专题07特殊平行四边形50道计算题专项训练（5大题型）-2025-2026学年九年级数学上册重难点专题提升讲练（北师大版2012）

专题07特殊平行四边形50道计算题专项训练（5大题型） 题型一 菱形的性质应用 题型二 矩形的性质应用 题型三 正方形的性质应用 题型四 斜边的中线等于斜边的一半 题型五 根据矩形的性质与判定求线段长 【经典计算题一 菱形的性质应用】 1．（23-24九年级下·江西赣州·期中）如图，是菱形的对角线，，是上一点，且垂直平分，垂足为，连接，求的度数． 【答案】 【分析】因为为的垂直平分线，所以，，由菱形的性质，得，得出的度数，由菱形的性质可得． 【详解】解：（1） ． （2）∵为的垂直平分线，， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴，， ∴， ∵是菱形的对角线， ∴， ∴． ∴的度数为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，平行线的性质．掌握菱形的性质是解答本小题的关键． 2．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）如图，四边形是边长为的菱形，其中对角线的长为． 计算： (1)对角线的长度． (2)菱形的面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）因为菱形的对角线互相垂直平分，可利用勾股定理求得BE或DE的长，从而求得BD的长； （2）利用菱形的面积公式：两条对角线的积的一半求得面积． 【详解】（1）解：∵四边形为菱形， ∴，且，且， ∵菱形的边长为， ∴， 在中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查菱形的性质、勾股定理、菱形的面积公式：两条对角线的积的一半和菱形的对角线性质，综合运用相关知识是解题的关键． 3．（2024·江西九江·二模） 如图1，四边形是菱形，，． （1）求，的长． 应用拓展 （2）如图2，为上一动点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接． ①直接写出点到距离的最小值； ②如图3，连接，，若的面积为6，求的长． 【答案】（1） （2）①；② 【分析】（1）由菱形的性质可得，，，，再进一步的解答即可； （2）①证明为等边三角形，可得，求解，如图，过作于，可得，当最小时，最小，可得当时，最小，再进一步解答即可； ②证明，可得，，证明，可得，再进一步解答可得答案． 【详解】解：（1）四边形是菱形，，． ，，，， ， ； （2）①四边形是菱形，， ，， 为等边三角形， ， 由旋转可得：，， ， 如图2，过作于， ， 当最小时，最小， 当时，最小， 此时， ， ， 点到距离的最小值为； ②四边形是菱形，， ，，， 所以∠ADE=∠ADF ， ， ，， ， ，的面积为6， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，菱形的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，二次根式的除法运算，掌握以上基础知识是解本题的关键． 4．（23-24八年级下·江西南昌·期中）如图，在菱形ABCD中，AB=15，对角线BD=24，若过点C作CE⊥AB，垂足为E，求CE的长． 【答案】CE=． 【分析】连接AC交BD于O，由菱形的性质得出OA=OC=AC，OB=OD=BD=12，AC⊥BD，由勾股定理求出OA，得出AC，再由菱形面积的两种计算方法，即可求出CE的长． 【详解】解：连接AC交BD于O，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴OA=OC=AC，OB=OD=BD=12，AC⊥BD， ∴∠AOB=90°， ∴OA==9， ∴AC=18， ∵菱形的面积=AB•CE=AC•BD， 即15×CE=×18×24， 解得：CE=． 【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、菱形面积的计算方法；熟练掌握菱形的性质，由菱形面积的两种计算方法得出结果是解决问题的关键． 5．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图是一个菱形的花坛，花坛的周长为，沿着花坛相对的两个顶点分别修建了两条小路，这两条小路的长度之比为3∶4，请你计算这个花坛的面积是多少．(小路的宽度忽略不计) 【答案】96m2 【详解】试题分析：如图，根据菱形的性质及AC：BD=3:4得AO:DO=3:4，再运用勾股定理求得AO，DO的长，从而得AC、BD的长，进而可求出花坛的面积. 试题解析：如图， ∵菱形ABCD的周长为40， ∴AD=10， ∵AC:BD=3:4 ∴AO:DO=3:4 设AO=3x，则DO=4x ∴(3x)2+(4x)2=102 解得：x=2. ∴AC=2AO=12m，BD=2DO=16m. ∴S菱形ABCD=96m2. 6．（23-24九年级上·宁夏银川·期末）动手操作：在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内，折出一个菱形．小颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形（见方案一），小明同学沿矩形的对角线折出，的方法得到菱形（见方案二）． （1）你能说出小颖、小明折出菱形的理由吗？ （2）请你通过计算，比较小颖和小明折出的菱形，哪个菱形面积较大？ 【答案】（1）理由见解析；（2）方案二小明同学所折的菱形面积较大． 【分析】（1）要证所折图形是菱形，只需证四边相等即可． （2）按照图形用面积公式计算S=30和S=，可知方案二小明同学所折的菱形面积较大． 【详解】（1）小颖的理由： 如图，连接AC、BD， ∵EFCH分别为AB、BC、CD、AD的中点， ∴，，EF=AC，GH=AC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD， ∴EH=EF=GF=GH， ∴四边形EFGH是菱形． 小明的理由： ∵四边形是矩形， ∴AD//BC，则， 又∵，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （2）方案一：； 方案二：设，则， ∴， 由四边形是菱形，得，即， ∴， ． 比较可知，小明所折的菱形面积较大． 【点睛】本题主要考查菱形的证明以及四边形面积的计算，第二问关键在于能够找到矩形与菱形的面积关系 7．（23-24八年级上·湖南株洲·阶段练习）如图，菱形，E是的中点，且，． (1)求的度数； (2)求对角线的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题关键． （1）先证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，再根据平行线的性质求解即可得； （2）先根据菱形的性质可得，再利用勾股定理可得，由此即可得． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ， 是的中点，且， 垂直平分， ， ， 是等边三角形， ， 又， ． （2）解：如图，连接，交于点， ∵四边形是菱形，， ， ， ． 8．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在菱形中，，，点为边上一个动点，延长到点，使，且，相交于点． (1)求菱形的面积； (2)若点运动到中点时，求证：四边形是平行四边形； (3)若时，探究的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)32 【分析】（1）连接，交于点，先证明为等边三角形求出，再根据勾股定理求出即可求出，最后根据菱形的面积公式即可求得答案； （2）根据E是中点证明，再证明,，即可证得四边形是平行四边形； （3）过点C作，垂足为H，设，先证明，再证明，从而得到，进一步得到的表达式，再求出的表达式和的值，最后利用勾股定理建立等式进行变形即可求得答案． 【详解】（1）如图，连接，交于点， 四边形是菱形， 为等边三角形 在中， ∴菱形的面积 （2）如下图所示，连接、， 为中点， ， ， 四边形是菱形， , , 四边形是平行四边形； （3）过点C作，垂足为H，设，如图所示， 四边形是菱形 ， ， 在中， ， ， ， 在中，，， ，即， 整理得： ． 【点睛】本题考查菱形的性质、平行四边形的判定和性质和勾股定理，解题的关键是利用勾股定理建立等式． 9．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）已知线段AB=10cm，以AB为一边作一个内角为60〫的菱形ABCD，并计算这个菱形的面积．（请保留作图痕迹） 【答案】 【分析】直接利用菱形的性质以及等边三角形的性质得出D，C点位置，构造等边ABD，即可画出图形，再直接利用菱形面积求法得出答案即可． 【详解】解：解：如图，菱形ABCD即为所求． 连接AC，BD交于点O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AD=AB=BC=CD=10cm, ∵∠DAB=∠DCB=60°， ∴ABD，BCD都是等边三角形， ∴BD=AB=AD=10cm, ∴OD=OB=5cm, ∴， ∴BD=10cm,AC=10 cm, ∴S菱形ABCD==． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 10．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作，在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第二次操作，…依此类推，若第次余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为阶准菱形，如图，中，若，，则为1阶准菱形：中，若，，则为3阶准菱形． （1）判断与推理： 邻边长分别为2和3的平行四边形是______阶准菱形； （2）操作、探究、计算： ①已知的边长分别为1，且是3阶准菱形，请画出及裁剪线的示意图，并在下方写出的值． ②已知的邻边长分别为，，满足，，请写出是______阶准菱形． 【答案】（1）2；（2）①画图见解析；，，，；②6． 【分析】（1）根据n阶准菱形的定义即可解决问题； （2）①3阶准菱形，可知剪三次菱形，分三个都是相同的菱形，前两次相同，后三次相同和第二次和第三次相同这四种情况来讨论求解即可， ②可知a＝13m，b＝4m，所以a可以剪3次，b也可以前3次的，故可得出结论． 【详解】（1）邻边长分别为2和3的平行四边形是2阶准菱形； 故答案为2． （2）①如图 a=4×1=4； a=2×1+1÷2= a=1+1÷3= ； ②6阶准萎形．如图所示： 故答案为6． 【点睛】本题主要考查对新概念的理解及菱形的判定，正确理解题目中所给出的n阶准菱形的概念是解题的关键． 【经典计算题二 矩形的性质应用】 11．（23-24八年级下·河南开封·期末）为迎接开封市菊花艺术节，某校组织学生积极参与，八年级（3）班、（4）班分别用菊花布置了一个矩形和菱形的花坛，为美观，（3）班计划用红色菊花摆成对角线，（4）班计划沿着菱形的对角线留出两条小路． (1)若（3）班一条对角线用了15盆红色菊花，另外一对角线还需要多少盆红色菊花，请说明理由． (2)若（4）班同学测量出两条对角线小路的长分别2米和3米，请计算花坛的面积． 【答案】(1)14盆，见解析 (2)3平方米 【分析】（1）根据矩形对角线相等即可得到答案； （2）根据菱形的面积等于对角线相乘的一半即可得到答案． 【详解】（1）∵矩形的对角线互相平分且相等，一条对角线用了15盆红色菊花， ∴另一条对角线也用15盆红色菊花，但中间一盆为对角线的交点，15-1=14（盆）， ∴另外一对角线还需要14盆红色菊花； （2）∵菱形的对角线互相垂直， ∴， ∴花坛的面积为3平方米． 【点睛】本题考查了矩形和菱形的性质，熟知菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键． 12．（23-24八年级下·宁夏吴忠·期末）如图所示，四边形是张大爷的一块小菜地，已知，，，，请帮张大爷计算一下这个四边形菜地的周长． 【答案】 【分析】如图，作于．首先证明四边形是矩形，在中，求出即可解决问题． 【详解】解：如图，作于． ，， ， 四边形是矩形， ，， 在中，， ， 四边形的周长． 【点睛】本题考查勾股定理的应用、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 13．（23-24四川遂宁·中考真题）汛期即将来临，为保证市民的生命和财产安全，市政府决定对一段长200米且横断面为梯形的大坝用土石进行加固．如图，加固前大坝背水坡坡面从A至B共有30级阶梯，平均每级阶梯高30cm，斜坡的坡度；加固后，坝顶宽度增加2米，斜坡的坡度，问工程完工后，共需土石多少立方米？（计算土石方时忽略阶梯，结果保留根号） 【答案】立方米． 【分析】先过A作于H，过E作于G，由矩形的性质和题意斜坡的坡度，得到，由题意斜坡的坡度，再结合梯形面积公式即可得到答案. 【详解】解：过A作于H，过E作于G， 则四边形是矩形， ∴，， ∵米， ∵斜坡的坡度， ∴， ∴， ∵斜坡的坡度， ∴， ∴， ∴， ∴共需土石为立方米． 【点睛】本题考查矩形的性质和梯形面积公式，解题的关键是熟练掌握矩形的性质和梯形面积公式. 14．（2024八年级上·云南玉溪·期末）如图：在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，AB＝4cm，AD＝cm． （1）判定△AOB的形状； （2）计算△BOC的面积． 【答案】（1）△AOB为等边三角形；（2）S△BOC＝. 【分析】（1）用勾股定理求出BD的长度，由矩形的性质得到OA=OB=AB，即可推出△AOB为等边三角形． （2）由S△BOCS△ABC，即得出结论． 【详解】（1）在Rt△ABD中，BD=8． ∵ABCD是矩形，∴BO＝AOBD＝4＝AB，∴△AOB为等边三角形； （2）S△BOCS△ABCAB×BC＝4(cm2)． 【点睛】本题考查了矩形的性质，需要牢固掌握勾股定理和等边三角形的判定． 15．（22-23八年级下·重庆渝北·期中）阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图①，在中，，且，试求的值． 小明发现，过点E作，交的延长线于点F，经过推理得到，再计算就能够使问题得到解决（如图②）　 　，并写出推理和计算过程． 参考小明思考问题的方法，请你解决如下问题： 如图③，已知和矩形，与交于点G，求的度数．      【答案】，过程见解析； 【分析】 由,可证得四边形是平行四边形, 即可得, 即可得, 然后利用勾股定理，求得的值；首先连接, 由四边形是平行四边形，四边形是矩形，易证得四边形是平行四边形，继而证得是等边三角形，则可求得答案． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 解决问题：连接． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∵四边形是矩形， ∴． ∴． ∴四边形是平行四边形． ∴． ∵， ∴． ∴是等边三角形． ∴． ∵， ∴．    【点睛】 此题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是注意掌握辅助线的作法． 16．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）如图，在矩形中，，，在边上，关于直线的对称点为点，当点在边上时，连接，求的面积． 【答案】 【分析】总结性分析：本题考查了矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理及三角形面积的计算，解题的关键是利用轴对称的性质得到相等线段并结合勾股定理求出相关线段的长度。 依据矩形性质确定各边长度和直角；利用轴对称性质得出、在中用勾股定理求进而得在中通过勾股定理列方程求出计算的面积。 【详解】解：如图，连接，， 四边形是矩形，，， ，，. 关于直线的对称点为点，且点在边上， 垂直平分， ，， ， ， ， ， ， . 17．（22-23八年级下·浙江丽水·期末）如图，点是矩形的对称中心，点，点分别位于，上，且经过点，，，，点在上运动，点，在上运动，且则：    （1）周长的最小值是 ． （2）四边形周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，线段和的最小值计算，熟练掌握矩形的性质，将军饮马河原理是解题的关键． 作关于的对称点，连接，交于，连接，则的最小值为，证明出周长的最小值为，作于，于，利用勾股定理求出和即可． 将点向上平移个单位至，作关于的对称点连接交于，在的下方个单位出找到，则为的最小值，四边形周长的最小值为，作于点，利用勾股定理求出即可解题． 【详解】解：如图，作关于的对称点，连接，交于，连接，   ， 的最小值为， 周长的最小值为， 作于，于， ， ， ， ， ， ， ，， ， 周长的最小值为． 故答案为：． 如图，将点向上平移个单位至，作关于的对称点连接交于，在的下方个单位出找到，   ，且， 四边形为平行四边形， ，由对称得，， 为的最小值， 四边形周长的最小值为， 作于点， ，， ， ， ， 四边形周长的最小值为：． 故答案为：． 18．（23-24八年级下·江西新余·期中）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“半地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（AC＝1尺）．将它往前推进两步（EB＝8尺），此时踏板升高离地五尺（BD＝5尺）． (1)AE＝______尺： (2)求秋千绳索（OA或OB）的长度， 【答案】(1)4 (2)秋千绳索的长度为尺． 【分析】（1）根据矩形的性质求出CE=BD=5尺即可得到答案； （2）设OA=OB=x尺，表示出OE的长，在中，利用勾股定理列出关于x的方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得四边形CDBE是矩形， ∴CE=BD=5尺， ∵AC=1尺， ∴AE=CE-AC=4尺， 故答案为：4 （2）解：设尺， 由题可知：尺，尺， ∴（尺），尺， 在中，尺，尺，尺， 由勾股定理得：， 解得：， ∴秋千绳索的长度为尺． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，矩形的性质，熟练掌握勾股定理，学会利用方程解决问题是解题的关键． 19．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图所示，在矩形中，，点沿边从点开始向点以的速度移动，点沿边从点开始向点以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间（）． （1）当为何值时，为等腰三角形？ （2）求四边形的面积，并探索一个与计算结果有关的结论． 【答案】（1）当时，为等腰三角形；（2），结论：四边形的面积始终不变，为36. 【分析】（1）若△QAP为等腰直角三角形，则只需AQ=AP，列出等式6-t=2t，解得t的值即可， （2）四边形QAPC的面积=矩形ABCD的面积-三角形CDQ的面积-三角形PBC的面积，设DQ=x．根据题干条件可得四边形QAPC的面积=72-x•12-×6×（12-2x）=72-36=36，故可得结论四边形QAPC的面积是矩形ABCD面积的一半． 【详解】（1）由，得.若为等腰三角形，则只能是.故当时，为等腰三角形． （2）． 结论：四边形的面积始终不变，为36. 【点睛】本题主要考查矩形的性质和等腰直角三角形的知识点，解决动点移动问题时，关键是找到相等关系量，此题还考查了一元一次方程的性质及其应用，根据几何图形的边长及面积求出t值． 20．（2023七年级下·浙江温州·期末）如图,为建设美丽农村,村委会打算在正方形地块甲和长方形地块乙上进行绿化.在两地块内分别建造一个边长为的大正方形花坛和四个边长为的小正方形花坛(阴影部分),空白区域铺设草坪,记表示地块甲中空白处铺设草坪的面积, 表示地块乙中空白处铺设草坪的面积.                     (1)__ ， (用含的代数式表示并化简) . (2)若,求的值. (3)若,求的值. 【答案】（1）；；（2）；（3） 【分析】(1)由题意已知边长，根据矩形的面积公式进行计算，即可得到答案；用乙的面积减去黑色区域面积黑即可得到答案； (2)将代入和，即可得到的值； (3)由得到，计算即可得到答案. 【详解】（1）有题意可知空白矩形的边长分别为a，b，则根据矩形的面积公式可得= ；乙=（2b+a）（4b+a），黑=，则乙-黑=； （2）将代入和，则； （3） 即 【点睛】本题考查矩形的面积公式，解题的关键是掌握割补法求面积. 【经典计算题三 正方形的性质应用】 21．（23-24九年级上·山东·期末）如图，在中，，，．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿边向点运动．过点作交折线于点，以为边在右侧作正方形．设正方形与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为秒． (1)当点在边上时，正方形的边长为______（用含的代数式表示）． (2)当点落在边上时，求的值． (3)当点在边上时，求S与之间的函数关系式． 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时， 【分析】本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、重叠部分的面积等知识． （1）由等腰直角三角形的性质和正方形的性质可得：，可得； （2）由等腰直角三角形的性质和正方形的性质可得：，即，可求t的值； （3）分两种情况讨论，根据重叠部分的图形的形状，可求S与t之间的函数关系式； 【详解】（1）解：∵，， ∴，且， ∴， ∴， （2）解：如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：当时，正方形与重叠部分图形的面积为正方形的面积， 即， 当时，如图，正方形与重叠部分图形的面积为五边形的面积， ∵， ∴， 同理可得：， ∴， 而，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 综上所述，S与t之间的函数关系式为． 22．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，P是正方形内一点，绕着点B旋转后能到达的位置，若，求线段的长． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理．根据旋转得到，勾股定理求出即可，掌握旋转的性质，是解题的关键． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∵绕着点B旋转后能到达的位置， ∴， ∴． 23．（2023七年级上·吉林长春·期末）如图,四边形ABCD和四边形ECGF都是正方形,点C、D、E在一条直线上,点B、C、G在一条直线上. (1)写出表示阴影部分面积的表达式(结果要求化简)； (2)当求阴影面积的面积 【答案】（1）a2−3a+18; （2）14． 【分析】（1）阴影部分的面积等于两个正方形的面积之和减去△ABD和△ BGF的面积，然后分别计算即可； （2）把a=4代入（1）中所求的表达式，求值即可. 【详解】（1）∵S□ABCD+S□ECGF=a2+62，S△ABD=×a2，S△BGF=×（a+6）×6=3（a+6） ∴S阴影= S□ABCD+S□ECGF− S△ABD− S△BGF=a2+36−−3（a+6）=a2−3a+18; （2）当a=4时，S阴影=a2−3a+18=×42−3×4+18=14. 【点睛】正方形和三角形的面积公式是本题的考点，正确分析并表示出阴影部分面积是解题的关键. 24．（22-23七年级下·广东珠海·期中）小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？通过计算说明． 【答案】不能，理由见解析 【分析】设这个面积为的正方形纸片的边长为，面积为的长方形纸片的长、宽分别为、，根据题意即可求得x、a的值，再进行比较即可判定． 【详解】解：不能， 说明如下： 设这个面积为的正方形纸片的边长为，面积为的长方形纸片的长、宽分别为、． 由题得，，． cm，． ． ， ∴该同学不能用这块纸片裁出符合要求的纸片． 【点睛】本题主要考查了求一个数的算术平方根，熟练掌握运用方程的思想求得正方形的边长以及长方形的长与宽是解决本题的关键． 25．（2023·北京怀柔·中考模拟）（1）如图①两个正方形的边长均为3，求三角形DBF的面积. （2）如图②，正方形ABCD的边长为3，正方形CEFG的边长为1, 求三角形DBF的面积. （3）如图③，正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为，求三角形DBF的面积. 从上面计算中你能得到什么结论. 结论是： 【答案】（1） ；（3）；结论是：三角形DBF的面积的大小只与a有关，与b无关. 【分析】（1）三角形的面积为×底×高，可看出三角形DBF的底和高都是3，可求出解． （2）正方形ABCD的面积加上以CD为长CE为宽的长方形的面积减去△ABD，△BEF，△DGF的面积即可求出解． （3）两个正方形的面积减去△ABD，△BEF，△GDF的面积可求出解． 【详解】（1）三角形DBF的面积：×3×3= （2）三角形DBF的面积：32+3×1-×3×3-（3+1）×1-×2×1=． （3）三角形DBF的面积：a2+b2-•a•a-（a+b）•b-（b-a）•b= 结论是：三角形DBF的面积的大小只与a有关，与b无关． 【点睛】本题考查读图的能力，关键是从图中看出三角形DBF的面积由哪些图形相加减得到． 26．（23-24九年级上·四川泸州·期末）如图，四边形是边长为的正方形，是上一点，，将绕着点顺时针旋转到与重合，求的长． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质、正方形的性质及勾股定理，根据旋转的性质得出是解题关键．根据正方形的性质及勾股定理可求出的长，根据旋转的性质得出，，利用勾股定理即可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴， ∴在中，， ∵绕着点A顺时针旋转到与重合， ∴，， ∴在中，． 27．（22-23八年级下·山东青岛·期末）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，如图①，已知矩形的宽    将图①中的矩形裁剪掉一个以边的正方形，得到新的矩形，已知矩形为黄金矩形，计算点D到线段的距离． 【答案】 【分析】根据正方形的性质和黄金矩形的性质即可求出，再根据即可求出． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴ ， ∵矩形是黄金矩形， ∴， 过D作于G，    在中，， ∴由勾股定理得， ∵，， ∴由得 ， 即点D到线段的距离为． 【点睛】本题考查点到直线的距离，涉及到新定义黄金矩形和面积相等法求线段长度，正确理解题意是关键． 28．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）阅读下面材料： 小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且，，，求∠APB的度数． 小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造，连接，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题． (1)请你计算图1中∠APB的度数． (2)如图3，在正方形ABCD内有一点P，且，，，求∠APB的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将△APB逆时针旋转60°得到，根据旋转的性质可知，求证为等边三角形，再根据勾股定理的逆定理得出，即可求出=； （2）将△APB绕点A顺时针旋转90°，根据旋转的性质可知，求证，用勾股定理逆定理求出，最后求出即可． 【详解】（1）将△APB逆时针旋转60°得到； ∵由△APB旋转60°所得， ∴， ∴，，，， 在中，，， ∴为等边三角形， ∴，， 在中，，即， ∴， ∴， ∴； （2）将绕A点顺时针旋转90°得，连接， ∵由旋转所得， ∴， ∴，，，∠=90°， 在△中，，且∠=90°， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理；熟练的运用旋转的性质作出辅助线是解题的关键． 29．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）要在半径为1，圆心角为的扇形铁皮上截取一块尽可能大的正方形．小明设计如下两种截取方案．      方案1：如图①，点在半径上，点在半径上，点在上； 方案2：如图②，点在半径上，点在半径上，点在上． 请通过计算这两种方案中正方形铁皮的面积，帮小明选择合理的方案． （参考数据：，） 【答案】这两种方案中正方形铁皮的面积分别为0.29，0.27；第（一）种方案截取的正方形的面积最大 【分析】方案一：连接，设正方形的边长为，根据含角的直角三角形的性质以及勾股定理求出，则，在中，，即，求出，即可得到面积； 方案二：过作，交于点，连接，设，先求出，从而得到，在中，，即，求出，即可得到面积，再进行比较即可得到答案． 【详解】解：方案一：如图1，   ， 连接，设正方形的边长为， ∵圆心角为， ， ， ， ， ， ， ， 则在中，，即， 解得：， ； 方案二：如图2所示，   ， 过作，交于点，连接， 设， ∵四边形是正方形， ， ， ，为中点， ， ， ， ， 在中，，即， 解得：， ， ， ∴第（一）种方案截取的正方形的面积最大． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、含度角的直角三角形的性质、正方形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，是解此题的关键． 30．（23-24八年级下·福建厦门·期末）某小区要在面积为128平方米的正方形空地上建造一个休闲园地，并进行规划（如图）：在休闲园地内建一个面积为72平方米的正方形儿童游乐场，游乐场两边铺设健身道，剩下的区域作为休息区．现在计划在休息区内摆放占地面积为31.5平方米“背靠背”休闲椅（如图），并要求休闲椅摆放在东西方向上或南北方向上，请通过计算说明休息区内最多能摆放几张这样的休闲椅． 【答案】休息区只能摆放张这样的休闲椅． 【分析】先根据正方形的空地面积求出正方形空地的边长，根据儿童游乐场的面积求出儿童游乐场的边长，即可得出休息区东西向和南北向的边长，已知休闲椅的长和宽，利用无理数估算大小的方法，即可知休息区只能摆放几张这样的休闲椅． 【详解】如图3：由题得， 正方形空地的边长为(米) 儿童游乐场的边长为 (米) ∵ (米) ∴休息区东西向和南北向的边长分别为米，米 ∵ ∴ ∴休闲椅只能东西方向摆放，且只能摆放一排 ∵ ∴ ∴休闲椅在东西方向上可并列摆放张 综上所述，休息区只能摆放张这样的休闲椅 【点睛】本题考查了正方形的性质，已知面积可求得边长，题中应用了无理数大小的估算，要想准确的估算出无理数的取值范围需要记住一些常用数的平方，一般情况下从1到20整数的平方都应牢记． 【经典计算题四 斜边的中线等于斜边的一半】 31．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图：在菱形中，，过点作于点，交于点，点为的中点，若，求的长． 【答案】的长为． 【分析】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、含角的直角三角形的性质以及三角形的外角性质等知识．由菱形的性质得，，再证，进而由直角三角形斜边上的中线性质得，则，得，然后证，即可解决问题． 【详解】解：四边形为菱形， ∴，， ， ， ， ， 点为的中点， ， ， ， ， ， ， ， 即的长为． 32．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，一位同学做了一个斜面装置进行科学实验，是该装置侧面图，，为了加固斜面，在斜面的中点D处连接一条支撑杆，量得． （1）求斜坡长和的度数； （2）该同学想用彩纸包裹实验装置中的的表面，请你计算的面积． 【答案】（1）AB＝12，；（2）18 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB＝2CD，然后根据等腰三角形的性质即可得到结论； （2）过C作CE⊥AB于E，根据直角三角形的性质得到CE＝CD＝3，由三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）∵，D是的中点， ∴， ∵，∴， ∴； （2）如图，过点C作于点E， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，含30°角的直角三角形的性质，熟记性质是解题的关键． 33．（24-25八年级上·吉林·期末）如图，在中，，，，平分，交边于点，点是边的中点．点为边上的一个动点． (1)_______度，_______； (2)当四边形为轴对称图形时，的长是_______； (3)若是等腰三角形，求的度数； (4)若点在线段上，连接、，直接写出的值最小时的长度． 【答案】(1)45；12 (2)6 (3)的度数为或或 (4)的长度为3 【分析】本题考查了直角三角形的性质（含角的直角三角形边长关系）、角平分线的定义、轴对称图形的性质、等腰三角形的分类讨论及最短路径问题，解题的关键是结合图形性质，利用边角关系和分类思想分析不同情况下的几何量． （1）根据角平分线定义求；利用和的长度，结合直角三角形边角关系求； （2）分析四边形为轴对称图形的对称轴，结合对称性质确定的长度； （3）分、、三种等腰情况，分别计算的度数； （4）通过作对称点将转化为线段距离，利用最短路径原理确定P的位置，进而求． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴． ∵在 中，，， ∴，角所对直角边是斜边的一半）． ∵， ∴． 故答案为：；． （2）解：当四边形为轴对称图形时，对称轴为（仅可能情况），则（对称边相等）． ∵， ∴． 故答案为：6． （3）解：由（1）知． 分三种情况： ①若，则． ∵， ∴； ②若，则； ③若，则， ∴． 答：的度数为或或． （4）解：作点E关于的对称点，连接交于M， 则最小（两点之间线段最短）． 当时，P为所求点（如下图）． 连接， ∵E是中点，是直角三角形，， ∴． ∵点关于对称， ∴，且 由（1）知，又， ∴，即，对称角， ∴，结合得， ∴（推得） ∵，则， 在中，． 即的值最小时的长度为3． 34．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，在四边形中，，、分别是、的中点，且，．求的长． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、直角三角形斜边上的中线的性质以及等腰三角形的性质，熟记各性质定理是解题的关键．连接、，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再由等腰三角形的性质得，，然后由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：连接、， ∵在中，，是的中点， ∴， 同理：在中，， ∴， 又∵是的中点， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴， ∴． 35．（23-24八年级下·山东济宁·期末）如图，中，，，，，，点是的中点，求的长． 【答案】． 【分析】此题主要考查直角三角形的性质，勾股定理的应用．根据勾股定理与直角三角形斜边上的中线性质即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴， ， ∴，， ∴， ∴， ∴是直角三角形 ∵点是的中点， ∴． 36．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，于F，于E，M为的中点．    (1)若，，求的周长； (2)若是等边三角形，求的度数． 【答案】(1)的周长为14； (2)． 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，平角定义等． （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，再根据三角形的周长的定义列式计算即可得解； （2）根据平角等于，求得，根据直角三角形斜边上的中线求得，根据等腰三角形两底角相等求出，再求得，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵，，M为的中点， ∴，， ∴的周长； （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∴， 由（1）得， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 37．（23-24八年级下·全国·专题练习）如图，已知△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6， （1）计算AC的长度； （2）计算AB边上的中线CD的长度. （3）计算AB边上的高CE的长度. 【答案】（1）AC=8；（2）CD=5；（3）CE=4.8. 【详解】分析：（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理可求得AC的长； （2）在Rt△ABC中，根据斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出CD的长； （3）在Rt△ABC中，根据面积法即可得出CE的长． 详解：（1）∵△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6， ∴由勾股定理得，AC=8； （2）∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10， ∴AB边上的中线CD=0.5AB=5； （3）∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，AC=8，CE⊥AB， ×AB×CE=×AC×BC， 即10×CE=8×6， ∴CE=4.8. 点睛：本题考查了直角三角形的性质的综合应用，解题时注意：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；在一个直角三角形中，两条直角边长的平方和一定等于斜边长的平方. 38．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在中，，的平分线交于点，为的中点．若，，求的长．    【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形“三线合一”的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线的性质等知识，掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．根据等腰三角形“三线合一”的性质可得，，再根据勾股定理求出的值，然后根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，即可得出答案． 【详解】解：∵，为的平分线，， ∴，， ∵， ∴在中，， 又∵为的中点， ∴． 39．（23-24八年级上·四川成都·期末）已知：如图，线段长为定值，点，分别在、上滑动，将绕点逆时针旋转到，连接，取中点，连接． (1)求证：平分； (2)若； ①当时，求的长． ②求的最大值． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）连接，过点作于，于，证明，由全等三角形的性质可得，由角平分线的判定定理即可证明平分； （2）①首先根据等腰直角三角形的性质可得，进而可得，结合，易得，然后利用勾股定理可得，即可获得答案；②取中点，连接，，，分别求得，的值，当三点共线时，取最大值，即可获得答案． 【详解】（1）证明：如图，连接，过点作于，于， 则， ∵绕点旋转得到， ∴为等腰直角三角形， ∵为中点， ∴且，即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分； （2）①解：∵， ∴， ∵为中点， ∴， ∵， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， ∴在中，， ∴； ②解：取中点，连接，，， ∵， ∴， ， ∴， 当三点共线时，取最大值， 此时． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、角平分线的判定定理、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，正确作出辅助线是解题关键． 40．（23-24八年级下·北京·期中）已知：如图，∠MON＝90°，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，将△ABC的两个顶点A、B放在射线OM和ON上移动，作CD⊥ON于点D，记OA＝x(当点O与A重合时，x的值为0)，CD＝y． 小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整． (1)通过取点、画图、计算、测量等方法，得到了x与y的几组值，如下表(补全表格) x/cm 0 1 2 3 4 4.5 5 y/cm 2.4 3.0 3.5 3.9 4.0 3.9 　 　 (说明：补全表格时相关数值保留一位小数) (2)建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象． (3)结合画出的函数图象，解决问题；当x的值为　 　时，线段OC长度取得最大值为　 　cm． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）当x=4时，OC长度的最大值为5 【分析】（1）根据勾股定理求出AB的长，可知x=5时B点与O点重合，过C作CE⊥OA于E，利用直角三角形的性质可求出CE的长，利用勾股定理求出CD的长即可；（2）根据表中数据描点画图即可；（3）取AB中点E，连接OE、CE，在直角三角形AOB和直角三角形ABC中，OE=AB，CE=AB，利用OE+CE≥OC，所以OC的最大值为OE+CE，即OC的最大值=AB=5．由AB=OC，AE=BE，CE=OE，∠ACB=90°可知四边形ACBO为矩形，可知D点与B重合，即y=4，由表中数据可知y=4时，x=4即可得答案. 【详解】（1）通过取点、画图、计算、测量等方法，得到了x与y的几组值，如下表： 如图：∵AC=3cm，BC=4cm， ∴AB==5cm， ∴x=5时，B与O重合，即OA=5， 过C作CE⊥OA于E， ∴CEOA=ACBC，解得：CE=2.4， ∴y=CD===3.2cm， x/cm 0 1 2 3 4 4.5 5 y/cm 2.4 3.0 3.5 3.9 4.0 3.9 3.2 故表中答案为：3.2 （2）如下图 （3）取AB中点E，连接OE、CE， 在直角三角形AOB和直角三角形ACB中，OE=AB=2.5，CE=AB=2.5， ∵OE+CE≥OC， ∴当E点在OC上时OC有最大值为OE+CE， 即OC的最大值=AB=5． ∵AB=OC，AE=BE，CE=OE，∠ACB=90°， ∴四边形ACBO是矩形， ∴D与B重合，即BC=CD=y=4， 由表中数据可知y=4时x=4， ∴x=4时，OC长度的最大值为5. 【点睛】本题考查函数和几何的应用、三角形的三边关系及直角三角形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，熟练掌握相关知识是解题关键. 【经典计算题五 根据矩形的性质与判定求线段长】 41．（23-24八年级下·甘肃武威·期中）兰州的东湖广场视野开阔，是一处设计别致，造型美丽的广场，成为不少市民放风筝的最佳场所．某校八年级（1）班的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度，他们进行了如下操作： ①测得的长为15米（注：）； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的小明身高1.7米． 求风筝的高度． 【答案】米 【分析】根据勾股定理求得的长度，然后证明四边形ABDE为矩形，得出ED，从而求得； 【详解】解：∵ ∴∠BDC=90°， 在中， ，， （米）． ∵AB⊥AE，DE⊥AF，BD⊥DE， ∴∠BAE=∠DEA=∠BDE=90°， ∴四边形ABDE为矩形， ∴ED=AB=1.7米， （米）， 答：风筝的高度为米． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，矩形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理的应用． 42．（23-24八年级下·河北唐山·期末）在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上且DF＝BE，连接AF，BF． ①求证：四边形BFDE是矩形； ②若CF＝6，BF＝8，AF平分∠DAB，则DF＝　 　． 【答案】①详见解析；②10 【分析】 ①先证明四边形DEBF是平行四边形，然后再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得结论； ②先利用勾股定理求出BC长，再根据平行四边形的性质可得AD长，再证明DF=AD即可得. 【详解】①∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB//CD，即BE//DF， 又∵DF=BE， ∴四边形DEBF是平行四边， 又∵DE⊥AB， ∴∠DEB=90°， ∴平行四边形BFDE是矩形； ②∵四边形BFDE是矩形， ∴∠BFD=90°， ∴∠BFC=90°， ∴BC==10， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC=10，AB//CD， ∴∠FAB=∠DFA， ∵∠DAF=∠FAB， ∴∠DAF=∠DFA， ∴DF=AD=10. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键. 43．（23-24八年级下·山东滨州·期末）在矩形ABCD中，∠DAB的平分线交AB于点E，交DC的延长线于点F，连接BD． （1）计算∠AEC的度数； （2）求证：BE=DC； （3）点P是线段EF上一动点（不与点E，F重合），在点P运动过程中，能否使△BDP成为等腰直角三角形？若能，写出点P满足的条件并证明；若不能，请说明理由． 【答案】（1）∠AEC=135°； （2）证明见解析； （3）在点P运动过程中，能使△BDP成为等腰直角三角形，此时点P是线段EF的中点．理由见解析. 【详解】试题分析：（1）由矩形的性质与三角形外角和定理即可得出结果；（2）由矩形的性质得出AB=DC、AD∥BC，再平行线的性质得出∠AEB=∠EAD=45°，即可得出结论；（3）连接CP，证出△CEF为等腰直角三角形，再由点P是线段EF的中点得出EP=CP、∠ECP=45°、∠EPC=90°，由SAS证得△BEP≌△DCP，即可得出结论． 试题解析：（1）∵四边形ABCD时矩形， ∴∠DAB=∠ABC=∠DCB=90°， ∵∠DAB的平分线交BC于点E， ∴∠BAE=∠EAD=45°， ∴∠AEC=∠ABC+∠BAE=90°+45°=135°； （2）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB=∠DCB=90°，AB∥DC，AD∥BC，AB=DC． ∴∠BEA=∠FAD． ∵AF是∠DAB的平分线， ∴∠FAB=∠FAD=45°． ∴∠FAB=∠BEA=45°． ∴AB=BF． ∴BE=DC． （3）解：在点P运动过程中，能使△BDP成为等腰直角三角形，此时点P是线段EF的中点．理由如下： 在△ECF中，∠ECF=90°，∠FEC=∠AEB=45°， ∴∠F=90°﹣∠FEC=90°﹣45°=45°． ∴∠F=∠FEC． ∴CE=CF． ∵点P是线段EF的中点， ∴EP=CP，∠ECP=45°，∠EPC=90°． ∴∠DCP=∠DCB+∠ECP=90°+45°=135°． ∵∠BEP=∠AEC=135°， ∴∠BEP=∠DCP． 在△BEP和△DCP中，， ∴△BEP≌△DCP（SAS）， ∴BP=DP，∠BPE=∠DPC． ∴∠BPD=∠BPE+∠DPE=∠DPC+∠DPE=∠EPC=90°． ∴△BDP为等腰直角三角形． 点睛：本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质与判定、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角和定理等知识；熟练掌握等腰三角形与等腰直角三角形的判定与性质是解决问题的关键. 44．（23-24八年级下·浙江台州·期中）阅读下面材料，并回答下列问题： 小明遇到这样一个问题，如图，在中，分别交于点，交于点.已知，求的值. 小明发现，过点作，交的延长线于点，构造，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图）    请你回答： （1）证明：； （2）求出的值； （3）参考小明思考问题的方法，解决问题； 如图，已知和矩形与交于点.求的度数. 【答案】（1）详见解析；（2）；（3） 【分析】（1）由DE∥BC，EF∥DC，可证得四边形DCFE是平行四边形，从而问题得以解决； （2）由DC⊥BE，四边形DCFE是平行四边形，可得Rt△BEF，求出BF的长，证明BC+DE=BF； （3）连接AE，CE，由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABEF是矩形，易证得四边形DCEF是平行四边形，继而证得△ACE是等边三角形，问题得证． 【详解】（1）证明：∵DE∥BC，EF∥DC， ∴四边形DCFE是平行四边形． ∴DE=CF． （2）解：由于四边形DCFE是平行四边形， ∴DE=CF，DC=EF， ∴BC+DE=BC+CF=BF． ∵DC⊥BE，DC∥EF， ∴∠BEF=90°．在Rt△BEF中， ∵BE=5，CD=3， ∴BF=．    （3）连接AE，CE，如图．    ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC． ∵四边形ABEF是矩形， ∴AB∥FE，BF=AE． ∴DC∥FE． ∴四边形DCEF是平行四边形． ∴CE∥DF． ∵AC=BF=DF， ∴AC=AE=CE． ∴△ACE是等边三角形． ∴∠ACE=60°． ∵CE∥DF， ∴∠AGF=∠ACE=60°． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理．连接AE、CE构造等边三角形是关键． 45．（2024·山东济南·模拟预测）数形结合思想可以借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观来阐明数之间某种关系．    (1)2002年世界数学家大会（ICM2002）在北京召开，这届大会会标（如图1）的中央图案是经过艺术处理的“弦图”（如图2），它由4个全等的直角三角形拼成，请观察“弦图”直接写出满足的等量关系为______． (2)某数学兴趣小组，采用数形结合思想解决了如下问题： 已知线段，点在线段上，，求的最小值． 他们解决问题的思路是：如图3，在线段的同侧构造了两个和，，令，利用勾股定理，得出，从而将问题转化成求“最小值”问题，再利用“将军饮马”模型，就完成了解答．请你写出解答过程； (3)如图4，在中，，点分别为上的动点，且，求的最小值． 【答案】(1)； (2)的最小值为； (3)的最小值为． 【分析】（）根据正方形面积公式求出面积即可； （）延长 到点 ，使，连接 交于点，作，交延长线于点，当三点共线时； （）过点作，并截取，连接，过点作，交的延长线于点，得，从而证明，当三点共线时，； 本题主要考查勾股定理的应用，矩形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，熟练应用数形结合思想是解题的关键． 【详解】（1）由图得，正方形的面积为或， ∴， 故答案为：； （2）延长 到点 ，使，连接 交于点，作，交延长线于点，    ∵，， ∴， ∴（当三点共线时，取“=”号） ∵， ∴四边形是矩形， ∴，； ∴， ∴， ∴最小值为，即最小值为； （3）过点作，并截取，连接，过点作，交的延长线于点，    ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴（当三点共线时，取“=”号） ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 46．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在等边中，点D在边上，点E在的延长线上，且，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到，连接，当取得最小值时，求的值． 【答案】3 【分析】在上截取，过点F作，交于点H，连接，，运用等边三角形判定和性质证明，． ，得，得，得．证明 ． ，结合，得，得，得，得四边形是平行四边形，得当时最小．过点A作于点M．则四边形是矩形，可得，得，，即得． 【详解】解：如图1，过点F作，交于点H，在上截取，连接，， ∵是等边三角形， ∴， ∴，是等边三角形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴当时最小． 如图2，过点A作于点M． 则，四边形是矩形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查等边三角形和全等三角形．熟练掌握旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，正确作出辅助线，是解题的关键． 47．（23-24八年级上·四川雅安·期末）如图， ，，，，，是上一动点，设．    (1)用表示； (2)当为何值时，； (3)代数式是否有最小值，若有请求出最小值，若没有请说明理由 【答案】(1) (2)3 (3)有最小值，最小值为 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）首先根据题意可得，，然后由勾股定理可得，当，可有，求解即可获得答案； （3）作点关于直线的对称点，过点作交的延长线于点，连接，由对称的性质可得，，证明四边形为矩形，由矩形的性质可得，，易得；结合（1）（2）可知，故当点在同一直线上时，的值最小，即的值最小，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵，，． ∴； （2）∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得 ， ∴当为3时，； （3）如下图，作点关于直线的对称点，过点作交的延长线于点，连接，    由对称的性质可得，， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴当点在同一直线上时，的值最小，即的值最小， ∴的最小值为， 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、矩形的判定与性质、平行线的性质、轴对称的性质、线段最短等知识，熟练运用勾股定理是解题关键． 48．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC．已知AB＝4，DE＝2，BD＝8，设CD＝x． （1）用含x的代数式表示AC+CE的长． （2）观察图形，请问在什么情况下，AC+CE的值最小？最小值多少？写出计算过程． （3）求代数式的最小值． 【答案】（1）；（2）当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小，最小为10，过程见解析；（3）5 【分析】（1）由于△ABC和△CDE是直角三角形，所以由勾股定理可求得AC、CE，进而可得结论； （2）利用两点之间线段最短知当A、C、E共线时AC+CE值最小，为AE的长，过A点作AF平行于BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，利用矩形的性质和勾股定理可求得AE的长，即可解答； （3）由（1）（2）中提示，可构造图形作BD＝4，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝2，DE＝1，C为线段BD上一动点，设BC＝x，当A、C、E三点共线时，AE的长即为代数式的最小值．过A点作AF平行于BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，利用矩形的性质和勾股定理可求得AE的长，即可解答． 【详解】解：（1）∵AB⊥BD，ED⊥BD， ∴∠B=∠BDF=90°， 在Rt△ABC中，BC=8-x，AB=4， 由勾股定理得：AC=， 同理可得：CE=， ∴AC+CE＝； （2）由两点之间线段最短可知，当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小， 过A点作AF平行于BD交ED的延长线于点F， 则∠F=∠BDF=90°，又∠B=90°， ∴四边形ABDF是矩形， ∴DF＝AB＝4，AF＝BD＝8，EF＝ED+DF＝2+4＝6， ∴由勾股定理得：， ∴AC+CE的最小值为10； （3）构造图形作BD＝4，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝2，DE＝1， C为线段BD上一动点，设BC＝x， 当A、C、E三点共线时，AE的长即为代数式的最小值． 过A点作AF平行于BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF． 则DF＝AB＝2，AF＝BD＝4，EF＝ED+DF＝1+2＝3， ∴由勾股定理得：， 则AC+CE的最小值为5． 【点睛】本题考查了勾股定理、矩形的判定与性质、利用两点之间线段最短求最值、列代数式等知识，属于中档题型，理解题意，借助矩形构造直角三角形，利用类比的方法和数形结合思想是解答的关键． 49．（23-24八年级下·广东·期中）阅读下面的材料：小锤遇到一个问题：如图①，在△ABC中，DE//BC分别交AB于点D，交AC于点E，已知CD BE，CD=2，BE=3，求BC+DE的值. 小锤发现，过点E作EF DC，交BC的延长线于点F，构造△BEF，经过推理和计算能够使问题得到解决. （1）请按照上述思路完成小锤遇到的问题； （2）参考小锤思考问题的方法，解决下面的问题：如图②，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABEF是矩形，AC与DF交于点G，AC=BF=DF，求∠DGC的度数. 【答案】（1）BC+DE=；（2）60°． 【分析】（1）由DE∥BC，EF∥DC，可证得四边形DCFE是平行四边形，即可得EF=CD=3，CF=DE，即可得BC+DE=BF，然后利用勾股定理，求得BC+DE的值； （2）首先连接AE，CE，由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABEF是矩形，易证得四边形DCEF是平行四边形，继而证得△ACE是等边三角形，则可求得答案． 【详解】解：（1）∵CD BE，EF DC， ∴EF∥DC， ∵DE∥BC， ∴四边形DCFE是平行四边形， ∴EF=CD=3，CF=DE， ∵CD⊥BE， ∴EF⊥BE， ∴BC+DE=BC+CF=BF= =； (2)连接AE，CE，如图． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC， ∵四边形ABEF是矩形， ∴AB∥FE，BF=AE， ∴DC∥FE， ∴四边形DCEF是平行四边形． ∴CE∥DF， ∵AC=BF=DF， ∴AC=AE=CE， ∴△ACE是等边三角形， ∴∠ACE=60°， ∵CE∥DF， ∴∠AGF=∠ACE=60°． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法． 50．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）阅读下面材料：  小明遇到这样一个问题：如图，在中，分别交于，交于． 已知，，，求的值．  小明发现，过点作，交延长线于点，构造，经过推理和计算能够使问题得到解决(如图2)．  (1)请按照上述思路完成小明遇到的这个问题 (2)参考小明思考问题的方法，解决问题：  如图，已知和矩形，与交于点，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先说明四边形是平行四边形，可得， 再说明，由勾股定理可得，最后根据即可解答； （2）如图3：连接． 由四边形是平行四边形，四边形是矩形，易证得四边形是平行四边形，继而证得是等边三角形即可解答． 【详解】（1）解：∵，  ∴四边形是平行四边形，  ∴，  ∵，  ∴，  ∴， ∴． （2）解：如图3：连接．  ∵四边形是平行四边形，  ∴．  ∵四边形是矩形，  ∴．  ∴．  ∴四边形是平行四边形．  ∴．  ∵，  ∴．  ∴是等边三角形．  ∴．  ∵，  ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确做出辅助线是解答本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07特殊平行四边形50道计算题专项训练（5大题型） 题型一 菱形的性质应用 题型二 矩形的性质应用 题型三 正方形的性质应用 题型四 斜边的中线等于斜边的一半 题型五 根据矩形的性质与判定求线段长 【经典计算题一 菱形的性质应用】 1．（23-24九年级下·江西赣州·期中）如图，是菱形的对角线，，是上一点，且垂直平分，垂足为，连接，求的度数． 2．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）如图，四边形是边长为的菱形，其中对角线的长为． 计算： (1)对角线的长度． (2)菱形的面积． 3．（2024·江西九江·二模） 如图1，四边形是菱形，，． （1）求，的长． 应用拓展 （2）如图2，为上一动点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接． ①直接写出点到距离的最小值； ②如图3，连接，，若的面积为6，求的长． 4．（23-24八年级下·江西南昌·期中）如图，在菱形ABCD中，AB=15，对角线BD=24，若过点C作CE⊥AB，垂足为E，求CE的长． 5．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图是一个菱形的花坛，花坛的周长为，沿着花坛相对的两个顶点分别修建了两条小路，这两条小路的长度之比为3∶4，请你计算这个花坛的面积是多少．(小路的宽度忽略不计) 6．（23-24九年级上·宁夏银川·期末）动手操作：在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内，折出一个菱形．小颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形（见方案一），小明同学沿矩形的对角线折出，的方法得到菱形（见方案二）． （1）你能说出小颖、小明折出菱形的理由吗？ （2）请你通过计算，比较小颖和小明折出的菱形，哪个菱形面积较大？ 7．（23-24八年级上·湖南株洲·阶段练习）如图，菱形，E是的中点，且，． (1)求的度数； (2)求对角线的长． 8．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在菱形中，，，点为边上一个动点，延长到点，使，且，相交于点． (1)求菱形的面积； (2)若点运动到中点时，求证：四边形是平行四边形； (3)若时，探究的值． 9．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）已知线段AB=10cm，以AB为一边作一个内角为60〫的菱形ABCD，并计算这个菱形的面积．（请保留作图痕迹） 10．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作，在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第二次操作，…依此类推，若第次余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为阶准菱形，如图，中，若，，则为1阶准菱形：中，若，，则为3阶准菱形． （1）判断与推理： 邻边长分别为2和3的平行四边形是______阶准菱形； （2）操作、探究、计算： ①已知的边长分别为1，且是3阶准菱形，请画出及裁剪线的示意图，并在下方写出的值． ②已知的邻边长分别为，，满足，，请写出是______阶准菱形． 【经典计算题二 矩形的性质应用】 11．（23-24八年级下·河南开封·期末）为迎接开封市菊花艺术节，某校组织学生积极参与，八年级（3）班、（4）班分别用菊花布置了一个矩形和菱形的花坛，为美观，（3）班计划用红色菊花摆成对角线，（4）班计划沿着菱形的对角线留出两条小路． (1)若（3）班一条对角线用了15盆红色菊花，另外一对角线还需要多少盆红色菊花，请说明理由． (2)若（4）班同学测量出两条对角线小路的长分别2米和3米，请计算花坛的面积． 12．（23-24八年级下·宁夏吴忠·期末）如图所示，四边形是张大爷的一块小菜地，已知，，，，请帮张大爷计算一下这个四边形菜地的周长． 13．（23-24四川遂宁·中考真题）汛期即将来临，为保证市民的生命和财产安全，市政府决定对一段长200米且横断面为梯形的大坝用土石进行加固．如图，加固前大坝背水坡坡面从A至B共有30级阶梯，平均每级阶梯高30cm，斜坡的坡度；加固后，坝顶宽度增加2米，斜坡的坡度，问工程完工后，共需土石多少立方米？（计算土石方时忽略阶梯，结果保留根号） 14．（2024八年级上·云南玉溪·期末）如图：在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，AB＝4cm，AD＝cm． （1）判定△AOB的形状； （2）计算△BOC的面积． 15．（22-23八年级下·重庆渝北·期中）阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图①，在中，，且，试求的值． 小明发现，过点E作，交的延长线于点F，经过推理得到，再计算就能够使问题得到解决（如图②）　 　，并写出推理和计算过程． 参考小明思考问题的方法，请你解决如下问题： 如图③，已知和矩形，与交于点G，求的度数．      16．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）如图，在矩形中，，，在边上，关于直线的对称点为点，当点在边上时，连接，求的面积． 17．（22-23八年级下·浙江丽水·期末）如图，点是矩形的对称中心，点，点分别位于，上，且经过点，，，，点在上运动，点，在上运动，且则：    （1）周长的最小值是 ． （2）四边形周长的最小值是 ． 18．（23-24八年级下·江西新余·期中）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“半地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（AC＝1尺）．将它往前推进两步（EB＝8尺），此时踏板升高离地五尺（BD＝5尺）． (1)AE＝______尺： (2)求秋千绳索（OA或OB）的长度， 19．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图所示，在矩形中，，点沿边从点开始向点以的速度移动，点沿边从点开始向点以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间（）． （1）当为何值时，为等腰三角形？ （2）求四边形的面积，并探索一个与计算结果有关的结论． 20．（2023七年级下·浙江温州·期末）如图,为建设美丽农村,村委会打算在正方形地块甲和长方形地块乙上进行绿化.在两地块内分别建造一个边长为的大正方形花坛和四个边长为的小正方形花坛(阴影部分),空白区域铺设草坪,记表示地块甲中空白处铺设草坪的面积, 表示地块乙中空白处铺设草坪的面积.                     (1)__ ， (用含的代数式表示并化简) . (2)若,求的值. (3)若,求的值. 【经典计算题三 正方形的性质应用】 21．（23-24九年级上·山东·期末）如图，在中，，，．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿边向点运动．过点作交折线于点，以为边在右侧作正方形．设正方形与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为秒． (1)当点在边上时，正方形的边长为______（用含的代数式表示）． (2)当点落在边上时，求的值． (3)当点在边上时，求S与之间的函数关系式． 22．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，P是正方形内一点，绕着点B旋转后能到达的位置，若，求线段的长． 23．（2023七年级上·吉林长春·期末）如图,四边形ABCD和四边形ECGF都是正方形,点C、D、E在一条直线上,点B、C、G在一条直线上. (1)写出表示阴影部分面积的表达式(结果要求化简)； (2)当求阴影面积的面积 24．（22-23七年级下·广东珠海·期中）小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？通过计算说明． 25．（2023·北京怀柔·中考模拟）（1）如图①两个正方形的边长均为3，求三角形DBF的面积. （2）如图②，正方形ABCD的边长为3，正方形CEFG的边长为1, 求三角形DBF的面积. （3）如图③，正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为，求三角形DBF的面积. 从上面计算中你能得到什么结论. 结论是： 26．（23-24九年级上·四川泸州·期末）如图，四边形是边长为的正方形，是上一点，，将绕着点顺时针旋转到与重合，求的长． 27．（22-23八年级下·山东青岛·期末）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，如图①，已知矩形的宽    将图①中的矩形裁剪掉一个以边的正方形，得到新的矩形，已知矩形为黄金矩形，计算点D到线段的距离． 28．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）阅读下面材料： 小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且，，，求∠APB的度数． 小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造，连接，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题． (1)请你计算图1中∠APB的度数． (2)如图3，在正方形ABCD内有一点P，且，，，求∠APB的度数． 29．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）要在半径为1，圆心角为的扇形铁皮上截取一块尽可能大的正方形．小明设计如下两种截取方案．      方案1：如图①，点在半径上，点在半径上，点在上； 方案2：如图②，点在半径上，点在半径上，点在上． 请通过计算这两种方案中正方形铁皮的面积，帮小明选择合理的方案． （参考数据：，） 30．（23-24八年级下·福建厦门·期末）某小区要在面积为128平方米的正方形空地上建造一个休闲园地，并进行规划（如图）：在休闲园地内建一个面积为72平方米的正方形儿童游乐场，游乐场两边铺设健身道，剩下的区域作为休息区．现在计划在休息区内摆放占地面积为31.5平方米“背靠背”休闲椅（如图），并要求休闲椅摆放在东西方向上或南北方向上，请通过计算说明休息区内最多能摆放几张这样的休闲椅． 【经典计算题四 斜边的中线等于斜边的一半】 31．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图：在菱形中，，过点作于点，交于点，点为的中点，若，求的长． 32．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，一位同学做了一个斜面装置进行科学实验，是该装置侧面图，，为了加固斜面，在斜面的中点D处连接一条支撑杆，量得． （1）求斜坡长和的度数； （2）该同学想用彩纸包裹实验装置中的的表面，请你计算的面积． 33．（24-25八年级上·吉林·期末）如图，在中，，，，平分，交边于点，点是边的中点．点为边上的一个动点． (1)_______度，_______； (2)当四边形为轴对称图形时，的长是_______； (3)若是等腰三角形，求的度数； (4)若点在线段上，连接、，直接写出的值最小时的长度． 34．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，在四边形中，，、分别是、的中点，且，．求的长． 35．（23-24八年级下·山东济宁·期末）如图，中，，，，，，点是的中点，求的长． 36．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，于F，于E，M为的中点．    (1)若，，求的周长； (2)若是等边三角形，求的度数． 37．（23-24八年级下·全国·专题练习）如图，已知△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6， （1）计算AC的长度； （2）计算AB边上的中线CD的长度. （3）计算AB边上的高CE的长度. 38．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在中，，的平分线交于点，为的中点．若，，求的长．    39．（23-24八年级上·四川成都·期末）已知：如图，线段长为定值，点，分别在、上滑动，将绕点逆时针旋转到，连接，取中点，连接． (1)求证：平分； (2)若； ①当时，求的长． ②求的最大值． 40．（23-24八年级下·北京·期中）已知：如图，∠MON＝90°，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，将△ABC的两个顶点A、B放在射线OM和ON上移动，作CD⊥ON于点D，记OA＝x(当点O与A重合时，x的值为0)，CD＝y． 小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整． (1)通过取点、画图、计算、测量等方法，得到了x与y的几组值，如下表(补全表格) x/cm 0 1 2 3 4 4.5 5 y/cm 2.4 3.0 3.5 3.9 4.0 3.9 　 　 (说明：补全表格时相关数值保留一位小数) (2)建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象． (3)结合画出的函数图象，解决问题；当x的值为　 　时，线段OC长度取得最大值为　 　cm． 【经典计算题五 根据矩形的性质与判定求线段长】 41．（23-24八年级下·甘肃武威·期中）兰州的东湖广场视野开阔，是一处设计别致，造型美丽的广场，成为不少市民放风筝的最佳场所．某校八年级（1）班的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度，他们进行了如下操作： ①测得的长为15米（注：）； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的小明身高1.7米． 求风筝的高度． 42．（23-24八年级下·河北唐山·期末）在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上且DF＝BE，连接AF，BF． ①求证：四边形BFDE是矩形； ②若CF＝6，BF＝8，AF平分∠DAB，则DF＝　 　． 43．（23-24八年级下·山东滨州·期末）在矩形ABCD中，∠DAB的平分线交AB于点E，交DC的延长线于点F，连接BD． （1）计算∠AEC的度数； （2）求证：BE=DC； （3）点P是线段EF上一动点（不与点E，F重合），在点P运动过程中，能否使△BDP成为等腰直角三角形？若能，写出点P满足的条件并证明；若不能，请说明理由． 44．（23-24八年级下·浙江台州·期中）阅读下面材料，并回答下列问题： 小明遇到这样一个问题，如图，在中，分别交于点，交于点.已知，求的值. 小明发现，过点作，交的延长线于点，构造，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图）    请你回答： （1）证明：； （2）求出的值； （3）参考小明思考问题的方法，解决问题； 如图，已知和矩形与交于点.求的度数. 45．（2024·山东济南·模拟预测）数形结合思想可以借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观来阐明数之间某种关系．    (1)2002年世界数学家大会（ICM2002）在北京召开，这届大会会标（如图1）的中央图案是经过艺术处理的“弦图”（如图2），它由4个全等的直角三角形拼成，请观察“弦图”直接写出满足的等量关系为______． (2)某数学兴趣小组，采用数形结合思想解决了如下问题： 已知线段，点在线段上，，求的最小值． 他们解决问题的思路是：如图3，在线段的同侧构造了两个和，，令，利用勾股定理，得出，从而将问题转化成求“最小值”问题，再利用“将军饮马”模型，就完成了解答．请你写出解答过程； (3)如图4，在中，，点分别为上的动点，且，求的最小值． 46．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在等边中，点D在边上，点E在的延长线上，且，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到，连接，当取得最小值时，求的值． 47．（23-24八年级上·四川雅安·期末）如图， ，，，，，是上一动点，设．    (1)用表示； (2)当为何值时，； (3)代数式是否有最小值，若有请求出最小值，若没有请说明理由 48．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC．已知AB＝4，DE＝2，BD＝8，设CD＝x． （1）用含x的代数式表示AC+CE的长． （2）观察图形，请问在什么情况下，AC+CE的值最小？最小值多少？写出计算过程． （3）求代数式的最小值． 49．（23-24八年级下·广东·期中）阅读下面的材料：小锤遇到一个问题：如图①，在△ABC中，DE//BC分别交AB于点D，交AC于点E，已知CD BE，CD=2，BE=3，求BC+DE的值. 小锤发现，过点E作EF DC，交BC的延长线于点F，构造△BEF，经过推理和计算能够使问题得到解决. （1）请按照上述思路完成小锤遇到的问题； （2）参考小锤思考问题的方法，解决下面的问题：如图②，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABEF是矩形，AC与DF交于点G，AC=BF=DF，求∠DGC的度数. 50．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）阅读下面材料：  小明遇到这样一个问题：如图，在中，分别交于，交于． 已知，，，求的值．  小明发现，过点作，交延长线于点，构造，经过推理和计算能够使问题得到解决(如图2)．  (1)请按照上述思路完成小明遇到的这个问题 (2)参考小明思考问题的方法，解决问题：  如图，已知和矩形，与交于点，，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $