第一次月考卷-2025-2026学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版）

2025-2026学年九上数学第一次月考卷 考试范围：北师大版第一-三章 总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分. 1．一元二次方程配方后可化为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在菱形中，与交于点O．若，，则该菱形的面积是（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 3．随机掷一枚均匀的硬币两次，两次正面都朝上的概率是（    ）． A． B． C． D．1 4．方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 5．如图，在矩形中，对角线相交于点，，，则的长是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．为贯彻落实党的二十大精神和中国工会十八大精神，凝聚职工队伍高质量建设海南自贸港力量，陵水县总工会决定举办2024年“工会杯”羽毛球比赛．在单打比赛中，规定参赛的选手每两人之间比赛一场，工会共安排了50场比赛，设参赛选手有人，则下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 7．如图，以正方形的一边向形外作等边，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，在矩形中，，，点，分别在，上且有，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的最小值是（   ）． A． B． C． D． 二、填空题：本题5小题，每小题3分，共15分． 9．若关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为 ． 10．如图，在中，是斜边的中点，连接，，则的长为 ． 11．一只昆虫自由自在地在空中飞行，然后随意落在图中所示的某个方格中（每个方格除颜色外完全一样），昆虫停在阴影部分的概率为 ． 12．如图，在矩形纸片中，，将矩形纸片折叠，使点与点重合，点折叠至点处，则的面积为 ． 13．如图，在中， 点E在边上且，连接，将沿进行折叠，点B的对应点为点F， 点D是的中点，连接，当时， ． 三、解答题：本题共7小题，共61分. 14．解下列方程： (1) (2) (3) (4) 15．如图，菱形的对角线，相交于点，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接．若，求的长． 16．字谜是一种文字游戏，也是汉字特有的一种语言文化现象．现有四张大小、形状、质地都相同的字谜卡片，依次记作A、B、C、D（如图），将这四张卡片背面朝上洗匀．小虎和小麦两人玩猜字谜游戏，规则为：小虎先从四张卡片中随机抽取一张并猜卡片上字谜的谜底，卡片不放回，然后，小麦再从剩下的三张卡片中随机抽取一张并猜卡片上字谜的谜底． (1)小虎抽出A卡片的概率是__________； (2)若小虎能猜出A、D卡片上的谜底，猜不出B、C卡片上的谜底；小麦能猜出A、B、C卡片上的谜底，猜不出D卡片上的谜底．请用画树状图或列表法求小虎和小麦都能猜出自己所抽取卡片上字谜谜底的概率． 17．如图，在梯形纸片中，，，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C与点A重合，折痕与交于点E． (1)试判断四边形的形状，并证明； (2)若，求梯形的面积． 18．桃子旺季时，某店铺老板平均每天可售出桃子箱，每箱盈利元，当桃子时令快接近尾期，老板为了尽量减少库存，决定适当的降价，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每箱桃子降价元，那么平均每天就可多售出箱． (1)要使平均每天销售桃子盈利元，那么每箱桃子应降价多少元？ (2)平均每天销售桃子盈利能达到元吗？若能，每箱应该降价多少元？若不能，请说明理由． 19．如图，在四边形中，已知，，，F为的中点，对角线交于点E． (1)求证：； (2)若，求证：． 20．【定义学习】 定义：如果四边形有一组对角为直角，那么我们称这样的四边形为“对直四边形”． 【判断尝试】 （1）在①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“对直四边形”的是__________；（填序号） （2）如图1，四边形是对直四边形，若，，，，则边的长是_________； 【操作探究】 如图2，在菱形中，，，于点，请在边上找一点，使得以点、、、组成的四边形为“对直四边形”，直接写出的长是_________； 【拓展延伸】 如图3，在正方形中，，点、、分别从点、、同时出发，并分别以每秒1、1、2个单位长度的速度，分别沿正方形的边、、方向运动（保持），再分别过点、作、的垂线交于点，连结、．试说明：四边形为对直四边形． 【实践应用】 某加工厂有一批四边形板材，形状如图4所示，其中米，米，，．现根据客户要求，需将每张四边形板材进一步分割成两个等腰三角形板材和一个“对直四边形”板材，且这两个等腰三角形的腰长相等，要求材料充分利用无剩余．请直接写出分割后得到的等腰三角形的腰长是_______． ( 16 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九上数学第一次月考卷 考试范围：北师大版第一-三章 总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分. 1．一元二次方程配方后可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的概念是解决本题的关键． 移项，配方，根据完全平方公式变形，即可得出选项． 【详解】解：将常数项移到等式右边，得到． 取一次项系数4的一半，平方后得4， 将4加到等式两边：． 由此可得：． 因此，方程配方后为选项D． 故选：D ． 2．如图，在菱形中，与交于点O．若，，则该菱形的面积是（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】本题考查菱形面积的计算，已知对角线长度，由菱形面积等于对角线乘积的一半做计算即可． 【详解】解：，， ． 故选：B． 3．随机掷一枚均匀的硬币两次，两次正面都朝上的概率是（    ）． A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】此题考查了列举法求概率的知识．解题的关键是注意不重不漏的列举出所有等可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：随机掷一枚均匀的硬币两次， 可能的结果有：正正，正反，反正，反反， 因此两次正面都朝上的概率是． 故选：A． 4．方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 5．如图，在矩形中，对角线相交于点，，，则的长是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，根据矩形的对角线相等且平分，推出为等边三角形，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：∵矩形中，对角线交于点， ， ， 是等边三角形， ， ， 故选：B． 6．为贯彻落实党的二十大精神和中国工会十八大精神，凝聚职工队伍高质量建设海南自贸港力量，陵水县总工会决定举办2024年“工会杯”羽毛球比赛．在单打比赛中，规定参赛的选手每两人之间比赛一场，工会共安排了50场比赛，设参赛选手有人，则下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据比赛场数与参赛人数之间的关系列出一元二次方程是解题的关键． 设参赛选手有人，每个参赛选手都要赛场，但两人之间只有一场比赛，据此列出一元二次方程即可． 【详解】解：设参赛选手有人，每个参赛选手都要赛场，但两人之间只有一场比赛， 则有：． 故选：C． 7．如图，以正方形的一边向形外作等边，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，先由正方形的性质得到，，再证明得到，由等边三角形的性质推出，，据此求出的度数，进而求出的度数，即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴； ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 8．如图，在矩形中，，，点，分别在，上且有，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的最小值是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键，设，分两种情况：当时，作于，于；当时，作于，于；分别利用矩形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理计算即可得解． 【详解】解：设， 如图，当时，作于，于， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴，， 由旋转的性质可得：，， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， 由勾股定理可得：， ∴， ∴当时，有最小值， ∴此时的最小值为； 如图，当时，作于，于， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴，， 由旋转的性质可得：，， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， 由勾股定理可得：， ∴， ∴当时，有最小值1， 故此时的最小值为； 综上所述，的最小值为， 故选：B． 二、填空题：本题5小题，每小题3分，共15分． 9．若关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的根，把根代入方程中，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根为， ∴， 解得：； 故答案为：1． 10．如图，在中，是斜边的中点，连接，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查直角三角形斜边的中线，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，由此即可计算． 【详解】解：∵中，D是斜边的中点， ∴． 故答案为：3． 11．一只昆虫自由自在地在空中飞行，然后随意落在图中所示的某个方格中（每个方格除颜色外完全一样），昆虫停在阴影部分的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率的应用，会求几何图形的概率是解题的关键； 先求出阴影部分的面积和整个图形的面积，再求概率． 【详解】由图得，阴影部分的面积为：，整个图形的面积为， 昆虫停在阴影部分的概率为． 故答案为：． 12．如图，在矩形纸片中，，将矩形纸片折叠，使点与点重合，点折叠至点处，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形中的折叠问题，解题的关键是掌握矩形的性质和翻折的性质； 设，根据翻折性质和勾股定理可得，即可解得答案． 【详解】解：∵在矩形纸片中，，， 设，则， 将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A折叠至点E处， ∴，，， 在中 ， 即 解得． ∴的面积为： 故答案为． 13．如图，在中， 点E在边上且，连接，将沿进行折叠，点B的对应点为点F， 点D是的中点，连接，当时， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质， 延长至Q，使得，延长交于点H，则有，由折叠的性质得，，设，则，故有，根据直角三角形的性质得，所以，则，从而可得，设，则，最后根据勾股定理可得答案. 【详解】解：如图，延长至Q，使得，延长交于点H， ∵， ∴. ∵， ∴， ∴. 由折叠的性质得， ∴，， 设，则， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴. 设，则， ∴. 根据勾股定理，得， ∴， 解得或（舍去）, 所以. 故答案为：. 三、解答题：本题共7小题，共61分. 14．解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方方法、因式分解法、求根公式法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用直接开平方方法解方程即可． （2）利用因式分解法进行求解一元二次方程即可． （3）利用因式分解法进行求解一元二次方程即可． （4）利用因式分解法进行求解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵， 开平方，得， ∴， ∴ （2）解：∵， 分解因式，得， ∴， ∴ （3）解：∵， 分解因式，得， 即， ∴， ∴ （4）解：∵， 分解因式，得， ∴， ∴ 15．如图，菱形的对角线，相交于点，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接．若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、菱形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质和勾股定理是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再由菱形的性质得出，即可得出结论； （2）先证△是等边三角形，得出，求出，再由勾股定理求出，然后由矩形得出，，最后由勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ， 又四边形是平行四边形， 四边形是矩形； （2）解：四边形是菱形， ，，， ， 是等边三角形， ， ， 在中，由勾股定理得：， 由（1）得：四边形是矩形， ，， 在中，由勾股定理得：． 16．字谜是一种文字游戏，也是汉字特有的一种语言文化现象．现有四张大小、形状、质地都相同的字谜卡片，依次记作A、B、C、D（如图），将这四张卡片背面朝上洗匀．小虎和小麦两人玩猜字谜游戏，规则为：小虎先从四张卡片中随机抽取一张并猜卡片上字谜的谜底，卡片不放回，然后，小麦再从剩下的三张卡片中随机抽取一张并猜卡片上字谜的谜底． (1)小虎抽出A卡片的概率是__________； (2)若小虎能猜出A、D卡片上的谜底，猜不出B、C卡片上的谜底；小麦能猜出A、B、C卡片上的谜底，猜不出D卡片上的谜底．请用画树状图或列表法求小虎和小麦都能猜出自己所抽取卡片上字谜谜底的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是概率公式求概率，用画树状图法求概率． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意画出树状图，小虎和小麦抽取的结果有12种，其中小虎和小麦都能猜出自己所抽取卡片上字谜谜底有5种，再求小虎和小麦都能猜出自己所抽取卡片上字谜谜底的概率． 【详解】（1）解：∵共有4张卡片， ∴小虎抽出A卡片的概率是， 故答案为：； （2）解：根据题意画树状图如下： 由图可知，小虎和小麦抽取的结果有12种，其中小虎和小麦都能猜出自己所抽取卡片上字谜谜底有5种， ∴小虎和小麦都能猜出自己所抽取卡片上字谜谜底的概率为． 17．如图，在梯形纸片中，，，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C与点A重合，折痕与交于点E． (1)试判断四边形的形状，并证明； (2)若，求梯形的面积． 【答案】(1)菱形，见解析 (2)26 【分析】本题考查菱形的判定，勾股定理的应用，解题关键在于熟练掌握其相关知识点； （1）由折叠可知，，再证即可求证； （2）由四边形是菱形，根据勾股定理可得：再用梯形面积求解即可. 【详解】（1）证明：四边形是菱形 由折叠可知，， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是菱形； （2）∵ ∴由四边形是菱形，根据勾股定理可得：     ∴梯形的面积为 . 18．桃子旺季时，某店铺老板平均每天可售出桃子箱，每箱盈利元，当桃子时令快接近尾期，老板为了尽量减少库存，决定适当的降价，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每箱桃子降价元，那么平均每天就可多售出箱． (1)要使平均每天销售桃子盈利元，那么每箱桃子应降价多少元？ (2)平均每天销售桃子盈利能达到元吗？若能，每箱应该降价多少元？若不能，请说明理由． 【答案】(1)每箱桃子应降价元 (2)平均每天销售桃子盈利不能达到元，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用： （1）设每箱桃子应降价元，则销售量为箱，每件的利润为元，再根据总利润单件利润销售量，列出方程求解即可； （2）设每箱桃子降价元时，销售桃子的盈利为元，根据总利润单箱利润销售量，列出方程，根据一元二次方程根的判别式，即可得出结论． 【详解】（1）解：设每箱桃子应降价元，则销售量为箱，每件的利润为元， 故， 解得，， ∵要尽量减少库存， 故选择降价更多的，即每箱桃子应降价元， （2）解：平均每天销售桃子盈利不能达到元；理由如下： 设每箱桃子降价元时，销售桃子的盈利为元， 故， 整理得， ∵， 故方程无实数根，即平均每天销售桃子盈利不能达到元． 19．如图，在四边形中，已知，，，F为的中点，对角线交于点E． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，根据题意可得，再由直角三角形的性质可得，然后结合等腰三角形的性质以及三角形外角的性质可得，即可求证； （2）过点F作于点M，过点E作于点N，由（1）得：，，从而得到，，再由，可得，从而得到，然后根据直角三角形的性质可得，可证明，从而得到，进而得到是等腰直角三角形，继而得到是等腰直角三角形，即可求证． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，过点F作于点M，过点E作于点N， 由（1）得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 20．【定义学习】 定义：如果四边形有一组对角为直角，那么我们称这样的四边形为“对直四边形”． 【判断尝试】 （1）在①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“对直四边形”的是__________；（填序号） （2）如图1，四边形是对直四边形，若，，，，则边的长是_________； 【操作探究】 如图2，在菱形中，，，于点，请在边上找一点，使得以点、、、组成的四边形为“对直四边形”，直接写出的长是_________； 【拓展延伸】 如图3，在正方形中，，点、、分别从点、、同时出发，并分别以每秒1、1、2个单位长度的速度，分别沿正方形的边、、方向运动（保持），再分别过点、作、的垂线交于点，连结、．试说明：四边形为对直四边形． 【实践应用】 某加工厂有一批四边形板材，形状如图4所示，其中米，米，，．现根据客户要求，需将每张四边形板材进一步分割成两个等腰三角形板材和一个“对直四边形”板材，且这两个等腰三角形的腰长相等，要求材料充分利用无剩余．请直接写出分割后得到的等腰三角形的腰长是_______． 【答案】判断尝试：（1）②④；（2）；操作探究：；拓展延伸：见解析；实践应用：或或或 【分析】【判断尝试】（1）矩形和正方形的对角是直角； （2）连接，根据勾股定理求得结果； 操作探究：连接，则，是等边三角形，故取的中点，进而得出结果； 拓展延伸：延长，交于，可证得，从而，进而得出，进一步得出结论； 实践应用：分四种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：【判断尝试】（1）矩形和正方形的四个角都是直角， 矩形和正方形是“对直四边形”， 故答案为：②④； （2）如下图， 连接， ∵四边形是对直四边形，， ， ， ， ， 故答案为：； 【探究操作】解：如下图， 在菱形中，，，， ∴，， ∴均为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 取的中点，连接， 则：，同理：， ∴， ∴四边形是“对直四边形”，为等边三角形， ∴， 故答案为：； 【拓展延伸】 证明：如图， 延长，交于， 四边形是正方形， ，， ，， ， 四边形是矩形， 点、、分别从点、、同时出发，并分别以每秒、、个单位长度的速度运动， ， 四边形 是正方形， ， ， 同理可得：四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ， ， 四边形为对直四边形； 【实践应用】 解：如下图， 作于，作于， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 四边形是“对直四边形”，和是腰长相等的等腰三角形， ， 如下图， 作于，作于， 同上可知：，四边形是“对直四边形”，和是腰长相等的等腰三角形，， 如下图， 作，交于，作于，则四边形是“对直四边形”， 由上知：， ， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴； 如下图， 以为底边作等腰直角三角形，连接，作，交的延长线于点，交于， ，，四边形是“对直四边形”， ，， ， ， ，， ，， ，， ，， ， ， ， 和是边长相等的等腰三角形， ， ， 综上所述：等腰三角形的腰长为：或或或． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是掌握新定义和分类讨论的思想． ( 16 ) 学科网（北京）股份有限公司 $