精品解析：湖南省益阳市第一中学2025-2026学年高二上学期入学测试数学试题

益阳市第一中学高二入学测试 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 命题：益阳市第一中学 高一数学备课组 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，答题卡交回. 4.考试范围：人教A版2019必修一+必修二+选必一空间向量. 第一部分（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数（其中为虚数单位），则复数的模为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先化简，然后利用模的公式进行求解即可 【详解】因为， 所以 故选：B 2. 关于向量，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，只说明向量模长相等，但向量的方向不一定相同，所以不一定等于，A错误； 对于B，若，零向量和任意向量平行，此时、，但与不一定平行，B错误； 对于C，说明与方向相反，方向相反的两个向量是平行向量，即，C正确； 对于D，向量既有大小又有方向，向量不能直接比较大小，只有模长可以比较，D错误． 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两角和的正弦公式及二倍角的正切公式化简即可得解. 【详解】由可得， 即， 所以. 故选：C 4. 某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，，50，从中抽取6个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行： 66 67 40 37 14 64 05 71 11 05 65 09 95 86 68 76 83 20 37 90 57 16 03 11 63 14 90 84 45 21 75 73 88 05 90 52 23 59 43 10 若从表中第1行第6列开始向右依次读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ） A. 57 B. 50 C. 40 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】结合随机数表法定义，按照题意依次读出前个数即可. 【详解】从随机数表第1行的第6列数字开始由左向右每次连续读取2个数字，删除超出范围及重复的编号， 符合条件的编号有03，46，40，11，10，50，所以选出来的第6个个体的编号为50. 故选：B. 5. 已知点，则点A到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求与同方向的单位向量和的坐标，代入点到直线的距离的向量公式即得. 【详解】由题意，, 则与同方向的单位向量为，又, 于是，点A到直线的距离是：. 故选：B. 6. 在正四面体中，分别是棱中点，则直线与所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把正四面体放置在一个正方体中，证得，得到异面直线与所成角，即为直线与所成角，设正方体的棱长为，在中，利用余弦定理，求得的值，进而得到答案. 【详解】把正四面体放置在一个正方体中，如图所示， 因为点分别是棱中点， 则在正方体中，分别为上下底面正方形的对角线的中点， 因为，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 则异面直线与所成角，即为直线与所成角， 设正方体的棱长为，可得， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 在中，可得， 因为，所以. 故选：A. 7. 如图，在中，是的中点，是的中点，过点作直线分别交于点，，且，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】计算得，再利用三点共线结论得系数和为1，即，再利用基本不等式求出最值即可. 【详解】因为是的中点，且， 所以. 因为三点共线，所以， 即，所以， 当且仅当时，等号成立. 故选：A. 8. 小明工作日每天往返于家和公司办公室，有两把雨伞用于上下班，如果上班时天下雨，他将拿一把去办公室，如果下班时天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】“至少有一天淋雨”的对立事件为“两天都不淋雨”,对下雨的次数进行分类讨论，求出各种情况下，两天都不淋雨的概率，再结合对立事件的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】“至少有一天淋雨”的对立事件为“两天都不淋雨”，连续上两天班，上班、下班的次数共有次． （1）次均不下雨，概率为； （2）有次下雨但不淋雨，则第一天或第二天上班时下雨，概率为； （3）有次下雨但不淋雨，共种情况： ①同一天上下班均下雨； ②两天上班时下雨，下班时不下雨； ③第一天上班时下雨，下班时不下雨，第二天上班时不下雨，下班时下雨， 概率为； （4）有次下雨但不被淋雨，则第一天或第二天下班时不下雨，概率为； （5）次均下雨，概率为：； 两天都不淋雨的概率为， 所以至少有一天淋雨的概率为：， 故选：C． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递减 C. 直线为的一条对称轴 D. 若为偶函数，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据图象得到，然后根据正弦型函数的性质进行逐一判断. 【详解】由图可知：，，则， 当时，函数取得最大值，所以，又，所以. 所以. 对A，的最小正周期为，正确； 对B，，令，则，可知在不是单调的，故错误； 对C，由，所以，所以取得最小值-3，直线为的一条对称轴，故正确； 对D，为偶函数，所以，故正确. 故选：ACD. 10. 有一组互不相等的数组成的样本数据、、、，其平均数为（，、、、），若插入一个数，得到一组新的数据，则（ ） A. 两组样本数据的平均数相同 B. 两组样本数据的中位数相同 C. 两组样本数据的方差相同 D. 两组样本数据的极差相同 【答案】AD 【解析】 【分析】利用平均数公式可判断A选项；利用中位数的定义可判断B选项；利用方差公式可判断C选项；利用极差的定义可判断D选项. 【详解】由已知可得. 对于A选项，新数据的平均数为，与原数据的平均数相等，A对； 对于B选项，不妨设，则原数据的中位数为， 若，则中位数为， 若，则中位数为，B错； 对于C选项，新数据的方差为 ，C错； 对于D选项，不妨设，则，故新数据的极差仍为，D对. 故选：AD. 11. 在棱长为1的正方体中，为棱上一点，且，为正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（ ） A. 若平面，则动点的轨迹是一条长为的线段 B. 不存在点，便得平面 C. 三棱锥的最大体积为 D. 若且与平面所成的角最大时，三棱锥的体积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】在取点，使得，证得平面平面，进而得到平面，可判定A不正确；以为原点，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，根据，得出矛盾，可判定B正确；利用向量的数量积的运算及三角形的面积公式，求得,在求得点到平面的最大距离，结合体积公式，可判定C正确；根据题意，求得点点的轨迹，结合线面角的公式，求得时，取得最大值，进而求得三棱锥的体积，可判定D正确. 【详解】对于A中，如图所示，分别在取点，使得， 可得，因为，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又由，且平面，平面，所以平面， 又因为，且平面，所以平面平面， 且平面平面， 若平面，则动点的轨迹为线段，且，所以A不正确； 对于B中，以为原点，以所在的直线分别为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 可得，则， 设，可得， 设是平面的一个法向量，则， 取，可得，所以， 若平面，则，所以存在，使得， 则，所以不存在点，使得平面，所以B正确； 对于C中，由，可得， 则，所以， 所以, 要使得三棱锥的体积最大，只需点到平面的距离最大， 由，可得点到平面的距离， 因为，所以当时，即点与点重合时，可得， 所以三棱锥的最大体积为，所以C正确； 对于D中，在正方体中，可得平面，且平面， 所以，则， 所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆弧，其圆心角为， 则，所以，即， 又由，设与平面所成的角， 所以， 因为，可得，当且仅当时，等号成立， 所以，即时，与平面所成的角最大值，即， 可得，则点到平面的距离为， 此时三棱锥的体积为，D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点拨：求解立体几何中的动态问题与存在性问题的策略： 1、解答方法：一般时根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程； 2、对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后再该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设； 3、对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若由解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在，同时，用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导思想是解答此类问题的关键. 第二部分（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k的值. 【详解】由题意可得：， 由向量垂直的充分必要条件可得：， 即：，解得：. 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 13. 已知正四棱台的高为，上、下底面边长分别为2和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正四棱台的结构特征和性质求出球的半径，进而可求出球的表面积. 【详解】 设正四棱台上、下底面所在截面圆的半径为，则， 若球心到上底面距离为，球体半径为，则球心到下底面距离为， 所以，可得，则， 所以球体的表面积为. 故答案为： 14. 直线经过函数图象的对称中心，则的最小值为__________. 【答案】9 【解析】 【分析】根据函数单调性分析可知函数的对称中心为，进而可得，结合乘“1”法求最值. 【详解】对于函数， 令，解得且，可知函数的定义域为， 因为 ， 可知函数的对称中心为， 由题意可知：直线经过点， 则，即， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为9. 故答案为：9. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知关于x的方程的两个虚数根为，. （1）求的取值范围； （2）若，求实数a的值. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可得a的范围，再运用即可求得结果. （2）设出、，利用韦达定理及即可求得结果. 【小问1详解】 由题意知，，解得：， ，， 所以， 又因为，所以， 所以，即：. 所以的取值范围为. 【小问2详解】 由（1）知，，，， 设，，（） 则，① ，② 又因为，③ 所以由①②③得：. 16. 中，内角所对的边分别是，若， （1）求的大小； （2）若AC边的中线为，求BC边上的高的大小； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，根据诱导公式、和差公式辅助角公式即可求解； （2）在中利用余弦定理可求出，在中利用余弦定理可求出，再利用面积公式即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理知：， 可得：， 又，则， 代入上式，可得， 所以，由于， 可得，即， 由，所以，所以. 【小问2详解】 在中，， 所以，解得（舍负）， 又即， 由， 所以，可得BC边上的高. 17. 某校高一年级半期考试测试后，为了解本次测试的情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为，共6组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）在样本中，采取等比例分层抽样的方法从成绩在［90，150］内的学生中抽取13名，则成绩在［130，150］的同学有几个？ （2）根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，试估计本次考试的平均分和众数； （3）若年级计划对本次测试优异的同学进行表彰，且表彰人数不超过，根据样本数据，试估计获得表彰的同学的最低分数. 【答案】（1）2 （2）众数为：100，平均数为98 （3）134分 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，求出参数，根据分层抽样的规则，计算抽取人数； （2）根据频率分布直方图估计平均分和众数的方法，计算总体的平均数和众数； （3）根据频率分布直方图估计总体第百分位数的方法，计算最低分数. 【小问1详解】 由性质知：，故， 采取分层抽样：[130，150]的同学个数为：. 【小问2详解】 由频率分布直方图知：众数为：100； 平均数为：； 【小问3详解】 由于成绩在[130，150]的频率为0.1， 故最低分数预计为：； 即估计获得表彰的同学的最低分数为134分. 18. 如图，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，，⊥平面，为上一点，且⊥，连接. （1）证明:⊥平面 ； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1） 因为⊥平面，平面， 所以⊥.又⊥，且，平面， 所以⊥平面. 因为，所以⊥平面； （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直得到⊥，又⊥，从而得到线面垂直，根据得到答案； （2）作出辅助线，求出各边长，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出两平面的法向量，利用法向量夹角余弦公式进行求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 作⊥，垂足为.则，又， 所以四边形是平行四边形，又⊥， 所以四边形是矩形，又四边形为等腰梯形， 且，，所以. 由（1）知⊥平面，又平面，所以⊥. 又，所以，在Rt中，. 在Rt中，. 以B为原点，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立如图所示空间直角坐标系. 则， 所以，，，， 设平面的法向量为， 由，得， 解得，令，则，故， 设平面的法向量为， 由，得， 令得，， 可得， 因此. 故平面ABF与平面DBE的夹角的余弦值为. 19. 在平面直角坐标系xOy中，定义向量为函数的有序相伴向量. （1）设（），写出函数的有序相伴向量； （2）若的有序相伴向量为，若函数，，与直线有且仅有二个不同的交点，求实数k的取值范围； （3）若的有序相伴向量为，当函数在区间上时值域为，则称区间为函数的“和谐区间”.当时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在，有唯一“和谐区间” 【解析】 【分析】（1）化简得到，得到有序相伴向量； （2）先得到，进而得到，其中，，画出图象，数形结合得到结论； （3）由，得，分a，，a，，三种情况，将的情况再细分为和两种情况，结合函数图象及定义域和值域，推出有唯一“和谐区间”． 【小问1详解】 因为， 所以函数的有序相伴向量； 【小问2详解】 若的有序相伴向量为，则， 所以 ，其中，， 如图所示为的草图： ，，， 由图象可知，若函数与直线有且仅有2个不同的交点， 则或，所以； 【小问3详解】 有唯一“和谐区间”，理由如下： ，假设存在“和谐区间”， 则由，得， ①若a，，则由，知，与值域矛盾， 故不存在“和谐区间”； ②同理a，时，由，知，与值域矛盾， 故不存在“和谐区间”； 下面讨论， ③若，则，故的最小值为，于是， 所以，所以的最大值为2，故， 此时的定义域为，值域为，符合题意； ④若，当时，同理可得，，但此时，舍去； 当时，在上单调递减，所以，， 于是， 令，则有， 又为奇函数，且在单调递增， 所以，所以 即，同一坐标系内，画出图象与，如下： 可知，当时，， 所以，从而，矛盾． 综上所述，有唯一“和谐区间”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 益阳市第一中学高二入学测试 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 命题：益阳市第一中学 高一数学备课组 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，答题卡交回. 4.考试范围：人教A版2019必修一+必修二+选必一空间向量. 第一部分（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数（其中为虚数单位），则复数的模为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 2. 关于向量，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，，50，从中抽取6个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行： 66 67 40 37 14 64 05 71 11 05 65 09 95 86 68 76 83 20 37 90 57 16 03 11 63 14 90 84 45 21 75 73 88 05 90 52 23 59 43 10 若从表中第1行第6列开始向右依次读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ） A. 57 B. 50 C. 40 D. 10 5. 已知点，则点A到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 6. 在正四面体中，分别是棱中点，则直线与所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，是的中点，是的中点，过点作直线分别交于点，，且，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8. 小明工作日每天往返于家和公司办公室，有两把雨伞用于上下班，如果上班时天下雨，他将拿一把去办公室，如果下班时天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递减 C. 直线为的一条对称轴 D. 若为偶函数，则 10. 有一组互不相等的数组成的样本数据、、、，其平均数为（，、、、），若插入一个数，得到一组新的数据，则（ ） A. 两组样本数据的平均数相同 B. 两组样本数据的中位数相同 C. 两组样本数据的方差相同 D. 两组样本数据的极差相同 11. 在棱长为1的正方体中，为棱上一点，且，为正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（ ） A. 若平面，则动点的轨迹是一条长为的线段 B. 不存在点，便得平面 C. 三棱锥的最大体积为 D. 若且与平面所成的角最大时，三棱锥的体积为 第二部分（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________. 13. 已知正四棱台的高为，上、下底面边长分别为2和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_________. 14. 直线经过函数图象的对称中心，则的最小值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知关于x的方程的两个虚数根为，. （1）求的取值范围； （2）若，求实数a的值. 16. 中，内角所对的边分别是，若， （1）求的大小； （2）若AC边的中线为，求BC边上的高的大小； 17. 某校高一年级半期考试测试后，为了解本次测试的情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为，共6组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）在样本中，采取等比例分层抽样的方法从成绩在［90，150］内的学生中抽取13名，则成绩在［130，150］的同学有几个？ （2）根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，试估计本次考试的平均分和众数； （3）若年级计划对本次测试优异的同学进行表彰，且表彰人数不超过，根据样本数据，试估计获得表彰的同学的最低分数. 18. 如图，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，，⊥平面，为上一点，且⊥，连接. （1）证明:⊥平面 ； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 19. 在平面直角坐标系xOy中，定义向量为函数的有序相伴向量. （1）设（），写出函数的有序相伴向量； （2）若的有序相伴向量为，若函数，，与直线有且仅有二个不同的交点，求实数k的取值范围； （3）若的有序相伴向量为，当函数在区间上时值域为，则称区间为函数的“和谐区间”.当时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $