精品解析：湖南省长沙市名校联考联合体2025-2026学年高二上学期第一次联考（暨入学摸底考试）数学试卷

名校联考联合体 2025年秋季高二第一次联考（暨入学摸底考试） 数学 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 设z=i(2+i)，则= A. 1+2i B. –1+2i C. 1–2i D. –1–2i 2. 样本数据2，6，5，13，4，8的第60百分位数为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 13 3. 已知非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形的面积为（ ） A. 1 B. C. D. 3 5. 工厂组织全体员工就作业能力进行测试，全体员工得分均在内，将其分成，， ，，，共六组，数据绘制成如图所示的频率分布直方图，若该工厂共有名员工，则估计得分少于分的人数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. 6 D. 7. B-S模型在金融、物理等学科具有重要应用.在进行正态分布的合理调整之后，可得一种B-S模型的定价公式：，其中代表期权的初始合理价格与金融资产现价之差，为执行价格，为利率，为期权的有效期.已知，，，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 在中，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若实数，满足，则的可能取值有（ ） A. B. C. 3 D. 1 10. 已知直三棱柱的各个顶点均在球的表面上，且，，，则（ ） A. ，为异面直线 B. 球的体积为 C. 平面 D. 直线与平面的夹角为 11. 对于集合M中元素之间的一个关系“-”满足以下三个条件： ①，； ②，若，则； ③，若，，则. 则称“-”是集合M的一个等价关系.例如：“图形的相似性”是所有平面几何图形构成的集合的一个等价关系，而“直线的平行关系”不满足条件①，所以不是等价关系.据此，下列关系中为等价关系的是（ ） A. 方程的同解 B. 向量的共线 C. 集合的包含 D. 命题的充要条件 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知第二象限角满足，则______. 13. 已知平面向量，，若向量在向量方向上的投影向量的模为，则_____. 14. 在三棱锥中，点到平面的距离为6，点D，E为边，的中点，且为正三角形，若，则点到平面的距离为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设复数，，其中. （1）若，求的值； （2）若在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围； （3）探究是否存在，使得，并说明理由. 16. 已知，，分别是的内角，，的对边，且. （1）求; （2）若,且的面积为，求的周长. 17. 如图，三棱柱中，，且P，Q分别为线段与的中点.已知平面. （1）证明：； （2）证明：为二面角的平面角； （3）若，且，求二面角的大小 18. 某班级有50名学生，现在发起自愿订阅语文、数学、英语资料的活动，已知订阅语文资料的学生有名，订阅数学资料的学生有名，订阅英语资料的学生有名，且.从50名学生中随机抽取一名学生，记“订阅了语文资料”，“订阅了数学资料”，“订阅了英语资料”，. （1）若，，，求这三个数据的平均数和方差； （2）若，，求的最大值； （3）求的最小值.（参考公式：对于随机事件A，B，C有 19. 已知函数，，且在区间上单调递增，记的最大值为，设. （1）求的解析式； （2）在中，，，其内切圆半径为，所在平面内一点满足. （ⅰ）求的最大值； （ii）当取得最大值时，求长的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 名校联考联合体 2025年秋季高二第一次联考（暨入学摸底考试） 数学 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 设z=i(2+i)，则= A. 1+2i B. –1+2i C. 1–2i D. –1–2i 【答案】D 【解析】 【分析】本题根据复数的乘法运算法则先求得，然后根据共轭复数的概念，写出． 【详解】， 所以，选D． 【点睛】本题主要考查复数的运算及共轭复数，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求．部分考生易出现理解性错误． 2. 样本数据2，6，5，13，4，8的第60百分位数为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数的求法计算即可. 【详解】将样本数据按照从小到大的顺序排列为2，4，5，6，8，13， 由于6×0.6=3.6，3.6不为整数，故第60百分位数为6， 故选：C. 3. 已知非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系. 【详解】如图所示，，当时，与垂直， ，所以成立，此时， 不是的充分条件， 当时，成立， 是的必要条件， 综上，“”是“”的必要不充分条件 故选：B. 4. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形的面积为（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出梯形的面积，再利用原平面图形面积与直观图面积的关系求出平面图形的面积. 【详解】在梯形中，，则该梯形的高为， 梯形的面积为， 在斜二测画法中，原图形的面积是对应直观图面积的， 所以平面图形的面积. 故选：D 5. 工厂组织全体员工就作业能力进行测试，全体员工得分均在内，将其分成，， ，，，共六组，数据绘制成如图所示的频率分布直方图，若该工厂共有名员工，则估计得分少于分的人数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据频率分布直方图的性质得到分数小于的频率，进而得到人数. 【详解】由频率分布直方图，，解得. 因为得分小于的频率为，故估计得分少于分的人数为. 故选：C. 6. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】判断函数奇偶性，利用奇函数的定义求解即可. 【详解】易得的定义域为，且 故为奇函数，故. 故选：A. 7. B-S模型在金融、物理等学科具有重要应用.在进行正态分布的合理调整之后，可得一种B-S模型的定价公式：，其中代表期权的初始合理价格与金融资产现价之差，为执行价格，为利率，为期权的有效期.已知，，，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意建立相应的式子，然后化简即可. 【详解】由题意知：，即， 也即， 由题意有：，以及， 可得：，所以， 故选：A. 8. 在中，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意先由正弦定理化简可得，即得，从而可求解. 【详解】设，，， 则， 故由正弦定理可知， ， 于是， 其中，当且仅当时，等号成立，故B正确. 故选:B. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若实数，满足，则的可能取值有（ ） A. B. C. 3 D. 1 【答案】AD 【解析】 【分析】法一：看成关于的一元二次方程，由题意得，列不等式求解即可；法二：由，列不等式求解即可. 【详解】法一：由题意知关于的一元二次方程有解， 所以，解得， 所以AD符合题意，BC不符合题意. 法二：由， 解得，所以AD符合题意，BC不符合题意. 故选：AD. 10. 已知直三棱柱的各个顶点均在球的表面上，且，，，则（ ） A. ，为异面直线 B. 球的体积为 C. 平面 D. 直线与平面的夹角为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据异面直线定义判断；对于B，由正弦定理可得，求得球的半径，根据球的体积公式计算即可；对于C，当时，平面；对于D，由平面，根据线面角定义计算即可. 【详解】对于A，直线在底面内，直线与底面交于点C,因 不在直线上，故两直线不相交, 又球心在底面外，故两直线不平行，所以与为异面直线，故A正确； 对于B，记的外心为，由正弦定理得， 而，故球的半径， 故其体积，故B正确； 对于C，当为等腰三角形时，即，， 在直三棱柱中，， 因为平面，平面， 所以平面， 如图，连接，因为是等边三角形， 所以，， 因为，所以， 因为平面，平面 所以平面， 因为，且平面， 所以平面平面， 因为平面，所以此时平面，故C错误； 对于D，在直三棱柱中，显然平面， 记直线与平面的夹角为， 易知，而，故，故D正确， 故选：ABD. 11. 对于集合M中元素之间的一个关系“-”满足以下三个条件： ①，； ②，若，则； ③，若，，则. 则称“-”是集合M的一个等价关系.例如：“图形的相似性”是所有平面几何图形构成的集合的一个等价关系，而“直线的平行关系”不满足条件①，所以不是等价关系.据此，下列关系中为等价关系的是（ ） A. 方程的同解 B. 向量的共线 C. 集合的包含 D. 命题的充要条件 【答案】AD 【解析】 【分析】需要逐一分析每个选项，判断其是否满足等价关系的三个条件：自反性，对称性和传递性. 【详解】对于A，①方程本身与其自身同解，②若方程A与方程B同解，则方程B与方程A同解， ③若方程A与方程B同解，方程B与方程C同解，则方程A与方程C同解，故方程的同解是等价关系，A正确； 对于B，零向量与任意向量共线，故不符合条件③，B错误； 对于C，若集合A包含集合B，集合B不一定包含集合A，不符合条件②，C错误； 对于D，①命题p是命题p自身的充要条件，②若命题p是命题q的充要条件， 则命题q是命题p的充要条件，③若命题p是命题q的充要条件， 命题q是命题r的充要条件，则命题p是命题r的充要条件，D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知第二象限角满足，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先利用同角三角函数的基本关系求，再利用二倍角的正切公式求. 【详解】由题意可得，故，即， 故. 故答案为： 13. 已知平面向量，，若向量在向量方向上的投影向量的模为，则_____. 【答案】5或 【解析】 【分析】根据向量线性运算求出的坐标，再根据投影向量的概念即可求出答案. 【详解】由题意可得， 故向量在向量上的投影向量的模长为， 由题意可得，解得或. 故答案为：5或. 14. 在三棱锥中，点到平面的距离为6，点D，E为边，的中点，且为正三角形，若，则点到平面的距离为_____. 【答案】6 【解析】 【分析】根据三棱锥的体积公式及求解即可. 【详解】因为点D，E为边，的中点，所以， 因此，故也为正三角形，且边长为的两倍，面积是四倍， 设的面积为S，则的面积为. 三棱锥的体积为， 设点到平面的距离为，三棱锥的体积为. 所以三棱锥的体积也为， 又因为点D，E为边，的中点，所以，相似比为，面积比为，故三棱锥与三棱锥的体积之比为， 所以，即. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设复数，，其中. （1）若，求的值； （2）若在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围； （3）探究是否存在，使得，并说明理由. 【答案】（1） （2） （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据复数模的公式，列方程，即可求解； （2）求出复数对应的点的坐标，列不等式求解； （3）首先计算，再根据复数的特征，列式求解. 【小问1详解】 ，， 令，解得，即. 【小问2详解】 ， 其在复平面内对应的点为，由题意可得解得. 【小问3详解】 ，令， 该方程无实数解，故不存在，使得. 16. 已知，，分别是的内角，，的对边，且. （1）求; （2）若,且的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，可得，由和差角公式可得求解， （2）根据同角关系可得，进而由面积公式得，利用余弦定理即可求解. 【小问1详解】 在中，， 由正弦定理得:，则， 即，即， 由正弦定理得，即; 【小问2详解】 由，,得， 则，得， 由余弦定理得， 即，整理得， 即，解得， 则， 所以的周长为. 17. 如图，三棱柱中，，且P，Q分别为线段与的中点.已知平面. （1）证明：； （2）证明：为二面角的平面角； （3）若，且，求二面角的大小 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）60° 【解析】 【分析】（1）根据三棱柱的性质可得四边形为平行四边形，由此判断其中位线与棱平行，进而得到； （2）先证明,根据二面角的平面角的定义即可证明为二面角的平面角. （3）先确定二面角的平面角为, 根据四边形为平行四边形，得，利用已知条件求出,即可得到二面角的大小. 【小问1详解】 由三棱柱的性质，四边形为平行四边形，故. 又P，Q分别为线段与的中点，则有. 所以四边形为平行四边形，所以. 因为三棱柱所有侧棱都平行，所以，故. 【小问2详解】 因为平面，平面，故. 又，由三棱柱的性质知：，，所以. 又为线段的中点，故. 由于，，且，平面，故平面. 因为平面，故. 由(1)可知：，所以 因为平面平面,平面,平面且，，所以为二面角的平面角. 【小问3详解】 由(1)可知：，所以四边形为平行四边形,所以平面即为平面. 由(1)平面，因为，所以平面. 连接，因为，且P为线段的中点，所以 由(2),所以, 因为平面平面,平面,平面,所以为二面角的平面角， 由于，且为线段的中点，故. 又，故为等边三角形，不妨设，则. 由于，，故为等腰直角三角形，故. 故中，，故. 因为四边形为平行四边形,所以. 所以二面角的大小为. 18. 某班级有50名学生，现在发起自愿订阅语文、数学、英语资料的活动，已知订阅语文资料的学生有名，订阅数学资料的学生有名，订阅英语资料的学生有名，且.从50名学生中随机抽取一名学生，记“订阅了语文资料”，“订阅了数学资料”，“订阅了英语资料”，. （1）若，，，求这三个数据的平均数和方差； （2）若，，求的最大值； （3）求的最小值.（参考公式：对于随机事件A，B，C有 【答案】（1）平均数15，方差6 （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）根据平均数与方差的概念进行计算. （2）根据古典概型概率计算公式计算可得. （3）根据和事件的概率公式继续计算即可. 【小问1详解】 易得这三个数据的平均数， 方差. 【小问2详解】 依题意，同时订阅了三种资料的有人. 设订阅了数学和英语的有人，减去其中订阅了语文的人数，所以满足的人数有人. 显然不能为负数，所以，且.所以. 故的最大值为. 【小问3详解】 依题意有 ， 所以， 即， 因为总共买了三种资料的有一人， , 由于， 故， 所以所有买了资料的同学至多有人， 从而，所以. 当仅有一人买了三种资料，其余所有人均只买一种资料或不买资料时取得最小值. 19. 已知函数，，且在区间上单调递增，记的最大值为，设. （1）求的解析式； （2）在中，，，其内切圆半径为，所在平面内一点满足. （ⅰ）求的最大值； （ii）当取得最大值时，求长的取值范围. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）由求得，再根据正切函数的单调性求得的范围，得解； （2）（i）由求得，由余弦定理可得与的关系，利用等面积法可得，结合基本不等式求得的最大值；（ii）由题可知点在以为直径的圆上，利用圆的性质求解. 【小问1详解】 易得，由可知， 故， 由，则， 由在区间上单调递增可知，得到， 代入可知题设条件成立，故，于是. 【小问2详解】 （i）此时，由可得， 不妨记内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 由余弦定理可得，即， 故， 于是， 而，故， 于是. 故， 故， 当且仅当时，等号成立. 故的最大值为. （ii）此时，记的中点为， 由，可知点在以为直径的圆上，则， 于是由等腰三角形性质可知， 故且， 当且仅当A，P，O三点共线时等号成立 故长的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $