精品解析：山西省山西现代双语学校2025-2026学年高三上学期9月月考数学试题

高三年级9月月考试题 数学 满分150分，考试时间120分钟. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则= A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，则的大小关系为 A. B. C. D. 4. 函数的图像大致为 (　　) A. B. C. D. 5. 已知幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，若，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 6. 函数在上是减函数，则的取值范围是 A. B. C. D. 7. 已知是定义域为的奇函数,满足.若，则 A. B. C. D. 8. 已知函数，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设正实数，满足，则（） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 10. 已知，，，函数，则（ ） A. B. 的值域为 C. D. 11. 已知函数，若方程有四个不同的零点，，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的解集为___________ 13. 设函数的最大值为，最小值为，则=___________ . 14. 已知函数，若，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知不等式ax2+3ax+1>0， (1) 若不等式的解集是{x|-4<x<1}，求的值； (2) 若不等式的解集是R, 求的取值范围. 16. 已知函数 （1）若在区间上的最大值是，求实数a的值； （2）若函数的值域为，求不等式的实数t的取值范围． 17. 已知函数． （1）证明：函数的图像关于点对称： （2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 18. 已知定义在上的函数满足且，. （1）求的解析式； （2）若不等式恒成立，求实数取值范围； （3）设，若对任意的，存在，使得，求实数取值范围. 19. 已知过点，且满足. （1）求在上的最小值. （2）若，则称为的不动点，函数有两个不相等的不动点、，且，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级9月月考试题 数学 满分150分，考试时间120分钟. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则= A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题． 【详解】由题意得，，则 ．故选C． 【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分． 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先解不等式得，然后根据充分条件、必要条件的概念求解即可. 【详解】由得，故成立时，不一定成立， 比如，满足，但是，不满足； 反之当成立时，一定成立. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3. 已知，则的大小关系为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定的大小关系. 【详解】由题意可知，即， ，即， ，即， 综上可得. 【点睛】方法点睛：在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断；对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 4. 函数的图像大致为 (　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过研究函数奇偶性以及单调性，及函数的增长的快慢来确定函数图像. 【详解】，所以，为奇函数，故A错误； D错误； ，故当时，， 所以函数在上单调递增，且当时，， 即越大，函数值会无限增大，不会停止增长. 选项C：当时，函数图象缓慢增长，趋近一条水平直线， 函数值最终几乎不再增长，趋近某个常数，函数图象与不符，故C舍去； 选项B：当时，函数图象持续增长，且增长速度越来越快， 函数值随增大无限变大，函数图象与一致，故B正确. 【点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 5. 已知幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，若，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的图象与性质，求出的值，根据的定义域与单调性，再把不等式化为等价的不等式组，求出它的解集即可. 【详解】幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数， 所以，解得， 因为，所以或， 当时，，图象关于轴对称，不满足题意； 当时，，图象关于原点对称，满足题意， 不等式化为， ， 因为函数在上递减， 所以， 解这个不等式，得， 即实数的取值范围是，故选B . 【点睛】本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题,也考查了不等式的解法与应用问题,意在考查对基础知识掌握的熟练程度，是基础题目. 6. 函数在上是减函数，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据可知在定义域内单调递减，若使得函数在上是减函数，则需，解不等式即可. 【详解】 在定义域内单调递减 若使得函数在上是减函数 则需，解得 故选：D 【点睛】本题考查对数函数的单调性，属于中档题. 7. 已知是定义域为的奇函数,满足.若，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 详解：因为是定义域为的奇函数，且， 所以, 因此， 因为，所以， ，从而，选C. 点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解． 8. 已知函数，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先得出为奇函数，且易知在上单调递增，再解不等式即可. 【详解】令 为奇函数，且易知在上单调递增． 原不等式可转化为，，解得． 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设正实数，满足，则（） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，利用“常数代换法”结合基本不等式即可求解；对于B，平方后再利用基本不等式求解，再开方即可；对于C，直接利用基本不等式即可；对于D，由平方平均数大于等于算术平均数即可求解. 【详解】对于A，因为正实数，满足，所以， 当且仅当且，即时等号成立，故A错误； 对于B，，则， 当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，，当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故C错误； 对于D，由，可得，当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：BD. 10. 已知，，，函数，则（ ） A. B. 的值域为 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由单调性的定义可判断A；由的单调性求值域可判断B；计算可判断C；取特值可判断D. 【详解】对于A，，所以， 因为，所以，，， 所以，所以，故A正确； 对于B，，故的值域为，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，因为，，，取， 所以，， ，所以，故D错误. 故选：AC. 11. 已知函数，若方程有四个不同的零点，，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】在同一直角坐标系内作出和的图象，结合图象，可判定A正确；再由图象得到且，，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】如图所示，在同一坐标系内作出函数和的图象， 由图象知，要使得方程有四个不同的零点，只需，所以A正确； 对于B中，因为， 且函数关于对称， 由图象得，且， 所以，可得，则， 所以，其中， 令，当且仅当时，取得最小值， 所以，所以B正确； 对于C中，是的两个根， 所以，即，所以， 由是的两个根，所以， 所以，所以C不正确； 对于D中，由，可得， 令，可得函数在上单调递增， 所以，即，，所以D正确. 故选：ABD. 【点睛】知识方法点拨：求解复合函数的零点个数或方程解的个数与范围问题的策略： 1、先换元解“套”，令，则，再作出和的图象； 2、由函数的图象观察有几个的值满足条件，结合的值观察的图象，求出每一个被对应，将的个数汇总后，即为的根的个数，即“从外到内”. 3、由零点的个数结合与的图象特点，从而确定的取值范围，进而决定参数的范围，即“从内到外”，此法成为双图象法（换元+数形结合）. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的解集为___________ 【答案】 【解析】 【分析】利用移项, 通分, 转化整式不等式求解即可. 【详解】由, 可得, 即, 所以, 解得, 所以原不等式的解集为. 故答案为: . 13. 设函数的最大值为，最小值为，则=___________ . 【答案】2 【解析】 【详解】，令，则为奇函数， 所以的最大值和最小值和为0，又. 有，即. 答案为：2. 14. 已知函数，若，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数型函数的单调性，结合对勾函数的单调性，运用换元法、数形结合法进行求解即可. 【详解】因为时，单调递减，而单调递增， 所以在上单调递减， 又时，， 所以在单调递减，在单调递增， 画出的图象如下图， 令，则， 由,得， 由,，得， 所以，由图象知，不可能， 所以， 如下图， 由,得，， 由,得. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知不等式ax2+3ax+1>0， (1) 若不等式的解集是{x|-4<x<1}，求的值； (2) 若不等式的解集是R, 求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】(1)由题意结合不等式的解集和韦达定理即可求得实数a的值； (2)由题意分类讨论a=0和a≠0两种情况即可确定实数a的取值范围. 【详解】(1)由题意可得：且是一元二次方程的两个实数根， 结合韦达定理有：，据此可得：； (2)当时，不等式为，其解集为R，满足题意， 当时，应满足：，即：，此时， 综上可得，的取值范围是. 【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 16. 已知函数 （1）若在区间上的最大值是，求实数a的值； （2）若函数的值域为，求不等式的实数t的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】(1) 分两种情况讨论，利用对数函数单调性和最值，即可求解； (2) 设，则因为函数的值域为，求的值，利用单调性和定义域解对数不等式. 【小问1详解】 ）① 当时，在上单调递减， 所以,解之可得， ② 当时，在上单调递减， 所以，可得， 综上所述：或. 【小问2详解】 设，则， 因为函数的值域为，即， 所以， 即，得， 根据是单调递增函数，设 则， 所以实数t的取值范围是. 17. 已知函数． （1）证明：函数的图像关于点对称： （2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） 函数的定义域为， 依题意，， 所以函数的图像关于点对称． （2）． 【解析】 【分析】（1）由即可求证； （2）参变分离得到，再通过换元，借助二次函数求最值即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，， 由已知，不等式恒成立， 因为，所以， 以上不等式可化为：， 整理得，， 设，由，知，上式可转化为，， 因为，由，知，所以， 所以实数的取值范围为． 18. 已知定义在上的函数满足且，. （1）求的解析式； （2）若不等式恒成立，求实数取值范围； （3）设，若对任意的，存在，使得，求实数取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据列方程，求解即可； （2）根据函数的单调性化简不等式，分离参数，利用基本不等式求最值即可； （3）由题意得，先根据函数的单调性求得，再求解使得成立的实数取值范围即可. 【小问1详解】 由题意知，， 即，所以， 故 【小问2详解】 由（1）知，， 所以在上单调递增， 所以不等式恒成立等价于恒成立， 即恒成立. 设，则，，当且仅当，即时，等号成立 所以， 故实数的取值范围是 【小问3详解】 因为对任意的，存在，使得， 所以在上的最小值不小于在上的最小值， 因为在上单调递增， 所以当时，， 又的对称轴为，， 当时，在上单调递增，，解得， 所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得，所以； 当时，在上单调递减，，解得， 所以， 综上可知，实数的取值范围是 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，. （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集. 19. 已知过点，且满足. （1）求在上的最小值. （2）若，则称为的不动点，函数有两个不相等的不动点、，且，求的最小值. 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）已知条件代入可求得，然后根据对称轴与区间的关系分类讨论求得最小值； （2）利用一元二次方程根的分布知识求得的范围，利用韦达定理表示出，再结合换元法，基本不等式求得最小值． 【小问1详解】 由题， ， 当时，在上单调递增， ， 当即时， 在上单调递减，上单调递增， ， 当即时，在上单调递减， ， 【小问2详解】 ， 有两个不相等的不动点，且， 即有两个不等的正根， ，解得， ，， ， ， 令，，则，， ， （当且仅当，即时取“”）， 的最小值为6． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $