专题04 全等三角形模型之半角模型（几何模型讲义）数学苏科版2024八年级上册

专题04 全等三角形模型之半角模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1.半角模型 6 16 首先阿基米德则通过物体旋转时的力学规律研究，为旋转几何提供物理背景；随着引入坐标系描述旋转后点的位置变化，并深入研究旋转对称性，推动旋转问题的量化分析；直到近代大三‌核心旋转模型逐渐的形成。这一方法从早期经验认知，历经阿拉伯数学家的理论发展，至近现代形成系统模型，最终成为几何证明的标准化工具。 ‌半角模型‌：90°含45°、120°含60°等特殊旋转，通过截长补短构造全等三角形，解决角度和线段问题。 （2024·黑龙江·中考真题）已知是等腰三角形，，，在的内部，点M、N在上，点M在点N的左侧，探究线段之间的数量关系．    （1）如图①，当时，探究如下：由，可知，将绕点A顺时针旋转，得到，则且，连接，易证，可得，在中，，则有．（2）当时，如图②：当时，如图③，分别写出线段之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明． 1）半角模型 条件：如图1，四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°；（正方形型） 结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周长=2AB； ⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 证明：将△CBE绕点C逆时针旋转90°至△CDG，即△CBE≌△CDG， ∴∠ECB=∠GCD，∠B=∠CDG=90°，BE＝DG，CE＝CG； ∵ABCD是正方形，∴∠B=∠CDF=∠BCD=90°，BA＝DA；∴∠CDG+∠CDF=180°，故F、D、G共线。 ∵∠ECF=45°，∴∠BCE+∠DCF=45°，∴∠GCD+∠DCF=∠GCF=45°，∴∠ECF=∠GCF=45°， ∵CF＝CF，∴△CEF≌△CGF，∴EF＝GF，∵GF＝DG＋DF，∴GF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋DF+AE＋AF=AB＋AD=2AB，过点C作CH⊥EF，则∠CHE=90°， ∵△CEF≌△CGF，∴CD=CH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△CBE≌△CHE， ∴∠HEC=∠CBE，同理可证：∠HFC=∠DFC，即CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 图1 图2 条件：如图2，ABC是等腰直角三角形（∠BAC=90°，AB＝AC），∠DAE=45°；（等腰直角型） 结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG，即△BAD≌△CAG， ∴∠BAD=∠CAG，∠B=∠GCA=45°，AD＝AG，BD＝CG； ∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°，∴∠CAG+∠EAC=∠GAE=45°，∴∠DAE=∠GAE=45°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△GAE，∴ED＝EG，∵ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，∴∠ECG=90°，∴GE2＝GC2＋EC2,∴DE2＝BD2＋EC2； 条件：如图3，ABC是等边三角形，BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°；（等边型120-60） 结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋CF；④AEF的周长=2AB； ⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 证明：将△DBE绕点D顺时针旋转120°至△DCG，即△BDE≌△CDG， ∴∠EDB=∠GDC，∠DBE=∠DCG，BE＝GC，DE＝DG； ∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=60°，∴∠GDC+∠CDF=∠GDF=60°，故∠GDF=∠EDF， ∵DF＝DF，∴△EDF≌△GDF，∴EF＝GF，∵GF＝CG＋CF，∴GF＝BE＋CF，∴EF＝BE＋CF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋CF+AE＋AF=AB＋AC=2AB， 过点D作DH⊥EF，DM⊥GF，则∠DHF=∠DMF=90°， ∵△EDF≌△GDF，∴DM=DH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△DHF≌△DMF， ∴∠HFD=∠MFD，同理可证：∠BED=∠FED，即DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 图3 图4 图5 条件：如图4，ABC是等边三角形，∠EAD=30°；（等边型60-30） 结论：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=120°；④DE2＝(BD＋EC)2+； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转60°至△ACF，即△BAD≌△CAF， ∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠FCA=60°，AD＝AF，BD＝CF； ∵∠DAE=30°，∴∠BAD+∠EAC=30°，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=30°，∴∠DAE=∠FAE=30°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE，∴ED＝EF，∵ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ECF=120°， 过点F作FH⊥BC，∴∠FCH=60°，∠CFH=30°，∴CH=CF=BD，FH=CF=BD， ∵在直角三角形中：FE2＝FH2＋EH2,∴DE2＝(BD＋EC)2+(BD)2； 条件：如图5，∠BAC=，AB=AC，∠DAE=；（任意型） 结论：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。 证明：将△ABD绕点A逆时针°至△ACF，即△BAD≌△CAF， ∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠BCA=∠FCA=90°-，AD＝AF，BD＝CF；∴∠ECF=∠BCA+∠FCA=180°-。 ∵∠BAC=，∠DAE=，∴∠BAD+∠EAC=，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=，∴∠DAE=∠FAE=， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE。 模型1.半角模型 例1（24-25八年级下·辽宁铁岭·期末）（1）如图①，在正方形中，点E，F分别在边，上，连接，，，且，延长到点G，使，连接．求证：． （2）如图②，当点E，F分别在线段和的延长线上，连接，，，且时，试探究，，之间的数量关系，并说明理由．      例2（24-25八年级上·山东烟台·期中）如图，在正方形中，E、F分别是和上的动点，且，交和于M、N两点．下列结论： ①；②；③平分；④当E为中点时，．其中正确的结论是（    ） A．②④ B．①②③ C．①③ D．①③④ 例3（24-25八年级上·江西九江·期中）【背景材料】小颖和小强在做课后习题时，遇到这样一道题：“已知中，，，，如图（a）所示，当点M、N在上时，试判断线段，，的数量关系． 小颖的解题思路：如图（b）所示，将沿直线对折，得，连， (1)你认为的度数为_____． (2)按照小颖的思路，判断图（b）线段，，的数量关系，并完整证明． (3)【解决问题】当M在的延长线上，点N在线段上，其他条件不变，如图（C）所示， 第（2）问中的结论是否成立．如果成立，请证明．如果不成立，请说明理由． 例4（24-25八年级上·陕西西安·期末）四边形是由等边和顶角为的等腰拼成，将一个角的顶点放在点D处，将角绕D点旋转，该角两边分别交直线于点M、N，交直线于点F，E． (1)当点M，N分别在边上时（如图1），直接写出之间的数量关系 ； (2)当点M，N分别在边的延长线上时（如图2），猜想线段之间有何数量关系？请进行证明；(3)在（2）的条件下，若，请你求出的长． 例5（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，等边△ABC中，在BC边上取两点D，E，使∠DAE＝30°． （1）当∠BAD＝15°时，如图1，求证：△ADE为等腰三角形； （2）作D点关于直线AE的对称点F，连接AF，CF，如图2．求证：△ADF为等边三角形； （3）求证：以BD，DE，CE为边长的三角形为钝角三角形． 例6（24-25·广东深圳·八年级期末）如图，△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点D为BC边上一点．点E为线段CD上一点，且CE＝2，AB＝，∠DAE＝60°，则DE的长为 ______． 例7（24-25八年级下·陕西西安·期中）（1）如图①，在直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC边上一动点（与点B不重合），连接AD，△ABD绕点A逆时针旋转90°，到△ACE，那么CE，BD之间的位置关系为　 　，数量关系为　 　；（2）如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，D，E为BC上两点，且∠DAE＝45°，求证：BD2+CE2＝DE2．（3）如图③，△ABC中，∠CAB＝120°，AB＝AC，∠DAE＝60°，BC＝，若以BD，DE，EC为边的三角形是以BD为斜边的直角三角形时，求BE的长． 例8（24-25广东八年级上期中）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB = BC = DC，点E、F分别在AD、AB上，且.（1）求证：；（2）连结AC，若，求的度数. 例9（24-25八年级上·福建泉州·期中）（1）如图①，在正方形中，点E、F分别为，边上的点，且满足，连接．将绕点A顺时针旋转得到，易证，从而得到结论：，根据这个结论，若正方形的边长为2，则的周长为______． （2）如图②，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，试猜想，，之间有何数量关系，证明你的结论． （3）如图③，四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，且，试探究线段，，之间的数量关系，请直接写出你的猜想（不必说明提由）． 1．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，正方形中，，点E、F分别在边上，，连接，下列结论：①；②平分；③的周长为2；④，其中正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④ 2．（24-25八年级下·山东济南·期中）如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连结，则下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的是（    ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①③④ 3．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，，于点，于点，、分别是、上的点，且，下列说法：① ；②平分；③平分；④ ．其中正确的是 （填写正确的序号） 4．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，，点D、E都在边上，．若，则的长为 ． 5．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，正方形的边长为1，M、N是边、上的动点．若，则的最小值为 ． 6．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知：正方形中，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点，．当绕点A旋转到时（如图1），易证．    (1)当绕点A旋转到时（如图2），线段，和之间有怎样的数量关系？ 请直接写出猜想：________________________．(2)当绕点A旋转到如图3的位置时，线段，和之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．(3)图3中若，，求的面积． 7．（24-25九年级上·四川绵阳·开学考试）如图，在正方形中，点E、F分别在边、上，且，分别连接、，与、分别相交于点M、N． (1)求证：．为了证明“”，小明延长至点G，使，请画出辅助线并按小明的思路写出证明过程；(2)若正方形的边长为6，，求的长． 8．（24-25八年级下·湖南永州·期末）如图，点是正方形中边上的任意一点，以点为中心，把顺时针旋转，得到．为边上一点，． (1)求的度数；(2)求证：；(3)请连接，若线段交于点，交于点．试探索，，之间的数量关系并加以说明． 9．（2025·河南周口·三模）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题： 【问题情境】如图①，在中，，，点、在边上，且，，，求的长． 解：如图②，将绕点逆时针旋转得到，连接． 由旋转的特征得，，，． ，，． ，，即，． 在和中，，， ① ，，． 又 ② ， 在中，．，， ③ ． 【问题解决】上述问题情境中，“①”处应填：________；“②”处应填：________；“③”处应填：________； 刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变． 【知识迁移】如图③，在正方形中，点、分别在边、上，满足的周长等于正方形的周长的一半，连接、，分别与对角线交于、两点．探究、、的数量关系并证明； 【拓展应用】如图④，在矩形中，点、分别在边、上，且．探究、、的数量关系：________（直接写出结论，不必证明）． 10.（24-25八年级下·山东菏泽·期末）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：如图1，在等腰直角中，，，小敏将一块含角的三角板先放在上，使点Q与点A重合，然后从边开始绕点A逆时针旋转一个角，其中三角板斜边所在的直线交直线于点D，直角边所在的直线交直线于点E． (1)李敏在线段上取一点M，连接，旋转中发现：若平分，则也平分，请你证明李敏发现的结论；(2)当时，李敏在旋转中还发现线段，，之间存在如下等量关系：，同组的王颖和宋亮随后想出了两种不同的方法进行解决： 王颖的方法：将沿所在的直线对折得到，连接（如图2）； 宋亮的方法：将绕点A逆时针旋转90°得到，连接（如图3）； 请你从中任选一种方法进行证明． 11．（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）是等边三角形，是顶角的等腰三角形，，将的顶角与的D点重合，它的两边分别与所在直线相交于点M、N．(1)当绕点D旋转与边相交时（如图1），连接．证明：； (2)当绕点D旋转与射线相交时（如图2），连接．猜想线段之间的关系，并加以证明；(3)当绕点D旋转与射线相交时（如图3），连接．线段之间又有怎样的数量关系？请你写出你的猜想，不需证明． 12．（24-25九年级上·江西南昌·期中）（1）如图①，在直角中，，，点D为边上一动点（与点B不重合），连接，将绕点A逆时针旋转，得到，那么之间的位置关系为__________，数量关系为__________；（2）如图②，在中，，，D，E（点D，E不与点B，C重合）为上两动点，且．求证：．（3）如图③，在中，，，，，D，E（点D，E不与点B，C重合）为上两动点，若以为边长的三角形是以为斜边的直角三角形时，求的长． 13．（24-25八年级上·重庆九龙坡·期中）（1）如图1，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，请直接写出图中线段、、之间的数量关系______． （2）如图2，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． （3）如图3，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，线段、、之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，并说明理由． 14．（24-25九年级上·四川达州·期末）（1）【问题情景】如图1，已知在正方形中，点E、F分别是边、上的一动点，连接、，且，如图，延长至G，使，通过证明和可得，即：． （2）【尝试探究】如图2，当点E、F分别在射线、上运动，时，探究、、之间的数量关系，请说明理由； （3）【模型建立】如图3，若将直角三角形沿斜边翻折得到，且，点E、F分别在边、上运动，且，试猜想（1）中的结论还成立吗？请加以说明； （4）【拓展应用】如图4，已知是边长为5的等边三角形，点D是外一点，连接、，且，，以D为顶点作一个角，使其角的两边分别交边、于点E、F，连接，求的周长． 15．（24-25七年级下·安徽宿州·阶段练习）阅读下列学习内容： (1)如图1，在四边形中，，，，E，F分别是、上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 探究思路如下：延长到点G，使，连接． 则由探究结果可知，图中线段、、之间的数量关系为________． (2)根据上面的方法，解决问题：如图2，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； (3)如图3，在四边形中，，，点M、N分别在边、上，且，若，，请求直接写出的长度． 16.（2024·四川乐山·中考真题）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题： 【问题情境】如图1，在中，，，点D、E在边上，且，，，求的长． 解：如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接．       由旋转的特征得，，，． ∵，，∴． ∵，∴，即．∴． 在和中，，，，∴___①___．∴． 又∵，∴在中，___②___． ∵，，∴___③___． 【问题解决】上述问题情境中，“①”处应填：______；“②”处应填：______；“③”处应填：______． 刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变． 【知识迁移】如图3，在正方形中，点E、F分别在边上，满足的周长等于正方形的周长的一半，连结，分别与对角线交于M、N两点．探究的数量关系并证明．       【拓展应用】如图4，在矩形中，点E、F分别在边上，且．探究的数量关系：______（直接写出结论，不必证明）． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 全等三角形模型之半角模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1.半角模型 6 16 首先阿基米德则通过物体旋转时的力学规律研究，为旋转几何提供物理背景；随着引入坐标系描述旋转后点的位置变化，并深入研究旋转对称性，推动旋转问题的量化分析；直到近代大三‌核心旋转模型逐渐的形成。这一方法从早期经验认知，历经阿拉伯数学家的理论发展，至近现代形成系统模型，最终成为几何证明的标准化工具。 ‌半角模型‌：90°含45°、120°含60°等特殊旋转，通过截长补短构造全等三角形，解决角度和线段问题。 （2024·黑龙江·中考真题）已知是等腰三角形，，，在的内部，点M、N在上，点M在点N的左侧，探究线段之间的数量关系．    （1）如图①，当时，探究如下：由，可知，将绕点A顺时针旋转，得到，则且，连接，易证，可得，在中，，则有．（2）当时，如图②：当时，如图③，分别写出线段之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明． 【答案】图②的结论是：；图③的结论是：；证明见解析 【详解】解：图②的结论是： 证明：∵∴是等边三角形，∴， 以点B为顶点在外作，在上截取，连接，过点Q作，垂足为H，  ，，， 又即 又，，；∵∴，∴，∴， 在中,可得：即 整理得 图③的结论是： 证明：以点B为顶点在外作，在上截取，连接，过点Q作，垂足为H   ，， ， 又即 又，， 在中，， ，；， 在中,可得：即 整理得 1）半角模型 条件：如图1，四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°；（正方形型） 结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周长=2AB； ⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 证明：将△CBE绕点C逆时针旋转90°至△CDG，即△CBE≌△CDG， ∴∠ECB=∠GCD，∠B=∠CDG=90°，BE＝DG，CE＝CG； ∵ABCD是正方形，∴∠B=∠CDF=∠BCD=90°，BA＝DA；∴∠CDG+∠CDF=180°，故F、D、G共线。 ∵∠ECF=45°，∴∠BCE+∠DCF=45°，∴∠GCD+∠DCF=∠GCF=45°，∴∠ECF=∠GCF=45°， ∵CF＝CF，∴△CEF≌△CGF，∴EF＝GF，∵GF＝DG＋DF，∴GF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋DF+AE＋AF=AB＋AD=2AB，过点C作CH⊥EF，则∠CHE=90°， ∵△CEF≌△CGF，∴CD=CH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△CBE≌△CHE， ∴∠HEC=∠CBE，同理可证：∠HFC=∠DFC，即CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 图1 图2 条件：如图2，ABC是等腰直角三角形（∠BAC=90°，AB＝AC），∠DAE=45°；（等腰直角型） 结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG，即△BAD≌△CAG， ∴∠BAD=∠CAG，∠B=∠GCA=45°，AD＝AG，BD＝CG； ∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°，∴∠CAG+∠EAC=∠GAE=45°，∴∠DAE=∠GAE=45°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△GAE，∴ED＝EG，∵ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，∴∠ECG=90°，∴GE2＝GC2＋EC2,∴DE2＝BD2＋EC2； 条件：如图3，ABC是等边三角形，BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°；（等边型120-60） 结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋CF；④AEF的周长=2AB； ⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 证明：将△DBE绕点D顺时针旋转120°至△DCG，即△BDE≌△CDG， ∴∠EDB=∠GDC，∠DBE=∠DCG，BE＝GC，DE＝DG； ∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=60°，∴∠GDC+∠CDF=∠GDF=60°，故∠GDF=∠EDF， ∵DF＝DF，∴△EDF≌△GDF，∴EF＝GF，∵GF＝CG＋CF，∴GF＝BE＋CF，∴EF＝BE＋CF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋CF+AE＋AF=AB＋AC=2AB， 过点D作DH⊥EF，DM⊥GF，则∠DHF=∠DMF=90°， ∵△EDF≌△GDF，∴DM=DH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△DHF≌△DMF， ∴∠HFD=∠MFD，同理可证：∠BED=∠FED，即DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 图3 图4 图5 条件：如图4，ABC是等边三角形，∠EAD=30°；（等边型60-30） 结论：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=120°；④DE2＝(BD＋EC)2+； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转60°至△ACF，即△BAD≌△CAF， ∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠FCA=60°，AD＝AF，BD＝CF； ∵∠DAE=30°，∴∠BAD+∠EAC=30°，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=30°，∴∠DAE=∠FAE=30°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE，∴ED＝EF，∵ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ECF=120°， 过点F作FH⊥BC，∴∠FCH=60°，∠CFH=30°，∴CH=CF=BD，FH=CF=BD， ∵在直角三角形中：FE2＝FH2＋EH2,∴DE2＝(BD＋EC)2+(BD)2； 条件：如图5，∠BAC=，AB=AC，∠DAE=；（任意型） 结论：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。 证明：将△ABD绕点A逆时针°至△ACF，即△BAD≌△CAF， ∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠BCA=∠FCA=90°-，AD＝AF，BD＝CF；∴∠ECF=∠BCA+∠FCA=180°-。 ∵∠BAC=，∠DAE=，∴∠BAD+∠EAC=，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=，∴∠DAE=∠FAE=， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE。 模型1.半角模型 例1（24-25八年级下·辽宁铁岭·期末）（1）如图①，在正方形中，点E，F分别在边，上，连接，，，且，延长到点G，使，连接．求证：． （2）如图②，当点E，F分别在线段和的延长线上，连接，，，且时，试探究，，之间的数量关系，并说明理由．      【答案】（1）证明见解析（2），理由见解析 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形，， ，，， ∵四边形为正方形，，，， ，， 在和中，，，， ，． （2）解：，理由如下：如图2，在上截取，连接． ∵四边形为正方形，， ，，， ∵四边形为正方形，， ，，，， 在和中，，， ，． 例2（24-25八年级上·山东烟台·期中）如图，在正方形中，E、F分别是和上的动点，且，交和于M、N两点．下列结论： ①；②；③平分；④当E为中点时，．其中正确的结论是（    ） A．②④ B．①②③ C．①③ D．①③④ 【答案】D 【详解】解：如图所示，延长到G，使得，连接， ∵四边形是正方形，∴， ∴， 又∵，∴，∴，， ∵，∴， ∴，∴， 又∵，∴，∴， ∴，即平分，故③正确； ∵，∴，故①正确； 如图所示，将绕点A顺时针旋转90度得到，连接， 由旋转的性质可得，同理可得证明， 又∵，∴，∴， ∵，∴，故②错误； 不妨设正方形的边长为，，则， ∵E为中点，∴，∴， 在中，由勾股定理可得， ∴，∴，∴，∴，故④正确；故选：D． 例3（24-25八年级上·江西九江·期中）【背景材料】小颖和小强在做课后习题时，遇到这样一道题：“已知中，，，，如图（a）所示，当点M、N在上时，试判断线段，，的数量关系． 小颖的解题思路：如图（b）所示，将沿直线对折，得，连， (1)你认为的度数为_____． (2)按照小颖的思路，判断图（b）线段，，的数量关系，并完整证明． (3)【解决问题】当M在的延长线上，点N在线段上，其他条件不变，如图（C）所示， 第（2）问中的结论是否成立．如果成立，请证明．如果不成立，请说明理由． 【答案】(1)(2)，证明见解析(3)成立，理由见解析 【详解】（1）解：∵中，，， ∴， ∵折叠，∴， ∴，故答案为：． （2）解：∵∴依题知： （折叠的性质） ∴，∴ ∵， ∴∵，∴ ∴，∴， ∴ ∴ （3）结论成立，理由如下：将延折叠，得到，连接， ∴，∴ ，∴， ∵，∴ ∴， ∴ 在与中 ∴ ∴ ∴∴ ∴． 例4（24-25八年级上·陕西西安·期末）四边形是由等边和顶角为的等腰拼成，将一个角的顶点放在点D处，将角绕D点旋转，该角两边分别交直线于点M、N，交直线于点F，E． (1)当点M，N分别在边上时（如图1），直接写出之间的数量关系 ； (2)当点M，N分别在边的延长线上时（如图2），猜想线段之间有何数量关系？请进行证明；(3)在（2）的条件下，若，请你求出的长． 【答案】(1)(2)，证明见详解(3)10 【详解】（1）解：如图1，延长，在射线上截取，连接． ∵是等边三角形，是等腰三角形，，∴，， ∴，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∴，即．∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴．故答案为：； （2）答：．证明：如图，在线段上截取，连接． ∵是等边三角形，是等腰三角形，， ∴，，∴， ∴，∴， ∵，，∴，∴， ∴，即． ∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴； （3）解：如图，作，交延长线于点H，延长交于点G． ∵，∴，，∴是等边三角形，∴， ∵，∴， ∵，，∴． ∵，∴，∴． ∵，∴，∴，∴， ∵，，，∴． ∵，∴，，∴， ∴，∴，∴． 例5（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，等边△ABC中，在BC边上取两点D，E，使∠DAE＝30°． （1）当∠BAD＝15°时，如图1，求证：△ADE为等腰三角形； （2）作D点关于直线AE的对称点F，连接AF，CF，如图2．求证：△ADF为等边三角形； （3）求证：以BD，DE，CE为边长的三角形为钝角三角形． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析． 【详解】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°＝∠B＝∠C， ∵∠BAD＝15°，∠DAE＝30°，∴∠CAE＝∠BAD＝15°， ∴△ABD≌△ACE（ASA），∴AD＝AE，∴△ADE是等腰三角形； （2）∵点D，点F关于直线AE对称，∴AD＝AF，AE垂直平分DF， ∴∠DAE＝∠FAE＝30°，∴∠DAF＝60°，∴△ADF是等边三角形； （3）如图，连接EF，∵∠DAF＝∠BAC＝60°，∴∠BAD＝∠CAF， 又∵AB＝AC，AD＝AF，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴BD＝CF，∠ABD＝∠ACF＝60°，∴∠ECF＝120°， ∵AE垂直平分DF，∴DE＝EF，∵△EFC是钝角三角形，∴以EF，CE，CF为边长的三角形是钝角三角形，∴以BD，DE，CE为边长的三角形为钝角三角形． 例6（24-25·广东深圳·八年级期末）如图，△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点D为BC边上一点．点E为线段CD上一点，且CE＝2，AB＝，∠DAE＝60°，则DE的长为 ______． 【答案】 【详解】解：如图，将绕点A逆时针旋转至，连接ME，过M作于Q，过A作 于F， ∵，，，AB＝，∴，， ∴，， ∴，． 在中，．∵，∴. 设，∴ ，，∴． ∵，，∴，∴． ∵．在和中，∴， ∴，由勾股定理得：， ∴，∴，即 ．故答案为：． 例7（24-25八年级下·陕西西安·期中）（1）如图①，在直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC边上一动点（与点B不重合），连接AD，△ABD绕点A逆时针旋转90°，到△ACE，那么CE，BD之间的位置关系为　 　，数量关系为　 　；（2）如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，D，E为BC上两点，且∠DAE＝45°，求证：BD2+CE2＝DE2．（3）如图③，△ABC中，∠CAB＝120°，AB＝AC，∠DAE＝60°，BC＝，若以BD，DE，EC为边的三角形是以BD为斜边的直角三角形时，求BE的长． 【答案】（1）CE⊥BD，CE＝BD；（2）详见解析；（3）BE＝2+． 【详解】解：（1）CE与BD位置关系是CE⊥BD，数量关系是CE＝BD． 理由：∵△ABD绕点A逆时针旋转90°，到△ACE，∴∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAD＝90°﹣∠DAC，∠CAE＝90°﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE． 又 BA＝CA，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE （SAS）∴∠ACE＝∠B＝45°且 CE＝BD． ∵∠ACB＝∠B＝45°，∴∠ECB＝45°+45°＝90°，即 CE⊥BD．故答案为：CE⊥BD；CE＝BD； （2）如图②，把△ACE绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG．连接DG， 则△ACE≌△ABG．∴AG＝AE，BG＝CE，∠ABG＝∠ACE＝45°． ∵∠BAC＝90°，∠GAE＝90°．∴∠GAD＝∠DAE＝45°， 在△ADG和△ADE中，，∴△ADG≌△ADE（SAS）．∴ED＝GD， 又∵∠GBD＝90°，∴BD2+BG2＝DG2，即BD2+EC2＝DE2； （3）如图③，将△AEC绕点A顺时针旋转120°，得到△AFB， ∴△AEC≌△AFB，∴AF＝AE，∠ABF＝∠ACB，EC＝BF，∠EAF＝120° ∵∠CAB＝120°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝∠ABF＝30°∴∠FBD＝60°， ∵∠EAF＝120°，∠EAD＝60°，∴∠DAE＝∠DAF＝60°，且AE＝AF，AD＝AD， ∴△ADE≌△ADF（SAS）∴DF＝DE，∵以BD、DE、EC为边的三角形是直角三角形， ∴以BD、DF、BF为边的三角形是直角三角形，∴△BDF是直角三角形， 若∠BDF＝90°，且∠FBD＝60°，∴BF＝2BD＝EC，， ， ∴BD＝1，，， 若∠BFD＝90°，且∠FBD＝60°，∴BD＝2BF＝2EC，， ， ∴BF＝1，∴BD＝2，，． 例8（24-25广东八年级上期中）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB = BC = DC，点E、F分别在AD、AB上，且.（1）求证：；（2）连结AC，若，求的度数. 【答案】（1）见解析；（2）20° 【详解】（1）旋转△BCF使BC与CD重合， ∵AD∥BC，AB=DC，即梯形ABCD为等腰梯形， ∴∠A=∠ADC，∠A+∠ABC=180°，∴∠ADC+∠ABC=180°， 由旋转可知：∠ABC=∠CDF′，∴∠ADC+∠CDF′=180°，即∠ADF′为平角，∴A，D，F′共线， ∵∴∠BCF+∠ECD=∠ECF=∠BCD， ∵FC=F′C，EC=EC，∠ECF'=∠BCF+∠DCE=∠ECF，∴△FCE≌△F′CE，∴EF′=EF=DF′+ED，∴BF=EF-ED； （2）∵AB=BC，∠B=80°，∴∠ACB=50°，由（1）得∠FEC=∠DEC=70°， 又∵AD//BC，∴∠ECB=70°，而∠B=∠BCD=80°，∴∠DCE=10°，∴∠BCF=30°，∴∠ACF=∠BCA-∠BCF=20°． 例9（24-25八年级上·福建泉州·期中）（1）如图①，在正方形中，点E、F分别为，边上的点，且满足，连接．将绕点A顺时针旋转得到，易证，从而得到结论：，根据这个结论，若正方形的边长为2，则的周长为______． （2）如图②，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，试猜想，，之间有何数量关系，证明你的结论． （3）如图③，四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，且，试探究线段，，之间的数量关系，请直接写出你的猜想（不必说明提由）． 【答案】（1）4；（2），证明见解析；（3）． 【详解】解：（1）正方形的边长为2，，，， ，的周长为故答案为：4； （2） 证明：如图②，将绕点A顺时针旋转，旋转角度为的度数，得到， 由旋转的性质可知，，，，， ，，， ，点H、B、F三点共线， 在和中，，， ，； （3）， 理由如下：在上截取， ，，， 在和中，，，，， ，， ， 在和中，，， ，． 1．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，正方形中，，点E、F分别在边上，，连接，下列结论：①；②平分；③的周长为2；④，其中正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【详解】延长到T，使得，连接 ∵四边形是正方形，∴，， ∵，∴（），∴，，∴， ∵，∴， ∵，∴（），∴，，∴平分, ∵，，∴．∴．故①②正确； ∵的周长为,故③正确； 根据题意， ∴，无法确定，故④错误，故选B． 2．（24-25八年级下·山东济南·期中）如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连结，则下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的是（    ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①③④ 【答案】D 【详解】解：由旋转的性质可得：， ，， ，，故①正确； ，，即：平分，故③正确；， ， 在中，，即：，故④正确； 与不一定相等，故②不正确，综上所述，①③④正确，故选：D． 3．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，，于点，于点，、分别是、上的点，且，下列说法：① ；②平分；③平分；④ ．其中正确的是 （填写正确的序号） 【答案】①②④ 【详解】解：延长到点，使，连接，则， ∵于点，于点，， 在和中，，， ，，，，， ，， 在和中，，， ，，，，故①正确，②正确； ，，不平分，故③错误； ，且，，故④正确，故答案为：①②④． 4．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，，点D、E都在边上，．若，则的长为 ． 【答案】/ 【详解】解：将绕点A逆时针旋转120°得到，取的中点G，连接、，如图所示： 过点A作于点N，如图，∵，，∴，． 在中，，，∴，∴， ∴．∴，∴． ∵，∴，∴为等边三角形，∴， ∴，∴为直角三角形． ∵，∴，∴． 在和中，，∴，∴． 设，则， 在中，，， ∴，∴，∴．故答案为：． 5．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，正方形的边长为1，M、N是边、上的动点．若，则的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】解：∵正方形的边长为1，∴，， 将顺时针旋转得到，则， ∴，，，，∴点P、B、M、C共线， ∵，∴， ∵，，，∴， ∴，∴， 设，，则，，∴， ∵，∴，即，整理得：， ∴ ， 当且仅当，即，也即时，取最小值， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知：正方形中，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点，．当绕点A旋转到时（如图1），易证．    (1)当绕点A旋转到时（如图2），线段，和之间有怎样的数量关系？ 请直接写出猜想：________________________．(2)当绕点A旋转到如图3的位置时，线段，和之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．(3)图3中若，，求的面积． 【答案】(1)(2)，证明见解析(3) 【详解】（1）解：猜想：， 证明如下：如图2，在的延长线上，截取，连接，    ∵四边形是正方形，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴，∴，  ∴， 在和中，，∴，∴， 又∵，∴；故答案为： （2）解：，证明如下：如图3，在上截取，连接，    在和中，，∴， ∴，， ∴，即， ∵，∴， 在和中，，∴，  ∴， ∴，∴； （3）解：∵，∴，， ∵四边形是正方形，，  ∴， ∴的面积为：，∴．即的面积为． 7．（24-25九年级上·四川绵阳·开学考试）如图，在正方形中，点E、F分别在边、上，且，分别连接、，与、分别相交于点M、N． (1)求证：．为了证明“”，小明延长至点G，使，请画出辅助线并按小明的思路写出证明过程；(2)若正方形的边长为6，，求的长． 【答案】(1)见解析；(2)3． 【详解】（1）证明：延长到G，使，连接，如图， ∵四边形是正方形，∴，，∴， 在和中，，∴， ∴，，∴， ∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴； （2）解：∵，，∴，由（1）知：， 在中，根据勾股定理得：，∴，∴． 8．（24-25八年级下·湖南永州·期末）如图，点是正方形中边上的任意一点，以点为中心，把顺时针旋转，得到．为边上一点，． (1)求的度数；(2)求证：；(3)请连接，若线段交于点，交于点．试探索，，之间的数量关系并加以说明． 【答案】(1)(2)见解析(3)，理由见解析 【详解】（1）解：四边形是正方形，，， ，，由旋转可知：， ，． （2）解：由旋转可知：，，， ∴三点共线，由（1）得，， 在和中，，，． （3）解：，理由如下：如图，将绕点逆时针旋转得到，连接． 四边形是正方形，，， 由旋转可知：，， ，在中，． 由（1），且由旋转可知，，， 在和中，，， ，． 9．（2025·河南周口·三模）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题： 【问题情境】如图①，在中，，，点、在边上，且，，，求的长． 解：如图②，将绕点逆时针旋转得到，连接． 由旋转的特征得，，，． ，，． ，，即，． 在和中，，， ① ，，． 又 ② ， 在中，．，， ③ ． 【问题解决】上述问题情境中，“①”处应填：________；“②”处应填：________；“③”处应填：________； 刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变． 【知识迁移】如图③，在正方形中，点、分别在边、上，满足的周长等于正方形的周长的一半，连接、，分别与对角线交于、两点．探究、、的数量关系并证明； 【拓展应用】如图④，在矩形中，点、分别在边、上，且．探究、、的数量关系：________（直接写出结论，不必证明）． 【答案】问题解决：见解析；知识迁移：，证明见解析；拓展应用：，证明见解析 【详解】问题解决：解：如图②，将绕点逆时针旋转得到，连接． 由旋转的特征得，，，． ，，． ，，即，． 在和中，，，． 又，在中，． ，，； 知识迁移：，证明如下： 如图，将绕点逆时针旋转，得到，过点作交于，连接， ， 由旋转的性质可得：，，， 由题意可得：， ∴，∴，∴， ∵为正方形的对角线，∴，∵，∴， 在和中，，∴，∴，， 在和中，，∴，∴， 在中，，∴； 拓展应用：，证明如下：如图，延长交延长线于，交延长线于，将绕点顺时针旋转得到，连接、，作交 延长线于， ， ∴，∴，， ∵，，∴为等腰直角三角形，∴， 由知识迁移可得：，∴，， 由勾股定理可得：，∴， ∵，，，∴， ∴，∴． 10.（24-25八年级下·山东菏泽·期末）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：如图1，在等腰直角中，，，小敏将一块含角的三角板先放在上，使点Q与点A重合，然后从边开始绕点A逆时针旋转一个角，其中三角板斜边所在的直线交直线于点D，直角边所在的直线交直线于点E． (1)李敏在线段上取一点M，连接，旋转中发现：若平分，则也平分，请你证明李敏发现的结论；(2)当时，李敏在旋转中还发现线段，，之间存在如下等量关系：，同组的王颖和宋亮随后想出了两种不同的方法进行解决： 王颖的方法：将沿所在的直线对折得到，连接（如图2）； 宋亮的方法：将绕点A逆时针旋转90°得到，连接（如图3）； 请你从中任选一种方法进行证明． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）证明：∵，∴， ∵，∴，， ∴， ∵平分，∴，∴，即平分； （2）选择小颖的方法． 证明：由折叠可知，，，， ∵，∴，∵，∴由（1）可知，， 在和中，，∴（）， ∴，，∴， 在中，，∴； 选择小亮的方法． 证明：∵将绕点A逆时针旋转得到， ∴，∴，，，， ∵，， ∴，∴， 在和中，，∴（），∴， ∵，∴，∴是直角三角形， ∴，即． 11．（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）是等边三角形，是顶角的等腰三角形，，将的顶角与的D点重合，它的两边分别与所在直线相交于点M、N．(1)当绕点D旋转与边相交时（如图1），连接．证明：； (2)当绕点D旋转与射线相交时（如图2），连接．猜想线段之间的关系，并加以证明；(3)当绕点D旋转与射线相交时（如图3），连接．线段之间又有怎样的数量关系？请你写出你的猜想，不需证明． 【答案】(1)证明见解析(2)，证明见解析(3) 【分析】（1）由三角形内角和求得，，如图1，将绕点逆时针旋转到，证明三点共线，，进而可得，即； （2）如图2，将绕点顺时针旋转到，证明求解过程同理（1）； （3）如图3，将绕点逆时针旋转到，证明求解过程同理（1）． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形，是顶角的等腰三角形， ∴，， 如图1，将绕点逆时针旋转到，          ∴，，， ∵，∴三点共线， ∵，，∴， ∴，∴， ∵，，，∴， ∴，∴； （2）解：，证明如下：如图2，将绕点顺时针旋转到， 同理（1）可得，，，， ∴，∴，∴； （3）解：；如图3，将绕点逆时针旋转到， 同理（1）可得，，，， ∴， ∴三点共线，∴， ∴，∴． 12．（24-25九年级上·江西南昌·期中）（1）如图①，在直角中，，，点D为边上一动点（与点B不重合），连接，将绕点A逆时针旋转，得到，那么之间的位置关系为__________，数量关系为__________；（2）如图②，在中，，，D，E（点D，E不与点B，C重合）为上两动点，且．求证：．（3）如图③，在中，，，，，D，E（点D，E不与点B，C重合）为上两动点，若以为边长的三角形是以为斜边的直角三角形时，求的长． 【答案】（1）CE⊥BD；CE=BD；（2）见解析；（3）． 【详解】解：（1）CE与BD位置关系是CE⊥BD，数量关系是CE=BD ∵绕点A逆时针旋转，得到∴ ∴，∴ ∵BA=CA，AD=AE∴∴且CE=BD ∵∴，即CE⊥BD 故答案为：CE⊥BD；CE=BD； （2）如图②，把绕点A顺时针旋转，得到，连接DG， 则∴AG=AE，BG=CE， ∵，∴ 在和中，∴∴ED=GD ∵∴即 （3）如图③，把绕点A顺时针旋转，得到， ∴∴AF=AE，，EC=BF， ∵，AB=AC∴∴ ∵，∴，且AF=AE，AD=AD∴∴DF=DE ∵以BD、DE、EC为边的三角形是直角三角形 ∴以BD、DF、BF为边的三角形是直角三角形 ∴是直角三角形 若，且∴BF=2BD=EC， ∵∴ ∴∴ 若，且∴BD=2BF=2EC， ∵ ∴∴BD=2，∴ 13．（24-25八年级上·重庆九龙坡·期中）（1）如图1，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，请直接写出图中线段、、之间的数量关系______． （2）如图2，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． （3）如图3，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，线段、、之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，并说明理由． 【答案】(1) (2)成立，见解析 (3)不成立， 【详解】(1) 线段、、之间的数量关系是，理由如下：延长到点G，使得， 因为，，所以， 所以，所以，所以， 因为，所以， 所以，所以，所以， 所以，所以，所以， 所以，所以． (2) 线段、、之间的数量关系是，理由如下：延长到点G，使得， 因为，，所以， 所以，所以，所以， 因为，所以， 所以，所以，所以， 所以，所以，所以， 所以，所以． (3) 结论不成立，，理由如下：在截取，使得， 因为，，所以， 所以，所以，所以， 因为，所以，所以， 所以，所以， 所以，所以，所以， 所以，所以． 14．（24-25九年级上·四川达州·期末）（1）【问题情景】如图1，已知在正方形中，点E、F分别是边、上的一动点，连接、，且，如图，延长至G，使，通过证明和可得，即：． （2）【尝试探究】如图2，当点E、F分别在射线、上运动，时，探究、、之间的数量关系，请说明理由； （3）【模型建立】如图3，若将直角三角形沿斜边翻折得到，且，点E、F分别在边、上运动，且，试猜想（1）中的结论还成立吗？请加以说明； （4）【拓展应用】如图4，已知是边长为5的等边三角形，点D是外一点，连接、，且，，以D为顶点作一个角，使其角的两边分别交边、于点E、F，连接，求的周长． 【答案】（2）见详解  （3）成立，见详解  （4） 【详解】（2），理由如下:如图，在上截取，连接 ∵，∴， ∴，∴， ∵，∴，又∵，∴， ， ，即 ； （3）结论仍然成立，理由如下：如图，把绕点逆时针旋转，使与重合，得到， ，，， ∴点三点共线， ， 又∵，，即， 又∵，∴，∴， 又∵，∴； (4)∵是边长为的等边三角形，∴，， ∵，∴， ∵，把绕点顺时针旋转至，可使与重合， 由旋转得: ，，， 同理得：点在同一条直线上， ，∴，∴，∴， ∵，∴，∴ ，∴， ∴的周长． 15．（24-25七年级下·安徽宿州·阶段练习）阅读下列学习内容： (1)如图1，在四边形中，，，，E，F分别是、上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 探究思路如下：延长到点G，使，连接． 则由探究结果可知，图中线段、、之间的数量关系为________． (2)根据上面的方法，解决问题：如图2，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； (3)如图3，在四边形中，，，点M、N分别在边、上，且，若，，请求直接写出的长度． 【答案】(1)(2)仍然成立，理由见解析(3) 【详解】（1）解：，∴，故答案为：； （2）结论仍然成立； 理由：延长到点，使，连结，如图， 在和中，，，， ，∴，∴，在和中，，∴，∴， ∵，∴； （3）解：∵四边形中，，， ∴四边形是正方形， 如图，旋转至位置，， ， 在和中，，， ，． 16.（2024·四川乐山·中考真题）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题： 【问题情境】如图1，在中，，，点D、E在边上，且，，，求的长． 解：如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接．       由旋转的特征得，，，． ∵，，∴． ∵，∴，即．∴． 在和中，，，，∴___①___．∴． 又∵，∴在中，___②___． ∵，，∴___③___． 【问题解决】上述问题情境中，“①”处应填：______；“②”处应填：______；“③”处应填：______． 刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变． 【知识迁移】如图3，在正方形中，点E、F分别在边上，满足的周长等于正方形的周长的一半，连结，分别与对角线交于M、N两点．探究的数量关系并证明．       【拓展应用】如图4，在矩形中，点E、F分别在边上，且．探究的数量关系：______（直接写出结论，不必证明）． 【答案】【问题解决】①；②；③5；【知识迁移】，见解析；【拓展应用】； 【详解】【问题解决】解：如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接．          由旋转的特征得，，，． ∵，，∴． ∵，∴，即．∴． 在和中，，，，∴①．∴． 又∵，∴在中，②． ∵，，∴③． 【知识迁移】． 证明：如图，将绕点逆时针旋转，得到．过点作交边于点，连接． 由旋转的特征得． 由题意得，∴． 在和中，，∴．∴． 又∵为正方形的对角线，∴． ∵，∴． 在和中，， ∴，∴． 在和中，，∴．∴． 在中，，∴． 【拓展应用】． 证明：如图所示，设直线交延长线于点，交延长线于点， 将绕着点顺时针旋转，得到，连接．则． 则，， ，， 在和中，，∴， 过点H作交于点O，过点H作交于点M，则四边形为矩形． ∴，，， 是等腰直角三角形，， ，，，， 在中，，，∴， 即，又∴， 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $