑蚂蚁的爬行路线是，它们都依照如下规则：所爬行的第段与第n段所在直线必须是异面直线．设红、黑两只蚂蚁都走完2005段后各停止在正方体的某个顶点处，这时红、黑两只蚂蚁的距离是多少？ 1．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知空间中的三条直线l、m、n，若l与m异面，且l与n异面，则m与n（    ） A．异面 B．相交 C．平行 D．均有可能 2．（24-25高三上·上海·期中）已知空间三条直线、、.若与异面，且与异面，则（） A．与异面 B．与相交 C．与平行 D．与异面、相交、平行均有可能 3．（24-25高二上·上海浦东新·期中）如图，正六棱柱中与直线异面的侧棱共有 条． 4．（23-24高一下·山西朔州·期中）图，在棱长为1的正方体中，红、黑两只蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”，红蚂蚁的爬行路线是，黑蚂蚁的爬行路线是，它们都依照如下规则：所爬行的第段与第n段所在直线必须是异面直线．设红、黑两只蚂蚁都走完2023段后各停止在正方体的某个顶点处，这时红、黑两只蚂蚁的直线距离是多少？ 【经典例题三 异面直线的判定】 【例1】（24-25高一下·福建福州·期末）如图，平行六面体，E，F分别是，的中点，与成异面直线的是（    ）． A． B． C． D． 【例2】（23-24高二·上海·课堂例题）如图，在正方体中，M、N分别是棱、的中点．判断下列结论是否成立，并说明理由： (1)直线与是相交直线； (2)直线与是平行直线； (3)直线与是异面直线． 1．（23-24高二下·安徽合肥·期末）如图为正方体的平面展开图，则图中的在原正方体中互为异面直线的对数为（   ） A．1 B．3 C．4 D．5 2．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）在长方体中，下列直线位置关系判断正确的是（   ） A．直线AB与AC异面 B．直线AC与相交 C．直线与AC异面 D．直线与相交 3．（24-25高一下·上海·期末）如图，在正方体中的直线、、、中与直线异面的直线有 条.      4．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，已知，，，分别是空间四边形的边，，，的中点. (1)若，判断四边形的形状： (2)证明：和是异面直线. 【经典例题四 异面直线所成的角的概念及辨析】 【例1】（24-25高一下·江苏南京·期末）如图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则过点B作与异面直线与所成的角都是的直线条数（    ）    A．有无数条 B．有两条 C．有三条 D．有一条 【例2】（2023高三·全国·专题练习）证明正三棱柱中，若时，则与就不可能垂直． 1．（23-24高一下·江苏南京·期末）异面直线所成的角为，过空间一点P作直线l，使l与所成的角均为，这样的直线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（22-23高一下·山西朔州·期末）设、、是直线，则（    ） A．若，，则 B．若与所成的角等于与所成的角，则 C．若，，则 D．若，则与、与所成的角相等 3．（22-23高一·全国·课后作业）对于命题：①若、与成等角，则；②若，，则；③若，，则；④若，，，则、不可能平行．其中正确命题的序号是 ． 4．（2024高三·全国·专题练习）已知异面直线所成的角为为空间一定点，求经过点且与所成的角都是的直线的条数． 【经典例题五 证明异面直线垂直】 【例1】（24-25高二上·上海·阶段练习）若空间中四条两两不同的直线，满足   则下面结论一定正确的是（  ） A． B． C．既不垂直也不平行 D．的位置关系不确定 【例2】（2023高一下·全国·专题练习）空间四边形，，，分别是，，的中点，，，.求证：. 1．（2024高一下·全国·专题练习）直三棱柱中，，在三棱柱所有的棱中，与AC垂直且异面的有（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 2．（22-23高二上·上海虹口·期中）如图，上海海关大楼的钟楼可以看作一个正四棱柱，且钟楼的四个侧面均有时钟悬挂，在0点到12点时针与分针的转动中（包括0点，但不包括12点），相邻两面时钟的时针两两相互垂直的情况的次数为（    ） A．0 B．2 C．4 D．12 3．（23-24高二上·全国·课后作业）已知垂直于所在的平面，，则点到的距离为 ． 4．（2023高三·全国·专题练习）如图，是等腰直角三角形，都垂直于平面，且为线段的中点．证明：. 【经典例题六 求异面直线所成的角】 【例1】（24-25高一下·山东德州·期末）在正方体中，E，F分别是的中点，则直线AF与BE所成角的余弦值为（  ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·江苏盐城·期中）已知三棱锥满足，. (1)证明：直线与直线是异面直线； (2)若为的中点，为的中点，求异面直线与所成角的余弦值. 1．（24-25高一下·湖南郴州·期末）在长方体中，，，则直线和直线所成角的大小为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在长方体中，底面是边长为2的正方形，侧棱，点分别为的中点，则异面直线和所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·山西大同·期末）如图，正四棱柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则在正四棱柱中，异面直线和所成的角的大小为 ． 4．（24-25高一下·上海·期中）如图，已知正方体的棱长为1.若分别是的中点，求异面直线与所成角的大小.    【经典例题七 由异面直线所成的角求其他量】 【例1】（23-24高二下·湖南·期末）在长方体中，与所成的角为，则（    ） A． B．3 C． D． 【例2】（23-24高一下·广东深圳·期中）如图，已知圆柱的底面半径和母线长均为1，、分别为上、下底面圆周上的点，若异面直线所成的角为，求的长.    1．（24-25高二·上海·假期作业）如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为，则MN＝（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（23-24高一下·山东淄博·期末）在空间四边形中，，，，分别是，，，的中点．若，且与所成的角为，则的长为（    ） A．1 B． C．1或 D．或 3．（24-25高二上·上海·阶段练习）空间四边形分别为的中点，若异面直线和成的角，则 . 4．（23-24高二·上海·课堂例题）如图，在四面体中，，，、分别为、中点，并且异面直线与所成的角为．求的长． 【拓展训练一 异面直线的性质及判定】 【例1】（2024·江西新余·模拟预测）空间中有三条两两异面的直线，为其中一条直线上一定点，过引直线使其与这三条异面直线都相交，则对于任意的定点，存在的直线有（     ）条. A． B． C． D．无数 【例2】（22-23高二上·上海嘉定·开学考试）如图所示，在正方体中，分别是的中点.求证： (1)三线共点； (2)直线和直线是异面直线. 1．（22-23高一下·河北·期中）一个正四棱锥的平面展开图如图所示，其中E，F，M，N，Q分别为，，，，的中点，关于该正四棱锥，现有下列四个结论： ①直线与直线是异面直线；②直线与直线是异面直线； ③直线与直线MN共面；④直线与直线是异面直线. 其中正确结论的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（24-25高一下·河北承德·阶段练习）下列各图是正方体或正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·河北邢台·阶段练习）如图，正方体中，P、Q、R、S、T分别为线段、、、、的中点，联结、，对空间任意两点M、N，若线段与线段不相交或与线段不相交，则称M、N两点可视.则此正方体中的点A、P、Q、R中与点可视的点有 .（答案从“点A、点P、点Q、点R”中选择） 4．（23-24高二·全国·课后作业）如图，已知，，，，．求证：b与c是异面直线． 【拓展训练二 异面直线相关问题求解】 【例1】（23-24高二上·北京·期中）.如图，在正方形中，点E、F分别为边，的中点.将沿所在直线进行翻折，将沿所在直线进行翻折，在翻折的过程中，下列说法正确的是（    ）    A．点A与点C在某一位置可能重合 B．点A与点C的最大距离为 C．直线与直线可能垂直 D．直线与直线可能垂直 【例2】（24-25高二上·上海·期中）《九章算术》是中国古代数学专著，书中记载了一种名为“刍甍（méng）”的五面体（如图），其中四边形为矩形，.若，和都是正三角形，且，求异面直线与所成角的大小.    1．（2025高三·全国·专题练习）如图，设地球半径为，点在赤道上，为地心，点在北纬的纬线（为其圆心）上，且点共面，若，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·安徽·阶段练习）已知两条异面直线a，b所成角为，若过空间内一定点的直线l和a，b所成角均为，则这样的直线l有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 3．（2024高一下·全国·专题练习）正方体的棱长为4，点P是棱上一点(不包括端点)，若异面直线与所成角的余弦值为，则 . 4．（23-24高二·全国·课后作业）如图是无盖正方体纸盒的展开图，则原正方体中直线AB，CD所成角的大小为多少？EF与AB所成角的大小为多少？试写出你的解题过程，并说明原理？ 1．（25-26高二上·浙江·开学考试）在正方体中，异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·甘肃庆阳·期末）已知长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·辽宁大连·期末）如图，三棱柱中，点分别为的中点，则下列说法错误的是（   ）. A．四点共面 B．与是异面直线 C．∠=∠ D．三线共点 4．（24-25高一下·北京通州·期末）如图，在正方体中，点，，分别为，，的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·吉林长春·期末）已知点是正方体的棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·山东泰安·期末）如图，正方体中，，，，，，分别为棱，，，，，的中点，为的中点，连接，，对于空间任意两点，，若线段上不存在线段与上的点，则称，两点“可透视”，则与点“可透视”的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 7．（23-24高一下·河南·阶段练习）已知三棱柱中，底面ABC是边长为1的等边三角形，侧棱长为2．一质点从点A出发沿三棱柱的棱前进，若经过的第1条棱为，第条棱与第n条棱异面，则该质点运动完第2024条棱后，运动的总路程为（    ） A．3036 B．2833 C．2699 D．2698 8．（23-24高二上·河南周口·期中）如图所示为某高中校内伫立于教学楼前的“孔子像”的底座模型图，该底座可看作正方体与直三棱柱的组合体，且为等腰直角三角形，则直线与直线所成的角为（    ） A． B． C． D． 9．（22-23高二上·浙江·期中）如图1，在菱形中，，是其对角线，是上一点，且，将沿直线翻折，形成四棱锥（如图2），则在翻折过程中，下列结论中正确的是（    ）    A．存在某个位置使得 B．存在某个位置使得 C．存在某个位置使得 D．存在某个位置使得 10．（2023·海南·模拟预测）卡夫拉金字塔（如图1）由埃及第四王朝法老卡夫拉建造，可通往另一座河谷的神庙和狮身人面像，是世界上最紧密的建筑．从外侧看，金字塔的形状可以抽象成一个正四棱锥（如图2），其中，点为的中点，则，所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 11．（2023·辽宁·模拟预测）我国古代大多数城门楼的底座轮廓大致为上、下两面互相平行，且都是矩形的六面体（如图），现从某城楼中抽象出一几何体ABCD－EFGH，其中ABCD是边长为4的正方形，EFGH为矩形，上、下底面与左、右两侧面均垂直，，，，且平面ABCD与平面EFGH的距离为4，则异面直线BG与CH所成角的余弦值为 ． 12．（23-24高一·全国·课后作业）已知，，，是相应长方体或空间四边形的边或对角线的中点，则这四点必定共面的是 ．（写序号） 13．（23-24高二上·上海青浦·期末）在空间中，直线平行于直线，直线为异面直线，若，则异面直线所成角的大小为 ． 14．（23-24高二上·上海·期末）如图，在正四棱柱中，分别是棱的中点，直线过点． ①存在唯一的直线与直线和直线都相交； ②存在唯一的直线与直线和直线所成的角都是； ③存在唯一的直线与直线和直线都垂直； 以上三个命题中，所有真命题的序号是 . 15．（24-25高二上·上海黄浦·阶段练习）若两异面直线a，b所成的角为70°，过空间内一点P作于直线a，b所成角均为70°的直线l，则所作直线l的条数为 . 16．（24-25高一下·全国·课前预习）在平面内，两条直线相交形成四个角，其中不大于90度的角称为它们的夹角，用以刻画两直线的错开程度．如图，在正方体中，异面直线AB与HF的错开程度怎样来刻画？这种刻画应用的是什么数学思想？ 17．（23-24高二·上海·课堂例题）如图，在两个相交平面、的交线上任意取两点O与．在平面上，过O与分别作射线OA与垂直于；在平面上，过O与分别作射线OB与垂直于．求证：． 18．（2024高三·全国·专题练习）作出过三点的截面，其中为所在棱上中点（三条边都在正方体内部）． (1)   (2)   19． （2023高三·全国·专题练习）若一个四面体的五条棱分别与另一四面体的对应棱的对棱垂直，则这个四面体的第六条棱也与另一四面体的对应棱的对棱垂直． 20．（23-24高二上·上海浦东新·阶段练习）空间中A，B，C，D四点任意两点间距离都等于a，E为中点，在由A，B，C，D确定的四个等边三角形中，求与异面的三角形中线与所成角的大小. 学科网（北京）股份有限公司 $$