精品解析：福建省南平市部分学校2025-2026学年高二上学期开学质量检测数学试卷

高二质量检测 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一､二册. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据并集的运算求解即可. 【详解】因为， 所以， 故选：A 2. 从装有1个红球、1个白球和1个黄球的口袋中任取1个球，则与事件“取出的是红球”互为对立事件的是（ ） A. “取出的是白球” B. “取出的是黄球” C. “取出的是红球” D. “取出的不是红球” 【答案】D 【解析】 【分析】根据对立事件的概念即可求解. 【详解】从装有1个红球、1个白球和1个黄球的口袋中任取1个球，结果有“取出的是红球”， “取出的是白球” 和“取出的是黄球”，故与事件“取出的是红球”互为对立事件的是“取出的不是红球”. 故选：D. 3. 若复数，则（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算结合复数模的概念求解. 【详解】因为，所以， 所以． 故选：A 4. “”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，“”是“”的充分必要条件，不合题意； 对于B，由推不出，但是由可以推出， 所以“”是“”的必要不充分条件，不合题意； 对于C，由推不出，但是由可以推出， 所以“”是“”的充分不必要条件，符合题意； 对于D，由推不出，比如满足，不满足， 但是由可以推出，所以“”是“”的必要不充分条件，不合题意． 故选：C 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用同角三角函数公式求出，再利用二倍角的余弦公式求解. 【详解】由，得，解得， 由，得，则， 所以. 故选：A 6. 位于灯塔P的正西方向且相距40海里的M处有一艘甲船，需要海上加油，位于灯塔P的东北方向的C处有一艘乙船在甲船的北偏东方向上，则乙船前往支援M处的甲船需要航行的最短距离是（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 30海里 【答案】B 【解析】 【分析】根据题设画出示意图，利用正弦定理可得. 【详解】依题意，画出示意图如下，，， 在中，，由正弦定理得， 因此（海里）， 所以乙船前往支援M处的甲船需要航行的最短距离是海里. 故选：B. 7. 已知数据，若这组数据的极差是中位数的2倍，则满足条件的正整数的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】按照或、或、三种情况分类讨论，求出数据的中位数和极差，列式求解即可. 【详解】当或时，这组数据的中位数为，极差为，显然，满足题意； 当或时，这组数据的中位数为，极差为，显然不满足题意； 当正整数时，这组数据的中位数为，极差为，则，即，满足题意； 综上，满足条件的正整数的个数为3个. 故选：C 8. 如图，设，，线段与交于点F，且，则（ ） A. 4 B. 3 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】先计算出，进而得到，利用共线定理的推论得到，得到答案. 【详解】，， 又，故，所以， 因为，，所以， 因为三点共线，所以， 故. 故选：D 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得分分，有选错的得0分. 9. 若复数（），则（ ） A. 当z为实数时， B. 当z为纯虚数时， C. 当z的实部与虚部相等时， D. z在复平面内对应的点不可能位于第一象限 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数有相关概念及几何意义逐项判断. 【详解】对于A，复数是实数，则，A正确； 对于B，当z为纯虚数时，，则，B正确； 对于C，当z的实部与虚部相等时，，解得，，则，C错误； 对于D，当z在复平面内对应的点位于第一象限时，，即，无解， 因此z在复平面内对应的点不可能位于第一象限，D正确. 故选：ABD 10. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，其中为等边三角形，点M的坐标为，则( ) A. B. C. 直线是图象的一条对称轴 D. 将的图象向左平移2个单位长度后，所得图象与函数的图象重合 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，由图数据得边长，求出；对B，由点坐标求出；对C，代入验证最值；对D，由图象变换可得. 【详解】对于A：如图，因为为等边三角形，且高为， 所以边长为，所以，，，A错误； 对于B：因为点的坐标为，所以， 所以，，解得 又，所以，B正确； 对于C：由上知，而，C正确； 对于D：的图象向左平移个单位长度，解析式变为， 即所得图象与函数的图象重合，D正确. 故选：BCD. 11. 《九章算术》是我国的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱.如图，在堑堵中，，分别为的中点，则（ ） A. 该堑堵的体积为108 B. 平面 C. 该堑堵外接球的表面积为 D. 平面与BC的交点恰好为线段BC的一个三等分点 【答案】ACD 【解析】 【分析】直接利用棱柱体积公式求解判断A；利用直线与直线相交判断B；利用补体法求得该堑堵的外接球半径，进而求出外接球的表面积判断C；延长并与的延长线交于点F，连接，交于点，连接，利用几何关系得，即可判断D. 【详解】由题意该堑堵的体积为，故A正确； 因为直线与直线相交，所以直线与平面不平行，故B错误； 该堑堵可以放置在边长为6的正方体中， 该堑堵的外接球和正方体的外接球为同一个外接球， 所以该堑堵的外接球半径为， 所以外接球的表面积为，故C正确； 延长并与的延长线交于点F，连接，交于点，连接， 由可知，由可得， 平面与BC的交点恰好为线段BC的一个三等分点，故D正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲､乙两人每人投篮一次，投中的总次数记为.已知甲､乙投篮命中的概率分别为且甲､乙投篮命中的结果相互独立，则的概率是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据独立事件的乘法公式、互斥事件的加法公式计算即可. 【详解】由题意可得. 故答案为： 13. 已知函数，则不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据函数奇偶性的定义得为奇函数，利用函数单调性的性质得函数在R上单调递增，进而结合奇函数性质利用单调性求解不等式即得. 【详解】因为函数的定义域为R，定义域关于原点对称， 且，所以函数为奇函数. ，由函数和函数在R上单调递增可知， 所以函数在R上单调递增， 则由可得， 由函数在R上单调递增得，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 14. 若的两条中线长均为2，则面积的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】设两中线相交于点，设，并利用重心性质得到，，表达出，并求出最值. 【详解】不妨设边边上的中线长分别为，即， 相交于点，为的重心，设， 其中，，则， 故，故，， 显然当时，取得最大值，最大值为. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知非零向量，，且． （1）求x的值； （2）求向量与的夹角； （3）求向量在方向上的投影向量的模． 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量的坐标运算以及模的计算公式，即可求得答案. （2）根据向量的夹角公式求解即可. （3）求出向量在方向上的投影向量，即可求得答案. 【小问1详解】 已知非零向量，，故， 而，故，解得或， 由于为非零向量，故，故； 【小问2详解】 结合（1）可知，，则， 故， 故向量与的夹角为； 【小问3详解】 向量在方向上的投影向量为，， 故向量在方向上的投影向量的模为. 16. 记的内角A，B，C的对边分别为，，，已知，. （1）求A； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理结合题干条件可得的值，结合，即可求得的值，从而求出的值即可求解； （2）由（1）可得，由正弦定理可得.结合，解得，.由，结合，得，利用三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 由余弦定理得，又， ∴. ∵，∴，∴. 又∵，∴. ∵，∴. 【小问2详解】 由（1）知，，∴. 由正弦定理得，即，∴. 又，∴，解得，. ∵， ∴，即，解得或. 又，∴，∴， ∴的面积. 17. 某电脑公司为调查旗下某品牌电脑的使用情况，随机抽取200名用户，根据不同年龄段（单位：岁）统计，数据见下表： 分组 频率/组距 0.03 0.05 （1）根据上表，求的值，并估计样本的中位数； （2）按照年龄段从，，内的用户中进行分层随机抽样，抽取9人，再从中随机选取2人赠送小礼品，求这2人不在同一年龄段内的概率. 【答案】（1），36 （2） 【解析】 【分析】（1）根据每组的频率之和等于1，即可求得a的值，根据中位数的求法即可求得答案. （2）根据分层抽样，确定每组抽取的人数，利用列举法列出所有的可能情况，根据古典概型的概率公式即可求得答案. 【小问1详解】 由，得. 因为，， 所以中位数在内. 设中位数为，则，解得. 【小问2详解】 由题意可知，，内的用户的比例为， 根据分层随机抽样，，抽取的9人中位于内的有3人，记这3人为，，； 位于内的有4人，记这4人为，，，； 位于内的有2人，记这2人为，. 从这9人中抽取2人，有，，，，，， ，，，，，，，，， ，，，，，， ，，， ，，，，，，，， ， ，，这36种情况， 2人不在同一年龄段内的情况有，，，，，， ，，，，，，，，， ，，，，，，，，， ，这26种， 所以这2人不在同一年龄段内的概率为. 18. 如图，在三棱锥中，平面，，，，为棱的中点. （1）证明：平面平面. （2）求三棱锥的表面积. （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质判定、面面垂直的判定推理得证. （2）由（1）的性质，结合直角三角形面积公式求出表面积. （3）求出点到平面的距离。再利用公式法求出线面角的正弦. 【小问1详解】 在三棱锥中，由平面，平面，得， 而，平面，则平面， 又平面，所以平面平面. 【小问2详解】 由（1）得，而， 则， 所以三棱锥的表面积. 【小问3详解】 由平面，得点到平面的距离为， 由为棱的中点，得点到平面的距离， 由（2）知，， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 19. 如图，圆台形水桶内装有少量水，已知水桶的上底面直径，下底面直径，水面直径，均为圆台形水桶的母线，长度均为．现有一根细棒，其长度为cm，将放入水桶中，且将的一端置于点处（水桶厚度、细棒粗细均忽略不计）． （1）如何放置时，浸入水中部分的长度最小，最小为多少？ （2）若将的另一端置于母线上点处，求浸入水中部分的长度． （3）已知，若将的另一端置于母线上点处，求浸入水中部分的长度． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由几何性质可知垂直于圆台形水桶的底面时，浸入水中部分的长度最小，记，，通过相似比例求解即可； （2）记，过作，垂足为，在中，由余弦定理得，根据∽，解得，利用比例相等得即可得解； （3）记圆台形水桶上底面圆的圆心为，下底面圆的圆心为，连接，利用线面垂直的判定定理和性质定理得，在中，由余弦定理得，记点在平面内的投影为，点在平面内的投影为，利用三角形相似得，记与水面交于点，点在平面内的投影为，利用三角形相似得，即可求解. 【小问1详解】 当垂直于圆台形水桶的底面，即直线垂直于圆台形水桶底面时，浸入水中部分的长度最小，记，，，， 水桶的高，因为∽，所以，即，解得，所以浸入水中部分的长度最小值为. 【小问2详解】 记，过作，垂足为， ，在中，，所以，即， 解得，（负根舍去），由（1）得，∽， 所以，解得， 因为，所以，即，解得， 所以浸入水中部分的长度为. 【小问3详解】 记圆台形水桶上底面圆的圆心为，下底面圆的圆心为，连接， 因为平面，平面，所以， 因为，直线与直线一定相交，所以平面， 又平面，所以，在等腰梯形中，，，， 在中，， 所以，即， 解得，（负根舍去）， 记点在平面内的投影为，点在平面内的投影为， 矩形如图1所示， 因为∽，所以，即，解得， 记与水面交于点，点在平面内的投影为，如图2所示， 因为∽，所以，即，解得， 所以浸入水中部分的长度为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二质量检测 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一､二册. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 从装有1个红球、1个白球和1个黄球的口袋中任取1个球，则与事件“取出的是红球”互为对立事件的是（ ） A. “取出的是白球” B. “取出的是黄球” C. “取出的是红球” D. “取出的不是红球” 3. 若复数，则（ ） A. B. C. 5 D. 4. “”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 位于灯塔P的正西方向且相距40海里的M处有一艘甲船，需要海上加油，位于灯塔P的东北方向的C处有一艘乙船在甲船的北偏东方向上，则乙船前往支援M处的甲船需要航行的最短距离是（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 30海里 7. 已知数据，若这组数据的极差是中位数的2倍，则满足条件的正整数的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，设，，线段与交于点F，且，则（ ） A. 4 B. 3 C. D. 5 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得分分，有选错的得0分. 9. 若复数（），则（ ） A. 当z为实数时， B. 当z为纯虚数时， C. 当z的实部与虚部相等时， D. z在复平面内对应的点不可能位于第一象限 10. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，其中为等边三角形，点M的坐标为，则( ) A. B. C. 直线是图象的一条对称轴 D. 将的图象向左平移2个单位长度后，所得图象与函数的图象重合 11. 《九章算术》是我国的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱.如图，在堑堵中，，分别为的中点，则（ ） A. 该堑堵的体积为108 B. 平面 C. 该堑堵外接球的表面积为 D. 平面与BC的交点恰好为线段BC的一个三等分点 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲､乙两人每人投篮一次，投中的总次数记为.已知甲､乙投篮命中的概率分别为且甲､乙投篮命中的结果相互独立，则的概率是__________. 13. 已知函数，则不等式的解集为______. 14. 若的两条中线长均为2，则面积的最大值为________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知非零向量，，且． （1）求x的值； （2）求向量与的夹角； （3）求向量在方向上的投影向量的模． 16. 记的内角A，B，C的对边分别为，，，已知，. （1）求A； （2）若，求的面积. 17. 某电脑公司为调查旗下某品牌电脑的使用情况，随机抽取200名用户，根据不同年龄段（单位：岁）统计，数据见下表： 分组 频率/组距 0.03 0.05 （1）根据上表，求的值，并估计样本的中位数； （2）按照年龄段从，，内的用户中进行分层随机抽样，抽取9人，再从中随机选取2人赠送小礼品，求这2人不在同一年龄段内的概率. 18. 如图，在三棱锥中，平面，，，，为棱的中点. （1）证明：平面平面. （2）求三棱锥的表面积. （3）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 如图，圆台形水桶内装有少量水，已知水桶的上底面直径，下底面直径，水面直径，均为圆台形水桶的母线，长度均为．现有一根细棒，其长度为cm，将放入水桶中，且将的一端置于点处（水桶厚度、细棒粗细均忽略不计）． （1）如何放置时，浸入水中部分的长度最小，最小为多少？ （2）若将的另一端置于母线上点处，求浸入水中部分的长度． （3）已知，若将的另一端置于母线上点处，求浸入水中部分的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $