2.1 圆(1) 学案 2025-2026学年苏科版九年级上册数学

第二章对称图形——圆 2. 1圆(1) 【学习目标】 1. 理解圆的定义(圆的描述定义和圆的集合定义). 2. 了解点和圆的三种位置关系. 3. 会利用点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系判定点和圆的位置关系. 【学习过程】 活动1用手头上的工具画一个圆，并尝试描述什么叫做圆. 数学认识： 活动2平面内的点被一个圆分成几类?它们各有什么特征? 数学认识： 例 1 设PQ=2cm. (1)画出下列图形：到点P 距离等于1cm 的点的集合；到点Q 距离等于1.5cm 的点的集合. (2)在所画图中，到点P 的距离等于1cm, 且到点Q 的距离等于1.5cm 的点有几个?请在图 中将它们表示出来. (3)在所画图中，到点P 的距离小于或等于1cm, 且到点Q 的距离大于或等于1.5cm 的 点 的集合是怎样的图形?把它表示出来. 例2如图，在△ABC 中，∠C=90°, 求证：A、B、C 三点在同一个圆上. A B C 课时练习 1.已知⊙O 的直径是6cm,P 为一点，若OP=4cm, 则点P 在 ⊙O ; 若OP=3cm, 则点P 在⊙O ;若OP=2cm, 则点P 在⊙O .(填内、外、上). 2.设 AB=4, 作出满足下列要求的图形： (1)到点A 和 点B 的距离都等于3的所有点组成的图形； (2)到点A 和 点B 的距离都小于3的所有点组成的图形. 3.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90° . 求证：四边形ABCD的四个顶点在同一个圆上. ( B ) 4.(1)已知⊙A 的直径为8cm,且点B在⊙A上，那么AB= cm; (2)已知⊙O的半径是3cm, 且OP=2cm,OQ=3cm, 则 点P 、Q 与⊙O 的位置关系是：点P 在⊙O , 点Q在⊙O ; (3)正方形ABCD的边长为1cm, 对角线AC 、BD 相交于点O, 以 点A为圆心，1cm 长为半径画圆，则点 B、C、D、0 与⊙A 的位置关系为：点B 在⊙A , 点C 在⊙A , 点D 在⊙A , 点○在⊙A 5.判断题(正确的打“√”,错误的打“×”): (1)圆上任意一点到圆心的距离都相等； ( ) (2)已知⊙O 的半径为5,若OP<5, 则 点P在⊙O 外； ( ) (3)若要确定一个圆，则只要已知这个圆的半径即可； ( ) (4)菱形的四个顶点一定在同一个圆上. ( ) 6. 已知：如图，AB=3cm, 用图形表示：到点A的距离小于2cm, 且到点B的距离大于2cm 的所有点的集合. A B 7. 如图，有一张矩形纸片ABCD, 量得AB=3cm,AD=4cm.若以点A为圆心画圆，并且要使点D在 ⊙A 内，而点C 在⊙A 外 ，OA 的半径r的取值范围是多少? 8. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=4,BC=3,E 、F分别是AB 、AC的中点. 以点 B为圆心，BC 为半 径画圆，判断点A、C、E、F 与⊙B 的位置关系，并说明理由. 9. 已知：如图，AC⊥BC,AD⊥BD, 垂足分别为C、D. 求证：点A、 B、C、D在同一个圆上. 10.如图，在小路DF的右侧是一片草地，紧靠小路建有一正方形小屋ABCD, 现用一根长 为6m的绳子一端系住牛鼻，另一端系在A处已知正方形小屋的边长为3m, 那么这头牛 最多能吃到多大面积草地上的草?请画出示意图. 课时练习答案 1. 填空题 已知⊙O的直径是6cm（半径r=3cm）： 若OP=4cm，则点P在 ⊙O外； 若OP=3cm，则点P在 ⊙O上； 若OP=2cm，则点P在 ⊙O内。 2. 作图题 (1) 到点A和点B的距离都等于3的点组成的图形： 分别以A、B为圆心，3为半径画圆，两圆的 两个交点 即为所求图形（两圆交点的集合）。 (2) 到点A和点B的距离都小于3的点组成的图形： 分别以A、B为圆心，3为半径画圆，两圆 重叠部分的内部区域（不包括边界）。 3. 证明题（四边形ABCD中，∠A=∠C=90°） 证明： 连接BD，取BD中点O，连接OA、OC。 在Rt△ABD中，OA为斜边BD中线，故OA=0.5BD； 在Rt△BCD中，OC为斜边BD中线，故OC=0.5BD； 因此OA=OB=OC=OD，即A、B、C、D四点在以O为圆心、0.5BD为半径的圆上。 4. 综合题 (1) ⊙A的直径为8cm，点B在⊙A上，则AB=4cm（半径等于直径的一半）。 (2) ⊙O半径为3cm： OP=2cm<3cm，点P在 ⊙O内； OQ=3cm=r，点Q在 ⊙O上。 (3) 正方形ABCD边长为1cm，以A为圆心、1cm为半径画圆： AB=1cm=r，点B在 ⊙O上； AC=2cm>1cm，点C在 ⊙O外； AD=1cm=r，点D在 ⊙O上； AO=0.5cm<1cm，点O在 ⊙O内。 5. 判断题 (1) √（圆上点到圆心距离等于半径，均相等）。 (2) ×（OP<5时，点P在⊙O内）。 (3) ×（确定圆需圆心和半径两个要素）。 (4) ×（菱形对角线不一定相等，四个顶点不一定共圆）。 6. 作图题（AB=3cm） 到点A距离小于2cm且到点B距离大于2cm的点的集合： 以A为圆心、2cm为半径画圆（内部区域），以B为圆心、2cm为半径画圆（外部区域），两区域的 重叠部分（不包括边界）。 7. 矩形纸片问题（AB=3cm，AD=4cm） 以A为圆心，点D在⊙A内、点C在⊙A外： AD=4cm，故r>4cm； AC=3+2=5cm，故r<5cm； 半径r的取值范围：4cm < r < 5cm。 8. Rt△ABC问题（∠C=90°，AC=4，BC=3，B为圆心，BC为半径） BC=3cm（半径r=3cm）； BA=5cm>3cm，点A在 ⊙B外； BC=3cm=r，点C在 ⊙B上； BE=12AB=2.5cm<3cm，点E在 ⊙B内； 点F在 ⊙B外。 9. 四点共圆证明（AC⊥BC，AD⊥BD） 证明： 取AB中点O，连接OC、OD。 在Rt△ACB中，OC=0.5AB；在Rt△ADB中，OD=0.5AB； 故OA=OB=OC=OD，点A、B、C、D在以O为圆心的圆上。 10. 牛吃草问题（正方形小屋ABCD边长3m，绳长6m，系于A处） 牛能吃到草的面积:45/4πm2 示意图：以A为圆心画大圆，B、D为圆心画两个小扇形，覆盖小屋右侧草地区域。 学科网（北京）股份有限公司 $