精品解析：河北省邢台市2025-2026学年高二上学期开学考试数学试卷

高二年级上学期开学考 数 学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的虚部为（ ） A. 1 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的乘法运算及复数的概念可得. 【详解】，所以的虚部为. 故选：D 2. 从装有1个红球、1个白球和1个黄球的口袋中任取1个球，则与事件“取出的是红球”互为对立事件的是（ ） A. “取出的是白球” B. “取出的是黄球” C. “取出的是红球” D. “取出的不是红球” 【答案】D 【解析】 【分析】根据对立事件的概念即可求解. 【详解】从装有1个红球、1个白球和1个黄球的口袋中任取1个球，结果有“取出的是红球”， “取出的是白球” 和“取出的是黄球”，故与事件“取出的是红球”互为对立事件的是“取出的不是红球”. 故选：D. 3. 如图，在平行四边形中，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量基本定理，结合平行四边形的性质求解即可. 【详解】因为在平行四边形中，，由于为的中点，所以， 故选：B 4. 已知甲的投篮命中率为0.6，若甲连续投篮2次，每次投中与否相互独立，则甲连续投中2次的概率为（ ） A. 0.4 B. 0.6 C. 0.36 D. 0.16 【答案】C 【解析】 【分析】根据独立事件概率公式计算求解. 【详解】甲的投篮命中率为0.6，甲连续投篮2次，每次投中与否相互独立， 则甲连续投中2次的概率为. 故选：C. 5. 已知是3个不同的平面，且，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】由空间中平面与平面关系依次判断即可. 【详解】对于AB，若且，则或， 例如：正方体中三个面共顶点时三个面两两互相垂直；上下底面与侧面垂直，而上下底面互相平行，故AB错误； 对于CD，设，在平面内作直线，    因为，根据面面垂直的性质，所以. 过作一个平面与平面相交于直线， 由，得，所以. 又，所以，故C正确，D错误. 故选：C 6. 在中，内角，，所对的边分别为，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理和余弦定理对条件等式进行变形，得出结论 【详解】因为 ， 由正弦边角关系得 ， 将上述等式两边同乘得，①. 由余弦定理得，②. 将①代入②得，. 因为，所以. 不能得到与相等及的大小. 故选：A 7. 如图，在棱长均相等的正三棱柱中，分别为线段的中点，点在上，若平面，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取中点，先证明平面，进而得到，然后分析出要使平面，只需.通过计算得到，进而在中求出，即可得解. 【详解】 如图所示，取中点，连接. 是正三棱柱，为线段的中点， ，， 平面，平面，. ,平面， 平面，平面，. 要使平面，只须. 设三棱柱的棱长为， 则，. 在中，，， . 故选：C 8. 我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“勾股圆方图”，该图被后人称为“赵爽弦图”．如图，大正方形由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成，其中小正方形的边长为1，为的中点，点在正方形内（不含边界），则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用题中条件设，将正方形的边长等长度求出，在直角三角形中，有，求出，再用向量的数量积公式求解即可. 【详解】 为的中点，设，，，，， ，，， 过作于，过作于，过作于， ，，，，， ，，， ，，，过作于，，，， 又，，. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. B. 的共轭复数为 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简，再结合共轭复数和模的定义依次判断ABC选项；根据虚数无法比大小可判断D. 【详解】，故A正确； 的共轭复数为，故B错误； ，故C正确； 虚数无法比大小，故D错误. 故选：AC 10. 如图，正方体的棱长为，则（ ） A. 平面与平面的夹角的正弦值为 B. 平面与平面的夹角的正弦值为 C. 点到平面的距离为 D. 三棱锥外接球的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正方体的性质判断选项A，B；再根据点到面的距离求解距离，判断C；再根据三棱锥外接球与正方体的外接球一样，即可求解表面积判断D. 【详解】由正方体的棱长为，由正方体的几何特征可知， 平面，所以， 故平面与平面所成角为， 故，故A正确； 由平面平面，则平面与平面所成二面角为，其正弦值为，故B正确； 由平面平面，点B到的距离就是点B到平面的距离， 则点B到平面的距离为，故C错误； 根据题意知，三棱锥外接球与正方体的外接球一样，则外接球的直径等于正方体的对角线，即，外接球的表面积，故D正确. 故选：ABD. 11. 从日历上随机选14个日期，记这些日期中星期一到星期天的天数分别为，下列结论正确的是（ ） A. 中最多有4个数据大于2 B. 若的极差为6，则中最多有4个数据为0 C. 若的方差为，则 D. 若的方差为，且中位数为3，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据特殊值及反证法结合极差定义计算判断A，B，应用平均数及方差公式计算判断C，应用特殊值法结合中位数定义及方差公式判断D. 【详解】对A，由题意可得．若中有超过4个数据大于2， 即，不符合题意； 若中恰有4个数据大于2，如0,0,2,3,3,3,3，符合题意．故A正确． 对B，由题意可得的最小值均为0，若中最小的数据为0， 因为极差为6，所以中最大的数据为， 此时中至少有3个数据不为0， 即中最多有4个数据为0，B正确． 对C，的平均数为，要使得方差越小，则数据应尽量接近平均数，要使得方差越大，则数据应尽量远离平均数． 当，均为2时，取得最小值，最小值为0， 当这组数据为0,0,0,0,0,0,14时，取最大值，最大值为24，C正确； 对D，不妨设，因为中位数为3，所以， 当这组数据为0,0,2,3,3,3,3时，取得最小值，最小值为， 当这组数据为0,0,0,3,3,3,5$时，取得最大值，最大值为， 则，D错误． 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，，若，则__________. 【答案】6 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示求解即可 【详解】∵，， ， ∴ ∴ 故答案为：6 13. 已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为，则该正四棱台的体积为__________． 【答案】28 【解析】 【分析】根据题意先求出棱台的高，然后利用棱台体积公式求解. 【详解】如图所示，为正四棱台，连接， 由，得， 过作，为垂足；过作，为垂足， 则，， 又，在中，得， 所以正四棱台的高，正四棱台上下底面积分别为4和16， 体积. 故答案为：28 14. 某斜面上有两根长为3米的垂直于水平面放置的杆子，杆子与斜面的接触点分别为，某时刻它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光，其中一根杆子的影子在水平面上，长度为1.5米，另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为米，斜面的底角为，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据在A处的杆算出阳光和水平面的夹角，然后结合B处的杆，以及正弦定理算出斜面角. 【详解】如图，、分别为杆，、为平行的阳光，、分别为杆的影子， 设阳光与水平面所成角为，则， ，， 在中，由正弦定理可得 即， 由可得，， 代入可得，，， 则， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某机构为了调查喝酸奶是否可以降低体脂，邀请了40名女性作为研究对象，将其随机分成两组，其余变量不变的情况下，实验组每天喝220g酸奶，对照组每天喝220g牛奶，持续24周后，得到如下数据. 单位：人 受试者 脂肪 合计 没有减少1kg 减少1kg 实验组 2 18 20 对照组 8 12 20 （1）从这些研究对象中随机抽取1人，求此人每天喝220g酸奶且脂肪减少1kg的概率； （2）用按比例分层随机抽样的方法从脂肪减少1kg的研究对象中抽取5人进行进一步调查，并从这5人中随机选2人发一份小礼品，求这2人都来自实验组的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据古典概型公式即可求解； （2）利用列举法，列举出5人中随机选2人构成的基本事件，及这2人都来自实验组的基本事件数，根据古典概型公式即可求解. 【小问1详解】 由题可知：这些研究对象中共有18人每天喝220g酸奶且脂肪减少1kg， 所以从这些研究对象中随机抽取1人，此人每天喝220g酸奶且脂肪减少1kg的概率为； 【小问2详解】 由题可知抽取的5人中有3人来自实验组，分别记为，，，2人来自对照组分别记为，. 再从5人中随机选2人构成的基本事件有：，，，，，，，，，，共10种； 其中这2人都来自实验组的基本事件有：，，，共3种， 所以从这5人中随机选2人发一份小礼品，求这2人都来自实验组的概率为. 16. 为进一步加强防溺水宣传工作，保障儿童生命安全，预防溺水事故发生，某校举办了“珍爱生命，谨防溺水”主题教育活动及知识竞赛（得分均为整数，满分为100分）．从参赛的学生中抽取了100人，统计了其本次竞赛成绩，将数据按照，，，分成4组，制成如图所示的频率分布直方图． （1）求的值； （2）试估计本次竞赛成绩的平均分；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （3）该校准备对本次竞赛成绩排名前15的学生进行嘉奖，则受嘉奖的学生分数不低于多少？ 【答案】（1）； （2）分； （3）分. 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1列式计算即可； （2）由频率分布直方图数据计算平均数即可； （3）设受嘉奖的学生分数不低于分，由得出即可求解. 【小问1详解】 由，解得； 【小问2详解】 ， 所以本次竞赛成绩的平均分分； 【小问3详解】 设受嘉奖的学生分数不低于分，因为，对应的频率分别为，， 所以，解得， 故受嘉奖的学生分数不低于分. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，记平面平面，平面． （1）证明：． （2）证明：平面平面． （3）已知，求直线与直线所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用线面平行的性质定理，分别证得和，进而证得； （2）由平面，证得，再由，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得平面平面； （3）以为原点，建立空间直角坐标系，求得，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 证明：由平面平面，平面， 因为平面，且平面平面，所以， 又因为平面，且平面平面，所以， 所以. 【小问2详解】 证明：因为平面，且平面，所以， 又因为，且，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. 【小问3详解】 解：因为平面，且平面，所以， 又因为，以为原点，以所在直线分别为轴，轴和轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 因为且， 可得，则 设直线与直线所成角为， 可得， 即直线与直线所成角的余弦值. 、 18. 如图，在中，点在边上，且． （1）若，求； （2）若，求的面积； （3）若，求的周长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意求出和，利用正弦定理求解即可； （2）设，利用余弦定理求出代入三角形的面积公式求解即可； （3）设，在，，中分别利用余弦定理，解出即可求解. 【小问1详解】 因为在中，， 所以，， 所以由正弦定理可得， 即. 【小问2详解】 设， 在中由余弦定理可得， 即，解得， 所以的面积. 【小问3详解】 设，则， 所以，则， 在中由余弦定理可得， 在中由余弦定理可得， 在中由余弦定理可得， 即，整理得， 令，，则，即， 两边平方得，解得或， 当时，舍去， 当时，成立， 所以，， 所以的周长为. 19. 如图，圆台形水桶内装有少量水，已知水桶的上底面直径，下底面直径，水面直径，均为圆台形水桶的母线，长度均为．现有一根细棒，其长度为cm，将放入水桶中，且将的一端置于点处（水桶厚度、细棒粗细均忽略不计）． （1）如何放置时，浸入水中部分的长度最小，最小为多少？ （2）若将的另一端置于母线上点处，求浸入水中部分的长度． （3）已知，若将的另一端置于母线上点处，求浸入水中部分的长度． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由几何性质可知垂直于圆台形水桶的底面时，浸入水中部分的长度最小，记，，通过相似比例求解即可； （2）记，过作，垂足为，在中，由余弦定理得，根据∽，解得，利用比例相等得即可得解； （3）记圆台形水桶上底面圆的圆心为，下底面圆的圆心为，连接，利用线面垂直的判定定理和性质定理得，在中，由余弦定理得，记点在平面内的投影为，点在平面内的投影为，利用三角形相似得，记与水面交于点，点在平面内的投影为，利用三角形相似得，即可求解. 【小问1详解】 当垂直于圆台形水桶的底面，即直线垂直于圆台形水桶底面时，浸入水中部分的长度最小，记，，，， 水桶的高，因为∽，所以，即，解得，所以浸入水中部分的长度最小值为. 【小问2详解】 记，过作，垂足为， ，在中，，所以，即， 解得，（负根舍去），由（1）得，∽， 所以，解得， 因为，所以，即，解得， 所以浸入水中部分的长度为. 【小问3详解】 记圆台形水桶上底面圆的圆心为，下底面圆的圆心为，连接， 因为平面，平面，所以， 因为，直线与直线一定相交，所以平面， 又平面，所以，在等腰梯形中，，，， 在中，， 所以，即， 解得，（负根舍去）， 记点在平面内的投影为，点在平面内的投影为， 矩形如图1所示， 因为∽，所以，即，解得， 记与水面交于点，点在平面内的投影为，如图2所示， 因为∽，所以，即，解得， 所以浸入水中部分的长度为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级上学期开学考 数 学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的虚部为（ ） A. 1 B. C. 6 D. 2. 从装有1个红球、1个白球和1个黄球的口袋中任取1个球，则与事件“取出的是红球”互为对立事件的是（ ） A. “取出的是白球” B. “取出的是黄球” C. “取出的是红球” D. “取出的不是红球” 3. 如图，在平行四边形中，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知甲的投篮命中率为0.6，若甲连续投篮2次，每次投中与否相互独立，则甲连续投中2次的概率为（ ） A. 0.4 B. 0.6 C. 0.36 D. 0.16 5. 已知是3个不同的平面，且，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 在中，内角，，所对的边分别为，，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在棱长均相等的正三棱柱中，分别为线段的中点，点在上，若平面，则（ ） A. B. C. D. 8. 我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“勾股圆方图”，该图被后人称为“赵爽弦图”．如图，大正方形由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成，其中小正方形的边长为1，为的中点，点在正方形内（不含边界），则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. B. 的共轭复数为 C. D. 10. 如图，正方体的棱长为，则（ ） A. 平面与平面的夹角的正弦值为 B. 平面与平面的夹角的正弦值为 C. 点到平面的距离为 D. 三棱锥外接球的表面积为 11. 从日历上随机选14个日期，记这些日期中星期一到星期天的天数分别为，下列结论正确的是（ ） A. 中最多有4个数据大于2 B. 若的极差为6，则中最多有4个数据为0 C. 若的方差为，则 D. 若的方差为，且中位数为3，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，，若，则__________. 13. 已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为，则该正四棱台的体积为__________． 14. 某斜面上有两根长为3米的垂直于水平面放置的杆子，杆子与斜面的接触点分别为，某时刻它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光，其中一根杆子的影子在水平面上，长度为1.5米，另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为米，斜面的底角为，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某机构为了调查喝酸奶是否可以降低体脂，邀请了40名女性作为研究对象，将其随机分成两组，其余变量不变的情况下，实验组每天喝220g酸奶，对照组每天喝220g牛奶，持续24周后，得到如下数据. 单位：人 受试者 脂肪 合计 没有减少1kg 减少1kg 实验组 2 18 20 对照组 8 12 20 （1）从这些研究对象中随机抽取1人，求此人每天喝220g酸奶且脂肪减少1kg的概率； （2）用按比例分层随机抽样的方法从脂肪减少1kg的研究对象中抽取5人进行进一步调查，并从这5人中随机选2人发一份小礼品，求这2人都来自实验组的概率. 16. 为进一步加强防溺水宣传工作，保障儿童生命安全，预防溺水事故发生，某校举办了“珍爱生命，谨防溺水”主题教育活动及知识竞赛（得分均为整数，满分为100分）．从参赛的学生中抽取了100人，统计了其本次竞赛成绩，将数据按照，，，分成4组，制成如图所示的频率分布直方图． （1）求的值； （2）试估计本次竞赛成绩的平均分；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （3）该校准备对本次竞赛成绩排名前15的学生进行嘉奖，则受嘉奖的学生分数不低于多少？ 17. 如图，在四棱锥中，平面，，记平面平面，平面． （1）证明：． （2）证明：平面平面． （3）已知，求直线与直线所成角的余弦值． 18. 如图，在中，点在边上，且． （1）若，求； （2）若，求的面积； （3）若，求的周长． 19. 如图，圆台形水桶内装有少量水，已知水桶的上底面直径，下底面直径，水面直径，均为圆台形水桶的母线，长度均为．现有一根细棒，其长度为cm，将放入水桶中，且将的一端置于点处（水桶厚度、细棒粗细均忽略不计）． （1）如何放置时，浸入水中部分的长度最小，最小为多少？ （2）若将的另一端置于母线上点处，求浸入水中部分的长度． （3）已知，若将的另一端置于母线上点处，求浸入水中部分的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $