精品解析：辽宁省沈文新高考研究联盟2025-2026学年高二上学期期初质量监测数学试题

2025-2026（上）期初质量监测 高 二 数 学 本试卷满分150分 考试时间120分钟 【命题组织单位：辽宁沈文新高考研究联盟】 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共 40 分，在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集，若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，若恒成立，则k的最小值为（ ） A. 9 B. 8 C. －1 D. －2 3. 已知奇函数的定义域为，且函数图象关于对称．当时，，则（　　） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 4. 已知函数，若方程恰有2个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数（且）的图象经过定点，则（ ） A. B. C. D. 3 6. 甲、乙两人玩游戏，对于给定的实数，按下列方式操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚质地均匀的骰子，如果出现两个奇数点朝上或两个偶数点朝上，则把乘以2后再减去6，如果出现一个奇数点朝上，一个偶数点朝上，则把除以2后再加上6，这样就可得到一个新的实数．对实数仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数，当时，甲获胜，否则乙获胜．若甲获胜的概率为，则的取值范围是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 7. 已知向量，且，则实数的值是（ ）. A. 1 B. C. 4 D. 8. 如图1，“六芒星”由两个全等的正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点A，B是“六芒星”（如图2）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（包含内部以及边界），若，则x＋y的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. （多选）下列命题为真命题的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. “”是“”的充分不必要条件 C. “”是“”的充分条件 D. “”是“”的充要条件 10. 若正整数的公约数只有1，则称互质.设为正整数，则函数表示小于或等于且与互质的正整数的个数，例如，.函数以其首位研究者欧拉命名，称为欧拉函数.下列关于欧拉函数的命题正确的是（ ） A. B. C. D. 11. “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，且.则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为的重心 B. 若，则 C. 若，则 D. 若为的内心，且，则 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15 分） 12. 已知函数，若恒成立，其中，则的取值范围是__________． 13. 已知某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试．在每一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，若5次都没有通过，则需要重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费．某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为．现有一对夫妻同时报名参加驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止．则这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率为______，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率为______． 14. 已知（且）是指数函数，若“，不等式恒成立”为假命题，则实数a的取值范围是______． 四、解答题（本大题共5小题，共 77 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知二次函数． （1）若的解集为，求ab的值； （2）解关于x的不等式． 16. 已知函数对任意的实数m，n，都有，且当时，有． （1）求的值； （2）求证：在R上为增函数； 17. 已知正项数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）求证：． 18. 对于在区间上有意义的两个函数与，如果对任意的，均有，则称与在上是接近的．否则称与在上是非接近的．现有两个函数与（，），给定区间． （1）若与在给定区间上都有意义，求实数a的取值范围； （2）讨论与在给定区间上是否是接近的． 19. 对于给定的正整数，记集合，其中元素称为一个维向量.特别地，称为零向量.设，，定义数乘和加法：.对一组向量，若存在一组不全为零的实数，使得，则称这组向量线性相关.否则，称这组向量线性无关. （1）对，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由； （ⅰ）； （ⅱ）； （ⅲ）. （2）已知线性无关，判断是线性相关还是线性无关，并说明理由； （3）已知个向量线性相关，但其中任意个都线性无关，证明： （ⅰ）如果存在等式，则这些系数或者全为零，或者全不为零； （ⅱ）如果，其中，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026（上）期初质量监测 高 二 数 学 本试卷满分150分 考试时间120分钟 【命题组织单位：辽宁沈文新高考研究联盟】 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共 40 分，在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集，若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由补集的概念即可求解. 【详解】由题意，若集合，则. 故选：C. 2. 设，若恒成立，则k的最小值为（ ） A. 9 B. 8 C. －1 D. －2 【答案】C 【解析】 【分析】用“1”的代换及基本不等式求得的最小值为9，解不等式，求出范围得最值. 【详解】因为，当且仅当时取等号， 所以，解得， 所以的最小值为. 故选：C. 3. 已知奇函数的定义域为，且函数图象关于对称．当时，，则（　　） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 【答案】B 【解析】 【分析】利用奇函数以及对称性求出函数周期为，所以，即可求解. 【详解】因为函数图象关于对称，所以， 因为为奇函数，所以， 所以，即， 所以，所以，所以的周期为8， 所以， 而， 又因为当时，，所以，即， 所以. 故选：B. 4. 已知函数，若方程恰有2个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知研究、的性质并画出它们的大致图象，应用数形结合研究交点个数求参数范围即可. 【详解】由，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 而在、上单调递减，在、上单调递增， 当直线与曲线相切时，联立得， 令，得， 依题意，作出与的图象，如图所示， 由图知， ①当时，且， 函数的图象与的图象无交点，不满足题意， ②当时，且， 函数的图象与的图象仅交于点，不满足题意， ③当时，若时， 若时， 要使方程恰有2个不同的实数根，则的图象与轴的交点在点左侧，只需，， 而时有3个不同实根，时有4个不同实根， ④当时，由上函数的图象与的图象有3个交点，不满足题意， ⑤当时，函数的图象与的图象有2个交点，满足题意， 综上，的取值范围为． 故选：D 5. 已知函数（且）的图象经过定点，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由指数函数的性质确定定点坐标，即可得. 【详解】令，得，此时， 所以定点P的坐标为，即，，所以. 故选：C 6. 甲、乙两人玩游戏，对于给定的实数，按下列方式操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚质地均匀的骰子，如果出现两个奇数点朝上或两个偶数点朝上，则把乘以2后再减去6，如果出现一个奇数点朝上，一个偶数点朝上，则把除以2后再加上6，这样就可得到一个新的实数．对实数仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数，当时，甲获胜，否则乙获胜．若甲获胜的概率为，则的取值范围是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知，进行两次操作后，得出的所有可能情况，根据甲胜的概率，列出关于的不等式组，即可求解. 【详解】由题意可知，进行两次操作后，的结果有四种， 分别为， ， 且每一种结果出现的概率都是， 因为甲获胜的概率为，所以的四种结果中有三种大于，一种不大于， 又一定大于，所以和中的一个大于，另一个不大于， 即或，整理得或. 故选：A． 7. 已知向量，且，则实数的值是（ ）. A. 1 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量平行的坐标关系列式计算可得结果. 【详解】由，则有，解得. 故选：A 8. 如图1，“六芒星”由两个全等的正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点A，B是“六芒星”（如图2）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（包含内部以及边界），若，则x＋y的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】讨论几种特殊情况时的值，再利用图形的对称性即可得解. 【详解】要求x＋y的范围，只需考虑图中6个向量的情况即可，讨论如下： (1)若P在A点，因为，所以； (2)若P在B点，因为，所以； (3)若P在C点，因为，所以； (4)若P在D点，因为，所以； (5)若P在E点，因为，所以； (6)若P在F点，因为，所以. 所以的最大值为， 根据对称性，可知的最小值为， 故的取值范围是. 故选：C. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. （多选）下列命题为真命题的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. “”是“”的充分不必要条件 C. “”是“”的充分条件 D. “”是“”的充要条件 【答案】BD 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件与充要条件的定义逐项判断，即可得出结果. 【详解】选项A，当时，，但是，故必要性不成立，所以A错误； 选项B，当时，一定成立，故充分性成立，当时，，故必要性不成立，所以B正确； 选项C，当时，，所以充分性不成立，所以C错误； 选项D，当时，， 即，所以，充分性成立， 当时，，必要性成立，所以D正确． 故选：BD. 10. 若正整数的公约数只有1，则称互质.设为正整数，则函数表示小于或等于且与互质的正整数的个数，例如，.函数以其首位研究者欧拉命名，称为欧拉函数.下列关于欧拉函数的命题正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对于AC：利用欧拉函数定义求解判断；对于BD：举反例说明即可. 【详解】因为小于或等于5的正整数中与5互质的正整数为1，2，3，4， 小于或等于的正整数中与互质的正整数为1，3，7，9 ，所以，故A正确； 当时，，故B错误； 因为小于或等于32的正整数中与32互质的正整数为1，3，5，7，9，11，13，15，17，19， 21，23，25，27，29，31，共16个，所以，故C正确； 因为当时，，故D错误， 故选：AC. 11. “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，且.则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为的重心 B. 若，则 C. 若，则 D. 若为的内心，且，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据重心的性质推导出，结合重心的定义可判断A选项；由“奔驰定理”结合平面向量的线性运算可判断BC选项；推导出，可得出为直角，结合锐角三角函数的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，若，则， 取线段的中点，连接，则， 所以，，即，故、、三点共线， 分别取线段、的中点、，连接、， 同理可证、、三点共线，、、三点共线，则为的重心， 因此，若，则为的重心，A对； 对于B选项，若，由“奔驰定理”可得， 所以，，所以，， 故，B对； 对于C选项，若，即， 即，即， 又，不共线， 所以， 所以由“奔驰定理”可得，C错； 对于D选项，若为的内心，设的内切圆半径为， 则， 因为，则，故， 设，则，，则，故为直角， 所以，，D对. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于利用平面向量的线性运算与三角形的面积比的关系，转化为“奔驰定理”判断结论即可. 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15 分） 12. 已知函数，若恒成立，其中，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的图像特征，然后根据知道的图像是图像左移个单位长度，要使恒成立，通过分析图像找到相切时的情况，从而确定的取值范围. 【详解】易知函数图象如图所示，因为， 所以函数图象即为函数图象左移个单位长度， 当曲线与直线相切时， 令，即， 则，解得：， 故，恒成立时，由图像可知，. 故答案为：. 13. 已知某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试．在每一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，若5次都没有通过，则需要重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费．某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为．现有一对夫妻同时报名参加驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止．则这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率为______，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①“丈夫在科目二考试中第i次通过”记为事件（，2，3，4，5），“妻子在科目二考试中第i次通过”记为事件，记事件“丈夫参加科目二考试不需要交补考费”，事件“妻子参加科目二考试不需要交补考费”，事件“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费”，先利用对立事件的概率、互斥事件的加法结合独立事件的乘法公式求得，，再由利用独立事件的乘法公式计算即得； ②记事件“丈夫参加科目二考试需交补考费200元”，事件“妻子参加科目二考试需交补考费200元”，事件“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元”，先由，利用对立事件的概率结合独立事件的乘法公式求得，，再由利用互斥事件的加法和独立事件的乘法计算即得答案. 【详解】这对夫妻中，“丈夫在科目二考试中第i次通过”记为事件（，2，3，4，5）， “妻子在科目二考试中第i次通过”记为事件， 则，． 记事件“丈夫参加科目二考试不需要交补考费”， 事件“妻子参加科目二考试不需要交补考费”， 事件“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费”， 则， ， ． 记事件“丈夫参加科目二考试需交补考费200元”， 事件“妻子参加科目二考试需交补考费200元”， 事件“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元”， 则， ， ． 因此这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率为． 故答案为：；． 14. 已知（且）是指数函数，若“，不等式恒成立”为假命题，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数为指数函数求参数，得，问题转化为在上恒成立，由函数的单调性有在上恒成立，判断左侧单调性，即可求参数范围. 【详解】由指数函数定义得，又且，所以，，则． “，不等式能成立”为假命题， 则“，不等式恒成立”为真命题． 注意到，所以不等式在上恒成立． 又在R上单调递增，所以，即在上恒成立． 设函数，， 由，得，所以单调递增，则， 即，解得， 所以． 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共 77 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知二次函数． （1）若的解集为，求ab的值； （2）解关于x的不等式． 【答案】（1）3 （2） 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为 【解析】 【分析】（1）由题意可知1，b是方程的根，结合韦达定理即可求得答案. （2）求出的两根，分类讨论a的范围，根据两根的大小，即可求得答案. 【小问1详解】 若的解集为，则1，b是方程的根， 由，解得：，由解得：， 所以； 【小问2详解】 由二次函数知， 不等式整理得，即， 由得 ①当时，不等式等价于：， 若，即时，解集为； 若，即时，解集为：； 若，即时，解集为； ②当时，不等式等价于：，解集为 综上，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 16. 已知函数对任意的实数m，n，都有，且当时，有． （1）求的值； （2）求证：在R上为增函数； 【答案】（1） （2） 设，是R上任意两个实数，且，令，， 则，所以， 由得，所以， 故，即， 故此函数为R上增函数. 【解析】 【分析】（1）利用赋值法，求； （2）设，是上任意两个实数，且，令，，通过函数的单调性的定义直接证明在R上为增函数. 【小问1详解】 由， 故此令，则， 则. 【小问2详解】 略 17. 已知正项数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用数列前项和与的关系，再结合首项的值确定通项即可； （2）法一：直接放缩法，利用即可证出； 法二：由可得，即可证明不等式. 【小问1详解】 因为为正项数列，①， 当时，得； 当时，②， ①－②得，，得． 所以是首项为2，公差为2的等差数列，所以． 【小问2详解】 解法1：因为， 所以当时， ， 当时也符合，所以原不等式成立． 解法2：因为，所以， 所以， 所以当时， ， 当时，不等式的左边也符合，所以原不等式成立． 18. 对于在区间上有意义的两个函数与，如果对任意的，均有，则称与在上是接近的．否则称与在上是非接近的．现有两个函数与（，），给定区间． （1）若与在给定区间上都有意义，求实数a的取值范围； （2）讨论与在给定区间上是否是接近的． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用对数函数的定义域建立不等式，求解参数范围即可. （2）结合给定定义构造，再结合对数函数的性质判断其单调性，进而假设两个函数是接近的建立不等式，求解参数范围，最后完成讨论即可. 【小问1详解】 由一次函数性质得函数在给定区间上单调递增， 当时，，则， 欲使，则即可，故， 得到，解得， 故实数a的取值范围为． 【小问2详解】 构造函数， 对于函数， 由二次函数性质得上单调递减，在上单调递增， 且由对数函数性质得在其定义域内一定是减函数． 由于，得，所以原函数在区间内单调递减， 若与在给定区间上是接近的， 只需保证， 可得，解得， 综上所述，当时，与在区间上是接近的， 当时，与在区间上是非接近的． 19. 对于给定的正整数，记集合，其中元素称为一个维向量.特别地，称为零向量.设，，定义数乘和加法：.对一组向量，若存在一组不全为零的实数，使得，则称这组向量线性相关.否则，称这组向量线性无关. （1）对，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由； （ⅰ）； （ⅱ）； （ⅲ）. （2）已知线性无关，判断是线性相关还是线性无关，并说明理由； （3）已知个向量线性相关，但其中任意个都线性无关，证明： （ⅰ）如果存在等式，则这些系数或者全为零，或者全不为零； （ⅱ）如果，其中，则. 【答案】（1）（ⅰ）线性相关，理由如下： 设，则可得，所以线性相关； （ⅱ）线性相关，理由如下： 设，则可得 所以，不妨取，所以线性相关； （ⅲ）线性相关，理由如下： 设， 则可得 解得，不妨取，所以线性相关. （2）线性无关，理由如下： 设， 则， 因为向量线性无关，所以解得， 所以向量线性无关. （3） （ⅰ），如果某个， 则. 因为任意个都线性无关，所以都等于0， 所以这些系数要么全为零，要么全不为零. （ⅱ）因为，所以全不为零， 所以由，可得， 代入， 可得， 所以， 所以， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据向量线性相关的定义逐一判断即可； （2）设，则，然后由条件得到，即可判断； （3）①如果某个，然后证明，都等于0即可；②由，可得，然后代入，根据题意证明即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $