专题06特殊平行四边形40道压轴题型专训（10大题型）-2025-2026学年北师大版九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题06特殊平行四边形40道压轴题型专训（10大题型） 题型一 矩形与折叠问题 题型二 求矩形在坐标系中的坐标 题型三 正方形折叠问题 题型四 求正方形重叠部分面积 题型五 中点四边形 题型六 利用平行四边形的对称性求阴影面积 题型七 平行四边形的动点问题 题型八 四边形中的线段最值问题 题型九 根据菱形的性质与判定求面积 题型十 四边形其他综合问题 【经典例题一 矩形与折叠问题】 1．（2025·河北邯郸·二模）如图，在矩形中，是边上的点，将矩形沿所在的直线折叠，得到点的对应点，点的对应点．若点在边的延长线上，则的长为（    ） A． B．3 C．4 D． 【答案】C 【分析】根据矩形性质和折叠性质，得出，利用勾股定理求出的长度，设，并表示出，在中，再利用勾股定理表示出三边关系列出方程，解出方程即可． 【详解】解：四边形是矩形， ． 设，则． 由折叠的性质，得 ，点在边的延长线上， ． 在中， ， 解得 的长为4． 故选：C． 【点睛】本题考查了折叠变换的性质、矩形的性质和勾股定理，根据性质找到相等线段及一些关系，并利用直角三角形的三边关系列出方程是解题关键． 2．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在矩形纸片中，点为上一点，关于折叠得到，点落于线段上；为上一点，关于折叠得到，点落于线段上，连接．设的面积为，的面积为，则下列哪个选项中的代数式数值是固定值（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质，矩形的性质，设，由题意可得，根据矩形性质表示出的长度，从而得到，分别在中，中，中利用勾股定理得到x，y，表示出，得到，两边同时除以得即可求出结果． 【详解】解：设， 由题意可得， 在矩形中， 在中 ， ， 在中， 在中， ， ，， ， ， ，两边同时除以得， 故选：B． 3．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，在矩形中，，点在边上，且，是边上一动点，沿将翻折，点翻折后落在点，连接，．若的面积为28，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点作于点，交于点 ，过点作于点，则四边形是矩形，根据矩形性质，三角形面积公式求出，，由翻折性质：，，再根据勾股定理求解即可. 【详解】解：如图，过点作于点，交于点 ，过点作于点． 则四边形是矩形， 在矩形中，， ∵ ∴，解得：； ∴ ∵ ∴ 由翻折性质：， 设 ∴ 在中， ∴ 在中，应用勾股定理： ∴ 解得：， ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了矩形的折叠性质，三角形面积，勾股定理，矩形的性质等知识，熟记折叠的性质，矩形的性质并作出合理的辅助线是解题的关键. 4．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在矩形纸片中，E为边上的动点，F为边上的动点，连接． (1)若 ①如图①，点E与点D重合，点F与点B重合，将矩形纸片沿折叠，点A落在点G处，设与相交于H，求的长； ②如图②，将矩形纸片沿折叠，使点B与点D重合，求折痕的长； (2)如图③，点E为的中点，点F与点B重合，将矩形纸片沿折叠，点A落在点G处，且点G在矩形内部，延长交于点H，若，求的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①由折叠性质和矩形的性质可得，设，根据即可求解； ②连接，过点E作，由折叠性质和矩形的性质可得，，设，根据勾股定理即可求解； （2）连接，设，，则，，由折叠性质和勾股定理可得，即可求解． 【详解】（1）解①：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴； 设， ∵， ∴， ∵， 即， 解得：， ∴； ②如图，连接，过点E作， 由折叠可得：，， ∵， ∴， ∴， 由折叠可得：， ∴， 由①同理可求：， 设，则， ∵，解得：， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：连接 ∵，点E为的中点， 设，，则，，， ∴； 由折叠性质可得：，，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴在矩形中，， ∴． 【点睛】本题是矩形的折叠问题，考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作辅助线是关键． 【经典例题二 求矩形在坐标系中的坐标】 5．（24-25八年级下·山东潍坊·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，顶点在轴上，，轴，点的坐标为，作关于直线的对称图形，其中点的对称点为，且交轴于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形，轴对称，三角形全等的判定和性质，勾股定理等知识点，先证出四边形是矩形，由点C的坐标和轴对称变换可证出，再由勾股定理即可得出的长，进而即可得解，熟练掌握轴对称的性质是解决此题的关键． 【详解】∵，轴，， ∴四边形是矩形， ∵点的坐标为， ∴，， ∴由轴对称变换可知，，， 又∵， ∴， ∴， ∴在中， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 6．（2025·河南周口·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，为长方形，其中点A，C的坐标分别为，且轴交y轴于点M，轴交x轴于点N．一动点 P 从点A 出发，以 个单位长度/秒的速度沿向点 B 运动，在某一时刻t，的面积等于长方形面积的，此时点 P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形，矩形的性质，根据矩形的性质可得轴，则，据此可得，，再求出，得到，根据的面积等于长方形面积的，得到，可得，则． 【详解】解：∵四边形为长方形，轴，轴， ∴轴， ∵点A，C的坐标分别为， ∴， ∴，， ∵轴交y轴于点M， ∴， ∴， ∵的面积等于长方形面积的， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 故选：A． 7．（24-25八年级下·河北邢台·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，且轴，直线与线段交于点，当线段上有3个整点（包含线段端点）时，的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，一次函数与直线交点的计算，掌握交点的计算是关键． 根据题意得到点到点之间的整点有，结合题意得到点的横坐标的范围为，分别代入计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，顶点，且轴， ∴， ∴点到点之间的整点有， ∵线段上有3个整点（包含线段端点）时，即点的横坐标的范围为， 当，即点在直线上时，， 解得，， 当点，即点在直线上时，， 解得，， ∴的取值范围为， 故答案为： ． 8．（23-24七年级下·福建福州·期中）如图，长方形中，O为平面直角坐标系的原点，，点B在第一象限，D是长方形边上的一个动点，设，且，连接．    (1)长方形的周长为　 　． (2)若点D在长方形的边上，且线段把长方形的周长分成两部分，求点D坐标； (3)若点D在长方形的边上，将线段向下平移3个单位长度，得到对应线段（F为点D的对应点），连接，求三角形的面积（可用含m的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）已知长度，即可求出周长； （2）由题意得：，根据此式可求出的长度，即可得出答案； （3）画出图形，根据即可求出． 【详解】（1）解：长方形的周长为：； （2）解：由题意得：， 设，则， ∴， 解得：， ∴； （3）解：如图，    由题意得：，， ∴，，， ∴； 【点睛】本题考查四边形综合问题，熟练使用面积转化的方法表示三角形的面积是解题关键． 【经典例题三 正方形折叠问题】 9．（24-25八年级下·河南安阳·期末）如图，在正方形中，点为边的中点，将沿折叠，使点落在正方形的内部一点处，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，解题关键是利用折叠的性质求解． 根据正方形的性质和折叠的性质可得，，由此得，．设，，由三角形内角和定理可得，又由，即可求出的度数． 【详解】解：∵四边形是正方形， ，， ∵E为边的中点， ， ∵沿折叠后得到， ，，， ，， ，． 设，， ， ， ∵中，， ∴， 又∵， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 10．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）用一张正方形的纸片按如下方式折叠：如图，先将纸片对折得到折痕，再沿过点C的直线翻折纸片，得到折痕，使点D落在上的点H处，连接与交于点I．则下列结论中正确的个数为（    ） ①；②为等边三角形；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】由折叠得：，垂直平分，，故，那么为等边三角形，即可判断①②；由四边形是正方形得到，那么，由三角形内角和定理可得，故③正确；对于和，通过勾股定理计算说明不相等即可． 【详解】解：由折叠得：，垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴； 故①②正确， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵为等边三角形，，， ∴，， 设，则， 由勾股定理得：， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴在中，， 而， ∴，故④错误， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，折叠的性质，三角形的内角和定理等知识点，综合性较强，难度较大． 11．（2025·安徽·模拟预测）如图，在矩形中，，，点分别在边上，沿着折叠矩形，使点分别落在处，且点在线段上（可与点重合），过点作于点，连接． （）当与重合时， ； （）若四边形为正方形，则 ． 【答案】 【分析】（）利用矩形和折叠的性质可得，，设，则，在中，根据勾股定理可得，设，则，在中，根据勾股定理可得，即得，再根据勾股定理计算即可求解； （）连接，当四边形为正方形时，，由勾股定理得出，在中，利用勾股定理求出，进而即可求解； 此题考查了折叠的性质，矩形的判定和性质，正方形的性质等，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：（）当与重合时，如图， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 由折叠可得，，，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （）如图，连接， 当四边形为正方形时，， ∵， ∴， 由勾股定理得，， 由折叠可得，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，正方形的边长为8，点E在边上（不与端点重合），将沿翻折，得到，连接，． (1)当平分时，求点F到的距离． (2)求的周长的最小值，并求出此时的长． (3)若为直角三角形，求的长． 【答案】(1) (2)周长最小值为； (3) 【分析】（1）如图，过作于，证明，从而可得答案； （2）如图，连接，求解，由，（当共线时取等号），结合，可得当最小，则最小，再进一步求解即可； （3）如图，为直角三角形，只有，延长交于，证明，可得，再证明，设，则，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，过作于， ∵正方形的边长为8，将沿翻折，得到， ∴，，， ∵平分， ∴， ∴， ∴点F到的距离为； （2）解：如图，连接， ∵正方形的边长为8，将沿翻折，得到， ∴，，， ∴， ∵，（当共线时取等号） ∵， ∴当最小，则最小， ∴当共线时，的最小值为：， ∴最小值为； 如图，设，则， ∵四边形为正方形， ∴，而， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）解：如图，为直角三角形，只有，延长交于， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的应用，正方形的性质，二次根式运算，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 【经典例题四 求正方形重叠部分面积】 13．（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图所示：正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长相等，若正方形的边长为4，则两个正方形重叠部分的面积为（    ） A．16 B．8 C．4 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握相关知识点是解题关键．过点作，，和的交点为，和的交点为，根据正方形的性质可证，四边形是正方形，得到，再证明，得到，从而得出两个正方形重叠部分的面积，即可得解． 【详解】解：如图，过点作，，和的交点为，和的交点为， ， 四边形和是正方形， ，，， 四边形是矩形， ，，，， ，， 四边形是正方形， ，， ，即， 又，， ， ， 两个正方形重叠部分的面积， 故选：C． 14．（2023九年级·黑龙江·学业考试）如图，点在正方形的对角线上，且，正方形的两边，分别交，于点，，若正方形的边长为，则重叠部分四边形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，证明△EPM≌△EQN，利用四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积求解即可． 【详解】解：作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，    ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD=90°， 又∵∠EPM=∠EQN=90°， ∴∠PEQ=90°， ∴∠PEM+∠MEQ=90°， ∵四边形是正方形， ∴∠NEF=∠NEQ+∠MEQ=90°， ∴∠PEM=∠NEQ， ∵AC是∠BCD的角平分线，∠EPC=∠EQC=90°， ∴EP=EQ，四边形PCQE是正方形， 在△EPM和△EQN中，， ∴△EPM=△EQN(ASA)， ∴S△EQN=S△EPM， ∴四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积， ∵正方形ABCD的边长为a， ∴AC=a， ∵， ∴EC=， ∴EP=PC=， ∴正方形PCQE的面积=×=， 四边形EMCN的面积=， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是作出辅助线，证出△EPM≌△EQN． 15．（23-24八年级下·山西大同·期中）如图，RtABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，以AB，BC，AC为边在AB同侧作正方形ABDE，正方形BCFG，正方形ACMN，点E恰好在边MN上，GF的延长线能经过点D．图中阴影部分的面积为 ． 【答案】13 【分析】先证明≌,推出=,推出=,可得S阴=S正方形ABDE-2S△ABC,由此计算即可． 【详解】解:如图,设CF与BD交于点Q, ∵∠ACB=90°,AC=4,BC=3 ∴在Rt中,利用勾股定理得: ∵四边形ABDE是正方形, ∴∠ABQ=∠D=∠ACB=90°,AB=BD, ∴∠ABC+∠CAB=90°,∠ABC+∠PBD=90°, ∴∠PBD =∠CAB, ∴≌, ∴=, ∴-=- 即:=, ∴S阴=S正方形ABDE-2S△ABC==25-12=13, 故答案为13． 【点睛】本题考查正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考填空题填空题中的压轴题． 16．（22-23八年级上·吉林延边·期末）如图1，在两个等腰直角三角形和中，，把两个三角形放置在平面直角坐标系上，边在x轴上，点F和点O重合．，点，点，将沿翻折，点E落在点G． (1)点G的坐标为________． (2)将四边形沿x轴方向往右平移，平移距离是x． ①当点G在边上时，________． ②当时，四边形与的重叠部分的面积为_______． ③如图2，当点C在边上时（点C与点E、F不重合），求四边形与的重叠部分的面积．（用含x的式子来表示） (3)在（2）的条件下，若，当四边形与的重叠部分的图形为轴对称图形时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)； (2)①；②；③； (3)或 【分析】（1）根据折叠可得，即可得到答案； （2）①根据点G在边AC上，可得，，结合，，即可得到，可得，从而得到，即可得到答案； ②当时，如图所示，设交于点M，交于点N，根据平移得到， 即可得到，，，可得，即可得到，从而得到，即可得到答案； ③当点C在线段上时，平移距离是，此时，用x表示出、，从而得到，，即可得到答案； （3）①当从点G在上到点F与点C重合，这时正方形与重叠部分为等腰直角三角形，根据对称性即可得到答案，②当时，重叠部分也是轴对称图形，根据对称性可得即可得到答案； 【详解】（1）解：由翻折可知， ∵，， ∴， ∴； （2）①当点G在上时，如图所示，则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平移的距离是； ②当时，如图所示，设交于点M，交于点N， 此时， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴重叠部分面积为； ③当点C在线段上时，平移距离是， 此时，，， ∵，又， ∴， ∴，， ∴重叠面积为 ； （3）①当从点G在上到点F与点C重合，这时正方形与重叠部分为等腰直角三角形是轴对称图形，则， ②当时，重叠部分也是轴对称图形， ∴， 解得， ∴当或时，重叠部分时轴对称图形. 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，正方形的性质及折叠的性质，解题的关键是分类讨论点的位置，得到不同图形面积加减． 【经典例题五 中点四边形】 17．（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）如图，已知矩形的邻边长分别为、，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形各边的中点，得到四边形；第二次，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形则第次操作后，得到四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形的变化类规律，找出规律、的表示方法是解题的关键．记四边形， 的面积为，易知四边形为菱形，四边形为矩形，，，，……，推出依此可得，最后令即可解答． 【详解】解：如图，连接， ∵顺次连接矩形各边的中点，得到四边形， ∴四边形 是矩形， ∴，. 同理，，， ∴， ∴， ∵顺次连接四边形，各边的中点，得到四边形， ∴，， ∴， 依此可得， ∴四边形的面积是． 故选：B． 18．（23-24八年级下·河南新乡·期中）如图，A1，B1，C1，D1分别是四边形ABCD各边的中点，且AC⊥BD，AC＝6，BD＝10．依次取A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点A2，B2，C2，D2，再依次取A2B2，B2C2，C2D2，D2A2的中点A3，B3，C3，D3……以此类推取An﹣1Bn﹣1，Bn﹣1Cn﹣1，Cn﹣1Dn﹣1，Dn﹣1An﹣1的中点An，Bn，Cn，Dn，若四边形AnBnCnDn的面积为，则n的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】解：∵A1，B1，C1，D1分别是四边形ABCD各边的中点， ∴A1B1∥AC，C1D1∥AC， ∴A1B1∥C1D1， 同理可得，A1D1∥B1C1， ∴四边形A1B1C1D1是平行四边形 ∵A1B1∥C1D1，A1D1∥B1C1，AC⊥BD， ∴∠A1B1C1＝∠APC1＝∠AHD＝90°， ∴四边形A1B1C1D1是矩形； ∵A1，B1，C1，D1分别是四边形ABCD各边的中点， ∴A1B1＝AC＝3，A1D1＝BD＝5， ∴矩形A1B1C1D1的面积＝3×5＝15， 同理，A2B2C2D2是菱形； 则A2B2C2D2的面积＝15×， A3B3C3D3的面积＝15×， A4B4C4D4的面积＝15×， A5B5C5D5的面积＝15×， AnBnCnDn的面积为15×， ∵AnBnCnDn的面积为， ∴，即，解得，； 故选：B 【点睛】本题考查的是中点四边形的性质，掌握矩形的判定定理、菱形的判定定理、根据图形的变化找出规律是解题的关键． 19．（22-23八年级下·四川广安·阶段练习）如图，在菱形中，边长为1，，顺次连接菱形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形各边中点，可得四边形；按此规律继续下去，…，则四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】根据菱形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，依次求出四边形的面积，得出规律，即可解答． 【详解】解：菱形，， ，为等边三角形， ， 等边的高为， ， 顺次连接菱形各边中点，可得四边形， 四边形为矩形， , 同理可得， ， …… ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形以及中点四边形的性质，找到中点四边形的面积与原四边形的面积之间的关系是解题的关键． 20．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）阅读理解：我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，依次连接各边中点得到中点四边形． (1)（填空）判断图1中的中点四边形的形状为______，菱形的中点四边形的形状是______； (2)如图2，在四边形中，点在上且和为等边三角形，，，，分别为，，，的中点，试判断四边形的形状并证明． (3)若四边形的中点四边形为正方形，的最小值为4，求的长． 【答案】(1)平行四边形；矩形 (2)菱形，证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，由三角形中位线定理可推出，则可证明四边形是平行四边形；同理可证明四边形为平行四边形，由菱形的性质得到，则，即可证明平行四边形为矩形 （2）连接、，由等边三角形的性质得出，，，证出，由证明，得出，由三角形中位线定理得出，，，，，得出，，证出四边形是平行四边形；再得出，即可得出结论； （3）连接交于O，连接，当点O在上（即M、O、N共线）时，最小，最小值为的长，再证明即可求得答案． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵，，，分别是边，，，的中点， ∴分别是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 如图，四边形是菱形时，连接各边中点，得到四边形， 根据中位线性质得到，， ∴， 同理可得， ∴四边形为平行四边形， 又∵四边形是菱形， ∴，则， ∴平行四边形为矩形； （2）解：四边形为菱形．证明如下： 连接，，如图2所示： ∵和为等边三角形， ，，， ∴， ， 在和中， ， ， ， ，，，分别是边，，，的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线， ，，，，， ，， 四边形是平行四边形； ， ， 四边形为菱形； （3）解：如图3，连接交于O，连接、， 当点O在上（即M、O、N共线）时，最小，最小值为的长， ∴的最小值， ∵四边形是正方形， ∴， ∵M，E分别是的中点， ∴， 同理可得， ∴； 又∵M，N分别是的中点， ∴，， ∴， ∴的最小值， 同理可得的最小值， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵N，F分别是的中点， ∴， ∴； ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了三角形中位线定理，平行四边形、矩形、菱形的判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，利用前面得出的结论解决新问题是解题的关键． 【经典例题六 利用平行四边形的对称性求阴影面积】 21．（23-24八年级下·浙江·期中）在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为的小正方形拼成的图形，是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中心对称的性质即可作出剪痕，根据三角形全等的性质即可证得PM=AB，利用勾股定理即可求得． 【详解】解：如图，经过P、Q的直线则把它剪成了面积相等的两部分， 由图形可知△AMC≌△FPE≌△BPD， ∴AM=PB， ∴PM=AB， ∵PM==， 故选：A． 【点睛】本题考查了图形的剪拼，中心对称的性质，勾股定理的应用，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 22．（23-24九年级上·江西抚州·阶段练习）如图，在▱ABCD中，对角线AC⊥AB，O为AC的中点，经过点O的直线交AD于E，交BC于F，连结AF、CE，现在添加一个适当的条件，使四边形AFCE是菱形，下列条件：①OE=OA；②EF⊥AC；③AF平分∠BAC；④E为AD中点．正确的有（ ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】试题分析：由在▱ABCD中，O为AC的中点，易证得四边形AFCE是平行四边形；然后由一组邻边相等的平行四边形是菱形与对角线互相垂直的平行四边形是菱形，求得： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠AEO=∠CFO， ∵O为AC的中点， ∴OA=OC， 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF（AAS）， ∴OE=OF， ∴四边形AFCE是平行四边形； ①∵OE=OA， ∴AC=EF， ∴四边形AFCE是矩形；故错误； ②∵EF⊥AC， ∴四边形AFCE是菱形；故正确； ③∵AF平分∠BAC，AB⊥AC， ∴∠BAF=∠CAF=45°， 无法判定四边形AFCE是菱形；故错误； ④∵AC⊥AB，AB∥CD， ∴AC⊥CD， ∵E为AD中点， ∴AE=CE=AD， ∴四边形AFCE是菱形；故正确． 故选B． 点睛：此题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意首先证得四边形AFCE是平行四边形是关键． 23．（2023·河北石家庄·三模）将正方形A的一个顶点与正方形B的对角线交叉重合，如图1位置，则阴影部分面积是正方形A面积的，将正方形A与B按图2放置，则阴影部分面积是正方形B面积的 ． 【答案】 【详解】试题分析：将正方形A的一个顶点与正方形B的对角线交叉重合，如图1位置，阴影部分恰是正方形B的，阴影部分面积是正方形A面积的，即；将正方形A与B按图2放置，则阴影部分正方形A的，所以阴影部分面积是正方形B面积的= 考点：正方形 点评：本题考查正方形，解答本题的关键是要求考生对正方形的性质要熟悉，然后找出阴影部分与正方形的关系 24．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图所示，四边形是正方形的内接四边形，与都是锐角，已知，，四边形的面积是．求正方形的面积．    【答案】 【分析】过点，，，，分别作，，，的垂线，分别交于,于，于,于,得矩形，利用勾股定理表示出，，然后由，，，，推出，即可得出，得到最后结果． 【详解】解：过点，，，，分别作，，，的垂线，分别交于,于，于,于,得矩形，      设正方形的边长为，，， ，，，， ，，四边形的面积为， ，， 由，，，， 得到， ， 即， 又四边形的面积是， ， 解得：，即正方形的面积为． 【点睛】本题主要考查了三角形的面积、正方形的性质以及勾股定理，此题难度较大，在解题时需灵活运用图中的直角三角形和矩形的性质． 【经典例题七 平行四边形的动点问题】 25．（2023·河北保定·一模）如图，在菱形中，，P为对角线上的一个动点，过点作的垂线，交或于点，交或于点，点从点出发以cm/s的速度向终点运动，设运动时间为，以为折线将菱形向右折叠，若重合部分面积为，求t的值，对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（    ） A．只有甲答的对 B．甲、乙答案合在一起才完整 C．甲、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才充整 【答案】C 【分析】由菱形的性质推出的度数，通过分类讨论的方法得到含有特殊角的直角三角形、、以及等边三角形、，利用面积公式进而列出有关时间的一元二次方程，通过解方程求出. 【详解】解 ：如图，连接交于点 四边形为菱形 ， 在中， 由题意可知， 如图所示，重合部分 在 中，， ， 为等边三角形 如图所示，重合部分 在中，， ， 为等边三角形 或，即甲、丙答案合在一起才完整. 故答案选 . 【点睛】本题考查的是菱形的性质和折叠问题，涉及到的知识点有利用特殊直角三角形求边长、求角度以及等边三角形的判定.是否能用分类讨论的方法解决本题折叠问题是这道题的难点.本题的综合能力较强. 26．（22-23九年级上·福建漳州·期中）如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接、，当为直角三角形时，t的值为（    ） A．5 B． C．5或8 D．5或8或 【答案】C 【分析】利用已知条件证出四边形是平行四边形，再对为直角三角形分三种情况进行讨论． 【详解】解：由题意得， ， 又，即， 四边形是平行四边形， 当为直角三角形时，有三种情况如下： ①当时，四边形是平行四边形， ， , , ， ， 又， ， 解得； ②当时，四边形是矩形， 中，，则， ， 即， 解得； ③若,此种情况不存在 所以或 故选： 【点睛】本题主要考查了动点几何综合问题，正确分情况讨论是解题的关键． 27．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在长方形中，，，点是上的一点，且．点从点出发，以的速度沿点匀速运动，最终到达点．设点运动时间为，若三角形的面积为，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了长方形的性质、三角形面积公式的运用、动点问题、分类讨论等知识点，灵活运用分类讨论思想是解答本题的关键． 分三种情况：当点在上，则，当点在上，当点在上，分别画出图形求出结果即可． 【详解】解：四边形是长方形， ，，， 点是上的一点，且， ，， 当点在上，则， ， ， 解得：； 当点在上，如图1所示， ， 则， ， 当点在上时，不存在的情况； 当点在上，如图所示， ，， ， 解得：， 综上所述，的值为或． 故答案为：或． 28．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度沿线段向点运动；同时点从点出发，以 的速度沿向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设、运动时间为秒，回答下列问题： (1)求为何值时，四边形是矩形? (2)求为何值时，？ (3)是否存在的值，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，的值为或或． 【分析】（1）由，，可得：四边形是矩形，只需，即，即可求解； （2）根据，有两种情况：①若四边形为平行四边形，由可得方程，即可求解；②若四边形为等腰梯形，作于，于，可得四边形和四边形都是矩形，推出，，进而得到，证明可得，得到，由列方程即可求得答案； （3）分两种情况讨论：当时，过作于；当时，过作于；根据矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图： 由题意得：，， ， ，， 要使四边形是矩形，只需，即， 解得：； （2）解：若，分两种情况： ①当四边形是平行四边形时，．如图： ，即， 解得：， 即当时，四边形是平行四边形，； ②当四边形是等腰梯形时，．如图： 根据题意得：，， ， 作于，于， 又，， ， 四边形和四边形都是矩形， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， 由得：， 解得：， 时，四边形为等腰梯形，． 综上，当或时，； （3）解：存在，理由如下： ①当时，过作于，如图： ，，， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ， ， 解得：或（不合题意，舍去）； ②当时，过作于，如图： 同理可得：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 解得：或； 综上所述，存在的值，使得是以为腰的等腰三角形，的值为：或或． 【点睛】本题主要考查动点问题，涉及平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟悉平行四边形、矩形、等腰三角形的判定定理，灵活运用勾股定理，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 【经典例题八 四边形中的线段最值问题】 29．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，矩形中，，，点分别在矩形的各边上，且，，则四边形周长的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明四边形是平行四边形，延长，使得，连接，，则和关于对称，由得，当、、共线时取等号，此时，最小，最小值为的长，过作垂足是，则四边形是矩形，进而可得，，由勾股定理求得，则最小值为，由四边形周长为求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 延长，使得，连接，，则和关于对称， ∴， ∴， ∴当、、共线时取等号，此时，最小，最小值为的长， 过作垂足是，则， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， 由勾股定理得， ∴最小值为， 则四边形周长的最小值为， 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、最短路径问题、勾股定理等知识，证明四边形是平行四边形，以及为的最小值是解答的关键． 30．（22-23八年级下·江苏徐州·阶段练习）如图，菱形中，，，点、、分别为线段、、上的任意一点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称确定最短路线问题作图，再利用直线外一点到直线的距离垂线段最短确定最短距离并计算即可． 【详解】解：作点关于的对称点，根据菱形的性质，点落在线段上， 连接 ∴当在同一直线并且时，最小， 过点作交于点 ∴最小为 故选D． 【点睛】本题主要考查轴对称求最短距离以及直线外一点到直线的距离垂线段最短的性质，菱形的性质，熟练掌握轴对称确定最短路线以及菱形的性质是解决本题的关键． 31．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，矩形中，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】取中点，连接，，可证四边形是平行四边形，可得，由三角形中位线定理可得，可得点在上，当时，有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，取中点，连接，，设与的交点为，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∵点是中点，点是中点， ∴， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∵点是的中点，点是的中点， ∴， ∴点在上， ∵， ∴， ∴， ∵点在上， ∴当时，此时点与重合，有最小值， 在中， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，垂线段最短等知识，确定点的运动轨迹是本题的关键． 32．（24-25八年级下·福建福州·期中）平行四边形中，点在边上，连接，点在线段上，连接，． (1)如图1，已知，点为中点，．若，，求的长度． (2)如图2，已知，，将射线沿翻折交于，过点作交延长线于点．若，请写出线段，，的数量关系并说明理由． (3)如图3，已知，若，，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据“直角三角形的中线等于斜边长一半”，可以得到，再在直角中，利用勾股定理求出，则，即可求解； （2）由题意可得，是的角平分线，且，故延长交于点M，可证，要证，而，即证明即可，延长交于N，过E作于P，先证明，可以得到，再证明四边形是正方形，得到，接着证明即可解决； （3）如图3，分别以和为边构造等边三角形，构造“手拉手”模型，即可得到，所以，则，当B，F，M，N四点共线时，所求线段和的值最小，利用，解即可解决． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵E为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴； （2）证明：，理由如下： 如图2，设射线与射线交于点M， 由题可设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 延长交于N， ∴， 过E作于P， 则， 在与中，   ， ∴， ∴， 过E作于Q， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴， ∴， ∴矩形为正方形， ∴， ∴， 在与中， ，   ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图3，把绕点A逆时针旋转得到，得到等边，同理以为边构造等边， ∴，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 当B，F，M，N四点共线时，最小， 即为线段的长度，如图4， 过N作交其延长线于T， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题是一道四边形综合题，考查了线段的“截长补短”在证明三角形全等中的应用，同时要注意基本辅助线构造方法，比如第（2）问中的线段既是角平分线，又是垂线段，延长相交构等腰就是本题的突破口，再结合线段的截长补短来构造全等，还考查了多条线段和的最值问题，利用旋转变换来转化线段是解决此问的关键． 【经典例题九 根据菱形的性质与判定求面积 】 33．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）如图，在中，平分交于点E，过点D作于点O，延长交于点F，连接，，若点M是的中点，下列结论：①四边形是菱形；②；③若，，，则四边形的面积是，其中正确的结论有（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】先证明，，，可得，证明四边形是平行四边形，结合，可得结论①正确；证明四边形是平行四边形，可得是的中位线，可得结论②正确；过点D作于点N，求解菱形的面积，可得的面积菱形ADEF的面积，求解的面积，可得的面积的面积，进一步求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形，结论①正确； ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴，结论②正确； 过点D作于点N， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积， ∴的面积菱形ADEF的面积， ∵， ∴的面积， ∵， ∴的面积的面积， ∴四边形的面积的面积的面积，结论③错误． 故选：A 【点睛】本题考查的平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 34．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，，．将沿折叠，使点A落在边的中点D处，点G、H、I分别为的中点，连接与相交于点M，与相交于点N，则四边形的面积为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】先证明，得出四边形是菱形，通过角和边的换算，得出点和点分别是的中点，得证点是的中点，点是的中点，根据等底同高得出，再结合菱形面积等于对角线乘积的一半，即可作答． 【详解】解：如图：连接 ∵，． ∴是等腰直角三角形 则 ∵将沿折叠，使点A落在边的中点D处 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 则， ∵I为的中点 ∴三点共线 ∵点G、H分别为的中点，点D在边的中点处 ∴分别是的中位线 ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形 同理得 ∴四边形是菱形 则连接，分别交于点，连接 ∵折叠 ∴ ∴ ∵ ∴都是等腰直角三角形 ∴ ∴点和点分别是的中点 则 则 则 ∵点G、H、I分别为的中点 ∴ 则 则是平行四边形 则点是的中点 同理得点是的中点 则 ∴四边形的面积为菱形的面积一半 ∵，． ∴ 则， 则， ∴菱形的面积， ∴四边形的面积为， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，中位线，等腰直角三角形的性质，折叠性质，勾股定理等内容，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 35．（23-24八年级下·四川巴中·期末）如图所示，四边形中，于点O，，，点P为线段上的一个动点．过点P分别作于点M，作于点N．连接，在点P运动过程中，的最小值等于 ． 【答案】15.6 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短，将求的最小值问题转化为求的最小值问题是解题的关键． 先根据题目条件，证明四边形是菱形，然后利用，推出， 再利用垂线段最短求的最小值，综合可得的最小值． 【详解】解：， ， ， ，， 四边形是平行四边形， 于点O， 平行四边形是菱形， ， 连接PD，如图所示： ， ， ， ， 当最短时，有最小值， 由垂线段最短可知：当时，最短，此时， 当点P与点O重合时，有最小值，最小值为． 故答案为：15.6． 36．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，已知菱形，为延长线上一点．且． (1)求证：； (2)如图（2），点为线段上一点，连接，为的中点，连接，．求证：； (3)在（2）的条件下，若，，菱形的面积为，直接写出的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由菱形的性质得到，根据等边对等角得，，再根据三角形内角和定理求出，即可得证； （2）延长至点，使，连接、，根据三角形中位线定理得到，证明四边形是菱形，得到，，证明，得，即可得证； （3）过点作交的延长线于点，过点作交于点，设，由勾股定理得，根据菱形的面积公式求得，继而求得，，根据等腰三角形三线合一性质得到，根据角的直角三角形的性质得到，即可得解． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 即； （2）延长至点，使，连接、， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点作交的延长线于点，过点作交于点，设， ∵四边形是菱形，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵菱形的面积为， ∴， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查菱形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，角直角三角形的性质，菱形的面积，三角形的面积等知识点，掌握菱形的判定和性质，通过作适当辅助线以利用三角形中位线定理及构造直角三角形是解题的关键． 【经典例题十 四边形其他综合问题 】 37．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，P是正方形的边右侧一点，，为锐角，连，的平分线交于Q点，过点B作交延长线于点E，连接，则以下结论：①；②；③；④若点D为中点，，则四边形的面积为，其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】解：①根据题意可得，则，，设，，，根据，即可判断①；过点C作于点H， 先根据，得出，进而推出，再证明，得出，即可判断②；③连接，证明，得出，，则，根据，，得出，则，最后通过，得出，即可判断③；过点E作于点N，易得，进而得出，根据梯形面积公式，求出四边形的面积即可判断④． 【详解】解：①∵四边形为正方形，， ∴， ∴，， 设， 在中，， 在中，， ∴， 故①正确，符合题意； ②过点C作于点H， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故②正确，符合题意； ③连接， ∵， ∴， ∴， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故③正确，符合题意； ④过点E作于点N， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴点N为中点，则， ∵， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴， ∴四边形的面积， 故④不正确，不符合题意， 综上：正确的有①②③， 故选：A． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是正确画出辅助线，构造全等三角形． 38．（2023·浙江温州·三模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，作CD⊥AB于点D，以AB为边作矩形ABEF，使得AF＝AD，延长CD，交EF于点G，作AN⊥AC交GF于点N，作MN⊥AN交CB的延长线于点M，MN分别交BE，DG于点H，P，若NP＝HP，NF＝2，则四边形ABMN的面积为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】先证明，得CD=NF=2，AC=AN，设NG=GE=x，则BD=x，AD=FG=2+x，AB=FE=2+2x，在中，在中，在中，利用勾股定理，得到，结合，即可得到答案． 【详解】解：∵CD⊥AB，四边形ABEF是矩形， ∴∠ADC=∠F=90°， ∴∠1+∠DAN=∠2+∠DAN， ∴∠1=∠2， 又∵AF＝AD， ∴， ∴CD=NF=2，AC=AN， 又∵∠ACB=∠CAN=∠ANM=90°， ∴四边形ANMC是正方形， ∵NP＝HP，PG∥HE， ∴NG=GE， 设NG=GE=x，则BD=x，AD=FG=2+x，AB=FE=2+2x， ∵在中，, 在中，， ∴在中，+=，即：， ∴， ∴= ==4+6=10． 故选C． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，设NG=GE=x，用含x的代数式表示相关线段长和相关面积，是解题的关键． 39．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，点H在边AD上，AH＝2，E为边AB上一个动点，连接HE．以HE为一边在HE的右上方作菱形HEFG，使点G落在边DC上，连接CF． （1）当菱形HEFG为正方形时，DG的长为 ； （2）在点E的运动过程中，△FCG的面积S的取值范围为 ． 【答案】 2 【分析】（1）由于四边形ABCD为矩形，四边形HEFG为正方形，那么∠D=∠A=∠GHE=，HG=HE，易证△GDH≌△HAE，得DG=AH=2； （2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，由于ABCD，可得∠AEG=∠MGE，同理有∠HEG=∠FGE，利用等式性质有∠AEH=∠MGF，再结合∠A=∠M=，HE=FG，可证△AHE≌△MFG，从而有FM=HA=2，进而可求△FCG的面积S的最大值和最小值，从而确定S的取值范围． 【详解】解：（1）如图1，当菱形为正方形时，，， 四边形为矩形， ， ， ， 在和中， ， ， ； 故答案为：2； （2）如图2，过作，交延长线于，连接， ∵ABCD， ， ∵HEGF， ， ， 在和中， ， ，即无论菱形如何变化，点到直线的距离始终为定值2， ∴， 设，则， 在中，， ， ， 即， ， ， 的最小值为，此时， 的最大值为8时，， 在点的运动过程中，的面积的取值范围为：； 故答案为：； 【点睛】本题考查了矩形、菱形、正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 40．（24-25八年级下·上海宝山·阶段练习）已知在平行四边形中，，将沿直线翻折，点落在点处，与相交于点，连接． (1)如图2，如果，求的面积； (2)如图1，若不平行于，求证：四边形是等腰梯形； (3)如果，当是直角三角形时，求的长． 【答案】(1)的面积 (2)见解析 (3)的长为或 【分析】本题是四边形综合题目，考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、平行线的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握翻折变换的性质和平行四边形的性质是解题的关键． （1）利用矩形性质和勾股定理求三角形面积； （2）通过折叠和平行四边形性质证明四边形是等腰梯形； （3）分情况讨论直角三角形中不同角为直角时的长度． 【详解】（1）解：∵平行四边形中，， ∴四边形是矩形， ， 由（1）得：， 设，则，在Rt中，由勾股定理得， 解得：， ， ∴的面积； （2）证明：由折叠的性质得：， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 若不平行于 ∴四边形是梯形 ∵ ∴四边形是等腰梯形 （3）解：分 4 种情况： 如图，当时，延长交于， ， ， ， ， ， ， ， ∴是的中点， 在 中，， ； 如图，当时， ， ， 由折叠的性质得：， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， 在同一直线上， ， 中，， ； 当时，如图所示： ∵， ∴， ∵与交于点， ∴不符合题意舍去； 当时，如图所示： ∵， ∴， ∵与交于点， ∴不符合题意舍去。 综上所述，当是直角三角形时，的长为或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06特殊平行四边形40道压轴题型专训（10大题型） 题型一 矩形与折叠问题 题型二 求矩形在坐标系中的坐标 题型三 正方形折叠问题 题型四 求正方形重叠部分面积 题型五 中点四边形 题型六 利用平行四边形的对称性求阴影面积 题型七 平行四边形的动点问题 题型八 四边形中的线段最值问题 题型九 根据菱形的性质与判定求面积 题型十 四边形其他综合问题 【经典例题一 矩形与折叠问题】 1．（2025·河北邯郸·二模）如图，在矩形中，是边上的点，将矩形沿所在的直线折叠，得到点的对应点，点的对应点．若点在边的延长线上，则的长为（    ） A． B．3 C．4 D． 2．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在矩形纸片中，点为上一点，关于折叠得到，点落于线段上；为上一点，关于折叠得到，点落于线段上，连接．设的面积为，的面积为，则下列哪个选项中的代数式数值是固定值（      ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，在矩形中，，点在边上，且，是边上一动点，沿将翻折，点翻折后落在点，连接，．若的面积为28，则的长为 ． 4．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在矩形纸片中，E为边上的动点，F为边上的动点，连接． (1)若 ①如图①，点E与点D重合，点F与点B重合，将矩形纸片沿折叠，点A落在点G处，设与相交于H，求的长； ②如图②，将矩形纸片沿折叠，使点B与点D重合，求折痕的长； (2) 如图③，点E为的中点，点F与点B重合，将矩形纸片沿折叠，点A落在点G处，且点G在矩形内部，延长交于点H，若，求的值． 【经典例题二 求矩形在坐标系中的坐标】 5．（24-25八年级下·山东潍坊·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，顶点在轴上，，轴，点的坐标为，作关于直线的对称图形，其中点的对称点为，且交轴于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·河南周口·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，为长方形，其中点A，C的坐标分别为，且轴交y轴于点M，轴交x轴于点N．一动点 P 从点A 出发，以 个单位长度/秒的速度沿向点 B 运动，在某一时刻t，的面积等于长方形面积的，此时点 P的坐标是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·河北邢台·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，且轴，直线与线段交于点，当线段上有3个整点（包含线段端点）时，的取值范围为 ． 8．（23-24七年级下·福建福州·期中）如图，长方形中，O为平面直角坐标系的原点，，点B在第一象限，D是长方形边上的一个动点，设，且，连接．    (1)长方形的周长为　 　． (2)若点D在长方形的边上，且线段把长方形的周长分成两部分，求点D坐标； (3)若点D在长方形的边上，将线段向下平移3个单位长度，得到对应线段（F为点D的对应点），连接，求三角形的面积（可用含m的式子表示）． 【经典例题三 正方形折叠问题】 9．（24-25八年级下·河南安阳·期末）如图，在正方形中，点为边的中点，将沿折叠，使点落在正方形的内部一点处，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）用一张正方形的纸片按如下方式折叠：如图，先将纸片对折得到折痕，再沿过点C的直线翻折纸片，得到折痕，使点D落在上的点H处，连接与交于点I．则下列结论中正确的个数为（    ） ①；②为等边三角形；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 11．（2025·安徽·模拟预测）如图，在矩形中，，，点分别在边上，沿着折叠矩形，使点分别落在处，且点在线段上（可与点重合），过点作于点，连接． （）当与重合时， ； （）若四边形为正方形，则 ． 12．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，正方形的边长为8，点E在边上（不与端点重合），将沿翻折，得到，连接，． (1)当平分时，求点F到的距离． (2)求的周长的最小值，并求出此时的长． (3)若为直角三角形，求的长． 【经典例题四 求正方形重叠部分面积】 13．（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图所示：正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长相等，若正方形的边长为4，则两个正方形重叠部分的面积为（    ） A．16 B．8 C．4 D．1 14．（2023九年级·黑龙江·学业考试）如图，点在正方形的对角线上，且，正方形的两边，分别交，于点，，若正方形的边长为，则重叠部分四边形的面积为（    ）    A． B． C． D． 15．（23-24八年级下·山西大同·期中）如图，RtABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，以AB，BC，AC为边在AB同侧作正方形ABDE，正方形BCFG，正方形ACMN，点E恰好在边MN上，GF的延长线能经过点D．图中阴影部分的面积为 ． 16．（22-23八年级上·吉林延边·期末）如图1，在两个等腰直角三角形和中，，把两个三角形放置在平面直角坐标系上，边在x轴上，点F和点O重合．，点，点，将沿翻折，点E落在点G． (1)点G的坐标为________． (2)将四边形沿x轴方向往右平移，平移距离是x． ①当点G在边上时，________． ②当时，四边形与的重叠部分的面积为_______． ③如图2，当点C在边上时（点C与点E、F不重合），求四边形与的重叠部分的面积．（用含x的式子来表示） (3)在（2）的条件下，若，当四边形与的重叠部分的图形为轴对称图形时，直接写出x的取值范围． 【经典例题五 中点四边形】 17．（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）如图，已知矩形的邻边长分别为、，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形各边的中点，得到四边形；第二次，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形则第次操作后，得到四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 18．（23-24八年级下·河南新乡·期中）如图，A1，B1，C1，D1分别是四边形ABCD各边的中点，且AC⊥BD，AC＝6，BD＝10．依次取A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点A2，B2，C2，D2，再依次取A2B2，B2C2，C2D2，D2A2的中点A3，B3，C3，D3……以此类推取An﹣1Bn﹣1，Bn﹣1Cn﹣1，Cn﹣1Dn﹣1，Dn﹣1An﹣1的中点An，Bn，Cn，Dn，若四边形AnBnCnDn的面积为，则n的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 19．（22-23八年级下·四川广安·阶段练习）如图，在菱形中，边长为1，，顺次连接菱形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形各边中点，可得四边形；按此规律继续下去，…，则四边形的面积是 ． 20．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）阅读理解：我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，依次连接各边中点得到中点四边形． (1)（填空）判断图1中的中点四边形的形状为______，菱形的中点四边形的形状是______； (2)如图2，在四边形中，点在上且和为等边三角形，，，，分别为，，，的中点，试判断四边形的形状并证明． (3)若四边形的中点四边形为正方形，的最小值为4，求的长． 【经典例题六 利用平行四边形的对称性求阴影面积】 21．（23-24八年级下·浙江·期中）在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为的小正方形拼成的图形，是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（    ） A． B． C． D． 22．（23-24九年级上·江西抚州·阶段练习）如图，在▱ABCD中，对角线AC⊥AB，O为AC的中点，经过点O的直线交AD于E，交BC于F，连结AF、CE，现在添加一个适当的条件，使四边形AFCE是菱形，下列条件：①OE=OA；②EF⊥AC；③AF平分∠BAC；④E为AD中点．正确的有（ ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 23．（2023·河北石家庄·三模）将正方形A的一个顶点与正方形B的对角线交叉重合，如图1位置，则阴影部分面积是正方形A面积的，将正方形A与B按图2放置，则阴影部分面积是正方形B面积的 ． 24．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图所示，四边形是正方形的内接四边形，与都是锐角，已知，，四边形的面积是．求正方形的面积．    【经典例题七 平行四边形的动点问题】 25．（2023·河北保定·一模）如图，在菱形中，，P为对角线上的一个动点，过点作的垂线，交或于点，交或于点，点从点出发以cm/s的速度向终点运动，设运动时间为，以为折线将菱形向右折叠，若重合部分面积为，求t的值，对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（    ） A．只有甲答的对 B．甲、乙答案合在一起才完整 C．甲、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才充整 26．（22-23九年级上·福建漳州·期中）如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接、，当为直角三角形时，t的值为（    ） A．5 B． C．5或8 D．5或8或 27．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在长方形中，，，点是上的一点，且．点从点出发，以的速度沿点匀速运动，最终到达点．设点运动时间为，若三角形的面积为，则的值为 ． 28．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度沿线段向点运动；同时点从点出发，以 的速度沿向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设、运动时间为秒，回答下列问题： (1)求为何值时，四边形是矩形? (2)求为何值时，？ (3)是否存在的值，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【经典例题八 四边形中的线段最值问题】 29．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，矩形中，，，点分别在矩形的各边上，且，，则四边形周长的最小值为（　　） A． B． C． D． 30．（22-23八年级下·江苏徐州·阶段练习）如图，菱形中，，，点、、分别为线段、、上的任意一点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 31．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，矩形中，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是 ． 32．（24-25八年级下·福建福州·期中）平行四边形中，点在边上，连接，点在线段上，连接，． (1)如图1，已知，点为中点，．若，，求的长度． (2)如图2，已知，，将射线沿翻折交于，过点作交延长线于点．若，请写出线段，，的数量关系并说明理由． (3)如图3，已知，若，，请直接写出的最小值． 【经典例题九 根据菱形的性质与判定求面积 】 33．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）如图，在中，平分交于点E，过点D作于点O，延长交于点F，连接，，若点M是的中点，下列结论：①四边形是菱形；②；③若，，，则四边形的面积是，其中正确的结论有（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 34．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，，．将沿折叠，使点A落在边的中点D处，点G、H、I分别为的中点，连接与相交于点M，与相交于点N，则四边形的面积为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 35．（23-24八年级下·四川巴中·期末）如图所示，四边形中，于点O，，，点P为线段上的一个动点．过点P分别作于点M，作于点N．连接，在点P运动过程中，的最小值等于 ． 36．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，已知菱形，为延长线上一点．且． (1)求证：； (2)如图（2），点为线段上一点，连接，为的中点，连接，．求证：； (3)在（2）的条件下，若，，菱形的面积为，直接写出的面积． 【经典例题十 四边形其他综合问题 】 37．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，P是正方形的边右侧一点，，为锐角，连，的平分线交于Q点，过点B作交延长线于点E，连接，则以下结论：①；②；③；④若点D为中点，，则四边形的面积为，其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 38．（2023·浙江温州·三模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，作CD⊥AB于点D，以AB为边作矩形ABEF，使得AF＝AD，延长CD，交EF于点G，作AN⊥AC交GF于点N，作MN⊥AN交CB的延长线于点M，MN分别交BE，DG于点H，P，若NP＝HP，NF＝2，则四边形ABMN的面积为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 39．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，点H在边AD上，AH＝2，E为边AB上一个动点，连接HE．以HE为一边在HE的右上方作菱形HEFG，使点G落在边DC上，连接CF． （1）当菱形HEFG为正方形时，DG的长为 ； （2）在点E的运动过程中，△FCG的面积S的取值范围为 ． 40．（24-25八年级下·上海宝山·阶段练习）已知在平行四边形中，，将沿直线翻折，点落在点处，与相交于点，连接． (1)如图2，如果，求的面积； (2)如图1，若不平行于，求证：四边形是等腰梯形； (3)如果，当是直角三角形时，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $