专题2.1 图形的轴对称（知识梳理+19个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共63题）-2025-2026学年浙教版数学八年级上册同步培优讲练

专题2.1 图形的轴对称 （知识梳理+19个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共63题） 【解析版】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：轴对称图形的概念 2 知识点梳理02：轴对称图形的性质 2 知识点梳理03：图形的轴对称 3 知识点梳理04：画已知图形的轴对称图形重点 3 优选题型 考点讲练 4 考点1：轴对称图形的识别 4 考点2：成轴对称的两个图形的识别 5 考点3：根据成轴对称图形的特征进行判断 6 考点4：根据成轴对称图形的特征进行求解 8 考点5：画对称轴 10 考点6：求对称轴条数 11 考点7：画轴对称图形 12 考点8：设计轴对称图案 14 考点9：台球桌面上的轴对称问题 16 考点10：轴对称中的光线反射问题 17 考点11：折叠问题 21 考点12：车牌号码的镜面对称 23 考点13：钟表的镜面对称 24 考点14：最短路径问题 25 考点15：线段问题（轴对称综合题) 27 考点16：面积问题（轴对称综合题) 29 考点17：角度问题（轴对称综合题) 31 考点18：电子钟示数的镜面对称 35 考点19：其他问题（轴对称综合题) 36 中考真题 实战演练 39 难度分层 拔尖冲刺 43 基础夯实 43 培优拔高 52 知识点梳理01：轴对称图形的概念 1.轴对称图形：如果把一个图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴. 注意 （1）对称轴是一条直线，而不是射线或线段. （2）轴对称图形的对称轴可以有一条，也可以有多条. 2.常见的轴对称图形 名称 图形及其对称轴 对称轴 对称轴的条数 角 角平分线所在直线 1 等腰梯形 上、下底的中点所在直线 1 长方形 对边中点所在直线 2 正方形 对边中点所在直线和 两条对角线所在直线 4 圆 过圆心的每一条直线 无数条 知识点梳理02：轴对称图形的性质 性质：对称轴垂直平分连结两个对称点的线段. 沿对称轴折叠后轴对称图形上能够重合的点叫做对称点. 知识点梳理03：图形的轴对称 1.图形的轴对称：一般地，由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形沿某一条直线折叠后能够互相重合，这样的图形改变叫做图形的轴对称，这条直线叫做对称轴. 2.图形的轴对称的性质： 性质 几何语言 图示 对应点所连的线段被对称轴垂直平分. 成轴对称的两个图形中，对应线段所在的直线平行或相交（交点在对称轴上）或重合 成轴对称的两个图形是全等图形. 对应边相等 对应角相等 知识点梳理04：画已知图形的轴对称图形重点 画与已知图形成轴对称的图形的步骤 （1）找：观察已知图形，找出能代表已知图形的关键点（顶点或拐点）； （2）作：分别作出这些关键点关于对称轴对称的点； （3）连：按原图形的顺序依次连结相应的对称点. 画一个图形关于某条直线的对称图形，其实质就是已知图形上各关键点与对称轴，求作各关键点关于对称轴的对称点. 考点1：轴对称图形的识别 【典例精讲】（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形的定义进行判断即可． 【规范解答】 解：是轴对称图形，故选项A不符合题意； 是轴对称图形，故选项B不符合题意； 不是轴对称图形，故选项C符合题意； 是轴对称图形，故选项D不符合题意； 故选：C． 【变式训练】（24-25七年级下·山东济南·期末）以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A． B． C．纳米 D．微云人工智能 【答案】D 【思路引导】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可．本题考查轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键． 【规范解答】解：A，B，C不是轴对称图形，D是轴对称图形， 故选： 考点2：成轴对称的两个图形的识别 【典例精讲】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，是由边长为1的小正方形组成的长方形网格，小正方形的顶点为格点，和的顶点都在格点上． (1)作关于直线l对称的； (2)与是否关于某条直线m对称？若是，画出直线m，若不是，请说明理由； (3)在直线l上找一点P，使得，请画出点P． 【答案】(1)图见解析 (2)是，图见解析 (3)图见解析 【思路引导】本题考查了轴对称的性质、图形的对称变换以及线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的定义和性质，能准确进行图形变换及运用垂直平分线性质找点． （1）分别作出点 关于直线l的对称点，连接三点得到． （2）观察与对应点连线是否被同一直线垂直平分，若存在则该直线为m，并画出来． （3）作线段的垂直平分线，其与直线l的交点即为点P（利用垂直平分线性质：其上的点到两端距离相等）． 【规范解答】（1）如图，即为所求． （2）是．如图，直线m即为所求． （3）如图，作线段BC的垂直平分线， 则点P即为所求． 【变式训练】（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期末）《哪吒之魔童闹海》以震撼特效、精彩故事、鲜活形象和浓厚文化，展现了中国动画电影的强劲实力．下列四个图中，能由左图经过轴对称得到的是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了根据轴对称图形的概念依次分析各项即可得到结果．解答本题的关键是掌握熟练轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形． 【规范解答】解：能由左图经过轴对称得到的是第二个图形 故选：B． 考点3：根据成轴对称图形的特征进行判断 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课前预习）如图，阴影三角形与哪些三角形成轴对称？它们分别以哪条直线为对称轴的？ 【答案】三角形1，3，5，7与阴影三角形成轴对称，对称轴分别为直线，直线，直线，直线． 【思路引导】本题考查的是轴对称的识别，根据轴对称的性质即可得出结论． 【规范解答】解：由轴对称的性质可知，阴影三角形与三角形1，3，5，7可形成轴对称图形，阴影三角形与1关于直线为对称轴，阴影三角形与3关于直线为对称轴，阴影三角形与5关于直线为对称轴，阴影三角形与7关于直线为对称轴． 【变式训练】（24-25七年级下·四川遂宁·阶段练习）如图，中，点D在边上，点E在边上，连结，四边形是以所在直线为对称轴的轴对称图形，，，则的度数为 ． 【答案】/40度 【思路引导】本题考查了轴对称的性质．直接利用轴对称图形的性质得出，，进而结合已知得出答案． 【规范解答】解：∵四边形是以为对称轴的轴对称图形， ∴，， ∵，， ∴， ， 则的度数为：． 故答案为：． 考点4：根据成轴对称图形的特征进行求解 【典例精讲】（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，点D是上一动点（点D与点B不重合），连接，作B关于直线的对称点E，当点E在的下方时，连接，则面积的最大值为 ． 【答案】4 【思路引导】本题考查轴对称性质、垂线段最短、三角形的面积等知识，能得出当时面积最大是解答的关键． 在点的运动过程中，点，关于对称，，点在以为圆心，为半径的圆弧上运动，当时，点到的距离最大，的面积最大．在中利用面积公式求出，再求，可得的面积． 【规范解答】解：在点的运动过程中，点，关于对称， ， 点在以为圆心，为半径的圆弧上运动， 当时，点到的距离最大， 的面积最大． ， ． ． ． 故答案为：4． 【变式训练】（24-25七年级下·吉林·阶段练习）如图，点在的内部，点和点关于直线对称，点关于直线的对称点是点，连接交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为_________． 【答案】(1) (2)4 【思路引导】本题考查轴对称的性质与运用，熟知轴对称的性质是解题关键． （1）根据轴对称的性质，可知，，可以求出； （2）根据轴对称的性质，可知，，根据周长定义可以求出的周长． 【规范解答】（1）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ∵， ； （2）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ， ， ， 即的周长为4． 故答案为：4 考点5：画对称轴 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，与关于直线l对称，请仅用无刻度的直尺，在图①与图②中分别作出直线l． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了利用轴对称变换作图，熟记对应边所在直线的交点一定在对称轴上是解题的关键．根据轴对称的性质，对应边所在直线的交点一定在对称轴上，图①过，的交点和点A作直线，该直线就是所求作的直线l，图②中，过，的延长线的交点和，的延长线的交点作直线，该直线就是所求作的直线l． 【规范解答】解：如图①，过，的交点和点A作直线，该直线就是所求作的直线l．如答图②，过，的延长线的交点和，的延长线的交点作直线，该直线就是所求作的直线l． 【变式训练】（24-25八年级上·吉林·期末）如图，在的正方形网格中，阴影部分是由4个正方形组成的一个图形，请你用两种方法分别在下图方格内添涂2个小正方形，使这6个小正方形组成的图形是轴对称图形． 【答案】见解析（答案不唯一） 【思路引导】本题主要掌握轴对称图形的性质及其对称轴的画法，根据轴对称图形的概念作图即可；掌握把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴成为解题的关键． 【规范解答】解：如图所示： 考点6：求对称轴条数 【典例精讲】（2025七年级上·全国·专题练习）下面图形中，对称轴最多的是（ ） A． B． C． 【答案】B 【思路引导】本题考查了轴对称变换，正确得出每个图形的对称轴是解题的关键． 分别作出各个图形的对称轴，进行比较即可得到答案． 【规范解答】 解：A．有5条对称轴； B．有6条对称轴； C．有4条对称轴； 所以，B选项图形的对称轴最多． 故答案为：B． 【变式训练】（24-25七年级下·河南郑州·开学考试）正方形有 条对称轴，长方形有 条对称轴，圆有 条对称轴． 【答案】 4 2 无数 【思路引导】本题考查的是求解轴对称图形的对称轴，根据图形特点解答即可. 【规范解答】解：正方形有条对称轴，长方形有条对称轴，圆有无数条对称轴． 故答案为：，，无数 考点7：画轴对称图形 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）图形设计：请将网格中的两个小方格涂黑，使它与已涂黑的小方格组成轴对称图形，并且有两条对称轴．（要求用两种不同的方法） 【答案】见解析 【思路引导】本题考查轴对称图形，掌握轴对称图形的定义和性质是解决问题的关键．利用轴对称图形的定义和性质解答即可． 【规范解答】解：如图所示： （答案不唯一） 【变式训练】（20-21八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在所给的网格图中，完成下列各题 (1)画出格点关于直线的对称的； (2)在上画出点P，使最小； (3)在上画出点Q，使最大． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】本题考查了画轴对称图形、最短路径问题，根据轴对称的性质正确作图是解题的关键． （1）分别作点A、B、C关于直线的对称点、、，再顺次连接、、所得的三角形即为所求； （2）根据轴对称的性质可得，连接交直线于点P，则点P即为所求． （3）根据，即可得到的最大值为的长，延长交于点Q，则点Q即为所求． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：如图所示，点P即为所求； （3）解：如图所示，点Q即为所求． 考点8：设计轴对称图案 【典例精讲】（21-22八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）图是两个8×6的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，点A、B、C在小正方形的顶点上． (1)请在图1中确定点D（点D在小正方形的顶点上），使四边形为轴对称图形， (2)请在图2中确定点E（点E在小正方形的顶点上），使以点A、B、C、E为顶点的四边形为面积为10的轴对称图形． (3)请直接写出（1）中四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)12 【思路引导】（1）取点D，使得，构成一个等腰梯形，是一个轴对称图形解答即可； （2）取点E，使得，，构成一个平行四边形，根据，判定四边形是矩形，是一个轴对称图形，矩形的面积为，符合题意． （3）根据梯形的面积公式计算即可． 本题考查了等腰梯形的判定，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握网格作图是解题的关键． 【规范解答】（1）解：如图所示，取点D，使得， 构成一个等腰梯形，是一个轴对称图形， 则点D即为所求． （2）解：如图所示，取点E，使得， ，构成一个平行四边形，根据，判定四边形是矩形，是一个轴对称图形， 矩形的面积为，符合题意， 则点E即为所求． （3）解：根据题意，得． 【变式训练】（24-25七年级下·江西鹰潭·阶段练习）如图，在相同小正方形组成的网格纸上，有三个黑色方块，请你用三种不同的方法分别在图1、图2、图3上再选一个小正方形方块涂黑，使得四个黑色方块组成轴对称图形． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了轴对称图形的概念和性质，解题的关键是根据轴对称图形的定义，找到不同的对称轴，再确定对称位置的小正方形．​ 先明确轴对称图形的定义：沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合；观察已有三个黑色方块的位置关系，尝试寻找可能的对称轴，如水平方向、竖直方向或斜向的直线；根据找到的对称轴，确定能使四个黑色方块组成轴对称图形的对称小正方形位置，每种方法对应不同的对称轴．​ 【规范解答】解：如图所示．（答案不唯一） 考点9：台球桌面上的轴对称问题 【典例精讲】（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了台球桌面上的轴对称问题，根据题意画出图形，可得弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点，据此解答即可求解，找出弹性小球的反弹规律是解题的关键． 【规范解答】解：如图所示， 可知弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点， ∵， ∴弹性小球第次落脚点为图中的点， 故选：． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，，为了使白球反弹后能将黑球直接撞人袋中，那么击打白球时，必须保证的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了三角形的内角和定理、轴对称的性质：如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称．先根据三角形的内角和定理求得，再根据反射角等于入射角得到，进而可得答案． 【规范解答】解：由题意，，， ∵， ∴， 故选：C． 考点10：轴对称中的光线反射问题 【典例精讲】（23-24七年级下·浙江金华·期中）如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为，则；当入射光线与镜面垂直时，反射光线也与镜面垂直，即．这个过程称为一次反射． (1)如图2，有两块足够长的平面镜，一束光线射到平面镜上，经过两次反射后，射出的光线与光线平行，当时，___________，___________； (2)如图3，有两块足够长的平面镜，一束与镜面平行的光线射到平面镜上，经过两次反射后，射出光线与镜面平行，求度数； (3)在（2）的条件下，不改变入射光线与平面镜的夹角的大小，将绕点顺时针旋转一定度数后（与重合前停止），能否使光线经过三次或四次反射后，最终射出光线与镜面或平行，若能请求出度数；若不能请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)三次反射时；四次反射时， 【思路引导】本题主要考查了平行线的性质、反射定律以及三角形内角和等知识，熟练掌握这些知识并灵活运用是解题的关键． （1）利用反射定律得到角的关系，再结合平行线的性质和三角形内角和等知识求解； （2）通过设角，根据反射定律和平行线的性质建立方程求解； （3）分三次反射和四次反射的情况，结合反射定律和平行线性质分析． 【规范解答】（1）解：∵反射定律， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 在中，． 故答案为：；． （2）解：设，． ∵，， ∴，， ∴． 又∵， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴． （3）解：能． 由（2）得, 当三次反射时，最终射出光线与镜面平行， 设， ， ， ， 反射， ，， ， ∴， 解得， ； 当四次反射时，最终射出光线与镜面平行， 设， ， ， ， 反射， ，，， ， ， ， 解得， ． 【变式训练】（24-25九年级下·河南开封·阶段练习）光线照射到平面镜上时会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线(垂直于平面镜的直线叫法线)的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，一个平面镜斜着放在水平面上，形成形状，且，在上有一点，从点射出一束光线(入射光线)，经平面镜点处反射后，反射光线刚好与平行，则的度数为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，解答本题的关键是作出辅助线，在直角三角形中解决问题．过点作交于点．根据题意知，是的角平分线，故；然后又由两直线推知内错角；最后由三角形的内角和定理求得的度数． 【规范解答】解：从点射出一束光线（入射光线），经平面镜点处反射光线刚好与平行，如图，过点作交于点． 入射角等于反射角， ， ， ， ， 在中，，， ， 在中，， 故选：B． 考点11：折叠问题 【典例精讲】（24-25七年级上·河北邯郸·期末）【实际操作】如图1，将一张长方形纸的一角折叠，使顶点落在处，为折痕． (1)若，求的度数； (2)若，将图1中的另一个角也斜折过去，使点落在点，为折痕，如图2所示，若与重合，请直接写出的度数； (3)如图2，在（2）的基础上，试判断当（不大于）的度数发生改变时，的度数会不会发生变化？并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【思路引导】本题考查了折叠的性质、几何图中角度的计算，熟练掌握折叠的性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）折叠的性质可得：，再由进行计算即可得出答案； （2）由折叠的性质可得：，再由进行计算即可得出答案； （3）由折叠的性质可得：平分，平分，从而得到，，再由即可得出答案． 【规范解答】（1）解：由折叠的性质可得：， ； （2）解：由折叠的性质可得：， 由（1）知：， ； （3）解：不变，理由如下： 由折叠的性质可得：平分，平分， ，， ， ． 【变式训练】（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了折叠的性质和平行线的性质，先根据角平分线的性质得到相应角度，再多次运用平行线的性质即可得到答案； 【规范解答】解：如图，由折叠的性质可知：， ∵, ∴， ∵, ∴, ∵ ∴. 故选：D 考点12：车牌号码的镜面对称 【典例精讲】（24-25七年级下·吉林长春·期末）从镜中看到的一串数字如图所示，这串数字应为 ． 【答案】 【思路引导】此题考查了镜面对称的知识，镜面对称的知识实际上是数学上的轴对称的知识，由于在镜子中看到的顺序是颠倒的，根据这个特点来解决问题即可． 【规范解答】解：这串数字应为， 故答案为：． 【变式训练】（24-25七年级下·吉林长春·期末）小林同学在照镜子的时候发现自己的学号牌在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号应该是（    ） A．70625 B．70952 C．70925 D．52607 【答案】A 【思路引导】本题考查了轴对称的性质，掌握在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒成为解题的关键． 直接根据镜面对称的性质求解即可． 【规范解答】解：根据镜面对称性质，数字在镜中左右相反且部分数字会对称转换，故他的学号为70625． 故选：A． 考点13：钟表的镜面对称 【典例精讲】（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）小明从镜子里看到对面电子钟的像如图所示，则实际时间是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了轴对称及性质，平面镜成像，关键在于利用“像与物体关于镜面对称（左右相反）”这一特性，通过将镜子中的像进行左右翻转来确定实际时间．平面镜成像时，像与物体关于镜面对称，即像和物体左右相反，要得到实际时间，需将镜子中看到的电子钟像进行左右翻转，从而确定实际显示的时间。 【规范解答】解：平面镜成像遵循“像与物体关于镜面对称”的规律，这意味着镜子中呈现的像和实际物体在左右方向上是相反的， 对镜子中的像进行左右翻转观察镜子中电子钟的像，将其左右翻转后，得到的数字组合即为实际时间，由此可知实际时间为：． 故答案为：． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏·期中）小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻应是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查轴对称的性质：轴对称图形的对应角相等，对应边相等，利用轴对称的性质解答． 【规范解答】解：∵为镜像显示的时间， ∴对称轴为竖直方向的直线， ∵1、0的对称数字为1、0；2的对称数字是5；镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反， ∴这时的时刻应是， 故选：A 考点14：最短路径问题 【典例精讲】（24-25七年级上·陕西安康·阶段练习）如图，是一条公路上的3个村庄，间的路程为，间的路程为，要在之间设一个车站，设之间的路程为． (1)用含的代数式表示车站到3个村庄的路程之和； (2)若车站到3个村庄的路程之和为，问车站应设在何处？ (3)若要使车站到3个村庄的路程总和最小，问车站应设在何处？ 【答案】(1) (2)车站应设在村庄的左边或右边处 (3)车站应设在村庄处 【思路引导】本题考查了两点间的距离、列代数式，理解题意是解答的关键． （1）由题意得，，； （2）让（1）所求得的代数式的值为102，求得x即可； （3）路程和最小，那么x应最小，此时为0，P与C重合． 【规范解答】（1）解：由题意得，，， 路程之和为； （2）解：根据题意，得：， 解得， ∴车站应设在村庄的左边或右边处； （3）解：当时，最小， ∴车站建在C处路程和最小， ∴车站应设在村庄处． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·阶段练习）如图，在四边形中，，，面积为，的垂直平分线分别交，于点，，若点和点分别是线段和边上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查轴对称最短问题，平行线的性质，三角形的面积，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是把最短问题转化为垂线段最短． 连接，过点作于,利用三角形的面积公式求出，由题意，求出的最小值，可得结论． 【规范解答】解：连接，过点作于． 面积为，， ， ， 垂直平分线段， ， ， 当的值最小时，的值最小， 根据垂线段最短可知，当时，的值最小， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 考点15：线段问题（轴对称综合题) 【典例精讲】（24-25八年级下·甘肃兰州·阶段练习）作图题（不写作法，保留作图痕迹） (1)如图1，作线段的垂直平分线； (2)如图2，作的角平分线； (3)如图3，要在公路上修一个车站，使得与，两个地方的距离和最小，请在图中画出的位置． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】本题考查了基本作图，轴对称的性质，掌握基本作图以及轴对称的性质是解题的关键； （1）根据中垂线的尺规作图法即可得到直线； （2）根据角平分线的尺规作图方法作出的角平分线 （3）找到点关于的对称点，再连接，与交于一点，就是点所在位置． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求， （3）解：如图所示，点即为所求 【变式训练】（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位，的三个顶点都在格点上． (1)在网格中画出关于直线对称的； (2)在直线上画一点，使得的和最小．（简要叙述点的画法） 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【思路引导】（）根据轴对称的性质作图即可； （）连接交直线于点，由轴对称的性质得，则，根据两点之间线段最短，可知此时的和最小，故点即为所求； 本题考查了作轴对称图形，轴对称最短线段问题，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求． 考点16：面积问题（轴对称综合题) 【典例精讲】（24-25七年级下·湖南湘潭·期末）如图，在下列正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，，，，四个点都在格点（小正方形的顶点）上，画出四边形关于直线对称的四边形，并求出四边形的面积． 【答案】见解析，面积为 【思路引导】根据对称点与对称轴是垂直等距关系，描点画图即可，利用分割法计算面积即可． 本题考查了轴对称图形的作图，分割法求面积，熟练掌握作图是解题的关键． 【规范解答】解：根据题意，作图如下： 则四边形即为所求． 根据题意，四边形的面积为：． 【变式训练】（23-24七年级上·上海·期末）如图，在中，，，点A关于的对称点为，点B关于的对称点为，点C关于的对称点为． (1)在图中画出； (2)若的面积为，则的面积是______． 【答案】(1)见详解 (2) 【思路引导】本题考查作图轴对称变换、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作点A关于的对称点为，即过点A向引垂线并倍长得到对称点，其他点同理作图即可． （2）设交于点，延长交于点，根据轴对称的性质可得，，，，则与关于点成中心对称，可得，，，，进而可得．根据三角形的面积公式可得，则可得的面积． 【规范解答】（1）解：如图，作点A关于的对称点为，即过点A向引垂线并倍长得到对称点，其他同理， 即为所求． （2）设交于点，延长交于点， 点关于的对称点为， ，． 点关于的对称点为， ， 点关于的对称点为， ， 与关于点成中心对称， ，， ，， ． 的面积为， ， 的面积是． 故答案为：． 考点17：角度问题（轴对称综合题) 【典例精讲】（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）矩形，若按如图（1）翻折，点的对应点恰好落在上，折痕分别为，，则的度数为；若按如图（2）翻折，点的对应点落在的内部（不含角的两边），已知，，则的度数为 ． 【答案】/12度 【思路引导】本题主要考查了折叠的性质，平角定义，角的和差，解题关键是根据折叠梳理相等关系． 根据折叠的性质得，，结合进而得出，再求出即可求解． 【规范解答】解：根据折叠性质得，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式训练】（24-25七年级下·吉林长春·期末）综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ________，________， = ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________． 【模型拓展】如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 【答案】模型解决：，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边 模型应用：9 模型拓展：100 【思路引导】本题考查轴对称性质、垂直平分线性质、三角形三边关系及周长最值问题，解题关键是用轴对称转化线段，结合几何性质（垂直平分线、三角形三边关系等）求解最短路径与周长最值． 模型解决：利用点B与点关于直线l对称，根据垂直平分线性质得，，将转化为，再依据三角形三边关系，证得最小，核心是借轴对称和三角形性质转化、推导最短路径 ． 模型应用：根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，值的最小，周长有最小值，求出长度即可得到结论． 模型拓展：设点P关于、对称点分别为、，当点A、B在上时，周长为，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出的度数． 【规范解答】模型解决：如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ，， ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，或即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决． 故答案为：，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边； 模型应用：解：如图，直线m与交于点D， ∵直线m垂直平分， ∴B、C关于直线m对称， ∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长， ∵，， ∴周长的最小值是． 故答案为：9； 模型拓展：分别作点P关于、的对称点P′、P″，连接、、，交、于点A、B，连接、，此时周长的最小值等于． 由轴对称性质可得，，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 故答案为100． 考点18：电子钟示数的镜面对称 【典例精讲】（22-23八年级上·江苏无锡·阶段练习）从镜子里看黑板上写着，那么实际上黑板写的是 ． 【答案】50281 【思路引导】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，属于左右对称；据此分析并作答. 【规范解答】根据镜面对称的性质，镜面对称在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，则这个号码是50281． 故答案为50281. 【考点剖析】本题主要考查了对称性质，熟悉掌握对称的性质是关键. 【变式训练】在平面镜里看到背后墙上的电子钟示数如图所示，这时的实际时间应是(    ) A．21:02 B．21:05 C．20:15 D．20:05 【答案】B 【思路引导】利用轴对称性质作出图象还析电子钟的求数即可. 【规范解答】根据镜子中的成象与实际物体是相反的原理，可利用轴对称性质作出图象向左或向右的对称,故选：B. 【考点剖析】本题考查了镜面对称，可以把试题页面翻过来，从背面看. 考点19：其他问题（轴对称综合题) 【典例精讲】如图，网格中的每一个正方形的边长为，为格点三角形，直线为格点直线点、、、、在小正方形的顶点上． (1)仅用直尺在图中作出关于直线的对称图形． (2)如图，仅用直尺将网格中的格点三角形的面积三等分，并将其中的一份用铅笔涂成阴影． (3)如图，仅用直尺作三角形的边上的高，简单说明你的理由． 【答案】(1)见解析 (2)2平方单位 (3)见解析 【思路引导】（1）直接利用轴对称的性质作图即可； （2）利用的面积，借助网格中的每一个正方形的边长为，即可将的面积三等分，方法较多； （3）如图，选择格点、，证明≌于是，．选择格点，证明≌，于是．推出为线段的垂直平分线，设与相交于点，则为所要求的的边上的高． 【规范解答】（1）解：如图中，即为所求． （2）解：如图，取格点，计算可知平方单位 本题方法多，列举部分方法如下： （3）解：如图，选择格点、，证明≌于是． 选择格点，证明≌，于是，． 为线段的垂直平分线，设与相交于点，则为所要求的的边上的高． 【考点剖析】本题考查作图，轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 【变式训练】（21-22八年级上·福建龙岩·期中）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6，BC＝10，M、N、P分别是边AB、AC、BC上的动点，连接PM、PN和MN，则PM+PN+MN的最小值是 ． 【答案】 【思路引导】如图，作点P关于AB，AC的对称点E，F，连接PE，PF，PA，EM，FN，AE，AF．首先证明E，A，F共线，则PM+MN+PN=EM+MN+NF≥EF，推出EF的值最小时，PM+MN+PN的值最小，求出PA的最小值，可得结论． 【规范解答】 解：如图，作点P关于AB，AC的对称点E，F，连接PE，PF，PA，EM，FN，AE，AF． 由对称的性质可知，AE=AP=AF，∠BAP=∠BAE，∠CAP=∠CAF， ∵∠PAB+∠PAC=∠BAC=90°， ∴∠EAF=180°， ∴E，A，F共线， ∵ME=MP，NF=NP， ∴PM+MN+PN=EM+MN+NF， ∵EM+MN+NF≥EF， ∴EF的值最小时，PM+MN+PN的值最小， ∵EF=2PA， ∴当PA⊥BC时，PA的值最小，此时PA==， ∴PM+MN+PN≥， ∴PM+MN+PN的最小值为． 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了轴对称最短问题，解题的关键是学会利用轴对称的性质添加辅助线，把问题转化为两点之间线段最短． 1．（2025·江苏徐州·中考真题）如图，将三角形纸片折叠，使点A落在边上的点D处，折痕为．若的面积为8，的面积为5，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查的是轴对称的性质，三角形面积，先求解的面积为，的面积为，进一步可得答案． 【规范解答】解：∵的面积为8，的面积为5， ∴的面积为， 由折叠可得：的面积为， ∴的面积为， ∴， 故答案为： 2．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，将沿折痕折叠，使点B落在边上的点E处，若，则的周长为（    ） A．5 B．6 C．6.5 D．7 【答案】D 【思路引导】本题考查轴对称的性质，根据轴对称图形的性质得到，，从而，从而即可解答． 【规范解答】解：由折叠可得，， ∴， ∴． 故选：D． 3．（2025·四川遂宁·中考真题）汉字作为中华优秀传统文化的根脉和重要载体，在发展过程中演变出多种字体，给人以美的享受．下面是“遂宁之美”四个字的篆书，能看作是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了轴对称图形的定义，熟知轴对称图形的概念是关键； 根据轴对称图形的定义：如果将一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，逐项判定即可得解. 【规范解答】解：A、不能看作是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不能看作是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不能看作是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、能看作是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 4．（2022·浙江绍兴·中考真题）如图，在△ABC中，∠ABC=40°， ∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于点E．P是边BC上的动点（不与B，C重合），连结AP，将△APC沿AP翻折得△APD，连结DC，记∠BCD=α． (1)如图，当P与E重合时，求α的度数． (2)当P与E不重合时，记∠BAD=β，探究α与β的数量关系． 【答案】(1)25° (2)①当点P在线段BE上时，2α－β＝50°；②当点P在线段CE上时，2α＋β＝50° 【思路引导】（1）由∠B＝40°，∠ACB＝90°，得∠BAC＝50°，根据AE平分∠BAC，P与E重合，可得∠ACD，从而α＝∠ACB−∠ACD； （2）分两种情况：①当点P在线段BE上时，可得∠ADC＝∠ACD＝90°−α，根据∠ADC＋∠BAD＝∠B＋∠BCD，即可得2α−β＝50°；②当点P在线段CE上时，延长AD交BC于点F，由∠ADC＝∠ACD＝90°−α，∠ADC＝∠AFC＋α＝∠ABC＋∠BAD+α可得90°−α＝40°＋α＋β，即2α＋β＝50°． 【规范解答】（1）解：∵∠B＝40°，∠ACB＝90°， ∴∠BAC＝50°， ∵P与E重合，AE平分∠BAC， ∴D在AB边上，AE⊥CD， ∴∠ACD＝65°， ∴α＝∠ACB－∠ACD＝25°； （2）①如图1，当点P在线段BE上时， ∵∠ADC＝∠ACD＝90°－α，∠ADC＋∠BAD＝∠B＋∠BCD， ∴90°－α＋β＝40°＋α， ∴2α－β＝50°； ②如图2，当点P在线段CE上时， 延长AD交BC于点F， ∵∠ADC＝∠ACD＝90°－α，∠ADC＝∠AFC＋α＝∠ABC＋∠BAD+α＝40°＋α＋β， ∴90°－α＝40°＋α＋β， ∴2α＋β＝50°． 【考点剖析】本题考查三角形综合应用，涉及轴对称变换，三角形外角等于不相邻的两个内角的和的应用，解题的关键是掌握轴对称的性质，能熟练运用三角形外角的性质． 5．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行，小庆和小铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿折叠，量得；小铁把纸带②沿折叠，发现与重合，与重合．且点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上．则下列判断正确的是（    ） A．纸带①、②的边线都平行 B．纸带①、②的边线都不平行 C．纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行 D．纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行 【答案】D 【思路引导】对于纸带①，根据对顶角相等可得，利用三角形内角和定理求得，再根据折叠的性质可得，由平行线的判定即可判断；对于纸带②，由折叠的性质得，，，由平角的定义从而可得，，再根据平行线的判定即可判断． 【规范解答】解：对于纸带①， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， ∴与不平行， 对于纸带②，由折叠的性质得，，， 又∵点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 综上所述，纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行， 故选：D． 【考点剖析】本题考查平行线的判定、对顶角相等、三角形内角和定理、折叠的性质，熟练掌握平行线的判定和折叠的性质是解题的关键． 基础夯实 1．（23-24八年级上·河北唐山·期中）如图所示是三位同学的折纸示意图，则依次是的（   ） A．中线、角平分线、高 B．高、中线、角平分线 C．角平分线、高、中线 D．角平分线、中线、高 【答案】C 【思路引导】本题考查三角形的三线，折叠的性质，根据折叠的性质，得到图①中，图②中，图③中，结合角平分线，中线和高线的定义，进行判断即可． 【规范解答】解：由图可知：图①中，故是的角平分线； 图②中，故，故是的高线； 图③中，故是的中线； 故选C． 2．（25-26八年级上·重庆渝中·开学考试）下列说法中错误的是（    ） A．关于某直线成轴对称的两个图形全等 B．面积相等的两个三角形成轴对称 C．两个成轴对称的图形对应点连线的垂直平分线就是它们的对称轴 D．成轴对称指的是两个图形沿着某一直线对折后能完全重合 【答案】B 【思路引导】本题考查了轴对称的相关概念． 根据轴对称的相关概念逐一判断即可． 【规范解答】解：A．关于某直线成轴对称的两个图形全等，原说法正确； B． 面积相等的两个三角形不一定成轴对称，原说法错误； C． 两个成轴对称的图形对应点连线的垂直平分线就是它们的对称轴，原说法正确； D． 成轴对称指的是两个图形沿着某一直线对折后能完全重合，原说法正确； 故选：B 3．（25-26八年级上·全国·单元测试）《国语·楚语》中记载：“夫美也者，上下、内外、小大、远近皆无害焉，故曰美．”这一记载充分表明传统美的本质特征在于对称和谐．中国建筑布局一般都是采用均衡对称的方式建造，更具脱俗的美感和生命力．下列建筑物的简图中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了轴对称图形的识别； 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此逐项判断即可． 【规范解答】解：根据轴对称图形的定义可得：A、C、D均能找到一条直线，使得直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，不符合题意； B不是轴对称图形，符合题意． 故选：B． 4．（25-26八年级上·全国·课前预习）如图，直线是四边形的对称轴，P是直线上的点，下列判断错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了轴对称的性质，根据直线是四边形的对称轴，得到点A与点B对应，根据轴对称的性质即可得到结论． 【规范解答】解：∵直线是四边形的对称轴， ∴点A与点B对应， ∴，，， ∵点P是直线上的点， ∴，， ∴A，C，D正确，B错误， 故选：B． 5．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，是边上的一点，是轴对称图形，所在直线是它的对称轴．若的周长为，则 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了轴对称图形的性质；进行线段的等量代换后得到是正确解答本题的关键．由已知条件，利用轴对称图形的性质得，再利用给出的周长即可求出的长． 【规范解答】解：是轴对称图形，直线是它的对称轴， ， 的周长等于，， ， ． 故答案为：． 6．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）如图，点E在长方形纸片的边上，将三角形沿翻折，点A落在点处，若，则 度． 【答案】110 【思路引导】本题考查了翻转变换，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．根据翻折的性质得到，得到，即可得到答案． 【规范解答】解：， ， ， 即的度数为， 故答案为： 7．（21-22七年级下·山东青岛·期末）如图，将沿翻折，使点落在点处，过点作交于点，若，，则的度数为 ． 【答案】/度 【思路引导】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，折叠的性质，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．根据折叠的性质和平行线的性质得到，根据三角形的内角和定理即可得到结论． 【规范解答】解：∵将沿翻折，使点A落在点处， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（2023八年级上·广东肇庆·竞赛）内有一点，在的两边上各找一点，，使的周长最小，用尺规作图法，在图中作出 （不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【思路引导】利用轴对称的性质，找到点关于两边的对称点，将三角形周长转化为两点间的线段，从而确定使周长最小的点、． 本题主要考查了轴对称 - 最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 【规范解答】解：如图，为所求． 9．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段练习）在中，，．点D、E分别在的边上，且均不与的顶点重合，连接，将沿折叠，使点A的对称点始终落在四边形的外部，交边于点F，且点与点C在直线的异侧． (1)如图1，①若折叠后，，则_______； ②若折叠后，则_______°； (2)如图2，设，，在折叠的过程中，判断的值是否随着点D或E的位置变化而变化．若不变，求出结果；若变化，说明理由； (3)当的某条边与或垂直时，与的角平分线相交于点O，直接写出的度数． 【答案】(1)①；②65 ； (2)的值不随着点或的位置变化而变化 (3)或或 【思路引导】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和及其推论等知识，解决问题的关键是分类讨论． （1）①可得出，从而； ②可得出，设，则，根据得出 ，进而得出结果； （2），从而得出，进而得出结果； （3）当或时，点不是落在四边形的外部，故分为：当时，设交于，可求得，从而，从而得出 ，从而得出；同样方法得出当时和当时得结果． 【规范解答】（1）解：①∵， ， ， 故答案为：； ②∵， ， 设，则， ， ， ， 故答案为：65； （2）解：的值不随着点或的位置变化而变化， 理由如下： ， ， ， ∴的值不随着点或的位置变化而变化； （3）解：当或时，点不是落在四边形的外部，舍去； 如图1，当时， ， ， ， ， ， 如图2， 当时，同理， 此时，即， ， 如图3， 当时，， ， 综上所述：或或． 10．（24-25七年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图1，在四边形中，，． (1)试说明：； (2)如图2，将四边形沿折叠，点C与点重合，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查平行线的判定与性质、折叠性质，熟练掌握平行线的性质和折叠性质是解答的关键． （1）根据平行线的性质得到，再等量代换得到，进而根据同旁内角互补，两直线平行可得结论； （2）由折叠的性质，．再由平行线的性质得到，进而求得，由可求得答案． 【规范解答】（1）证明：因为，所以． 因为，所以． 所以． （2）解：由折叠的性质，得，． 因为，所以． 所以． 由（1）得， 所以． 培优拔高 11．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，在中，，，，．如果点，分别为，上的动点，那么的最小值是（    ） A． B．5 C． D．6 【答案】A 【思路引导】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形三边关系，垂线段最短，正确进行转化是解题的关键．延长到点，使，连接，过点作于点，连接，，由得到当点重合，且点共线时，最小，即为的长，再由即可求解． 【规范解答】解：如下图所示，延长到点，使，连接，过点作于点，连接，， ，， 是的垂直平分线，， ∴， ∴， 当点重合，且点共线时，最小，即为的长， ， ， 解得：． 故选：A ． 12．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，与关于直线对称，连接，，，其中分别交，于点，，下列结论：①；②；③直线垂直平分；④直线与的交点不一定在直线上．其中正确的是（　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【思路引导】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解题的关键．根据轴对称的性质对各结论进行逐一分析即可． 【规范解答】解：∵和关于直线对称， ∴，故①正确， ∵和关于直线对称， 点与点关于直线对称的对称点， ∴，故②正确； ∵和关于直线对称， ∴线段被直线垂直平分， ∴直线垂直平分，故③正确； ∵和关于直线对称， ∴线段、所在直线的交点一定在直线上，故④错误， ∴正确的有①②③． 故选：A． 13．（24-25七年级下·福建漳州·期末）如图，在四边形中，分别是边上的动点，当的周长最小时，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】作点A关于的对称点E、F，连接分别交于点H、G，连接则当点M与点H重合，点N与点G重合时，的周长最小，则易得的大小． 【规范解答】解：如图，作点A关于的对称点E、F，连接分别交于点H、G，连接 由对称性知： ∴ ∴当点M与点H重合，点N与点G重合时，的周长最小； ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 此时 故选：B． 【考点剖析】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，两点间线段最短等知识，解答本题的关键要明确：涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 14．（25-26八年级上·重庆渝中·开学考试）如图所示，，点为内一点，点关于、的对称点分别为点、，连接、、、、，分别与、交于点、，连接、，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了三角形的内角和，三角形外角的性质，轴对称的性质． 由，根据三角形的内角和定理可得到的值，再根据对顶角相等可以求出的值，然后由点P与点、对称的特点，求出，进而可以求出的值，利用三角形的外角的性质和三角形内角和即可求出． 【规范解答】∵ ∴ ∵， ∴ 又∵点关于对称的对称点分别为点 ∴，，， ∴ ∴ 即 ∴ ∴ 故选：C 15．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，平分．点，分别是，上的动点，若的面积为6，则的最小值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查最短路线问题，解答中涉及垂线段最短，能够根据相关知识得到的最小值为的长是解题的关键． 在上截取，连接，，证明，得到，由此得到，当点G，F，共线时，最小，即为的长，此时，过点C作交于点F，根据面积求出的长即可解决问题． 【规范解答】解：在上截取，连接，， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∴当点G，F，共线时，最小，即为的长，此时， 如图，过点C作交于点， ∵，， ∴， 解得， ∴的最小值为， 故答案为：． 16．（2025八年级上·全国·专题练习）如图、将长方形纸片沿折叠，点、分别落在点、处，与相交于点，如果，则 度 【答案】40 【思路引导】本题考查平行线的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，解答的关键是明确折叠过程中哪些角的大小相等．由折叠的性质可得，，由平行线的性质可求得，，从而可求得，根据三角形的内角和可求得，再由对顶角相等即可解． 【规范解答】解：由折叠得：，， ，， ，， ， ， ， ， 故答案为：40． 17．（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）如图，记，，点、是，上的定点，点、是，上的动点，当最小时，的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了轴对称-最短问题，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则此时最小，易知，，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论． 【规范解答】解：如图，作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则此时最小， ∴，， ∵，，，，， ∴ ， ， ∴， 整理得：β． 故答案为：． 18．（25-26八年级上·湖南湘西·开学考试）（综合与实践）【提出问题】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸上点C饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ (1)【数学理解】如图2，小亮作出了点B关于直线l的对称点，连接与直线l（即河岸）交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的． 他的思考过程如下，请你横线上填写理由、依据或内容． 如图3，在直线上任意找与点不重合的一点，连接，，． 在△中，　 　 点与点关于直线对称，直线垂直平分 　　 ，　　 ， ． (2)【解决问题】如图4，将军牵马从军营处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到点处，试分别在和上各找一点、，使得将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 【答案】(1)三角形任意两边之和大于第三边，，线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 (2)见解析 【思路引导】本题主要考查了轴对称的性质，中垂线的性质，两点之间线段最短，正确画出图形是解题关键． （1）根据所给推理正确填空即可； （2）如图所示，分别作点关于，的对称点、，连接分别交，于、，则路线，，即为所求． 【规范解答】（1）解：如图3，在直线上任意找与点不重合的一点，连接，，． 在中，（三角形任意两边之和大于第三边） 点与点关于直线对称， 直线垂直平分 ，（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等） ， ． 故答案为：三角形任意两边之和大于第三边； ；线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； （2）如图所示，分别作点关于，的对称点、，连接分别交，于、，则路线，，即为所求． ，，则， 根据两点之间线段最短可得路线，，即为所求． 19．（24-25八年级上·湖南湘西·期末）如图，为等边三角形，在内作射线 ，点B关于射线的对称点为D，连接，作射线交于点E，连接． (1)依题意补全图形； (2)设，求的度数（用含的式子表示）； (3)判断，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，见解析． 【思路引导】（1）根据题意补全图形即可； （2）先得出，，再得出，，进而得出，，求出，即可得出结论； （3）如图2，在上取一点F，使，先判断出是等边三角形，得出，，再判断出，得出，即可得出结论； 【规范解答】（1）解：补全图形如图1所示： （2）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵点B关于射线的对称点为点D， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （3）； 证明：如图2，在上取一点F，使， 由（2）知，， ∵， ∴， ∴， 由折叠知，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 由（2）知，， ∴， ∴， ∴． 【考点剖析】此题是几何变换综合题，主要考查了对称性，等边三角形的性质和判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解（3）的关键． 20．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，点M是边上一个动点（不与点A、B重合），点A和点Q关于直线对称，点B和点P关于直线对称，直线与线段交于点E，连接，设． (1)若，直接写出的度数； (2)试判断点P、M、Q是否在同一条直线上？并说明理由； (3)若，，，求与的面积之和的最大值． 【答案】(1)； (2)点P、M、Q在同一条直线上，理由见解析 (3)和的面积之和的最大值是 【思路引导】（1）根据轴对称的性质得到，于是得到； （2）根据轴对称的性质得到，求得，根据轴对称性质得到，得到，求得，推出，于是得到点P、M、Q在同一条直线上； （3）过Q作于点H，连接，设与相交于点，根据轴对称的性质得到，推出，得到，得到，当点H、D与点B重合时，最大值是4；根据三角形的面积公式即可得到结论． 【规范解答】（1）解：∵点B和点P关于直线对称， ∴， ∴； （2）解：点P、M、Q在同一条直线上，理由如下： ∵， ∴， ∵点B和点P关于直线对称， ∴， ∴， ∵点A和点Q关于直线对称， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点P、M、Q在同一条直线上； （3）解：过Q作于点H，连接，设与相交于点， ∵点A和点Q关于直线对称，， ∴， ∵点A和点Q关于直线对称，点B和点P关于直线对称， ∴和关于直线对称， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴当点H、D与点B重合时，QH最大值是4； ∴， 又∵， ∴， 故和的面积之和的最大值是． 【考点剖析】本题是几何变换综合题，考查了轴对称的性质，三角形的面积的计算，正确地添加辅助线是解题的关键． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 图形的轴对称 （知识梳理+19个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共63题） 【原卷版】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：轴对称图形的概念 2 知识点梳理02：轴对称图形的性质 2 知识点梳理03：图形的轴对称 3 知识点梳理04：画已知图形的轴对称图形重点 3 优选题型 考点讲练 4 考点1：轴对称图形的识别 4 考点2：成轴对称的两个图形的识别 4 考点3：根据成轴对称图形的特征进行判断 5 考点4：根据成轴对称图形的特征进行求解 5 考点5：画对称轴 6 考点6：求对称轴条数 7 考点7：画轴对称图形 7 考点8：设计轴对称图案 8 考点9：台球桌面上的轴对称问题 9 考点10：轴对称中的光线反射问题 9 考点11：折叠问题 10 考点12：车牌号码的镜面对称 11 考点13：钟表的镜面对称 11 考点14：最短路径问题 12 考点15：线段问题（轴对称综合题) 13 考点16：面积问题（轴对称综合题) 14 考点17：角度问题（轴对称综合题) 14 考点18：电子钟示数的镜面对称 16 考点19：其他问题（轴对称综合题) 16 中考真题 实战演练 17 难度分层 拔尖冲刺 19 基础夯实 19 培优拔高 22 知识点梳理01：轴对称图形的概念 1.轴对称图形：如果把一个图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴. 注意 （1）对称轴是一条直线，而不是射线或线段. （2）轴对称图形的对称轴可以有一条，也可以有多条. 2.常见的轴对称图形 名称 图形及其对称轴 对称轴 对称轴的条数 角 角平分线所在直线 1 等腰梯形 上、下底的中点所在直线 1 长方形 对边中点所在直线 2 正方形 对边中点所在直线和 两条对角线所在直线 4 圆 过圆心的每一条直线 无数条 知识点梳理02：轴对称图形的性质 性质：对称轴垂直平分连结两个对称点的线段. 沿对称轴折叠后轴对称图形上能够重合的点叫做对称点. 知识点梳理03：图形的轴对称 1.图形的轴对称：一般地，由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形沿某一条直线折叠后能够互相重合，这样的图形改变叫做图形的轴对称，这条直线叫做对称轴. 2.图形的轴对称的性质： 性质 几何语言 图示 对应点所连的线段被对称轴垂直平分. 成轴对称的两个图形中，对应线段所在的直线平行或相交（交点在对称轴上）或重合 成轴对称的两个图形是全等图形. 对应边相等 对应角相等 知识点梳理04：画已知图形的轴对称图形重点 画与已知图形成轴对称的图形的步骤 （1）找：观察已知图形，找出能代表已知图形的关键点（顶点或拐点）； （2）作：分别作出这些关键点关于对称轴对称的点； （3）连：按原图形的顺序依次连结相应的对称点. 画一个图形关于某条直线的对称图形，其实质就是已知图形上各关键点与对称轴，求作各关键点关于对称轴的对称点. 考点1：轴对称图形的识别 【典例精讲】（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级下·山东济南·期末）以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A． B． C．纳米 D．微云人工智能 考点2：成轴对称的两个图形的识别 【典例精讲】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，是由边长为1的小正方形组成的长方形网格，小正方形的顶点为格点，和的顶点都在格点上． (1)作关于直线l对称的； (2)与是否关于某条直线m对称？若是，画出直线m，若不是，请说明理由； (3)在直线l上找一点P，使得，请画出点P． 【变式训练】（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期末）《哪吒之魔童闹海》以震撼特效、精彩故事、鲜活形象和浓厚文化，展现了中国动画电影的强劲实力．下列四个图中，能由左图经过轴对称得到的是（    ） A．B． C． D． 考点3：根据成轴对称图形的特征进行判断 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课前预习）如图，阴影三角形与哪些三角形成轴对称？它们分别以哪条直线为对称轴的？ 【变式训练】（24-25七年级下·四川遂宁·阶段练习）如图，中，点D在边上，点E在边上，连结，四边形是以所在直线为对称轴的轴对称图形，，，则的度数为 ． 考点4：根据成轴对称图形的特征进行求解 【典例精讲】（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，点D是上一动点（点D与点B不重合），连接，作B关于直线的对称点E，当点E在的下方时，连接，则面积的最大值为 ． 【变式训练】（24-25七年级下·吉林·阶段练习）如图，点在的内部，点和点关于直线对称，点关于直线的对称点是点，连接交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为_________． 考点5：画对称轴 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，与关于直线l对称，请仅用无刻度的直尺，在图①与图②中分别作出直线l． 【变式训练】（24-25八年级上·吉林·期末）如图，在的正方形网格中，阴影部分是由4个正方形组成的一个图形，请你用两种方法分别在下图方格内添涂2个小正方形，使这6个小正方形组成的图形是轴对称图形． 考点6：求对称轴条数 【典例精讲】（2025七年级上·全国·专题练习）下面图形中，对称轴最多的是（ ） A． B． C． 【变式训练】（24-25七年级下·河南郑州·开学考试）正方形有 条对称轴，长方形有 条对称轴，圆有 条对称轴． 考点7：画轴对称图形 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）图形设计：请将网格中的两个小方格涂黑，使它与已涂黑的小方格组成轴对称图形，并且有两条对称轴．（要求用两种不同的方法） 【变式训练】（20-21八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在所给的网格图中，完成下列各题 (1)画出格点关于直线的对称的； (2)在上画出点P，使最小； (3)在上画出点Q，使最大． 考点8：设计轴对称图案 【典例精讲】（21-22八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）图是两个8×6的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，点A、B、C在小正方形的顶点上． (1)请在图1中确定点D（点D在小正方形的顶点上），使四边形为轴对称图形， (2)请在图2中确定点E（点E在小正方形的顶点上），使以点A、B、C、E为顶点的四边形为面积为10的轴对称图形． (3)请直接写出（1）中四边形的面积． 【变式训练】（24-25七年级下·江西鹰潭·阶段练习）如图，在相同小正方形组成的网格纸上，有三个黑色方块，请你用三种不同的方法分别在图1、图2、图3上再选一个小正方形方块涂黑，使得四个黑色方块组成轴对称图形． 考点9：台球桌面上的轴对称问题 【典例精讲】（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，，为了使白球反弹后能将黑球直接撞人袋中，那么击打白球时，必须保证的度数为（    ） A． B． C． D． 考点10：轴对称中的光线反射问题 【典例精讲】（23-24七年级下·浙江金华·期中）如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为，则；当入射光线与镜面垂直时，反射光线也与镜面垂直，即．这个过程称为一次反射． (1)如图2，有两块足够长的平面镜，一束光线射到平面镜上，经过两次反射后，射出的光线与光线平行，当时，___________，___________； (2)如图3，有两块足够长的平面镜，一束与镜面平行的光线射到平面镜上，经过两次反射后，射出光线与镜面平行，求度数； (3)在（2）的条件下，不改变入射光线与平面镜的夹角的大小，将绕点顺时针旋转一定度数后（与重合前停止），能否使光线经过三次或四次反射后，最终射出光线与镜面或平行，若能请求出度数；若不能请说明理由． 【变式训练】（24-25九年级下·河南开封·阶段练习）光线照射到平面镜上时会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线(垂直于平面镜的直线叫法线)的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，一个平面镜斜着放在水平面上，形成形状，且，在上有一点，从点射出一束光线(入射光线)，经平面镜点处反射后，反射光线刚好与平行，则的度数为(　　) A． B． C． D． 考点11：折叠问题 【典例精讲】（24-25七年级上·河北邯郸·期末）【实际操作】如图1，将一张长方形纸的一角折叠，使顶点落在处，为折痕． (1)若，求的度数； (2)若，将图1中的另一个角也斜折过去，使点落在点，为折痕，如图2所示，若与重合，请直接写出的度数； (3)如图2，在（2）的基础上，试判断当（不大于）的度数发生改变时，的度数会不会发生变化？并说明理由． 【变式训练】（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 考点12：车牌号码的镜面对称 【典例精讲】（24-25七年级下·吉林长春·期末）从镜中看到的一串数字如图所示，这串数字应为 ． 【变式训练】（24-25七年级下·吉林长春·期末）小林同学在照镜子的时候发现自己的学号牌在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号应该是（    ） A．70625 B．70952 C．70925 D．52607 考点13：钟表的镜面对称 【典例精讲】（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）小明从镜子里看到对面电子钟的像如图所示，则实际时间是 ． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏·期中）小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻应是（   ） A． B． C． D． 考点14：最短路径问题 【典例精讲】（24-25七年级上·陕西安康·阶段练习）如图，是一条公路上的3个村庄，间的路程为，间的路程为，要在之间设一个车站，设之间的路程为． (1)用含的代数式表示车站到3个村庄的路程之和； (2)若车站到3个村庄的路程之和为，问车站应设在何处？ (3)若要使车站到3个村庄的路程总和最小，问车站应设在何处？ 【变式训练】（25-26八年级上·全国·阶段练习）如图，在四边形中，，，面积为，的垂直平分线分别交，于点，，若点和点分别是线段和边上的动点，则的最小值为 ． 考点15：线段问题（轴对称综合题) 【典例精讲】（24-25八年级下·甘肃兰州·阶段练习）作图题（不写作法，保留作图痕迹） (1)如图1，作线段的垂直平分线； (2)如图2，作的角平分线； (3)如图3，要在公路上修一个车站，使得与，两个地方的距离和最小，请在图中画出的位置． 【变式训练】（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位，的三个顶点都在格点上． (1)在网格中画出关于直线对称的； (2)在直线上画一点，使得的和最小．（简要叙述点的画法） 考点16：面积问题（轴对称综合题) 【典例精讲】（24-25七年级下·湖南湘潭·期末）如图，在下列正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，，，，四个点都在格点（小正方形的顶点）上，画出四边形关于直线对称的四边形，并求出四边形的面积． 【变式训练】（23-24七年级上·上海·期末）如图，在中，，，点A关于的对称点为，点B关于的对称点为，点C关于的对称点为． (1)在图中画出； (2)若的面积为，则的面积是______． 考点17：角度问题（轴对称综合题) 【典例精讲】（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）矩形，若按如图（1）翻折，点的对应点恰好落在上，折痕分别为，，则的度数为；若按如图（2）翻折，点的对应点落在的内部（不含角的两边），已知，，则的度数为 ． 【变式训练】（24-25七年级下·吉林长春·期末）综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ________，________， = ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________． 【模型拓展】如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 考点18：电子钟示数的镜面对称 【典例精讲】（22-23八年级上·江苏无锡·阶段练习）从镜子里看黑板上写着，那么实际上黑板写的是 ． 【变式训练】在平面镜里看到背后墙上的电子钟示数如图所示，这时的实际时间应是(    ) A．21:02 B．21:05 C．20:15 D．20:05 考点19：其他问题（轴对称综合题) 【典例精讲】如图，网格中的每一个正方形的边长为，为格点三角形，直线为格点直线点、、、、在小正方形的顶点上． (1)仅用直尺在图中作出关于直线的对称图形． (2)如图，仅用直尺将网格中的格点三角形的面积三等分，并将其中的一份用铅笔涂成阴影． (3)如图，仅用直尺作三角形的边上的高，简单说明你的理由． 【变式训练】（21-22八年级上·福建龙岩·期中）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6，BC＝10，M、N、P分别是边AB、AC、BC上的动点，连接PM、PN和MN，则PM+PN+MN的最小值是 ． 1．（2025·江苏徐州·中考真题）如图，将三角形纸片折叠，使点A落在边上的点D处，折痕为．若的面积为8，的面积为5，则 ． 2．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，将沿折痕折叠，使点B落在边上的点E处，若，则的周长为（    ） A．5 B．6 C．6.5 D．7 3．（2025·四川遂宁·中考真题）汉字作为中华优秀传统文化的根脉和重要载体，在发展过程中演变出多种字体，给人以美的享受．下面是“遂宁之美”四个字的篆书，能看作是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 4．（2022·浙江绍兴·中考真题）如图，在△ABC中，∠ABC=40°， ∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于点E．P是边BC上的动点（不与B，C重合），连结AP，将△APC沿AP翻折得△APD，连结DC，记∠BCD=α． (1)如图，当P与E重合时，求α的度数． (2)当P与E不重合时，记∠BAD=β，探究α与β的数量关系． 5．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行，小庆和小铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿折叠，量得；小铁把纸带②沿折叠，发现与重合，与重合．且点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上．则下列判断正确的是（    ） A．纸带①、②的边线都平行 B．纸带①、②的边线都不平行 C．纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行 D．纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行 基础夯实 1．（23-24八年级上·河北唐山·期中）如图所示是三位同学的折纸示意图，则依次是的（   ） A．中线、角平分线、高 B．高、中线、角平分线 C．角平分线、高、中线 D．角平分线、中线、高 2．（25-26八年级上·重庆渝中·开学考试）下列说法中错误的是（    ） A．关于某直线成轴对称的两个图形全等 B．面积相等的两个三角形成轴对称 C．两个成轴对称的图形对应点连线的垂直平分线就是它们的对称轴 D．成轴对称指的是两个图形沿着某一直线对折后能完全重合 3．（25-26八年级上·全国·单元测试）《国语·楚语》中记载：“夫美也者，上下、内外、小大、远近皆无害焉，故曰美．”这一记载充分表明传统美的本质特征在于对称和谐．中国建筑布局一般都是采用均衡对称的方式建造，更具脱俗的美感和生命力．下列建筑物的简图中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·全国·课前预习）如图，直线是四边形的对称轴，P是直线上的点，下列判断错误的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，是边上的一点，是轴对称图形，所在直线是它的对称轴．若的周长为，则 ． 6．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）如图，点E在长方形纸片的边上，将三角形沿翻折，点A落在点处，若，则 度． 7．（21-22七年级下·山东青岛·期末）如图，将沿翻折，使点落在点处，过点作交于点，若，，则的度数为 ． 8．（2023八年级上·广东肇庆·竞赛）内有一点，在的两边上各找一点，，使的周长最小，用尺规作图法，在图中作出 （不写作法，保留作图痕迹）． 9．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段练习）在中，，．点D、E分别在的边上，且均不与的顶点重合，连接，将沿折叠，使点A的对称点始终落在四边形的外部，交边于点F，且点与点C在直线的异侧． (1)如图1，①若折叠后，，则_______； ②若折叠后，则_______°； (2)如图2，设，，在折叠的过程中，判断的值是否随着点D或E的位置变化而变化．若不变，求出结果；若变化，说明理由； (3)当的某条边与或垂直时，与的角平分线相交于点O，直接写出的度数． 10．（24-25七年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图1，在四边形中，，． (1)试说明：； (2)如图2，将四边形沿折叠，点C与点重合，，，求的度数． 培优拔高 11．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，在中，，，，．如果点，分别为，上的动点，那么的最小值是（    ） A． B．5 C． D．6 12．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，与关于直线对称，连接，，，其中分别交，于点，，下列结论：①；②；③直线垂直平分；④直线与的交点不一定在直线上．其中正确的是（　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 13．（24-25七年级下·福建漳州·期末）如图，在四边形中，分别是边上的动点，当的周长最小时，的度数是（    ） A． B． C． D． 14．（25-26八年级上·重庆渝中·开学考试）如图所示，，点为内一点，点关于、的对称点分别为点、，连接、、、、，分别与、交于点、，连接、，则的度数为（    ） A． B． C． D． 15．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，平分．点，分别是，上的动点，若的面积为6，则的最小值为 ． 16．（2025八年级上·全国·专题练习）如图、将长方形纸片沿折叠，点、分别落在点、处，与相交于点，如果，则 度 17．（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）如图，记，，点、是，上的定点，点、是，上的动点，当最小时，的值为 ． 18．（25-26八年级上·湖南湘西·开学考试）（综合与实践）【提出问题】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸上点C饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ (1)【数学理解】如图2，小亮作出了点B关于直线l的对称点，连接与直线l（即河岸）交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的． 他的思考过程如下，请你横线上填写理由、依据或内容． 如图3，在直线上任意找与点不重合的一点，连接，，． 在△中，　 　 点与点关于直线对称，直线垂直平分 　　 ，　　 ， ． (2)【解决问题】如图4，将军牵马从军营处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到点处，试分别在和上各找一点、，使得将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 19．（24-25八年级上·湖南湘西·期末）如图，为等边三角形，在内作射线 ，点B关于射线的对称点为D，连接，作射线交于点E，连接． (1)依题意补全图形； (2)设，求的度数（用含的式子表示）； (3)判断，，之间的数量关系，并证明． 20．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，点M是边上一个动点（不与点A、B重合），点A和点Q关于直线对称，点B和点P关于直线对称，直线与线段交于点E，连接，设． (1)若，直接写出的度数； (2)试判断点P、M、Q是否在同一条直线上？并说明理由； (3)若，，，求与的面积之和的最大值． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $