专题05特殊平行四边形易错必刷题型专训（56题14个考点）-2025-2026学年北师大版九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题05特殊平行四边形易错必刷题型专训（56题14个考点） 【易错必刷一 添一个条件使四边形是菱形】 1．（23-24九年级上·河北保定·阶段练习）在实验课上，为判断地板瓷砖是否为菱形，甲、乙二人分别用仪器进行了测量，甲测量出两组对角分别相等，然后小亮测量出______，最后得到结论：地板瓷砖是菱形．则横线处应填（    ） A．两组对边分别相等 B．一组邻边相等 C．两条对角线相等 D．一组邻角相等 2．（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）如图，的对角线，交于点O，要使成为菱形，则可添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·甘肃平凉·期末）如图，在四边形中，，，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形成为一个菱形，只需添加的一个条件是 ． 4．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在 中，E、F、D分别是边上的点，且，在不改变图形的前提下，请你添加一个条件 ，使四边形是菱形，并写出证明过程． 【易错必刷二 证明四边形是菱形】 5．（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·期末）如图，已知，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长度为半径作弧，与的两边分别交于点B，D；②分别以点B，D为圆心，以的长度为半径作弧，两弧相交于点C，③分别连接，则四边形即为菱形，其依据是（   ） A．四条边相等的四边形是菱形 B．一组邻边相等的平行四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 6．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期末）在四边形A中，对角线与相交于点．现有五组条件：①；②；③；④；⑤．以下选项能判定四边形是菱形的是（   ） A．①③ B．②④ C．③⑤ D．①② 7．（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，将一张矩形纸片对折，然后沿着图中的虚线剪下，得到，两部分，将展开后得到的平面图形是 ． 8．（25-26九年级上·黑龙江鹤岗·开学考试）如图，平行四边形中已知、分别是、的中点，且．求证：四边形是菱形． 【易错必刷三 添一条件使四边形是矩形】 9．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在平行四边形中，下列结论中错误的是（    ） A．当时，它是菱形 B．当平分时，它是菱形 C．当时，它是矩形 D．当时，它是菱形 10．（24-25八年级下·福建泉州·期末）在中，对角线和相交于点O，则下面条件能判定是矩形的是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26九年级上·河南信阳·开学考试）如下图，在平行四边形中，增加一个条件后，平行四边形就成为矩形，这个条件可以是 12．（2024·江苏无锡·模拟预测）如图，在平行四边形中，延长到点，使，交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)满足什么条件时，四边形是矩形，并说明理由． 【易错必刷四 证明四边形是矩形】 13．（24-25八年级下·湖北十堰·期中）中，交于点，再添加一个条件使其为矩形，不能是下列的（    ） A． B． C． D． 14．（2025·河北秦皇岛·一模）学完矩形的判定以后，张老师想让同学们通过测量来判定一个四边形纸片是否为矩形．嘉嘉准备了一把刻度尺，淇淇准备了一个量角器，他俩谁的工具能判定这张纸片是矩形（   ） A．嘉嘉能，淇淇不能 B．淇淇能，嘉嘉不能 C．他俩都能 D．他俩都不能 15．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，小美用钉子将四根木棍订成了一个平行四边形框架，现固定，转动． 当 时，四边形的面积最大，此时四边形是 形． 16．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在四边形中，点H是的中点，作射线，在线段及其延长线上分别取点E，F，连接，． (1)，求证； (2)在（1）的条件下，直接写出当与满足什么条件时，四边形是矩形． 【易错必刷五 斜边的中线等于斜边的一半】 17．（24-25八年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图，某城市中有如图所示的公路，，它们互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（   ） A． B． C． D． 18．（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，在中，，点D是的中点，，则的长度为（   ） A．3 B．4 C．5 D．8 19．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，，点D、E分别是边、的中点，点F是线段上的一点且，连接、，若，则线段的长为 ． 20．（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，在中，是边上的高，是边上的中线，为垂足．求证：是中点． 【易错必刷六 添一个条件使四边形是正方形】 21．（24-25八年级下·河南商丘·期末）已知四边形为平行四边形，从下列条件中：①；②；③；④，任选其中两个，不能判定四边形为正方形的组合是（   ） A．①② B．②③ C．①④ D．②④ 22．（24-25九年级上·山西运城·期中）如图，已知四边形是平行四边形，添加以下条件，不能判定四边形是正方形的是（    ） A．， B．， C． ， D． ， 23．（2025·河南驻马店·三模）小欣同学在梳理《特殊平行四边形》一章的知识点时，画出如图所示的知识框图．请帮她在（？）处填上一个适当的条件，该条件可以是 ． 24．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）已知中，平分，交于E，交于F． (1)试判断四边形的形状，并说明理由． (2)当满足什么条件时，四边形是正方形？ 【易错必刷七 证明四边形是正方形】 25．（23-24八年级下·山东东营·开学考试）在平行四边形中，对角线与相交于点，要使四边形是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件，其中正确的是（    ） ①，且； ②，且； ③，且； ④，且 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 26．（22-23八年级下·广东揭阳·期中）下列说法正确的是（    ） A．四边相等的四边形是正方形 B．四角相等的四边形是正方形 C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D．有一个角是直角的菱形是正方形 27．（23-24八年级下·山东菏泽·期中）在四边形中，，，，，，分别是，，，的中点，则四边形的形状是 ． 28．（23-24八年级下·广东东莞·期中）如图，在中，，平分，于点，于点，求证：四边形是正方形． 【易错必刷八 正方形性质理解】 29．（23-24八年级下·福建厦门·期末）如图，四边形是正方形，直线l是正方形的一条对称轴，E是边的中点，F是边的中点，点G在边上，且，则点E关于直线l的对称点可能是（　　） A．点C B．点D C．点F D．点G 30．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，有5块正方形连在一起的钢板余料，要求分割成若干小块后能拼接成与原图形面积相等的正方形，下列四种分割的方法符合要求的有（    ）种？（沿虚线分割，忽略接缝不计） A．1 B．2 C．3 D．4 31．（23-24九年级上·浙江金华·期末）五巧板是一种类似七巧板的智力玩具，它是由一个正方形按如图1方式分割而成，其中图形①是正方形、小明发现可以将五巧板拼搭成如图2所示的“三角形”与“飞机”模型．在“飞机”模型中宽与高的比值 ． 32．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图所示，在正方形中，，是上的一点．且．连接．动点从点沿向终点运动，当以点为顶点的三角形和以点为顶点的三角形全等时，求点运动的路程． 【易错必刷九 矩形性质理解】 33．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点O．则下列结论不一定正确的是（    ）． A． B． C． D． 34．（24-25八年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，已知矩形，对角线，交于点，下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 35．（23-24八年级下·甘肃甘南·期末）如图，在矩形中，，，，为边上任意一点，则阴影部分面积和矩形面积的比是 ． 36．（2025·湖北襄阳·三模）如图，在矩形中，点在边上，，，垂足为．求证：． 【易错必刷十 正方形的判定定理理解】 37．（23-24八年级下·安徽淮南·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．四边相等的四边形是正方形 B．一组邻边相等的平行四边形是菱形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 38．（2024·山西·模拟预测）我们知道，当图形的组成元素及相关元素之间的关系特殊化时，图形也从一般图形变为特殊图形．下图是小颖从“对角线”的角度对平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系的梳理，图中“▲”处应填写的内容是（   ） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线垂直且相等 D．对角线互相垂直 39．（23-24九年级上·全国·开学考试）一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：a.两组对边分别相等，b.一组对边平行且相等，c.一组邻边相等 ，d.一个角是直角，顺次添加的条件：①②③，则正确的是 ． 40．（23-24八年级下·山东烟台·期中）如图，正方形ABCD中，对角线AC＝8cm．射线AF⊥AC，垂足为A．动点P从点C出发在CA上运动，动点Q从点A出发在射线AF上运动，两点的运动速度都是2cm/s．若两点同时出发，多少时间后，四边形AQBP是特殊四边形？请说明特殊四边形的名称及理由． 【易错必刷十一 利用菱形的性质求面积】 41．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在菱形中，、为对角线，若，，则菱形的面积是（　　） A．100 B．52 C．120 D．48 42．（24-25八年级下·北京平谷·期中）菱形中，两条对角线长分别为和，则此菱形的面积是（   ） A．48 B．24 C．20 D．14 43．（2024·云南红河·模拟预测）如图，四边形是菱形，对角线与相交于点O，，，于点E，则的长为 ． 44．（24-25八年级下·吉林·期末）如图，在中，是的中点，连接并延长至点，使，连接． (1)求证四边形是菱形． (2)若，则菱形的面积为______． 【易错必刷十二 根据矩形的性质求面积】 45．（24-25八年级下·广东惠州·阶段练习）如图，四边形是矩形，其中，，，则矩形的面积是（   ） A． B． C． D． 46．（24-25九年级上·贵州·期末）一个矩形被分成不同的4个三角形，其中绿色三角形的面积占矩形面积的，黄色的三角形的面积是21，则该矩形的面积为（）    A．60 B．70 C．120 D．140 47．（24-25八年级下·河南·阶段练习）如图，矩形的对角线，相交于点，过点的直线分别交，于点，．若，，则图中阴影部分的面积为 ． 48．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期中）如图，八里庄孙大伯要修一个育苗棚，棚的横截面是直角三角形，棚宽，高 ，长，求覆盖在顶上的长方形塑料薄膜需多少平方米（结果保留小数点后一位）．参考数据：． 【易错必刷十三 根据正方形的性质求面积】 49．（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）如图，正方形的边长为，则阴影部分的面积为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 50．（24-25八年级下·全国·期中）若正方形的一条对角线的长为，则正方形的面积为（    ） A． B． C． D． 51．（24-25八年级上·河南郑州·开学考试）如图，分别以直角三角形各边为一边向三角形外部作正方形，其中两个正方形的面积分别为和，则正方形A的面积是 ． 52．（22-23八年级下·陕西渭南·期末）如图，和以为边的正方形，已知，，，求正方形的面积．    【易错必刷十四 矩形的判定定理理解】 53．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，添加下列一个条件，能判定平行四边形是菱形的是(　　) A． B． C． D． 54．（24-25八年级下·重庆江津·期末）下列说法正确的是（   ） A．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 C．四条边相等的四边形是正方形 D．有一个角是直角的平行四边形是矩形 55．（24-25八年级上·山东潍坊·期末）如图，一个书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等．为了检查该书架的四个角是否都是直角，小亮先用绳子连接一组对角的顶点，在绳子上记录一条对角线的长度，再连接另一组对角的顶点，检验两条对角线长度是否一致．检查过程中用到一个你学过的几何定理，请写出该定理的具体内容： ．    56．（23-24八年级下·天津蓟州·期末）如图，在四边形中，，，，，点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度向点A运动，点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P运动时间为t秒． (1)当点P运动停止时，______，线段的长为______； (2)①用含t的式子填空：______，______，______； ② t为何值时，四边形为矩形，求出t的值； (3)在运动的过程中，是否存在某一时刻t，使以P，D，C，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05特殊平行四边形易错必刷题型专训（56题14个考点） 【易错必刷一 添一个条件使四边形是菱形】 1．（23-24九年级上·河北保定·阶段练习）在实验课上，为判断地板瓷砖是否为菱形，甲、乙二人分别用仪器进行了测量，甲测量出两组对角分别相等，然后小亮测量出______，最后得到结论：地板瓷砖是菱形．则横线处应填（    ） A．两组对边分别相等 B．一组邻边相等 C．两条对角线相等 D．一组邻角相等 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定．根据菱形的判定方法“一组邻边相等的平行四边形是菱形”进行判断即可得． 【详解】解：∵甲测量出两组对角分别相等，∴此地板瓷砖是平行四边形， A、两组对边分别相等，也只能说明四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故本选项符合题意； C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项不符合题意； D、一组邻角相等，不能说明平行四边形是菱形，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）如图，的对角线，交于点O，要使成为菱形，则可添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查菱形的判定，熟练掌握菱形的判定是解题的关键；因此此题可根据菱形的判定定理进行排除选项． 【详解】解：A、是的性质，不能作为菱形的判定条件，故不符合题意； B、当时，则是矩形，不能判定是菱形，故不符合题意； C、当时，则是菱形，故符合题意； D、当时，则是矩形，不能判定是菱形，故不符合题意； 故选C． 3．（24-25八年级下·甘肃平凉·期末）如图，在四边形中，，，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形成为一个菱形，只需添加的一个条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．先证四边形是平行四边形，再由菱形的判定即可得出结论． 【详解】解：需添加的一个条件是，理由如下： ，， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形ABCD是菱形， 故答案为：（答案不唯一）． 4．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在 中，E、F、D分别是边上的点，且，在不改变图形的前提下，请你添加一个条件 ，使四边形是菱形，并写出证明过程． 【答案】添加的条件为：（答案不唯一），证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形和菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题关键．先根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，再根据菱形的判定即可得． 【详解】解∶添加的条件为∶（答案不唯一） 证明∶∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形． 【易错必刷二 证明四边形是菱形】 5．（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·期末）如图，已知，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长度为半径作弧，与的两边分别交于点B，D；②分别以点B，D为圆心，以的长度为半径作弧，两弧相交于点C，③分别连接，则四边形即为菱形，其依据是（   ） A．四条边相等的四边形是菱形 B．一组邻边相等的平行四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 【答案】A 【分析】本题主要考查了尺规作图和菱形的判定定理，理解并掌握菱形的判定定理是解题关键． 由作图过程可知，根据菱形的判定定理分析判断即可． 【详解】解：由作图过程可知，， 所以依据是“四条边相等的四边形是菱形”． 故选：A． 6．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期末）在四边形A中，对角线与相交于点．现有五组条件：①；②；③；④；⑤．以下选项能判定四边形是菱形的是（   ） A．①③ B．②④ C．③⑤ D．①② 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的判定，根据菱形的判定条件，逐一分析各选项组合即可求解． 【详解】解：菱形判定条件包括：① 平行四边形且邻边相等；② 平行四边形且对角线互相垂直；③ 四边均相等． 选项A（①③）： ① 给出两组对边平行，说明四边形为平行四边形． ③ 对角线互相垂直．根据判定条件，平行四边形的对角线垂直则为菱形．故选项A正确，符合题意． 选项B（②④）： ② 对角线相等，④ 一个角为直角．对角线相等的四边形可能是矩形，但无法确定四边相等，故不一定是菱形，不符合题意． 选项C（③⑤）： ⑤ 一组对边平行且另一组对边相等，可能为等腰梯形．即使对角线垂直，无法成为菱形．因此条件⑤无法确保平行四边形，选项C不成立，不符合题意． 选项D（①②）： ① 为平行四边形，② 对角线相等，此时四边形为矩形而非菱形，不符合题意． 故选：A． 7．（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，将一张矩形纸片对折，然后沿着图中的虚线剪下，得到，两部分，将展开后得到的平面图形是 ． 【答案】菱形 【分析】本题主要考查了菱形的判定和图形的展开与折叠，根据图中的折叠过程保证了剪得的四边形上、下及左、右四条边都相等，再由菱形的判定方法即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由图中的折叠过程保证了剪得的四边形上、下及左、右四条边都相等， ∴展开后得到的平面图形是菱形， 故答案为：菱形． 8．（25-26九年级上·黑龙江鹤岗·开学考试）如图，平行四边形中已知、分别是、的中点，且．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，根据平行四边形的性质可得，可得四边形为平行四边形，再根据直角三角形斜边中线的性质得出，即可得到四边形是菱形，熟知相关性质是解题的关键． 【详解】证明：四边形为平行四边形， ， 、分别是、的中点， ， 四边形为平行四边形， ， ∵为的中点， ， 四边形是菱形． 【易错必刷三 添一条件使四边形是矩形】 9．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在平行四边形中，下列结论中错误的是（    ） A．当时，它是菱形 B．当平分时，它是菱形 C．当时，它是矩形 D．当时，它是菱形 【答案】D 【分析】此题主要考查学生对平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定．根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴A、当时，它是菱形，正确，不符合题意； B、当平分时，此时，则，它是菱形，正确，不符合题意； C、当时，，则它是矩形，正确，不符合题意； D、当时，它是矩形，错误，符合题意； 故选：D 10．（24-25八年级下·福建泉州·期末）在中，对角线和相交于点O，则下面条件能判定是矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的判定，根据矩形判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形一一判定即可. 【详解】解：在平行四边形中，矩形的判定条件之一是两条对角线相等． 选项A：对角线垂直时，平行四边形为菱形，而非矩形，故排除． 选项B：若对角线相等，根据矩形判定定理，该平行四边形必为矩形，正确． 选项C：平行四边形对角自然相等，无法判定为矩形，故排除． 选项D：邻边相等时，平行四边形为菱形，故排除． 故选：B． 11．（25-26九年级上·河南信阳·开学考试）如下图，在平行四边形中，增加一个条件后，平行四边形就成为矩形，这个条件可以是 【答案】(答案不唯一) 【分析】本题考查矩形的判定．需要知道及矩形的判定定理，比如有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形．本题从这两个判定角度去考虑添加条件． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， 若， 根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，此时平行四边形就成为矩形， 故答案为：． 12．（2024·江苏无锡·模拟预测）如图，在平行四边形中，延长到点，使，交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)满足什么条件时，四边形是矩形，并说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)当时，四边形是矩形，详见解析 【分析】此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键． （1）由平行四边形的性质得，，再由，得，，即可得出结论； （2）当时，根据对角线相等的平行四边形是矩形证明即可． 【详解】（1）证明：四边形为平行四边形， ，， ， ，， 四边形是平行四边形； （2）解：当时，四边形是矩形，理由如下： 四边形为平行四边形， ， ， ， 四边形是矩形 【易错必刷四 证明四边形是矩形】 13．（24-25八年级下·湖北十堰·期中）中，交于点，再添加一个条件使其为矩形，不能是下列的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定和勾股定理的逆定理等知识，有一个内角是直角的平行四边形是矩形，掌握此点是解答本题的关键．利用勾股定理的逆定理和矩形的判定即可求解． 【详解】解：中，交于点， A. ，则四边形为矩形，故该选项不符合题意；     B. ，则四边形为菱形，故该选项符合题意；     C. ，可知是直角三角形，是直角，可有证明平行四边形是矩形，故该选项不符合题意；     D. ，则四边形为矩形，故该选项不符合题意；     故选：B． 14．（2025·河北秦皇岛·一模）学完矩形的判定以后，张老师想让同学们通过测量来判定一个四边形纸片是否为矩形．嘉嘉准备了一把刻度尺，淇淇准备了一个量角器，他俩谁的工具能判定这张纸片是矩形（   ） A．嘉嘉能，淇淇不能 B．淇淇能，嘉嘉不能 C．他俩都能 D．他俩都不能 【答案】C 【分析】本题考查矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形为矩形，有3个角是直角的四边形是矩形，进行判断即可． 【详解】解：嘉嘉用刻度尺可以分别测量四边形的四条边长和两条对角线的长度，如果四边形的两组对边的长度相等且两条对角线的长度相等，即可判定这张纸片是矩形； 淇淇用量角器测量四边形的四个内角的度数，如果有3个角是直角，即可判定这张纸片是矩形； 故他俩都能判定这张纸片是矩形； 故选C． 15．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，小美用钉子将四根木棍订成了一个平行四边形框架，现固定，转动． 当 时，四边形的面积最大，此时四边形是 形． 【答案】 90 矩 【分析】本题考查了矩形的判定，过作于点，再根据题意，当即可求解，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于点， 根据题意可得：的面积为， ∵不变， ∴当时，面积最大， ∴， ∴是矩形， 故答案为：90，矩． 16．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在四边形中，点H是的中点，作射线，在线段及其延长线上分别取点E，F，连接，． (1)，求证； (2)在（1）的条件下，直接写出当与满足什么条件时，四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是矩形 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，矩形的判定，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）根据证明两个三角形全等即可； （2）根据矩形的判定方法，得出当时，四边形是矩形即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴． （2）解：当时，四边形是矩形． ∵， ∴，， 又， ∴四边形是平行四边形． ∵，， ∴当时，， ∴四边形是矩形． 【易错必刷五 斜边的中线等于斜边的一半】 17．（24-25八年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图，某城市中有如图所示的公路，，它们互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可. 【详解】解：由题意可得：， 所以； 故选：D． 18．（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，在中，，点D是的中点，，则的长度为（   ） A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，据此求解即可． 【详解】解：∵在中，，点D是的中点， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 19．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，，点D、E分别是边、的中点，点F是线段上的一点且，连接、，若，则线段的长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了三角形的中位线定理的应用，直角三角形斜边的性质，解题的关键是了解三角形的中位线的性质和直角三角形斜边的性质．利用三角形中位线定理得到，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到．所以由图中线段间的和差关系来求线段的长度即可． 【详解】解：点、分别是边、的中点， 是的中位线， ， ，是的中点，， ， ∵， ， ， 故答案为：12． 20．（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，在中，是边上的高，是边上的中线，为垂足．求证：是中点． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质和判定， 先连接，根据“直角三角形斜边中线等于斜边一半”可得为等腰三角形，然后根据“三线合一”解答即可. 【详解】证明：连接， 为边上中线， ． 又 ， 为等腰三角形． 又 ∴点是的中点． 【易错必刷六 添一个条件使四边形是正方形】 21．（24-25八年级下·河南商丘·期末）已知四边形为平行四边形，从下列条件中：①；②；③；④，任选其中两个，不能判定四边形为正方形的组合是（   ） A．①② B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】A 【分析】本题考查正方形的判定方法：先判定四边形是菱形，再判定四边形是矩形；或先判定四边形是矩形，再判定四边形是菱形；那么四边形一定是正方形；根据正方形的判定方法解答即可． 【详解】解：选项A（①②）： 条件①：平行四边形邻边相等，说明是菱形， 条件②：同理，邻边相等，仍为菱形， 两条件均使四边形为菱形，但无法保证存在直角，故不能判定为正方形； 选项B（②③）： 条件②使平行四边形为菱形， 条件③（对角线相等）使平行四边形为矩形，故能判定四边形为正方形； 选项C（①④）： 条件①使平行四边形为菱形， 条件④：菱形邻角互补，又相等则每个角为，故能判定四边形为正方形； 选项D（②④）： 条件②使平行四边形为菱形， 条件④同理使每个角为90°，故能判定四边形为正方形； 故选：A． 22．（24-25九年级上·山西运城·期中）如图，已知四边形是平行四边形，添加以下条件，不能判定四边形是正方形的是（    ） A．， B．， C． ， D． ， 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的判定．熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键． 根据正方形的判定方法逐一判断即可求解． 【详解】∵是平行四边形，∴添加以下条件， A. ，，能判定四边形是正方形；     B. ，，能判定四边形是正方形； C. ，，能判定四边形是正方形；     D. ，，只能判定四边形是菱形，不能判定四边形是正方形． 故选：D． 23．（2025·河南驻马店·三模）小欣同学在梳理《特殊平行四边形》一章的知识点时，画出如图所示的知识框图．请帮她在（？）处填上一个适当的条件，该条件可以是 ． 【答案】有一组邻边相等或对角线互相垂直 【分析】本题主要考查特殊平行四边形（矩形、正方形）的性质这一知识点．解题关键在于清晰掌握矩形和正方形的性质，通过对比两者性质上的差异，找出能使矩形满足正方形定义的条件．本题是在特殊平行四边形知识体系中，寻找能使矩形转化为正方形的条件．需要明确矩形和正方形的性质差异，从边、角、对角线等方面去思考补充条件． 【详解】解：矩形的性质是四个角都是直角，对角线相等且互相平分 ． 正方形具有四个角都是直角，四条边都相等，对角线互相垂直、平分且相等． 对比矩形和正方形的性质，发现当矩形满足 “有一组邻边相等” 时，就满足了正方形四条边都相等的性质；当矩形满足 “对角线互相垂直” 时，结合矩形本身对角线相等且平分的性质，就符合正方形对角线互相垂直、平分且相等的性质． ∴ “有一组邻边相等” 或 “对角线互相垂直” 这两个条件能使矩形成为正方形． 故答案为：有一组邻边相等或对角线互相垂直． 24．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）已知中，平分，交于E，交于F． (1)试判断四边形的形状，并说明理由． (2)当满足什么条件时，四边形是正方形？ 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析； (2)时，四边形是正方形． 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定，正方形的判定等知识点，掌握这些是解题的关键． （1）先通过题目条件证明是平行四边形，再通过平行线的性质和角平分线的定义得到，从而得到平行四边形一组邻边相等即可判断； （2）根据“有一个角是直角的菱形是正方形”即可解答． 【详解】（1）解：四边形是菱形．理由如下： ，， 四边形是平行四边形，， 平分， ， ， ， 四边形是菱形． （2）时，四边形是正方形． ，四边形是菱形， 四边形是正方形． 【易错必刷七 证明四边形是正方形】 25．（23-24八年级下·山东东营·开学考试）在平行四边形中，对角线与相交于点，要使四边形是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件，其中正确的是（    ） ①，且； ②，且； ③，且； ④，且 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了矩形、菱形、正方形的判定，熟记特殊四边形的判定是解答的关键．由矩形、菱形、正方形的判定方法对各个选项进行判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴四边形是正方形，①正确； ∵四边形是平行四边形，，， ∴平行四边形不可能是正方形，②错误； ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴四边形是矩形， 又，即对角线互相垂直， ∴平行四边形是正方形，③正确； ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴平行四边形是正方形，④正确； 故选：C． 26．（22-23八年级下·广东揭阳·期中）下列说法正确的是（    ） A．四边相等的四边形是正方形 B．四角相等的四边形是正方形 C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D．有一个角是直角的菱形是正方形 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的判定，同时不要与矩形及菱形的判定混淆了，掌握正方形判定方法是关键．根据正方形的判定进行判定即可． 【详解】解：A、四边相等的四边形是菱形，故原选项说法错误； B、四角相等的四边形是矩形；故原选项说法错误； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原选项说法错误； D、有一个角是直角的菱形是正方形，说法正确； 故选：D． 27．（23-24八年级下·山东菏泽·期中）在四边形中，，，，，，分别是，，，的中点，则四边形的形状是 ． 【答案】正方形 【分析】由三角形中位线的性质，可判断，，可得四边形是菱形，四边形的对角线，满足，且，四边形是正方形．本题考查了中点四边形的性质，中位线的定理，解题中需要理清思路，属于中档题． 【详解】解：如图所示： 在中，，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理，，． ∵， ∴， ∴四边形是菱形， 设与交于点，与交于点， 在中，，分别是，的中点， ∴，同理， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形． 故答案为：正方形 28．（23-24八年级下·广东东莞·期中）如图，在中，，平分，于点，于点，求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了正方形的判定，角平分线的性质和定义，等腰直角三角形的性质与判定等待，先证明是等腰直角三角形，得到，同理可得，再由角平分线的性质得到，则，据此可证明结论． 【详解】证明：∵在中，，平分， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理可得， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴四边形是正方形． 【易错必刷八 正方形性质理解】 29．（23-24八年级下·福建厦门·期末）如图，四边形是正方形，直线l是正方形的一条对称轴，E是边的中点，F是边的中点，点G在边上，且，则点E关于直线l的对称点可能是（　　） A．点C B．点D C．点F D．点G 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的对称性，利用数形结合思想解答是解题的关键．画出正方形的对称轴，根据图象即可判断求解． 【详解】如图，正方形有4条对称轴， 由图可知，E关于直线l的对称点可能是点， 故选：C． 30．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，有5块正方形连在一起的钢板余料，要求分割成若干小块后能拼接成与原图形面积相等的正方形，下列四种分割的方法符合要求的有（    ）种？（沿虚线分割，忽略接缝不计） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方的性质，根据正方形的性质求解即可． 【详解】解：根据题意图二按图中分割无法组成正方形，图四中按其分割因边长无法组成正方形，只有图一和图三分割后可以围成如下图所示的正方形．             图一的拼接图                    图三的拼接图 故只有2种分割法满足题意， 故选：B． 31．（23-24九年级上·浙江金华·期末）五巧板是一种类似七巧板的智力玩具，它是由一个正方形按如图1方式分割而成，其中图形①是正方形、小明发现可以将五巧板拼搭成如图2所示的“三角形”与“飞机”模型．在“飞机”模型中宽与高的比值 ． 【答案】 【分析】设图形1中小正方形①的边长为，根据图中的图形找到与的关系即可求解． 【详解】解：设图形1中小正方形①的边长为， 根据题中图形拼凑的方式可知，， ， 故答案是：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，图形面积、解题的关键是观察图象，利用图形1中小正方形①的边长来表示“飞机”模型的宽和高． 32．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图所示，在正方形中，，是上的一点．且．连接．动点从点沿向终点运动，当以点为顶点的三角形和以点为顶点的三角形全等时，求点运动的路程． 【答案】7或13 【分析】本题考查了正方形性质、全等三角形性质，根据题意，分两种情况讨论，由全等三角形性质得到对应边相等，从而列式求解即可得到答案，熟练掌握三角形全等的性质是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： ①当点在上时， ， ， 由题意可得：； ②当点在上时， ， ， 由题意得：， 当以点为顶点的三角形和以点为顶点的三角形全等时，点运动的路程为7或13． 【易错必刷九 矩形性质理解】 33．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点O．则下列结论不一定正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的四个角都是直角，对角线互相平分且相等，逐项判断即可． 【详解】解：在矩形中，对角线，相交于点O． ，，， 不能得出， 故选：D． 34．（24-25八年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，已知矩形，对角线，交于点，下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 根据矩形的对边相等且平行，对角线相等且互相平分即可判断． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴A、C、D正确，不符合题意， 对角线不一定垂直，错误，符合题意； 故选：B． 35．（23-24八年级下·甘肃甘南·期末）如图，在矩形中，，，，为边上任意一点，则阴影部分面积和矩形面积的比是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是线段中线的性质，掌握三角形的中线性质是解题关键，连接，根据题意得出，，． 【详解】解：连接，如图所示， ， ， ， ， ， ， 空白部分和阴影部分的面积相等， 阴影部分面积和矩形面积的比是； 故答案为： ． 36．（2025·湖北襄阳·三模）如图，在矩形中，点在边上，，，垂足为．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质．由矩形性质及，导角可得．从而可证明，进而可证明结论． 【详解】证明：∵四边形为矩形， ∴，． 又∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 【易错必刷十 正方形的判定定理理解】 37．（23-24八年级下·安徽淮南·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．四边相等的四边形是正方形 B．一组邻边相等的平行四边形是菱形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，根据菱形，矩形和正方形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、四边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，原说法错误，不符合题意； B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，原说法正确，符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，原说法错误，不符合题意； D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 38．（2024·山西·模拟预测）我们知道，当图形的组成元素及相关元素之间的关系特殊化时，图形也从一般图形变为特殊图形．下图是小颖从“对角线”的角度对平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系的梳理，图中“▲”处应填写的内容是（   ） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线垂直且相等 D．对角线互相垂直 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的判定方法，根据图形即可得到答案，熟记正方形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：由图可得，对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形， 故选：． 39．（23-24九年级上·全国·开学考试）一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：a.两组对边分别相等，b.一组对边平行且相等，c.一组邻边相等 ，d.一个角是直角，顺次添加的条件：①②③，则正确的是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键． 根据题意及正方形的判定定理可直接进行排除选项． 【详解】解∶ ①由两组对边分别相等可得该四边形是平行四边形，添加一组邻边相等可得该四边形是菱形，再添加一个角是直角则可得该四边形是正方形，故符合题意； ②由一组对边平行且相等可得该四边形是平行四边形，添加一个角是直角可得该四边形是矩形，再添加一组邻边相等则可得该四边形是正方形，故符合题意； ③a、b都为平行四边形的判定定理，故不能判定该四边形是正方形，不符合题意； 故答案为：； 40．（23-24八年级下·山东烟台·期中）如图，正方形ABCD中，对角线AC＝8cm．射线AF⊥AC，垂足为A．动点P从点C出发在CA上运动，动点Q从点A出发在射线AF上运动，两点的运动速度都是2cm/s．若两点同时出发，多少时间后，四边形AQBP是特殊四边形？请说明特殊四边形的名称及理由． 【答案】当P、Q运动2s后，四边形AQBP是正方形，理由见解析 【分析】当P、Q运动2s后，四边形AQBP是正方形，由题意可得AQ＝AP＝BP＝4cm，由等腰直角三角形的性质可得BP⊥AC，可得AF∥BP，可证四边形APBQ是平行四边形，且BP⊥AC，AP＝BP，可得四边形APBQ是正方形． 【详解】解：当P、Q运动2s后，四边形AQBP是正方形， 理由如下：∵四边形ABCD是正方形 ∴AB＝BC 当P、Q运动2s后，CP＝AQ＝4cm， ∵AC＝8cm， ∴AP＝CP＝4cm，且AB＝BC， ∴BP⊥AC，且AF⊥AC ∴AF∥BP，且AQ＝BP＝4cm， ∴四边形APBQ是平行四边形，且BP⊥AC，AP＝BP ∴四边形AQBP是正方形 【点睛】本题是对正方形判定的考查，熟练掌握正方形的判定定理是解决本题的关键. 【易错必刷十一 利用菱形的性质求面积】 41．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在菱形中，、为对角线，若，，则菱形的面积是（　　） A．100 B．52 C．120 D．48 【答案】C 【分析】本题考查了菱形对角线互相垂直平分的性质，菱形的面积可以通过两条对角线长度的乘积的一半来计算． 【详解】∵菱形中，、为对角线，，， ∴与互相垂直平分，， 故选：C． 42．（24-25八年级下·北京平谷·期中）菱形中，两条对角线长分别为和，则此菱形的面积是（   ） A．48 B．24 C．20 D．14 【答案】B 【分析】本题主要考查菱形的面积计算．根据菱形的面积公式，面积等于两条对角线长度乘积的一半，直接代入数值计算即可． 【详解】解：菱形的面积 故选：B． 43．（2024·云南红河·模拟预测）如图，四边形是菱形，对角线与相交于点O，，，于点E，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质以及勾股定理的应用．注意菱形的面积等于对角线积的一半或底乘以高．首先利用勾股定理求得菱形的边长，然后由菱形的两个面积计算，求得边上的高的长即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴在直角三角形中，， ∴． 故答案为：． 44．（24-25八年级下·吉林·期末）如图，在中，是的中点，连接并延长至点，使，连接． (1)求证四边形是菱形． (2)若，则菱形的面积为______． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查三线合一，菱形的判定和性质，掌握菱形的判定和性质是关键． （1）根据三线合一得到，结合菱形的判定即可求解； （2）根据菱形的性质，由菱形的面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：∵，点是中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， 故答案为：． 【易错必刷十二 根据矩形的性质求面积】 45．（24-25八年级下·广东惠州·阶段练习）如图，四边形是矩形，其中，，，则矩形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形，根据点，，的坐标分别求出发和的长度，再根据矩形的面积公式计算即可． 【详解】解：，， ， ，， ， 矩形的面积是． 故选：A． 46．（24-25九年级上·贵州·期末）一个矩形被分成不同的4个三角形，其中绿色三角形的面积占矩形面积的，黄色的三角形的面积是21，则该矩形的面积为（）    A．60 B．70 C．120 D．140 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质以及面积的计算；关键是根据图得出黄色和绿色部分共占总面积的，再找出黄色面积占总面积的百分之几，进而根据除法的意义求解．黄色三角形与绿色三角形面积之和是矩形面积的，而绿色三角形面积占矩形面积的，所以黄色三角形面积占矩形面积的，已知黄色三角形面积是21，用除法即可得出矩形的面积． 【详解】解：黄色三角形与绿色三角形面积之和是矩形面积的， 矩形的面积， ， ， 故选：A． 47．（24-25八年级下·河南·阶段练习）如图，矩形的对角线，相交于点，过点的直线分别交，于点，．若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】6 【分析】此题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定和性质，首先结合矩形的性质证明，得、的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为的面积． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 又∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：6． 48．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期中）如图，八里庄孙大伯要修一个育苗棚，棚的横截面是直角三角形，棚宽，高 ，长，求覆盖在顶上的长方形塑料薄膜需多少平方米（结果保留小数点后一位）．参考数据：． 【答案】 【分析】考查了勾股定理的应用，矩形的性质，熟练运用勾股定理计算是解题的关键， 首先根据勾股定理求得直角三角形的斜边，即是矩形的宽．再根据矩形的面积公式计算即可． 【详解】解∶ 依题意得：中，，，， ． ∵ 塑料薄膜的面积． 答∶覆盖在顶上的塑料薄膜需． 【易错必刷十三 根据正方形的性质求面积】 49．（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）如图，正方形的边长为，则阴影部分的面积为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的对称性． 结合对称性质可知阴影部分的面积等于正方形面积的一半，然后根据正方形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，由正方形的对称性可知图形①的面积等于图形②的面积， 阴影部分的面积等于正方形面积的一半， 则阴影部分的面积为； 故选：B． 50．（24-25八年级下·全国·期中）若正方形的一条对角线的长为，则正方形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质．根据正方形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解． 【详解】解：∵正方形的一条对角线长为， ∴这个正方形的面积， 故选：B． 51．（24-25八年级上·河南郑州·开学考试）如图，分别以直角三角形各边为一边向三角形外部作正方形，其中两个正方形的面积分别为和，则正方形A的面积是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理等知识， 根据已知两正方形的面积分别得出直角三角形一直角边和斜边的平方，利用勾股定理求出另一直角边的平方，即可求出正方形A的面积． 【详解】解：如图， 根据题意，得，，， ∴， ∴正方形A的面积是， 故答案为：6． 52．（22-23八年级下·陕西渭南·期末）如图，和以为边的正方形，已知，，，求正方形的面积．    【答案】正方形的面积是 【分析】根据勾股定理求得的长，然后根据正方形的面积公式即可求解． 【详解】解：，，， ． 四边形是正方形， 正方形的面积是． 【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【易错必刷十四 矩形的判定定理理解】 53．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，添加下列一个条件，能判定平行四边形是菱形的是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的判定、矩形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．由菱形的判定、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、， ， ∴平行四边形是菱形，故选项符合题意； B、四边形是平行四边形，， 平行四边形是矩形，故选项不符合题意； C、，四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形，故选项不符合题意； D、四边形是平行四边形，， 平行四边形还是平行四边形，故选项不符合题意． 故选：A． 54．（24-25八年级下·重庆江津·期末）下列说法正确的是（   ） A．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 C．四条边相等的四边形是正方形 D．有一个角是直角的平行四边形是矩形 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定和矩形的判定，根据平行四边形、矩形、菱形的判定方法逐一判断即可求解． 【详解】解：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，该选项说法错误，不合题意； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，该选项说法错误，不合题意； 四条边相等的四边形是菱形，该选项说法错误，不合题意； 有一个角是直角的平行四边形是矩形，该选项说法正确，符合题意； 故选：． 55．（24-25八年级上·山东潍坊·期末）如图，一个书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等．为了检查该书架的四个角是否都是直角，小亮先用绳子连接一组对角的顶点，在绳子上记录一条对角线的长度，再连接另一组对角的顶点，检验两条对角线长度是否一致．检查过程中用到一个你学过的几何定理，请写出该定理的具体内容： ．    【答案】对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角 【分析】本题考查矩形的判定和矩形的性质．判断平行四边形为矩形是解题的关键． 根据矩形的判定方法和性质即可得出答案． 【详解】解：∵书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等， ∴书架是平行四边形， ∵书架得对角线相等， ∴书架是矩形， ∴书架是四个角都是直角， 故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角． 56．（23-24八年级下·天津蓟州·期末）如图，在四边形中，，，，，点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度向点A运动，点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P运动时间为t秒． (1)当点P运动停止时，______，线段的长为______； (2)①用含t的式子填空：______，______，______； ② t为何值时，四边形为矩形，求出t的值； (3)在运动的过程中，是否存在某一时刻t，使以P，D，C，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①；；；② (3) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定，一元一次方程的几何应用： （1）分别计算出点P和点Q到达终点的时间，进而得到停止时间，据此求出对应的的长即可； （2）①根据题意列出对应的代数式即可；②根据题意可得当四边形是平行四边形时，四边形是矩形，则，据此列出方程求解即可； （3）根据题意可得四边形为平行四边形，则，据此列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴点P运动9秒后停止，即， ∴， 故答案为：；； （2）解：①由题意得，， ∵， ∴， 故答案为：；；； ②∵， ∴当四边形是平行四边形时，四边形是矩形， ∴此时有， ∴， 解得； （3）解：∵以P，D，C，Q为顶点的四边形为平行四边形，且， ∴此时四边形为平行四边形， ∴， ∴， 解得． 学科网（北京）股份有限公司 $