精品解析：河北省邢台市卓越联盟2025-2026学年高二上学期开学联考数学试题

名校联考2025－2026学年高二年级开学联考 数学 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设为实数，若向量，且，则的值为（ ） A. －9 B. －4 C. 4 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】由两向量共线的坐标公式列出方程，求解即得. 【详解】由题意得，解得． 故选：C． 2. 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（ ） A. 矩形的直观图是矩形 B. 三角形的直观图是三角形 C. 相等的角在直观图中仍然相等 D. 长度相等的线段在直观图中仍然相等 【答案】B 【解析】 【分析】由斜二测画法逐一判断即可. 【详解】解：对于A，由斜二测画法可知，矩形的直观图为平行四边形，故A错误； 对于B，由斜二测画法可知，三角形的直观图是三角形，故B正确； 对于C，由A可知，矩形的四个角都为直角，但其直观图是平行四边形，只有对角才相等，故C错误； 对于D，正方形的四条边相等，但其直观图是平行四边形，只有对边才相等，故D错误. 故选：B. 3. 若复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数乘除法法则计算出，结合共轭复数和虚部概念得到答案. 【详解】因为， 所以，则复数的虚部为． 故选：A． 4. 我国元代瓷器元青花团菊花纹小盏如图所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心有一小乳突．器身施白釉，以青花为装饰，釉质润泽，底足露胎，胎质致密．碗内口沿饰有一周回纹，内底心书有一文字，碗外壁绘有一周缠枝团菊纹，下笔流畅，纹饰洒脱．该元青花团菊花纹小盏口径8.4厘米，底径2.8厘米，高4厘米，它的形状可近似看作一个圆台，则该圆台的体积约为（ ）（单位：立方厘米） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用圆台体积公式直接求解即可. 【详解】设该圆台的上底面、下底面的半径分别为，，由题意，． 则该圆台的体积为立方厘米． 故选：D． 5. 某汽车零件质检员对一批汽油机电火花零件进行质检，记录数据（单位：毫米）为3.56，3.58，3.59，3.95，4.03，对于这五个数据，其上四分位数为（ ） A. 3.59 B. 3.77 C. 3.95 D. 3.99 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数的定义，即可求解. 【详解】上四分位数即第75百分位数，因为， 所以第75百分位数即这组数据从小到大排列后的第四个数，为3.95. 故选：C 6. 用5、6、7这三个数字组成无重复数字的自然数，记事件“能被5整除”，事件“为奇数”，则事件与事件至少有一个发生的概率为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】列举所有情况，由古典概型的概率公式，结合并事件的性质即可求解. 【详解】由题意知，用5、6、7这三个数字组成无重复数字的自然数， 则共有6种情况， 共有两种情况，共有四种情况， 所以，，， 所以， 故选：A． 7. 在直角梯形中，已知，，，点是边靠近点的三等分点，点是边上一个动点．则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，以点为原点，分别以，所在直线为，轴，建立平面直角坐标系，设，则，且，，从而得到，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】如图，以点为原点，分别以，所在直线为，轴，建立平面直角坐标系， 依题意，有，，，， 设，则，且，， ， 因，当时，，当时，， 故． 故选：D． 8. 如图，为圆锥的底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是（ ） A. 圆锥的侧面积为 B. 三棱锥的体积的最大值为 C. 的取值范围是 D. 若为线段上的动点，则的最小值为 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积公式即可求解A，根据体积公式即可求解B，根据三角形的边角关系，即可求解C，利用两点间距离最小，由余弦定理即可求解D. 【详解】在中，，则圆锥的母线长，半径， 对于选项A，圆锥的侧面积，A错误； 三棱锥的体积为，其中为点到的距离，故当时，最大，且最大值为2，三棱锥的体积最大，此时，B错误； 在中，，又，则，当点与点重合时，为最小角，当点与点重合时，达到最大值，又与不重合，则， 又，得，C正确； 由，得，又， 则为等边三角形，则， 将以为轴旋转到与共面，得到， 则为等边三角形，，如图知， 由， 得， 所以，D错误． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 设，为复数，若，则 B. 若是关于的方程的根，则 C. 若，，则的最大值为3 D. 设，为复数，则“”是“”的充分不必要条件 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，通过举例即可判断，对于B，由条件得到方程另一根为，即可判断，对于C，由复数的几何意义可判断，对于D，由“”确定，都是实数，可判断充分性，再通过举例可判断必要性. 【详解】对于选项A，若，例如，，满足，但，，即，故A错误； 对于选项B，由是关于的方程的根， 由实系数一元二次方程虚根成对出现，可知该方程另一根为， 因此，解得，B正确． 对于选项C，，， 在复平面内复数对应的点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆， 是该圆上的点与点的距离，而点到原点的距离为2， 因此的最大值为，C正确； 对于选项D，若，则，都是实数，且，即充分性成立； 若，例如，，且， 但，不是实数，无法比较大小，即必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件，故D正确． 故选：BCD． 10. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次，记录每次朝上的点数，设事件为“没有出现6点”，事件为“至少出现一次6”，事件为“三个点数之和为9”，则（ ） A. 与互斥 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用对立事件、互斥事件的定义可判定A，利用古典概型可计算B、D，利用列举法可判定C. 【详解】将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次，所有可能结果有个， 事件为“没有出现6点”，事件为“至少出现一次6”，事件，互为对立事件， 因此与互斥，选项A正确； 由选项知，没有出现6点共有种结果， 所以，选项B正确； 事件为“三个点数之和为9”，则按第一次掷出的点数分别为1，2，3，4，5，6分类计数： 第一次掷出的点数 1 2 3 4 5 6 第二、三掷出的点数之和 8 7 6 5 4 3 三个点数和为9的结果数 5 6 5 4 3 2 所以．由古典概型概率计算公式，得，选项D正确； 这里没有出现6点的有19种，故，选项C错误. 故选：ABD． 11. 如图，连接一个棱长为的正方体的六个面的中心形成正八面体（由8个正三角形面组成，对角面为正方形），为正八面体棱上一点，且，则（ ） A. 平面平面 B. 该正八面体外接球的表面积为 C. 二面角的余弦值为 D. 异面直线与所成角的余弦值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】A利用面面平行的判定定理即可求证；B根据正八面体的性质及球的定义即可找出球心为线段的中点，即可求表面积；C取中点，结合二面角的平面角的定义以及余弦定理即可求出；D将问题转化为求，在中应用余弦定理即可. 【详解】依题意可知正八面体的棱长为，，现把正八面体从正方体里隔离出来． 由正八面体的性质，平面，平面，所以平面， 又因，平面，平面，故平面， 又，，平面，故平面平面，故A正确； 连接，，设， 则长即该正八面体的外接球的半径，长度为正方体棱长的一半，即， 则该正八面体的外接球的表面积为，故B正确； 取中点，连接，， 因，均为正三角形，所以，， 则即为二面角的平面角， 因正八面体的棱长为5，则，， 在中由余弦定理， 可得，故C正确； 因，故为异面直线与所成的角， 又因为，，， 在中由余弦定理，， 在中，，， 则，故D错误． 故选：ABC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】设复数，代入，结合复数模的运算及复数相等的条件列出方程求解即可. 【详解】设复数，则有， 由复数相等的条件得，，所以 故原方程的解为． 故答案为： 13. 张华和李明二人进行一场游戏比赛，且比赛中不存在平局，先赢三局者获胜，并可以获得1000元奖金．已知张华、李明二人在每局比赛中获胜的可能性均相同．已知当张华连赢两局，李明一局未赢时，因某种特殊情况需要终止比赛．现将1000元奖金按两人各自最终获胜的可能性的比例进行分配，则张华应该分得_____元． 【答案】875 【解析】 【分析】利用独立事件的乘法公式计算李明连赢三局获胜的概率，再用对立事件的概率公式即可求出张华获胜的概率，即可求出张华应该分得奖金. 【详解】由题意，如果比赛继续，李明需要连赢三局才能获胜， 因张华和李明二人在每局比赛中获胜的可能性均相同， 则李明连赢三局获胜的概率为，张华获胜的概率为， 所以张华应分得奖金的，李明应分得奖金的，即张华应该分得元． 故答案为：875 14. 若正四棱柱的底面棱长为4，侧棱长为3，且为棱上靠近点的三等分点，点在正方形的边界及其内部运动，且满足与底面的所成角，则点形成的轨迹长度为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据线面角的定义得即为与底面的所成角，再由已知确定点形成的轨迹是以为圆心，为半径的四分之一圆，即可得. 【详解】由平面，则即为与底面的所成角， 所以且，则， 故点形成的轨迹是以为圆心，为半径的四分之一圆， 所以轨迹长度为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角，，的对边为，，，且． （1）求； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边角互化和余弦定理可得的值，再由同角三角函数的关系可得的值； （2）将已知条件代入可得，然后由三角形的面积公式可得结果. 【小问1详解】 由正弦定理得，即， 由余弦定理得， 又，所以； 【小问2详解】 由，有， 可得，得，即． 的面积为． 16. 已知平面向量，，且．求： （1）向量在向量上的投影向量； （2）的值； （3）向量与夹角的余弦值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由已知及数量积的运算律得，再由投影向量的定义求向量在向量上的投影向量； （2）应用向量数量积的运算律求向量的模长； （3）应用向量数量积的运算律及夹角公式求向量与夹角的余弦值. 【小问1详解】 由，得，即， 向量在向量上的投影向量是； 【小问2详解】 由； 【小问3详解】 ， 所以. 17. 为探究某药物对小白鼠的生长抑制作用，将生长情况相同的100只小白鼠随机均分为两组：对照组（不添加药物）和实验组（添加药物），饲养相同时间后，分别测量这两组小白鼠的体重增加量（单位：），这些小白鼠的体重增加量都在内，按照，，，，，分组，得到如下频率分布直方图． （1）估计对照组小白鼠体重增加量的平均数（每组以该组所在区间的中点值为代表）及中位数； （2）求的值及实验组中体重增加量不大于的小白鼠的只数； （3）现从实验组和对照组中各随机抓取1只小白鼠，用事件表示“所取2只小白鼠体重增加量均超过”，事件表示“2只小白鼠仅有1只体重增加量不超过”，求，，并判断是否相互独立． 【答案】（1）平均数为，中位数为 （2）， （3），，，不相互独立 【解析】 【分析】（1）应用频率分布直方图平均数及中位数公式计算求解； （2）先应用频率和为1得出参数，再结合频率计算求解只数； （3）应用独立事件概率乘积公式判断即可. 【小问1详解】 估计对照组小白鼠体重增加量的平均数为 因为， 所以估计对照组小白鼠体重增加量的中位数为20． 【小问2详解】 由，得． 估计实验组中体重增加量不大于的小白鼠只数为 【小问3详解】 由题意知， 从对照组中随机抓取1只小白鼠，体重增加量超过的概率为0.5，超过的概率为0.3， 从实验组中随机抓取1只小白鼠，体重增加量超过的概率为0.4，超过的概率为0.15， 所以， ， 因为，所以，不相互独立. 18. 已知，，，设的内角所对的边分别为，，，且． （1）若，，为角A的平分线，且交于点，求的长； （2）若的面积为，为的中点，求长的最小值； （3）若，求周长的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标运算及三角恒等变换先计算A，再根据三角形面积公式、等面积法计算即可； （2）利用三角形面积公式确定，再利用中线的向量性质，平方结合基本不等式计算最小值即可； （3）利用正弦定理化边为角，再由辅助角公式结合角的范围、正弦函数的性质计算即可. 【小问1详解】 ， 由， 由， 因此有， 由已知得， 且为角A的平分线，所以， 因为， 则， 即，解得． 【小问2详解】 由已知，又的面积为， 则，解得， 又， 则 当且仅当时，等号取到，所以； 即边上中线长的最小值为． 【小问3详解】 由正弦定理可知：， 因此有 ， 因为，所以 因此周长的取值范围为． 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，，且，，，为的中点. （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积； （3）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，通过证明四边形为平行四边形，从而得到，再由线面平行的判定即可证明； （2）由题知，根据面面垂直的性质可证平面，然后利用体积计算公式求解； （3）取的中点，连接，过作于，则为二面角的平面角，在中，可求，再得到即可. 【小问1详解】 取中点，连接， 为的中点，为中点，所以，且， 又，，，， 所以有，且， 所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 所以//平面． 【小问2详解】 底面是直角梯形，，平面，平面， 所以//平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离， 所以三棱锥的体积， 又为的中点，则点到平面的距离等于点到平面的距离的一半， 所以， 又，，， 所以，故， 又，，所以， 平面平面，且平面平面， 又平面，所以平面， 故. 【小问3详解】 因为平面平面，且其交线为， 又平面，， 所以平面， 取的中点，连接， 在中，，分别为，的中点， 所以， 则平面， 过作于，连接，则有， 所以为二面角的平面角， 在直角梯形中，，，所以， 所以， 又，所以， 在中，， 所以，又， 解得：， 即二面角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 名校联考2025－2026学年高二年级开学联考 数学 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设为实数，若向量，且，则的值为（ ） A. －9 B. －4 C. 4 D. 9 2. 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（ ） A. 矩形的直观图是矩形 B. 三角形的直观图是三角形 C. 相等的角在直观图中仍然相等 D. 长度相等的线段在直观图中仍然相等 3. 若复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 4. 我国元代瓷器元青花团菊花纹小盏如图所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心有一小乳突．器身施白釉，以青花为装饰，釉质润泽，底足露胎，胎质致密．碗内口沿饰有一周回纹，内底心书有一文字，碗外壁绘有一周缠枝团菊纹，下笔流畅，纹饰洒脱．该元青花团菊花纹小盏口径8.4厘米，底径2.8厘米，高4厘米，它的形状可近似看作一个圆台，则该圆台的体积约为（ ）（单位：立方厘米） A. B. C. D. 5. 某汽车零件质检员对一批汽油机电火花零件进行质检，记录数据（单位：毫米）为3.56，3.58，3.59，3.95，4.03，对于这五个数据，其上四分位数为（ ） A. 3.59 B. 3.77 C. 3.95 D. 3.99 6. 用5、6、7这三个数字组成无重复数字的自然数，记事件“能被5整除”，事件“为奇数”，则事件与事件至少有一个发生的概率为（ ） A. B. C. D. 1 7. 在直角梯形中，已知，，，点是边靠近点的三等分点，点是边上一个动点．则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，为圆锥的底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是（ ） A. 圆锥的侧面积为 B. 三棱锥的体积的最大值为 C. 的取值范围是 D. 若为线段上的动点，则的最小值为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 设，为复数，若，则 B. 若是关于的方程的根，则 C. 若，，则的最大值为3 D. 设，为复数，则“”是“”的充分不必要条件 10. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次，记录每次朝上的点数，设事件为“没有出现6点”，事件为“至少出现一次6”，事件为“三个点数之和为9”，则（ ） A. 与互斥 B. C. D. 11. 如图，连接一个棱长为的正方体的六个面的中心形成正八面体（由8个正三角形面组成，对角面为正方形），为正八面体棱上一点，且，则（ ） A. 平面平面 B. 该正八面体外接球的表面积为 C. 二面角的余弦值为 D. 异面直线与所成角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则方程的解为______． 13. 张华和李明二人进行一场游戏比赛，且比赛中不存在平局，先赢三局者获胜，并可以获得1000元奖金．已知张华、李明二人在每局比赛中获胜的可能性均相同．已知当张华连赢两局，李明一局未赢时，因某种特殊情况需要终止比赛．现将1000元奖金按两人各自最终获胜的可能性的比例进行分配，则张华应该分得_____元． 14. 若正四棱柱的底面棱长为4，侧棱长为3，且为棱上靠近点的三等分点，点在正方形的边界及其内部运动，且满足与底面的所成角，则点形成的轨迹长度为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角，，的对边为，，，且． （1）求； （2）若，，求的面积． 16. 已知平面向量，，且．求： （1）向量在向量上的投影向量； （2）的值； （3）向量与夹角的余弦值． 17. 为探究某药物对小白鼠的生长抑制作用，将生长情况相同的100只小白鼠随机均分为两组：对照组（不添加药物）和实验组（添加药物），饲养相同时间后，分别测量这两组小白鼠的体重增加量（单位：），这些小白鼠的体重增加量都在内，按照，，，，，分组，得到如下频率分布直方图． （1）估计对照组小白鼠体重增加量的平均数（每组以该组所在区间的中点值为代表）及中位数； （2）求的值及实验组中体重增加量不大于的小白鼠的只数； （3）现从实验组和对照组中各随机抓取1只小白鼠，用事件表示“所取2只小白鼠体重增加量均超过”，事件表示“2只小白鼠仅有1只体重增加量不超过”，求，，并判断是否相互独立． 18. 已知，，，设的内角所对的边分别为，，，且． （1）若，，为角A的平分线，且交于点，求的长； （2）若的面积为，为的中点，求长的最小值； （3）若，求周长的取值范围． 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，，且，，，为的中点. （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积； （3）求二面角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $