专题08特殊平行四边形常考几何模型专训（11大题型+15道拓展培优题）-2025-2026学年北师大版九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题08特殊平行四边形常考几何模型专训 （11大题型+15道拓展培优题） 题型一 利用菱形的性质求角度 题型二 利用菱形的性质求线段长 题型三 利用菱形的性质求面积 题型四 利用矩形的性质求角度 题型五 根据矩形的性质求线段长 题型六 根据矩形的性质求面积 题型七 根据正方形的性质求角度 题型八 根据正方形的性质求线段长 题型九 根据正方形的性质求面积 题型十 （特殊）平行四边形的动点问题 题型十一 四边形其他综合问题 【经典例题一 利用菱形的性质求角度】 【例1】（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图，以点为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点，，再分别以、为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，则的度数是多少？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查菱形的判定与性质以及平行线的性质．通过作图条件得到边的关系从而判定菱形，再利用菱形性质和平行线性质求解角度是解题的关键． （1）根据菱形的判定定理，四边相等的四边形是菱形，通过作图条件得出四条边相等来证明； （2）利用菱形的性质，先得出，再根据平行线的性质求出． 【详解】（1）证明：由作图过程可知，， 四边形是菱形． （2）四边形是菱形， 1．（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，在菱形中，过点作于点，作于点． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的性质以及利用菱形的性质证明，解题的关键是利用菱形性质证明以及利用菱形内角的关系进行角度计算． （1）利用四边形是平分，有因为，， 得出； （2）先根据菱形邻角互补求出，再求出，进而得出的度数，最后根据求出结果． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， 平分， ，， ． （2）四边形是菱形，， ． ，， ． ， ． 2．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，是菱形的对角线，． (1)请用尺规作图法，在上找点；使(不要求写作法，保留作图痕迹)； (2)在（1）条件下，连接，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)30° 【分析】本题考查垂直平分线的画法和判定，菱形的性质等性质，掌握菱形的性质和垂直平分线的画法是解题的关键． （1）只需做的垂直平分线交于点F即可； （2）根据菱形的性质求出，继而求出，最后运用等边对等角即可得解． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，． ∴，， ∴，     ∵， ∴． 3．（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，交AB于点E，连接DF，BF． (1)求证：； (2)若∠ADC=110°，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)∠FDC=75°． 【分析】（1）连接BF，由线段垂直平分线的性质得AF=BF，再证△BCF≌△DCF（SAS），得BF=DF，即可得出结论； （2）由菱形的性质得∠DCA=∠DAC=35°，由AF=DF以及三角形的外角性质，得到∠DFC=∠FDA+∠DAC=70°，据此求解即可得出答案． 【详解】（1）证明：连接BF，如图所示： ∵EF是线段AB的垂直平分线， ∴AF=BF， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BC=DC，∠BCF=∠DCF， 在△BCF和△DCF中， ， ∴△BCF≌△DCF（SAS）， ∴BF=DF， ∴AF=DF； （2）解：∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=110°， ∴AD=DC，∠DCA=∠DAC=(180°-∠ADC)=×70°=35°， ∵AF=DF， ∴∠FDA=∠DAC=35°， ∴∠DFC=∠FDA+∠DAC=70°， ∴∠FDC=180°-∠DFC-∠DCA=180°-70°-35°=75°． 【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质等知识；熟练掌握菱形的性质，证明△BCF≌△DCF是解题的关键． 【经典例题二 利用菱形的性质求线段长】 【例2】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图所示，平行四边形的对角线和相交于点，平分； (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求平行四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】这道题考查平行四边形和菱形的性质与判定，角平分线的定义，勾股定理以及求菱形的面积，判定四边形是菱形是解题关键． （1）由平行四边形和平分倒角得到，则，即可证明平行四边形是菱形； （2）由菱形的性质可以得到，由可得到，即可得到，由勾股定理求出，根据菱形的性质即可求出、，即可求出菱形的面积． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 平行四边形是菱形； （2）解法1：四边形是菱形，， ，， 平分， ， 中，， ，， ，， 平行四边形的面积， 解法2：四边形是菱形，， ，，， 为等边三角形， ， ， 中， ，， ， 菱形的面积． 1．（24-25九年级上·福建漳州·期中）如图，在平行四边形中，以点为圆心，长为半径画弧交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于一点，连接并延长交于点，连接． (1)根据条件与作图信息知四边形是 ； A．非特殊的平行四边形      B．矩形       C．菱形       D．正方形 (2)设与相交于点，四边形的周长为，，求的长． 【答案】(1)C (2) 【分析】本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线的作法及菱形的性质是解答此题的关键． （1）先根据四边形是平行四边形得出，证明，得出四边形是平行四边形，再由即可得出结论； （2）先根据菱形的周长求出其边长，再由得出，根据勾股定理求出的长，再由菱形的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得：平分， ， ∵， ， ∵四边形是平行四边形， ∴． ， ， ， 四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 故答案为：C； （2）解：∵四边形是菱形，且周长为16， ∴．垂直平分， ∵， ∴． ∴， ∴． 2．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，在中，平分交于点，点在线段上，点在的延长线上，且，连结． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，则菱形的周长是__________． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）要证四边形是菱形，先根据等腰三角形三线合一得、，结合证其为平行四边形，再由证得菱形； （2）先得到，那么可证明是等边三角形，则，再由菱形的四边相等可求解周长． 【详解】（1）证明：，平分于点， ，． ， 四边形是平行四边形． ，点在的延长线上， ， 是菱形． （2）解：四边形是菱形， ， ，， ． ∴是等边三角形， ∴， ∴菱形的周长是， 故答案为：12． 3．（24-25八年级下·山东济宁·期中）如图，在四边形中，，对角线交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意先证明四边形是平行四边形，再由可得平行四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得出的长以及，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边中线定理得出，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形， ，， ， ． ， ． 在中，，， ，   ． 【经典例题三 利用菱形的性质求面积】 【例3】（24-25八年级下·广东惠州·阶段练习）如图，平行四边形的对角线相交于点，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了菱形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定是关键． （1）证明即可判定平行四边形是菱形； （2）求出，根据菱形的面积公式即可求出答案． 【详解】（1）四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形. （2）四边形是菱形， ∴， ∴ 四边形ABCD的面积. 1．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，在菱形中，相交于点分别在上，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若菱形和菱形的面积分别为14，6，则的值为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质，是解题的关键． （1）根据菱形性质得出，，，根据，得出四边形为平行四边形，根据，得出四边形是菱形； （2）根据菱形和菱形的面积分别为14，6，得出，设，则，求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； （2）解：∵菱形和菱形的面积分别为14，6， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴． 2．（2023·四川成都·二模）如图，在菱形中，对角线与相交于点O，且，求菱形的高． 【答案】9.6． 【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．首先求出，再利用，即可解决问题． 【详解】解：四边形是菱形，， ，，， 在中，， ， ， ． 3．（23-24八年级下·湖南怀化·期末）如图，在中，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先证明，则，再结合四边形是平行四边形，即可作答． （2）先得出然后，根据勾股定理列式，代入数值进行计算，得出，运用菱形的面积公式计算，即可作答． 【详解】（1）证明：， ， 在和中 ∴ , 又四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形 （2）解：， 在中，，， ∴菱形的面积 【经典例题四 利用矩形的性质求角度】 【例4】（23-24八年级下·浙江绍兴·期中）如图，在矩形中，是边上的一点，且，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了矩形和等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据矩形和等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：在矩形中，, ∴, ∵， ∴， ∴， 1．（23-24八年级下·重庆大足·期末）如图，已知是矩形的对角线． (1)用直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交于E、F（保留作图痕迹，不写作法和证明）； (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)61° 【分析】（1）根据要求作出图形即可； （2）证明，再利用平行线的性质求解． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）垂直平分线段， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的作法和性质，属于中考常考题型． 2．（23-24八年级下·江西上饶·期中）如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E．若，求∠CDE的度数． 【答案】 【分析】先根据矩形的性质可得，再根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质可得，然后根据直角三角形的两个锐角互余即可得． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ， 又， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握矩形的性质（对角线互相平分且相等）是解题关键． 3．（23-24八年级下·山东济南·期中）如图，平行四边形中，对角线相交于点O，于点E，于点F，且． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明平行四边形是矩形，只需要证明对角线即可，可通过已知条件证明求得即可． （2）要求的度数，可先求的度数，再通过两锐角互补便可，根据角的比例系数可求得，，因此． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵，是矩形， ∴，， ∴在中，， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的证明，矩形的性质和角的换算，通过比值换算换算出角的度数再通过三角形内角和计算是解题的关键． 【经典例题五 根据矩形的性质求线段长】 【例5】（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，矩形的两条对角线，相交于点，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，掌握矩形的性质，勾股定理是关键．根据矩形的性质得到，由勾股定理得到，由矩形的性质得到即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 1．（24-25八年级下·北京密云·期末）如图，在矩形中，、交于点，点为边上一点，连接交于点，，，求的长． 【答案】10 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质．由矩形的性质得，再证明即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 2．（24-25八年级上·湖南株洲·期中）如图，在平行四边形中，是对角线上的中点，过点作，垂足为且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长及四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】（1）根据中位线定理，得到，结合，得到即可证明四边形 是矩形； （2）根据矩形的性质和三角形中位线定理，得 ，利用勾股定理求解的长即可得到答案． 本题考查了矩形的性质与判定，三角形中位线定理，勾股定理，熟练掌握矩形的性质与判定定理和三角形中位线定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵O是对角线上的中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． （2）解：∵四边形是矩形，， ∴（三角形中位线定理）， ∴， ∴四边形的周长为． 3．（24-25八年级下·全国·期中）如图，在中，A，，在对角线上，，两点分别从点，出发往终点，运动，它们的速度都是每秒，且同时出发，同时停止，若它们的运动时间为秒． (1)当时，判断四边形的形状，并说明理由． (2)当运动时间为多少时，四边形AECF为矩形？ 【答案】(1)平行四边形，理由见解析 (2)或 【分析】此题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握各判定定理及性质定理是解题的关键． （1）利用平行四边形的性质推出，根据，两点的速度都是每秒得到即可证得结论； （2）由矩形的性质知 、，要使，分当在上时，当有上时，即可求解． 【详解】（1）解:四边形是平行四边形． 理由四边形是平行四边形， ，． ， ． 又， 四边形是平行四边形． （2）若四边形是矩形，则． 当在上时，，解得； 当有上时，，解得． 当或时，四边形为矩形 【经典例题六 根据矩形的性质求面积】 【例6】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）【理解概念】 如果一个矩形的一条边与一个三角形的一条边能够重合，且三角形的这条边所对的顶点恰好落在矩形这条边的对边上，则称这样的矩形为这个三角形的“矩形框”．如图1，矩形即为的“矩形框”． (1)三角形面积等于它的“矩形框”面积的___________； (2)钝角三角形的“矩形框”有___________个； (3)如图2，已知中，，求的“矩形框”的周长； 【答案】(1) (2)1 (3)或 【分析】本题考查的勾股定理的应用，矩形的性质，清晰的分类是解本题的关键． （1）利用面积公式可直接得到答案； （2）由钝角三角形夹钝角的两边不能作为矩形的边，从而可得答案； （2）当或与“矩形框”一边重合时， 利用矩形的性质直接可得答案；当与“矩形框”一边重合时，利用等面积法求解，从而可得答案； 【详解】（1）解：∵矩形为的“矩形框” ∴； 故答案为： （2）解：由“矩形框”的含义得：钝角三角形夹钝角的两边不能作为矩形的边，所以钝角三角形的矩形框只有1个， 故答案为：1 （3）解：当或与“矩形框”一边重合时，周长为； 当与“矩形框”一边重合时，如图，作交AB于D． ∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴周长为． 综上，的“矩形框”的周长为或． 1．（2025·云南昆明·模拟预测）如图，矩形的对角线，相交于点O，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若矩形的周长为30，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)25 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、完全平方公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据矩形的性质得到，再根据菱形的判定即可证明； （2）根据矩形的周长为30，得到，再利用勾股定理得到，利用完全平方公式求出的值，得到矩形的面积，利用图形面积之间的关系即可求出四边形的面积． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， 矩形， ， 平行四边形是菱形． （2）解：矩形， ，，， 矩形的周长为30， ，即， 在中，， ， ， ， 由（1）得，四边形是菱形， ． 四边形的面积为25． 2．（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在平行四边形中，E为线段的中点，连接、，延长、交于点F，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)在不添加辅助线的条件下，请直接写出图中四个三角形且其面积为矩形的面积的四分之一． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．掌握相关知识点，是解题的关键． （1）证明，推出四边形是平行四边形，再根据即可得出结论； （2）根据矩形的性质，三角形的中线平分面积，作答即可． 【详解】（1）解：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵E为线段的中点， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形为矩形； （2）∵四边形是矩形， ∴，为的中点， ∴，， 即：的面积为矩形的面积的四分之一． 3．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在中，，，点E、F分别为垂足．    (1)求证：四边形是矩形； (2)已知，，，求矩形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)20 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，再由，，得到，由此即可证明四边形是矩形； （2）设，则，利用勾股定理建立方程，解方程求出，再根据矩形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键． 【经典例题七 根据正方形的性质求角度】 【例7】（24-25九年级下·河北唐山·开学考试）一燕尾形纸片，如图所示，，延长，，分别交、于点，如图，沿，剪开纸片，恰好拼成一个正方形，如图，则在图中： （1） 度． （2） cm． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，对顶角相等，勾股定理，正确识图是解题的关键． （）利用正方形的性质和对顶角相等即可求解； （）根据图形可得，，，进而可得，利用勾股定理求出即可求解； 【详解】解：（）∵四边形是正方形， ∴， 即， ∴， 故答案为：； （）由图可得，，，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 1．（2025·浙江·中考真题）【问题背景】 如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线上． 【数学理解】 (1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出的证明过程． (2)若裁剪过程中满足，求“机翼角”的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定，等边对等角，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）由正方形的性质可得，据此可利用证明； （2）由正方形的性质可得，再由等边对等角和三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（2025·甘肃·模拟预测）如图1是甘肃敦煌北朝时期洞窟中流行的一种平棋顶，它的中心为1～3个同心圆，圆形外套叠2～3层正方形，每一层正方形旋转角，以内层正方形的四角连接外层正方形四条边的中点，多个正方形套叠成棋格状．洞窟中的平棋顶更多的是装饰意义，并不具有承重等实际功能．如图2，已知正方形，作正方形的中点四边形．作法如下： ①连接交于点O； ②以点A，B为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交线段的两侧于点M，N，连接，与交于点E； ③以点O为圆心，长为半径画圆，分别与线段交于点F，G，H； ④顺次连接，则四边形为正方形的中点四边形． 请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中画出正方形的中点四边形（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见解析 【分析】此题考查了基本作图和正方形的性质，按照题目的作图步骤进行作图即可． 【详解】解：如解图，四边形为正方形的中点四边形． 3．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在正方形的外侧，作等边三角形，、相交于点，试求的度数． 【答案】 【分析】本题主要是考查正方形的性质和等边三角形的性质，三角形外角的性质，本题的关键是求出．根据正方形的性质及等边三角形的性质求出，，再求． 【详解】解：四边形是正方形， ， 又是等边三角形， ，， ， ，， ， 又， ． 【经典例题八 根据正方形的性质求线段长】 【例8】（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）如图，点分别在正方形的边上，，点在的延长线上，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的知识的综合，掌握正方形的性质是关键． （1）根据题意证明，即可求解； （2）根据题意证明，在中，运用勾股定理得到，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：由，得， ∴， ∴ 在与中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴． 1．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图是一个矩形平面设计图，它是由3个正方形（标号②与③）和2个大小相同的小矩形（标号①）组成的大矩形，已知大矩形的周长为．设小矩形①的长为，宽为，正方形②的边长为，回答下面问题： (1)求正方形②的边长；（用的代数式表示） (2)判断图中是否存在不必测量（即可由已知周长确定）就能知道其周长的图形？若存在，请写出所有图形标号，并说明理由． 【答案】(1) (2)存在，它们是①和② 【分析】本题主要考查了正方形的性质、矩形的性质、列代数式，能根据题意找出c与L的关系是解题的关键． （1）由③为正方形得出，再结合大矩形的周长为L即可用L表示出c； （2）结合（1）中发现的结论即可解决问题． 【详解】（1）解：由图可知，，化简得， （2）解：存在，它们是①和②．理由是： 标号①的周长为：， 标号①的矩形无需测量就可以知道其周长． 标号②的周长为：， 标号②正方形无需测量就可以知道其周长． 2．（24-25八年级下·河北邢台·期中）在菱形中，对角线，交于点，点，在对角线上的位置如图所示，且，，连接，，，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，二次根式，熟练掌握菱形的性质和正方形的判定与性质是解题的关键． （1）利用菱形的性质得出，，，再利用，得出，得出四边形是平行四边形，再由，，即可得证； （2）先利用勾股定理求出，再利用正方形的性质得出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵，， ∴四边形是正方形； （2）解：∵，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴． 3．（24-25八年级下·山东聊城·阶段练习）如图，正方形中，是上的一点，连接，过点作，垂足为点，延长交于点，连接．若正方形边长是5，，求的长． 【答案】 【分析】先证明，得到，于是，利用勾股定理解答即可． 本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关图形的性质和定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形，正方形边长是5， ∴， ∵， ∴ 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【经典例题九 根据正方形的性质求面积】 【例9】（23-24八年级下·河南商丘·期中）如图1，当时，与的面积相等．理由：因为，所以．又因为，所以． (1)【类比探究】如图2，在正方形的右侧作等腰三角形，，连接，求的面积． (2)【综合应用】如图3，在正方形的右侧作正方形，点B、C、E在同一直线上，，连接，求的面积． 【答案】(1)4 (2)8 【分析】本题主要考查了正方形性质和平行线判定和性质以及三角形面积，解题关键是理解阅读材料，根据平行线找到等底等高的三角形． （1）过点作于点，连接，可得，根据材料可知，再由等腰三角形性质可知，即可求出； （2）连接，证明，即可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：过点作于点，连接， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵在正方形中，， ∴； （2）解：如图3，连接， ∵在正方形、正方形中， ∴， ∴， ∴， ∵在正方形中，，， ∴． 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）若正方形的边长为，是的中点，则图中阴影部分的面积是多少？    【答案】 【分析】设，根据是中点，推出，，进而求出的值，然后乘2，即可解决问题． 【详解】解：设， 是中点，又因为和同高， ∴， ， 则， 阴影部分的面积． 【点睛】此题考查正方形的性质，三角形的面积之间的关系，解题的关键是理清各部分面积的关系． 2．（22-23八年级下·江苏·周测）如图，正方形的顶点C在直线a上，且直线a于M，直线a于N． (1)求证： (2)若点B，D到a的距离分别是1，2，求正方形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据正方形的性质可得，从而得到，再由直线，直线a，可得，从而得到，可证明，即可求证； （2）根据题意可得，，从而得到，再由勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵直线，直线a， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵点B，D到a的距离分别是1，2， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴正方形的面积． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键． 3．（23-24八年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在边长为6的大正方形中有两个小正方形（小正方形的顶点都在大正方形的边或对角线上），若两个小正方形的面积分别是和，求： 【答案】=17 【分析】根据正方形的对角线平分一组对角线可知图中三角形都是等腰直角三角形，根据正方形的对角线等于边长的倍求出AC，然后求出两个小正方形的边长，再根据正方形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：由正方形的性质，， ∴四个角所在的三角形都是等腰直角三角形， ∴， ∵正方形的边长为6， ∴， ∴两个小正方形的边长分别为，， ∴+=． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握等腰直角三角形的性质． 【经典例题十 （特殊）平行四边形的动点问题】 【例10】（23-24八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝12cm，BC＝18cm，点P从点A出发以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向点B运动，当点Q到达点B时，点P也停止运动，设点P，Q运动的时间为ts． (1)从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD？ (2)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQCD是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由； (3)从运动开始，当t取何值时，四边形PQBA是矩形？ (4)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQBA是正方形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4 (2)不存在，理由见解析 (3)6 (4)不存在，理由见解析 【分析】（1）利用平行四边形的判定和性质进行求解即可； （2）利用菱形的判定和性质进行求解即可； （3）利用矩形的判定和性质进行求解即可； （4）利用正方形的判定和性质进行求解即可． 【详解】（1）解：由运动知，AP＝tcm，CQ＝2tcm， ∴DP＝AD﹣AP＝（12﹣t）cm， ∵，要， ∴四边形CDPQ为平行四边形， ∴DP＝CQ， ∴12﹣t＝2t， ∴t＝4， 即t＝4时，PQCD； （2）不存在，理由： ∵四边形PQCD是菱形， ∴CQ＝CD， ∴2t＝10， ∴t＝5， 此时，DP＝AD﹣AP＝12﹣5＝7（cm）， 而DP≠CD， ∴四边形PQCD不可能是菱形； （3）如图，∵∠B＝90°，ADBC， ∴当AP＝BQ时，四边形ABQP是矩形， 即t＝18﹣2t， 解得：t＝6， ∴当t＝6时，四边形PQBA是矩形； （4）由当t＝6时，四边形PQBA是矩形， ∴AP＝6cm， ∵AB＝8cm， ∴AP≠AB， ∴矩形PQBA不能是正方形， 即不存在时间t，使四边形PQBA是正方形． 【点睛】本题考查四边形中的动点问题．解题的关键是熟练掌握平行四边形、菱形、矩形和正方形的判定和性质，确定动点的位置． 1．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）如图，正方形ABCD的边长为4，动点P从点A开始沿A→D→C的方向，以每秒2个单位的长度运动，动点Q从点B出发，沿B→C→D以每秒1个单位的长度运动．当点P到达C点后，P、Q两点同时停止运动．设运动时间为t，△BPQ的面积为S． 　 (1)填空：当动点P到达D点时，t= ； (2)请用含t的式子表示面积S． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）用AD的长除以动点P的速度可求出t； （2）分0<t≤2时和2<t≤4时两种情况，分别利用三角形的面积公式列式计算即可． 【详解】（1）解：∵正方形ABCD的边长为4，动点P的速度为每秒2个单位的长度， ∴t＝4÷2＝2， 故答案为：2； （2）当0<t≤2时，点P在线段AD上，如图： ∵BQ＝t， ∴； 当2<t≤4时，点P在线段CD上，如图： ∵BQ＝t，CP＝8－2t， ∴； 综上所述：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，三角形的面积计算等知识，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 2．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图，在四边形ABCD中，ADBC，∠B＝90°，AD＝18cm，BC＝26cm，动点P从点A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动，动点Q从C点开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动，P、Q分别从A、C同时出发，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，四边形ABQP为矩形？ (2)当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？ 【答案】(1)t＝6.5 (2)t＝4.5 【分析】（1）要使得四边形ABQP为矩形，只要AP＝BQ即可，从而可以求得此时t的值； （2）要使得四边形PQCD为平行四边形，只要PD＝CQ即可，从而可以求得此时t的值． 【详解】（1）当AP＝BQ时，四边形ABQP为矩形， ∴t＝26﹣3t， 解得，t＝6.5 即当t＝6.5s时，四边形ABQP为矩形； 故答案为：t＝6.5． （2）当PD＝CQ时，四边形PQCD为平行四边形， ∴18﹣t＝3t， 解得，t＝4.5 即当t＝4.5s时，四边形PQCD为平行四边形． 故答案为：t＝4.5． 【点睛】本题考查矩形的判定、平行四边形的判定，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 3．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发沿AD、BC、CB、DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时即停止．已知在相同时间内，若BQ＝xcm（x≠0），则AP＝2xcm，CM＝3xcm，DN＝x2cm． （Ⅰ）当x为何值时，AP、ND长度相等？ （Ⅱ）当x为何值时，以PQ、MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边能构成一个三角形？ （Ⅲ）当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形？    【答案】（Ⅰ）当x为2时，AP、ND长度相等；（Ⅱ）当x为时，以PQ、MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边能构成一个三角形；（Ⅲ）当x＝2或x＝4时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形． 【分析】(Ⅰ)由题意得出方程，解方程即可； (Ⅱ)分点P与点N重合或点Q与点M重合两种情况，由题意得出方程，解方程即可； (Ⅲ) 把P、N两点分两种情况讨论，点P在点N的左侧或点P在点N的右侧，进一步利用平行四边形的性质联立方程解答即可． 【详解】(Ⅰ)∵， ∴AP=ND时，即， 解得：或(舍去)， ∴当为2时，AP、ND长度相等； (Ⅱ)当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ，MN为两边，以矩形的边(AD或BC)的一部分为第三边可能构成一个三角形， ①当点P与点N重合时， 由题意得：， 解得： (舍去)， ∵，此时点Q与点M不重合， ∴符合题意； ②当点Q与点M重合时， 由题意得：， 解得：， 此时，不符合题意， ∴点Q与点M不能重合． 综上所述，所求的值为：； (Ⅲ)∵当N点到达A点时，，此时M点和Q点还未相遇， ∴点Q只能在点M的左侧， ①当点P在点N的左侧时，如图1所示：    由题意得：， 解得： (舍去)，， 当时四边形PQMN是平行四边形； ②当点P在点N的右侧时，如图2所示：      由题意得：， 解得：(舍去)，， 当时，四边形NQMP是平行四边形； 综上所述，当或时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题是特殊四边形的动点问题，考查了矩形的性质、平行四边形的性质、一元二次方程的解法等知识；熟练掌握矩形的性质和平行四边形的性质，进行分类讨论是解题的关键． 【经典例题十一 四边形其他综合问题】 【例11】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作且，连接、． (1)求证：四边形为矩形； (2)若菱形的边长为8，，则_________． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（1）先证四边形OCED是平行四边形，再由∠DOC=90°，即可得出结论； （2）先证△BCD是等边三角形，得BD=BC=8，再由勾股定理得OC=4，则AC=2OC=8，然后由矩形的性质得CE=OD=4，∠OCE=90°，最后由勾股定理即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO=OC=AC， ∴∠DOC=90°， ∵DE∥AC，DE=AC， ∴DE=OC，DE∥OC， ∴四边形OCED是平行四边形， 又∵∠DOC=90°， ∴平行四边形OCED是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，BC=CD=8，OB=OD，AO=OC=AC， ∵∠BCD=60°， ∴△BCD是等边三角形， ∴BD=BC=8， ∴OD=OB=4， ∴， ∴AC=2OC=8， 由（1）得：四边形OCED为矩形， ∴CE=OD=4，∠OCE=90°， 在Rt△ACE中，由勾股定理得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形1性质，证明四边形OCED为矩形是解题的关键． 1．（2023·福建厦门·一模）如图，已知四边形ABCD是矩形， （1）尺规作图，求作正方形BECF，使得顶点E在矩形ABCD内； （2）连接DE，若AB=6，AD=8，求DE的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）要使得正方形BECF的顶点E在矩形ABCD内，则应考虑以BC为对角线，因为∠B=∠C=90°，要构成正方形则E点应为∠B和∠C的角平分线的交点，所以可先作∠B与∠C的角平分线，然后再根据正方形的对称性作图即可； （2）连接FE交BC于G点，并延长FE交AD于H点，根据矩形和正方形的性质分别求出DH和HE的长度，从而利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，先作∠B和∠C的角平分线，交于E点， 则此时△BEC为等腰直角三角形， 然后分别以B，C两点为圆心，BE，CE为半径作圆弧在BC下方交于F点， ∴此时四边形BECF即为所求正方形； （2）如图所示，连接FE交BC于G点，并延长FE交AD于H点， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠ADC=∠BCD=90°，CD=AB=6，AD=BC=8， 由（1）可知四边形BECF为正方形， ∴EG=GC=BC=4，EG⊥BC， ∴∠ADC=∠BCD=∠EGC=90°，即四边形CDHG为矩形， ∴DH=CG=4，GH=CD=6，∠DHE=90°， ∴HE=GH-GE=2， 在Rt△HDE中，根据勾股定理得： DE==． 【点睛】本题考查尺规作图，以及矩形和正方形的性质，掌握尺规作图的基本原理，理解基本图形的性质是解题关键． 2．（23-24九年级上·甘肃张掖·期中）已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点． （1）求证：BM=CM； （2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论； （3）当AD：AB=___时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）． 【答案】（1）证明见解析；（2）四边形MENF是菱形，证明见解析；（3） 2：1 【分析】（1）由题意易得∠A=∠D=90°，AB=CD，AM=DM，则有△ABM≌△DCM，则根据全等三角形的性质可求证； （2）由题意易得，则有四边形MENF是平行四边形，进而可求EN=NF，然后根据菱形的判定可求解； （3）由题意易得△ABM是等腰直角三角形，则有∠AMB=45°，同理可得∠DMC=45°，进而可得∠EMF=90°，然后由（2）及正方形的判定定理可求解． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠D=90°，AB=DC． ∵M是AD的中点， ∴AM=DM， ∴△ABM≌△DCM（SAS）， ∴BM=CM； （2）四边形MENF是菱形，理由如下： ∵E、N、F分别是线段BM、BC、CM的中点， ∴， ∴四边形MENF是平行四边形， 同理可得：， ∵BM=CM， ∴EN=NF， ∴四边形MENF是菱形； （3） 当AD：AB=2：1时，四边形MENF是正方形； 理由如下： ∵AD：AB=2：1，M是AD的中点， ∴AB=AM， ∴△ABM是等腰直角三角形， ∴∠AMB=45°， 同理：∠DMC=45°， ∴∠EMF=180°-45°-45°=90°， 由（2）得：四边形MENF是菱形， ∴四边形MENF是正方形． 故答案为：2：1． 【点睛】本题主要考查三角形中位线、矩形的性质及菱形、正方形的性质与判定，熟练掌握三角形中位线、矩形的性质及菱形、正方形的性质与判定是解题的关键． 3．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，四边形中，，已知，，，，求四边形的面积． 【答案】106 【分析】如图，连接BD， 根据勾股定理先求出BD的长，然后根据勾股定理的逆定理，判定△DBC是直角三角形，最后求出S△BDC-S△ABD，问题得解． 【详解】解：连接BD， 根据勾股定理，得BD=， ， △BDC-△ABD=， 即S四边形ABCD=106， 答：求四边形的面积为106cm2 【点睛】本题考查勾股定理和勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理是解本题的关键． 1．（23-24八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）在人教版八年级下册数学教材学习了以下内容：菱形的对角线互相垂直且平分． 【结论运用】 (1)如图①，菱形的对角线与相交于点O，，，则菱形的面积是______； (2)如图②，四边形是菱形，点F在上，连接，四边形是菱形，连接，若，求的度数． 【答案】(1)96 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． （1）根据菱形性质求出，进而求出面积； （2）根据菱形性质证明，得出，再根据等腰三角形性质求出，根据三角形外角的性质求出结论． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ， 在中，，， ， ， ∴菱形的面积； （2）解：四边形是菱形，四边形是菱形， ，，， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 2．（23-24八年级下·天津河西·期中）如图，菱形花坛的边长为，，沿着菱形的对角线修建了两条小路和，求： (1)两条小路的长度； (2)菱形花坛的面积．结果保留根号 【答案】(1)， (2) 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得，，，菱形的对角线平分一组对角可得，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得，再利用勾股定理列式求出，然后求出即可； 根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解． 本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半，熟记各性质是解题的关键． 【详解】（1）解：花坛是菱形， ，，，， 中，， ， ，； （2）解：． 答：菱形花坛的面积是． 3．（23-24八年级下·广东惠州·期中）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形． (1)判断四边形的形状并证明． (2)若A、B的距离为3，A、C的距离为2，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是菱形，证明见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，菱形面积的计算，解题关键是熟练掌握菱形的判定与性质． （1）作于点E，于点F，先根据题意证明四边形是平行四边形，再证，推出，可得四边形是菱形； （2）连接，利用勾股定理求出，再根据即可求解． 【详解】（1）解：四边形是菱形，证明如下： 作于点E，于点F， 由题意得：，，， 四边形是平行四边形， ， ，， ， 在和中， ， ， 平行四边形是菱形； （2）解：如图，连接， 由（1）得四边形是菱形， 且互相平分， 即，， ，， ， 在中，， ， ， 4．（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，四边形为矩形，对角线交于点O，交延长线于点E． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】此题考查了矩形的性质、平行四边形的判定、等边对等角等知识，熟练掌握矩形的性质、平行四边形的判定是解题的关键． （1）根据矩形的性质和已知即可证明四边形是平行四边形； （2）先求出，由矩形的性质和等边对等角得到，最后由三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】（1）证明：在矩形中，， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，， ∴， 在矩形中，， ∴， 在中，． 5．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，已知矩形． (1)请用直尺与圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹； ①以点A为圆心，以的长为半径画弧，交于点E，连接； ②作的平分线交于点F； ③连接； (2)在（1）作出的图形中，若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查基本作图，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质． （1）根据角平分线的作图方法作图即可； （2）先证，推出，再由勾股定理解和即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：由作图知，， 又， ， ， 四边形是矩形， ，，， 在中，，， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ， ． 6．（24-25八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，四边形是平行四边形，请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图1，点E在边上，在边上找一点F，使得； (2)如图2，在中挖去一个矩形，作一条直线平分剩下图形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图—复杂作图，平行四边形的性质，矩形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）连接，交于点，连接，延长交于点，点即为所求； （2）由题意作出平行四边形的中心，矩形的中心，作直线即可． 【详解】（1）解：如图1中，点即为所求； （2）解：如图2中，直线即为所求； 7．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，的边在直线上（点在点左侧），动点在点右侧直线上 操作探究（1）：若是等边三角形，关于点的中心对称图形是，连接，，则四边形的形状是_____． 操作探究（2）：如图，若为等腰三角形，，与关于成中心对称，当在的右侧且时，判断四边形的形状，并说明理由． 操作探究（3）：若是任意三角形，（在点左侧），动点在点右侧直线上，在下图中已作出关于点的中心对称图形的一个参考图形，连接，，当与满足什么关系时，四边形是正方形，直接写出答案． 【答案】（1）平行四边形；（2）矩形，证明见解析；（3）当点在右侧时，；当点在中间时， 【分析】本题主要考查了中心对称图形的性质，平行四边形的判定，矩形的判定，正方形的性质等等： 操作探究（1）：先根据题意画图，再由中心对称图形的定义可得，据此可证明结论； 操作探究（2）：根据等边对等角和三角形内角和定理证明，即可证明结论； 操作探究（3）：分当点在右侧时，当点在中间时，两种情况根据正方形的性质讨论求解即可． 【详解】解：操作探究（1）：连接，，,如图： 由中心对称图形的性质可得，三点共线； ∴四边形是平行四边形； 操作探究（2）：四边形是矩形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形； 操作探究（3）：如图所示，当点在右侧时， ∵四边形是正方形， ∴； 如图所示，当点在中间时， ∵四边形是正方形， ∴， ∴； ∴， 综上所述，或． 8．（25-26七年级上·浙江温州·开学考试）如图，在长方形中，是正方形，已知，，则长方形的周长是多少厘米？ 【答案】 【分析】本题考查了正方形，长方形的性质，采用设而不求的技巧是解题的关键； 设正方形的边长为，表示出，，再求长方形的周长． 【详解】设正方形的边长为， 由题知，，， ， 长方形的周长等于． 答：长方形的周长等于． 9．（24-25八年级下·河北廊坊·期末）正方形的对角线相交于点，正方形的顶点与点重合，而且这两个正方形的边长都是1．已知，与正方形的边分别交于，两点． (1)如图1，若，则重叠部分四边形的面积是___________． (2)当正方形绕点O旋转到如图2所示的位置时，四边形的面积是否发生变化？证明你的结论． 【答案】(1) (2)面积不发生变化，理由见解析 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质； （1）先根据正方形的性质得到，，，再证明得到，所以重叠部分四边形的面积； （2）先根据正方形的性质得到，，，，再证明得到，所以重叠部分四边形的面积，于是判断四边形的面积不发生变化． 【详解】（1）解：如图1，四边形和四边形都为正方形， ，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 重叠部分四边形的面积； 故答案为：； （2）解：四边形的面积不发生变化． 理由如下： 四边形和四边形都为正方形， ，，，， ，， ， 在和中， ， ， ， 重叠部分四边形的面积； 即四边形的面积不发生变化． 10．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在中，的面积为48，动点从点出发，以2个单位长度的速度沿线段向终点运动，同时动点从点出发以4个单位长度的速度在间往返运动，当点到达点时，动点、同时停止运动，连结．设运动时间为t秒． (1)直线与之间的距离是______． (2)当点从点向点运动时（点不与点、重合），设四边形的面积为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (3)当时，求t的值． (4)当平分的面积时，直接写出t的值． 【答案】(1)4 (2) (3)1.5或3.5 (4)2或6 【分析】（1）根据平行四边形的面积即可求解； （2）连接，当点Q从点C向点B运动时，，根据，求得的取值范围，根据即可求解； （3）过点A作于，表示出；分两种情况：当点Q从点B向点C运动时，当点Q从点C向点B运动时，在这两种情况下再表示出，列方程即可求解； （4）分两种情况：当点Q从点B向点C运动时，当点Q从点C向点B运动时，根据列方程计算即可． 本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，动点问题，一元一次方程的应用，分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：设中边上的高为， ∴， ∵，的面积为48， ∴， 即直线与之间的距离是4； （2）如图，连接， 由题意可知， 由， 的高为4， ， 当点Q从点C向点B运动时，， ∴， ，，解得， ； （3）过点A作于，则， ， ∴， ， ， 四边形为矩形， ， ∵，P从A点出发，以2个单位长度的速度沿线段向终点D运动， ∴， 又∵动点Q从点B出发以4个单位长度的速度在间往返运动，当点P到达点D时，动点P、Q同时停止运动， ∴当时，Q从点B往点C运动，， ，解得； 当时，Q从点C往点B运动，， ，解得； ∴或； （4）的面积为48， 当平分平行四边形的面积时，24， 当时，由题意得，， ，解得； 当时，由题意得，， ，解得； ∴或6． 11．（22-23八年级下·吉林长春·期末）【问题原型】 如图1，在正方形中，．求证：． 【问题应用】 如图，在正方形中，，、分别是边、上的点，且． （1）如图2，连接、交于点，为的中点，连接，．当为的中点时，四边形的面积为 　　； （2）如图3，连接、，当点在边上运动时，的最小值为 　　． 【答案】[问题原型]见解析；[问题应用]（1）；（2） 【分析】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、将军饮马问题，此题综合性强，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． [问题原型]证明即可； [问题应用]（1）先证，得，求证，由，，求得，则可得，即可由得解； （2）连接，可证明，得，则，延长到点，使，连接、，则，则，当、、共线时最小，求解即可． 【详解】解：[问题原型]证明：如图，设与交于点， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ． [问题应用]（1）解：四边形是正方形，， ，， ，为的中点， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 为的中点， ， ， 故答案为：． （2）解：如图，连接， ，，， 在和中， ， ， ， ， 延长到点，使，则，垂直平分， 连接、，则， ，， ， ， 的最小值是， 故答案为：． 12．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）综合与探究 新定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． 请运用研究特殊四边形的经验，对“邻等对补四边形”进行探究． (1)概念理解：用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有______（填序号）．    (2)性质探究： 小明从特殊到一般，围绕邻等对补四边形的对角线展开研究，首先根据图1②中的特殊情况得到一个结论： 若邻等对补四边形中，两组邻边均相等，则必有一条对角线平分一组对角； 于是他画出了如图2的更一般的邻等对补四边形，并从对角线的维度得到了以下猜想： 若邻等对补四边形中，仅有一组邻边相等，则必有一条对角线平分一个内角； 请根据图2，改写命题，写出已知条件和求证，并进行证明．    (3)综合应用： 如图3，在中，，．分别在边，上取点，，使四边形是邻等对补四边形． 若，请画出所有符合条件的图形，并直接写出或用含的代数式表示．    【答案】(1)②④ (2)见解析 (3)或或 【分析】（1）按照“邻等对补四边形”的定义逐个判断即可； （2）首先根据题意写出已知条件和求证，然后作于E，延长线于F，证明，再用角平分线的判定证明即可； （3）首先得出，然后根据至少有一组邻边相等分三种情况讨论，分别求解即可． 【详解】（1）解：图①和图③没有对角互补，不是邻等对补四边形，图②和图④对角互补且有一组邻边相等，是邻等对补四边形， 故答案为：②④； （2）已知条件：四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线． 求证：． 证明：作于E，延长线于F，    ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）∵四边形是邻等对补四边形， ∴ ①如图所示，当时，连接    ∵，， ∴ ∴ ∵ ∴； ②如图所示，当时，连接，    ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵不平分和，不平分 ∴由（2）得，平分 ∴ ∴； ③如图所示，当时，连接，    ∵不平分和，不平分 ∴由（2）得，平分 ∴． 综上所述，或或． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等知识，明确题意，理解新定义，添加合适辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 13．（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒（），过点D作于点F，连接． (1)用含t的式子表示______；______； (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； (3)当t为何值时，使D，E，F三点构成的直角三角形．直接写出t的值． 【答案】(1)， (2)时，四边形能够成为菱形 (3)当t的值为或12时，使D，E，F三点构成的直角三角形 【分析】（1）由点D的起点及运动速度可知，由含30度角的直角三角形的性质可得；由点E的起点及运动速度可知，根据对边平行且相等判定四边形是平行四边形，则； （2）由（1）得四边形是平行四边形，当时，四边形是菱形，据此即可列方程求得t的值； （3）分，，三种情况，分别讨论即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 故答案为：，； （2）解：由（1）知四边形是平行四边形， 当时，四边形是菱形， ， 解得， 即时，四边形能够成为菱形； （3）解：当时，， ， ， ， 解得； 当时， ， ， ， ， ， 解得； 当时，点E和点F都和点B重合，不能构成三角形， 此种情况不存在； 综上可知，当t的值为或12时，使D，E，F三点构成的直角三角形． 【点睛】本题考查三角形上的动点问题，涉及平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等，注意分情况讨论是解题的关键． 14．（25-26九年级上·湖南衡阳·开学考试）如图，四边形为矩形，其中O为原点，A、C两点分别在x轴和y轴上，B点的坐标是．点D，E分别在，边上，且，将矩形沿直线折叠，使点落在边上点处． (1)F点的坐标为______，并求出线段的长； (2)若点P在第二象限，且四边形是矩形，求P点的坐标； (3)若M是坐标系内的点，点N在y轴上，若以点M，N，D，F为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有满足条件的点N的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)，，， 【分析】（1）由，且，求出、的长，再由折叠的特征求出的长，由勾股定理求出的长即可得到点的坐标；过作交于，设长为x， 由折叠知，以此为等量关系列方程即可求得长度． （2）连结、分别交于点、，由为的中点，可求出点的坐标，用待定系数法求直线的解析式，得到点的坐标，再由点分别为、的中点求出点的坐标； （3）以点、、、为顶点的四边形是菱形，则，而点在轴上，点在上，可知点在直线上，由、以及折叠得，，按以为菱形的边或对角线分类讨论，求出对应的点的坐标即可． 【详解】（1）解：矩形的边、分别在轴、轴上，且， ，，，， ，且， ，， 由折叠得，， ， ， ， ． 如图1，过作交于， 则四边形，为矩形， 设长为x，则， ∴， ∵， ∴在中，， 由折叠可知， ， 解得：， ∴； （2）解：如图2，连结交于点， 由（1）得，，，， 四边形是矩形， 点分别为、的中点， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ， 设，则，， ，， ； （3）解：由（1）得，，，，， 由折叠得，， ①当、为菱形的边时，则， 点在轴上，点在上， ∴如图3，当点与点重合时，此时满足四边形为菱形， 则 ， ∴； 如图4，当点与点重合时，此时满足四边形为菱形， 则； ②当为菱形的边，为菱形的对角线时，如图5，四边形为菱形， 连结，交于点，则垂直平分，且四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ； ②当为菱形的对角线，为菱形的边时，如图6，四边形是菱形， 设， 作于点，则，，， ， 由，得， 解得，， ， ∴， 综上所述，，，，． 【点睛】此题重点考查矩形的判定与性质，折叠的性质，菱形的性质，勾股定理，中点坐标等，熟练掌握相关知识点，采用分类讨论的思想方法是解决问题的关键． 15．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·开学考试）（1）如图1，在正方形中，点N、M分别在边、上，连接、、，，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，易证：，从而得到、与之间的数量关系______． 【实践探究】 （2）如图2，在正方形中，点E，F在对角线上，且，请你猜想线段，，之间的数量关系，并证明． 【拓展】 （3）如图3，正方形的边长为，点P为边上一点，于E，Q为中点，连接并延长交于点F，且，请求出的长． 【答案】（1）; （2）；（3） 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定是解题的关键， （1）将绕点A顺时针旋转，得到，从而，只要证明，即可得到答案； （2）将绕点顺时针旋转得到，连接，只要证明即可解决问题； （3）连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，则，，，设，，则，再由勾股定理构建方程即可得到答案． 【详解】解：（1）将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）如图，将绕点顺时针旋转得到，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 将绕点逆时针旋转得到，连接， 则，，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵正方形的边长为， ∴， ∵， 设，，则， ∴， 解得：， ∴， ∴， 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08特殊平行四边形常考几何模型专训 （11大题型+15道拓展培优题） 题型一 利用菱形的性质求角度 题型二 利用菱形的性质求线段长 题型三 利用菱形的性质求面积 题型四 利用矩形的性质求角度 题型五 根据矩形的性质求线段长 题型六 根据矩形的性质求面积 题型七 根据正方形的性质求角度 题型八 根据正方形的性质求线段长 题型九 根据正方形的性质求面积 题型十 （特殊）平行四边形的动点问题 题型十一 四边形其他综合问题 【经典例题一 利用菱形的性质求角度】 【例1】（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图，以点为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点，，再分别以、为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，则的度数是多少？ 1．（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，在菱形中，过点作于点，作于点． (1)求证：． (2)若，求的度数． 2．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，是菱形的对角线，． (1)请用尺规作图法，在上找点；使(不要求写作法，保留作图痕迹)； (2)在（1）条件下，连接，求的度数． 3．（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，交AB于点E，连接DF，BF． (1)求证：； (2)若∠ADC=110°，求的度数． 【经典例题二 利用菱形的性质求线段长】 【例2】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图所示，平行四边形的对角线和相交于点，平分； (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求平行四边形的面积． 1．（24-25九年级上·福建漳州·期中）如图，在平行四边形中，以点为圆心，长为半径画弧交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于一点，连接并延长交于点，连接． (1)根据条件与作图信息知四边形是 ； A．非特殊的平行四边形      B．矩形       C．菱形       D．正方形 (2)设与相交于点，四边形的周长为，，求的长． 2．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，在中，平分交于点，点在线段上，点在的延长线上，且，连结． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，则菱形的周长是__________． 3．（24-25八年级下·山东济宁·期中）如图，在四边形中，，对角线交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求的长． 【经典例题三 利用菱形的性质求面积】 【例3】（24-25八年级下·广东惠州·阶段练习）如图，平行四边形的对角线相交于点，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 1．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，在菱形中，相交于点分别在上，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若菱形和菱形的面积分别为14，6，则的值为______． 2．（2023·四川成都·二模）如图，在菱形中，对角线与相交于点O，且，求菱形的高． 3．（23-24八年级下·湖南怀化·期末）如图，在中，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 【经典例题四 利用矩形的性质求角度】 【例4】（23-24八年级下·浙江绍兴·期中）如图，在矩形中，是边上的一点，且，，求的度数． 1．（23-24八年级下·重庆大足·期末）如图，已知是矩形的对角线． (1)用直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交于E、F（保留作图痕迹，不写作法和证明）； (2)连接，若，求的度数． 2．（23-24八年级下·江西上饶·期中）如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E．若，求∠CDE的度数． 3．（23-24八年级下·山东济南·期中）如图，平行四边形中，对角线相交于点O，于点E，于点F，且． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的度数． 【经典例题五 根据矩形的性质求线段长】 【例5】（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，矩形的两条对角线，相交于点，，，求的长． 1．（24-25八年级下·北京密云·期末）如图，在矩形中，、交于点，点为边上一点，连接交于点，，，求的长． 2．（24-25八年级上·湖南株洲·期中）如图，在平行四边形中，是对角线上的中点，过点作，垂足为且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长及四边形的周长． 3．（24-25八年级下·全国·期中）如图，在中，A，，在对角线上，，两点分别从点，出发往终点，运动，它们的速度都是每秒，且同时出发，同时停止，若它们的运动时间为秒． (1)当时，判断四边形的形状，并说明理由． (2)当运动时间为多少时，四边形AECF为矩形？ 【经典例题六 根据矩形的性质求面积】 【例6】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）【理解概念】 如果一个矩形的一条边与一个三角形的一条边能够重合，且三角形的这条边所对的顶点恰好落在矩形这条边的对边上，则称这样的矩形为这个三角形的“矩形框”．如图1，矩形即为的“矩形框”． (1)三角形面积等于它的“矩形框”面积的___________； (2)钝角三角形的“矩形框”有___________个； (3)如图2，已知中，，求的“矩形框”的周长； 1．（2025·云南昆明·模拟预测）如图，矩形的对角线，相交于点O，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若矩形的周长为30，，求四边形的面积． 2．（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在平行四边形中，E为线段的中点，连接、，延长、交于点F，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)在不添加辅助线的条件下，请直接写出图中四个三角形且其面积为矩形的面积的四分之一． 3．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在中，，，点E、F分别为垂足．    (1)求证：四边形是矩形； (2)已知，，，求矩形的面积． 【经典例题七 根据正方形的性质求角度】 【例7】（24-25九年级下·河北唐山·开学考试）一燕尾形纸片，如图所示，，延长，，分别交、于点，如图，沿，剪开纸片，恰好拼成一个正方形，如图，则在图中： （1） 度． （2） cm． 1．（2025·浙江·中考真题）【问题背景】 如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线上． 【数学理解】 (1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出的证明过程． (2)若裁剪过程中满足，求“机翼角”的度数． 2．（2025·甘肃·模拟预测）如图1是甘肃敦煌北朝时期洞窟中流行的一种平棋顶，它的中心为1～3个同心圆，圆形外套叠2～3层正方形，每一层正方形旋转角，以内层正方形的四角连接外层正方形四条边的中点，多个正方形套叠成棋格状．洞窟中的平棋顶更多的是装饰意义，并不具有承重等实际功能．如图2，已知正方形，作正方形的中点四边形．作法如下： ①连接交于点O； ②以点A，B为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交线段的两侧于点M，N，连接，与交于点E； ③以点O为圆心，长为半径画圆，分别与线段交于点F，G，H； ④顺次连接，则四边形为正方形的中点四边形． 请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中画出正方形的中点四边形（保留作图痕迹，不写作法）． 3．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在正方形的外侧，作等边三角形，、相交于点，试求的度数． 【经典例题八 根据正方形的性质求线段长】 【例8】（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）如图，点分别在正方形的边上，，点在的延长线上，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 1．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图是一个矩形平面设计图，它是由3个正方形（标号②与③）和2个大小相同的小矩形（标号①）组成的大矩形，已知大矩形的周长为．设小矩形①的长为，宽为，正方形②的边长为，回答下面问题： (1)求正方形②的边长；（用的代数式表示） (2)判断图中是否存在不必测量（即可由已知周长确定）就能知道其周长的图形？若存在，请写出所有图形标号，并说明理由． 2．（24-25八年级下·河北邢台·期中）在菱形中，对角线，交于点，点，在对角线上的位置如图所示，且，，连接，，，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求的长． 3．（24-25八年级下·山东聊城·阶段练习）如图，正方形中，是上的一点，连接，过点作，垂足为点，延长交于点，连接．若正方形边长是5，，求的长． 【经典例题九 根据正方形的性质求面积】 【例9】（23-24八年级下·河南商丘·期中）如图1，当时，与的面积相等．理由：因为，所以．又因为，所以． (1)【类比探究】如图2，在正方形的右侧作等腰三角形，，连接，求的面积． (2)【综合应用】如图3，在正方形的右侧作正方形，点B、C、E在同一直线上，，连接，求的面积． 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）若正方形的边长为，是的中点，则图中阴影部分的面积是多少？    2．（22-23八年级下·江苏·周测）如图，正方形的顶点C在直线a上，且直线a于M，直线a于N． (1)求证： (2)若点B，D到a的距离分别是1，2，求正方形的面积． 3．（23-24八年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在边长为6的大正方形中有两个小正方形（小正方形的顶点都在大正方形的边或对角线上），若两个小正方形的面积分别是和，求： 【经典例题十 （特殊）平行四边形的动点问题】 【例10】（23-24八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝12cm，BC＝18cm，点P从点A出发以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向点B运动，当点Q到达点B时，点P也停止运动，设点P，Q运动的时间为ts． (1)从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD？ (2)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQCD是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由； (3)从运动开始，当t取何值时，四边形PQBA是矩形？ (4)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQBA是正方形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． 1．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）如图，正方形ABCD的边长为4，动点P从点A开始沿A→D→C的方向，以每秒2个单位的长度运动，动点Q从点B出发，沿B→C→D以每秒1个单位的长度运动．当点P到达C点后，P、Q两点同时停止运动．设运动时间为t，△BPQ的面积为S． 　 (1)填空：当动点P到达D点时，t= ； (2)请用含t的式子表示面积S． 2．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图，在四边形ABCD中，ADBC，∠B＝90°，AD＝18cm，BC＝26cm，动点P从点A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动，动点Q从C点开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动，P、Q分别从A、C同时出发，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，四边形ABQP为矩形？ (2)当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？ 3．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发沿AD、BC、CB、DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时即停止．已知在相同时间内，若BQ＝xcm（x≠0），则AP＝2xcm，CM＝3xcm，DN＝x2cm． （Ⅰ）当x为何值时，AP、ND长度相等？ （Ⅱ）当x为何值时，以PQ、MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边能构成一个三角形？ （Ⅲ）当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形？    【经典例题十一 四边形其他综合问题】 【例11】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作且，连接、． (1)求证：四边形为矩形； (2)若菱形的边长为8，，则_________． 1．（2023·福建厦门·一模）如图，已知四边形ABCD是矩形， （1）尺规作图，求作正方形BECF，使得顶点E在矩形ABCD内； （2）连接DE，若AB=6，AD=8，求DE的长． 2．（23-24九年级上·甘肃张掖·期中）已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点． （1）求证：BM=CM； （2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论； （3）当AD：AB=___时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）． 3．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，四边形中，，已知，，，，求四边形的面积． 1．（23-24八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）在人教版八年级下册数学教材学习了以下内容：菱形的对角线互相垂直且平分． 【结论运用】 (1)如图①，菱形的对角线与相交于点O，，，则菱形的面积是______； (2)如图②，四边形是菱形，点F在上，连接，四边形是菱形，连接，若，求的度数． 2．（23-24八年级下·天津河西·期中）如图，菱形花坛的边长为，，沿着菱形的对角线修建了两条小路和，求： (1)两条小路的长度； (2)菱形花坛的面积．结果保留根号 3．（23-24八年级下·广东惠州·期中）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形． (1)判断四边形的形状并证明． (2)若A、B的距离为3，A、C的距离为2，求四边形的面积． 4．（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，四边形为矩形，对角线交于点O，交延长线于点E． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的度数． 5．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，已知矩形． (1)请用直尺与圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹； ①以点A为圆心，以的长为半径画弧，交于点E，连接； ②作的平分线交于点F； ③连接； (2)在（1）作出的图形中，若，，求的面积． 6．（24-25八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，四边形是平行四边形，请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图1，点E在边上，在边上找一点F，使得； (2)如图2，在中挖去一个矩形，作一条直线平分剩下图形的面积． 7．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，的边在直线上（点在点左侧），动点在点右侧直线上 操作探究（1）：若是等边三角形，关于点的中心对称图形是，连接，，则四边形的形状是_____． 操作探究（2）：如图，若为等腰三角形，，与关于成中心对称，当在的右侧且时，判断四边形的形状，并说明理由． 操作探究（3）：若是任意三角形，（在点左侧），动点在点右侧直线上，在下图中已作出关于点的中心对称图形的一个参考图形，连接，，当与满足什么关系时，四边形是正方形，直接写出答案． 8．（25-26七年级上·浙江温州·开学考试）如图，在长方形中，是正方形，已知，，则长方形的周长是多少厘米？ 9．（24-25八年级下·河北廊坊·期末）正方形的对角线相交于点，正方形的顶点与点重合，而且这两个正方形的边长都是1．已知，与正方形的边分别交于，两点． (1)如图1，若，则重叠部分四边形的面积是___________． (2)当正方形绕点O旋转到如图2所示的位置时，四边形的面积是否发生变化？证明你的结论． 10．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在中，的面积为48，动点从点出发，以2个单位长度的速度沿线段向终点运动，同时动点从点出发以4个单位长度的速度在间往返运动，当点到达点时，动点、同时停止运动，连结．设运动时间为t秒． (1)直线与之间的距离是______． (2)当点从点向点运动时（点不与点、重合），设四边形的面积为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (3)当时，求t的值． (4)当平分的面积时，直接写出t的值． 11．（22-23八年级下·吉林长春·期末）【问题原型】 如图1，在正方形中，．求证：． 【问题应用】 如图，在正方形中，，、分别是边、上的点，且． （1）如图2，连接、交于点，为的中点，连接，．当为的中点时，四边形的面积为 　　； （2）如图3，连接、，当点在边上运动时，的最小值为 　　． 12．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）综合与探究 新定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． 请运用研究特殊四边形的经验，对“邻等对补四边形”进行探究． (1)概念理解：用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有______（填序号）．    (2)性质探究： 小明从特殊到一般，围绕邻等对补四边形的对角线展开研究，首先根据图1②中的特殊情况得到一个结论： 若邻等对补四边形中，两组邻边均相等，则必有一条对角线平分一组对角； 于是他画出了如图2的更一般的邻等对补四边形，并从对角线的维度得到了以下猜想： 若邻等对补四边形中，仅有一组邻边相等，则必有一条对角线平分一个内角； 请根据图2，改写命题，写出已知条件和求证，并进行证明．    (3)综合应用： 如图3，在中，，．分别在边，上取点，，使四边形是邻等对补四边形． 若，请画出所有符合条件的图形，并直接写出或用含的代数式表示．    13．（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒（），过点D作于点F，连接． (1)用含t的式子表示______；______； (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； (3)当t为何值时，使D，E，F三点构成的直角三角形．直接写出t的值． 14．（25-26九年级上·湖南衡阳·开学考试）如图，四边形为矩形，其中O为原点，A、C两点分别在x轴和y轴上，B点的坐标是．点D，E分别在，边上，且，将矩形沿直线折叠，使点落在边上点处． (1)F点的坐标为______，并求出线段的长； (2)若点P在第二象限，且四边形是矩形，求P点的坐标； (3)若M是坐标系内的点，点N在y轴上，若以点M，N，D，F为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有满足条件的点N的坐标． 15．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·开学考试）（1）如图1，在正方形中，点N、M分别在边、上，连接、、，，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，易证：，从而得到、与之间的数量关系______． 【实践探究】 （2）如图2，在正方形中，点E，F在对角线上，且，请你猜想线段，，之间的数量关系，并证明． 【拓展】 （3）如图3，正方形的边长为，点P为边上一点，于E，Q为中点，连接并延长交于点F，且，请求出的长． 学科网（北京）股份有限公司 $