专题03 全等三角形模型之手拉手模型（几何模型讲义）数学苏科版2024八年级上册

专题03 全等三角形模型之手拉手模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（手拉手（旋转）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 5 模型1.全等模型--手拉手模型 5 15 “手拉手”全等模型是中国数学教育界基于中考命题实践凝练的原创教学模型，其发展历程体现了‌问题驱动‌（压轴题）→ ‌方法整合‌（旋转构造）→ ‌概念普及‌（拟人化命名）的典型路径，是中国特色几何模型教学的典范，模型定义为：‌两个顶角相等的等腰三角形共顶点，左底角互连、右底角互连的结构。‌后来该模型被纳入常规几何教学，衍生出等边三角形、正方形等特殊形态的应用变式，并总结出核心结论。 解题是通过三角形SAS型全等（核心在于倒角，即等角加（减）公共角）进行解决。 （2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接． (1)求证：，；(2)将绕点顺时针旋转到图2的位置． ①请直接写出与的位置关系：___________________；②求证：． 1）双等边三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 2）双等腰直角三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 3）双等腰三角形型 条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。 证明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD， 又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD， 又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°， 又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 4）双正方形形型 条件：四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，C为公共点；连接BG，ED交于点N。 结论：①△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。 证明： ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴BC=AC，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90° ∴∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG，即∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS）， ∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠CMB=∠DMN，∴∠BCM=∠DNM=90°， 过点C作CP⊥DE,CQ⊥BG,则∠CPD=∠CPB=90°，又∵∠CBG=∠CDE，BC=DC，∴△BCQ≌△DCP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 模型1.全等模型--手拉手模型 例1（24-25广东·八年级校考期末）如图，C为线段上一动点（不与点A、E重合），在同侧分别作正和正，与交于点O，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤． 恒成立的结论有______．（把你认为正确的序号都填上） 例2（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）如图，和均为等腰直角三角形，且，点A、D、E在同一条直线上，平分，连接．以下结论：①；②；③；④．正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例3（24-25·江苏·八年级专题练习）如图，在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α，连接BD和CE相交于点P，交AC于点M，交AD于点N．(1)求证：BD=CE．(2)求证：AP平分∠BPE．(3)若α=60°，试探寻线段PE、AP、PD之间的数量关系，并说明理由． 例4（24-25七年级下·山东威海·期末）【操作判断】将两个等腰直角三角形纸板（和）如图Ⅰ放置，直角顶点A重合，点D在边上，连接． （1）对于如下结论，正确的是 ；（填写序号） A．；B．；C．． 【变化探究】对“操作判断”作如下探究： （2）如图Ⅱ，若点D在边的延长线上，写出间的数量关系，并写明理由； （3）如图Ⅲ，若点D在边的延长线上，直接写结论： ①间的数量关系是 ；② °． 例5（24-25七年级下·广东揭阳·期末）在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作：    (1)如图1、两个等腰三角形和中，，，，连接、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和全等的三角形是________，此时和的数量关系是________； (2)如图2、两个等腰直角三角形和中，，，，连接，两线交于点P，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由；(3)如图3，已知，以为边分别向外作等边和等边（等边三角形三条边相等，三个角都等于），连接，两线交于点P，请直接写出线段和的数量关系及的度数． 例6（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）【问题情境】它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．这种模型称为“手拉手模型”．如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手． 【模型探究】（1）如图1，若和均为等边三角形，，，，，点A、D、E在同一条直线上，连接，则__________；线段__________；则的度数为__________； 【探究证明】（2）如图2，已知，分别以为直角边向两侧作等腰直角和等腰直角，其中，，，连接，线段和交于点O．请判断线段和的关系，并说明理由； 【模型应用】（3）如图3，在中，，，将线段绕着点C逆时针旋转至线段，连接，则的面积为____________________． 【拓展提高】（4）如图4，在中，，，点E为外一点，点D为中点，，，请直接写出的度数． 例7（24-25七年级下·山东济宁·期末）【问题提出】如图，都是等边三角形，求证：． 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】(1)等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接．①如图，若点在边上，求证：． ②如图，若点在边的延长线上，线段、、之间的数量关系，并加以说明． (2)如图，等腰中，，且交于点，以为边作等边，直线交直线于点，连接交于点，写出之间的数量为___________．（直接写出结论不用说明理由） 例8（24-25·广东·八年级期中）如图，两个正方形ABCD与DEFG，连结AG，CE，二者相交于点H．（1）证明：△ADG≌△CDE；（2）请说明AG和CE的位置和数量关系，并给予证明； （3）连结AE和CG，请问△ADE的面积和△CDG的面积有怎样的数量关系？并说明理由． 1．（24-25九年级下·辽宁盘锦·开学考试）如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点N．与相交于点E，若点E是的中点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ）个．    A．4 B．3 C．2 D．1 2．（24-25重庆·七年级重庆八中校考期中）如图：，，，，连接与交于，则：①；②；③；正确的有（  ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 3．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，分别以的边所在直线为对称轴作的对称图形和，，，线段与相交于点O，连接．有如下结论：①；②；③平分；④；⑤．其中正确的结论个数是（    ）； A．2 B．3 C．4 D．5 4．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在和中，，连接交于点，连接，以下结论：①；②；③平分，其中正确的个数为 ． 5．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在中，，，点在上，且，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，分别连接，，则的面积为 ． 6．（2023·四川遂宁·中考真题）如图，以的边、为腰分别向外作等腰直角、，连结、、，过点的直线分别交线段、于点、，以下说法：①当时，；②；③若，，，则；④当直线时，点为线段的中点．正确的有 ．(填序号)    7.（24-25七年级下·宁夏银川·阶段练习）如图，，，，．连接，点D恰好在上．(1)求证：；(2)求的度数． 8．（24-25·广东·七年级专题练习）已知：△ABC与△BDE都是等腰三角形．BA＝BC，BD＝BE（AB＞BD）且有∠ABC＝∠DBE．（1）如图1，如果A、B、D在一直线上，且∠ABC＝60°，求证：△BMN是等边三角形；（2）在第（1）问的情况下，直线AE和CD的夹角是 　 　°； （3）如图2，若A、B、D不在一直线上，但∠ABC＝60°的条件不变则直线AE和CD的夹角是 　 　°； （4）如图3，若∠ACB＝60°，直线AE和CD的夹角是 　 　°． 9．（24-25江苏·八年级期中）已知在中，，过点B引一条射线，D是上一点 【问题解决】(1)如图1，若，射线在内部，，求证：，小明同学展示的做法是：在上取一点E使得，通过已知的条件，从而求得的度数，请你帮助小明写出证明过程； 【类比探究】(2)如图2，已知．①当射线在内，求的度数 ②当射线在下方，如图3所示，请问的度数会变化吗?若不变，请说明理由，若改变，请求出的度数； 10．（2022·青海·中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形. (1)问题发现：如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：； (2)解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.     图1     图2 11．（24-25七年级下·山东济南·期末）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： (1)观察猜想：如图，在中，分别以，为边向外作等腰直角和等腰直角，，连接，，则与的数量关系为 ，位置关系为 ； (2)类比探究：如图 ，在中，分别以，为边作等腰直角和等腰直角，， 点，，在同一直线上，为中边上的高，猜想，，之间的数量关系并说明理由； (3)解决问题：运用（）（）中所积累的经验和知识，完成下题：如图，要测量池塘两岸相对的两点，的距离，已经测得，，，米，米，的长为 米． 12．（24-25·绵阳市八年级期中）△ACB和△DCE是共顶点C的两个大小不一样的等边三角形． (1)问题发现：如图1，若点A，D，E在同一直线上，连接AE，BE．①求证：△ACD≌△BCE；②求∠AEB的度数．(2)类比探究：如图2，点B、D、E在同一直线上，连接AE，AD，BE，CM为△DCE中DE边上的高，请求∠ADB的度数及线段DB，AD，DM之间的数量关系，并说明理由． (3)拓展延伸：如图3，若设AD（或其延长线）与BE的所夹锐角为α，则你认为α为多少度，并证明． 13．（24-25八年级下·云南文山·期末）已知和都是等边三角形． (1)如图1，点D在边上，连接、．求证：； (2)如图2，将绕点B顺时针旋转，当点E落在的平分线上（在的内部），连接，求此时的度数；(3)如图3，F是的中点，若等边三角形的边长为6，等边三角形的边长为4，绕点B旋转过程中是否存在某一时刻，使得线段的长度最小？若存在，求出的最小值：若不存在，请说明理由． 14．（2024·湖南郴州·八年级校考阶段练习）在ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE． （1）（请直接写出你的结论）如图1，当点D在线段BC上： ①如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝ °；②如果∠BAC＝100°，则∠BCE＝ °； （2）设∠BAC＝α，∠BCE＝β．①如图2，当点D在线段BC上移动，则α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上移动，则α、β之间有怎样的数量关系？请画出图形，直接写出你的结论． 15．（24-25河南鹤壁市八年级月考）（1）作图发现：如图1，已知，小涵同学以、为边向外作等边和等边，连接，．这时他发现与的数量关系是 ． （2）拓展探究：如图2，已知，小涵同学以、为边向外作正方形和正方形，连接，，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 16．（24-25八年级上·湖南株洲·阶段练习）【问题提出】如图1，、都是等边三角形，求证：． 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】(1)等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边：等边三角形，连接．①如图2，若点在边上，线段、、之间的关系为__________（直接写出结论）． ②如图3，若点在边的延长线上， 试证明线段、、之间的关系． (2)如图4，等腰中，，，，且交于点，以为边作等边，直线交直线于点，连接交于点，写出、、之间的数量关系，并加以说明．(3)如图5，在中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则是否有最小值，如有，求出它的最小值，没有，请说明理由． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 全等三角形模型之手拉手模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（手拉手（旋转）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 5 模型1.全等模型--手拉手模型 5 15 “手拉手”全等模型是中国数学教育界基于中考命题实践凝练的原创教学模型，其发展历程体现了‌问题驱动‌（压轴题）→ ‌方法整合‌（旋转构造）→ ‌概念普及‌（拟人化命名）的典型路径，是中国特色几何模型教学的典范，模型定义为：‌两个顶角相等的等腰三角形共顶点，左底角互连、右底角互连的结构。‌后来该模型被纳入常规几何教学，衍生出等边三角形、正方形等特殊形态的应用变式，并总结出核心结论。 解题是通过三角形SAS型全等（核心在于倒角，即等角加（减）公共角）进行解决。 （2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接． (1)求证：，；(2)将绕点顺时针旋转到图2的位置． ①请直接写出与的位置关系：___________________；②求证：． 【答案】(1)见解析(2)①；②见解析 【详解】（1）证明：在和中，，，， ，，．是斜边的中点， ，，，．， ，．； （2）解：①；理由如下：延长到点，使，连接，延长到，使，连接并延长交于点．，，， ，，，，， ，，． ，．在和中，，，， ，．是中点，是中点，是中位线， ．，，． ，．故答案为：； ②证明： ∵，，，． 1）双等边三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 2）双等腰直角三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 3）双等腰三角形型 条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。 证明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD， 又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD， 又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°， 又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 4）双正方形形型 条件：四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，C为公共点；连接BG，ED交于点N。 结论：①△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。 证明： ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴BC=AC，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90° ∴∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG，即∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS）， ∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠CMB=∠DMN，∴∠BCM=∠DNM=90°， 过点C作CP⊥DE,CQ⊥BG,则∠CPD=∠CPB=90°，又∵∠CBG=∠CDE，BC=DC，∴△BCQ≌△DCP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 模型1.全等模型--手拉手模型 例1（24-25广东·八年级校考期末）如图，C为线段上一动点（不与点A、E重合），在同侧分别作正和正，与交于点O，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤． 恒成立的结论有______．（把你认为正确的序号都填上） 【答案】①②③⑤ 【详解】解：①和为等边三角形， ，，，， 在和中，，，，，①正确； ②， 在和中，，．， ，，，②正确； ③同②得：，，③正确； ④，且，，故④错误； ⑤，， 是等边三角形，，，， ，⑤正确；故答案为：①②③⑤． 例2（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）如图，和均为等腰直角三角形，且，点A、D、E在同一条直线上，平分，连接．以下结论：①；②；③；④．正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】和均为等腰直角三角形， ，，，， ，，所以①正确， 为等腰直角三角形，平分，， 所以②正确， ，，， ，，，所以③正确， 点A、D、E在同一条直线上，和均为等腰直角三角形，， ，， ，，， ，，，，所以④正确，故选：D． 例3（24-25·江苏·八年级专题练习）如图，在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α，连接BD和CE相交于点P，交AC于点M，交AD于点N．(1)求证：BD=CE．(2)求证：AP平分∠BPE．(3)若α=60°，试探寻线段PE、AP、PD之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)PE=AP+PD，见解析 【详解】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE=α，∴∠BAD=∠CAE， 又∵AB=AC，AD=AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=CE； （2）证明：如图，过点A作AH⊥BD，AF⊥CE， ∵△BAD≌△CAE，∴S△BAD=S△CAE，BD=CE，∴BD×AH=CE×AF，∴AH=AF， 又∵AH⊥BD，AF⊥CE，∴AP平分∠BPE； （3）解：PE=AP+PD，理由如下：如图，在线段PE上截取OE=PD，连接AO， ∵△BAD≌△CAE，∴∠BDA=∠CEA，又∵OE=PD，AE=AD，∴△AOE≌△APD（SAS），∴AP=AO， ∵∠BDA=∠CEA，∠PND=∠ANE，∴∠NPD=∠DAE=α=60°， ∴∠BPE=180°-∠NPD=180°-60°=120°，又∵AP平分∠BPE，∴∠APO=60°， 又∵AP=AO，∴△APO是等边三角形，∴AP=PO，∵PE=PO+OE，∴PE=AP+PD． 例4（24-25七年级下·山东威海·期末）【操作判断】将两个等腰直角三角形纸板（和）如图Ⅰ放置，直角顶点A重合，点D在边上，连接． （1）对于如下结论，正确的是 ；（填写序号） A．；B．；C．． 【变化探究】对“操作判断”作如下探究： （2）如图Ⅱ，若点D在边的延长线上，写出间的数量关系，并写明理由； （3）如图Ⅲ，若点D在边的延长线上，直接写结论： ①间的数量关系是 ；② °． 【答案】（1）A、B、C；（2），理由见解析；（3）①，②135 【详解】（1）解：∵和是等腰直角三角形， ∴，，，∴， ∴，∴，， ∴，， ∴，故B、C正确； ∵，， ∴，∴，故A正确；故答案为：A、B、C； （2）解：∵和是等腰直角三角形，∴，，， ∴，∴，∴，∴； （3）解：①：∵和是等腰直角三角形，∴，，， ∴，∴，∴， ∴；故答案为：； ②∵，∴故答案为：． 例5（24-25七年级下·广东揭阳·期末）在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作：    (1)如图1、两个等腰三角形和中，，，，连接、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和全等的三角形是________，此时和的数量关系是________； (2)如图2、两个等腰直角三角形和中，，，，连接，两线交于点P，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由；(3)如图3，已知，以为边分别向外作等边和等边（等边三角形三条边相等，三个角都等于），连接，两线交于点P，请直接写出线段和的数量关系及的度数． 【答案】(1)，(2)且，理由见解析(3)， 【详解】（1）解：∵，∴．∴， 在和中，，∴，∴， ∴和全等的三角形是，此时和的数量关系是．故答案为：，； （2）且； 理由如下：∵，∴．∴， 在和中，，∴，∴，， ∵，∴，即， ∴，∴，综上所述：且． （3）和都为等边三角形，，，， ，即， 在和中，，；，， ∴， ∴． 例6（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）【问题情境】它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．这种模型称为“手拉手模型”．如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手． 【模型探究】（1）如图1，若和均为等边三角形，，，，，点A、D、E在同一条直线上，连接，则__________；线段__________；则的度数为__________； 【探究证明】（2）如图2，已知，分别以为直角边向两侧作等腰直角和等腰直角，其中，，，连接，线段和交于点O．请判断线段和的关系，并说明理由； 【模型应用】（3）如图3，在中，，，将线段绕着点C逆时针旋转至线段，连接，则的面积为____________________． 【拓展提高】（4）如图4，在中，，，点E为外一点，点D为中点，，，请直接写出的度数． 【答案】（1），，（2），，理由见解析（3）（4）． 【详解】（1）解：∵和均为等边三角形， ∴，∴， 在和中，，∴，∴，， 又，∴；故答案为：，，； （2）解：，；理由如下：∵和均为等腰直角三角形， ∴，∴， 在和中，，∴，∴，， 又，∴，∴，； （3）解：如图所示，作交于E点，连接， ∵，∴为等腰直角三角形，∴，，， 由旋转的性质可知，，，∴，∴， ∴，，∴， ∴的面积为，故答案为：； （4）解：设，作，使， ∵，，∴，∴，∴，， ∵，，∴， ∵，∴，， ∴，∴，∴， 连接并延长至点，使，连接，，， ∵，，∴，∴，， ∴，，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴是线段的垂直平分线，∴，∴， ∵，，∴，∴． 例7（24-25七年级下·山东济宁·期末）【问题提出】如图，都是等边三角形，求证：． 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】(1)等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接．①如图，若点在边上，求证：． ②如图，若点在边的延长线上，线段、、之间的数量关系，并加以说明． (2)如图，等腰中，，且交于点，以为边作等边，直线交直线于点，连接交于点，写出之间的数量为___________．（直接写出结论不用说明理由） 【答案】(1)①证明见解析；②，理由见解析(2) 【详解】（1）①证明：过点作，交于点， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，即， 在和中，，∴，∴， ∵，∴； ②，理由如下：如图，过点作，交于点， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，即， 在和中，，∴，∴， ∵，∴； （2）解：∵，是等边三角形， ∴，，， ∴，， 在中，，∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴，∴，∴， 如图，在上截取， ∵，，∴是等边三角形，∴，， ∴，即， 在和中， ，∴，∴， ∵，∴，故答案为：． 例8（24-25·广东·八年级期中）如图，两个正方形ABCD与DEFG，连结AG，CE，二者相交于点H．（1）证明：△ADG≌△CDE；（2）请说明AG和CE的位置和数量关系，并给予证明； （3）连结AE和CG，请问△ADE的面积和△CDG的面积有怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】(1)答案见解析；(2) AG=CE，AG⊥CE；(3) △ADE的面积=△CDG的面积 【详解】（1）∵四边形ABCD与DEFG都是正方形， ∴AD=CD，DG=DE，∠ADC=∠EDG=90°，∴∠ADC+∠CDG=∠EDG+∠CDG， ∴∠ADG=∠CDE，∴△ADG≌△CDE（SAS）， （2）AG=CE，AG⊥CE，∵△ADG≌△CDE，∴AG=CE，∠DAG=∠DCE， ∵∠DAG+∠AMD=90°，∠AMD=∠CMG，∴∠DCE+∠CMG=90°，∴∠CHA=90°，∴AG⊥CE； （3）△ADE的面积=△CDG的面积，作GP⊥CD于P，EN⊥AD交AD的延长线于N，则∠DPG=∠DNE=90°， ∵∠GDE=90°，∴∠EDN+∠GDN=90°，∵∠PDG+∠GDN=90°，∴∠EDN=∠PDG， ∵DE=DG，∴△DPG≌△DNE，∴PG=EN，∵△ADE的面积=，△CDG的面积=， ∴△ADE的面积=△CDG的面积. 1．（24-25九年级下·辽宁盘锦·开学考试）如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点N．与相交于点E，若点E是的中点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ）个．    A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【详解】解：∵，∴，∵，∴， ∵，，∴是等腰直角三角形，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，故①②③正确， 过点作于点，则， ∵，，∴，∵点E是的中点，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，故④正确，故选：A． 2．（24-25重庆·七年级重庆八中校考期中）如图：，，，，连接与交于，则：①；②；③；正确的有（  ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】解：，，，， ，即，所以①正确； 在和中，，，所以②正确；， ∵∠AFD=∠MFB，，，所以③正确．故选：． 3．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，分别以的边所在直线为对称轴作的对称图形和，，，线段与相交于点O，连接．有如下结论：①；②；③平分；④；⑤．其中正确的结论个数是（    ）； A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】解：∵和是的对称图形，∴，，∴，①正确，故符合要求； ∴，由轴对称的性质可知，， ∵，∴，即， ∴，②正确，故符合要求；∵，∴，， ∴边上的高与边上的高相等，即到两边的距离相等， ∴平分，③正确，故符合要求；∵，，，∴， ∵，∴，∴；故④符合要求； ∵，，，，∴， ∴不全等，即，⑤错误，故不符合要求；故选：C． 4．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在和中，，连接交于点，连接，以下结论：①；②；③平分，其中正确的个数为 ． 【答案】2 【详解】解：∵，，即， 在和中，，∴（）， ∴，，故①正确；，∴， 由三角形的外角性质得：，∴，故②正确； 如图，作于G，于H，则， ∵，∴，∴∴，∴平分， ∵，∴当时，平分，假设， ∵，∴，，又，∴， ∵平分，∴， 在和中，，∴（），∴， ∵，∴，与矛盾，故③错误； 综上所述，正确的有①②，共2个，故答案为：2． 5．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在中，，，点在上，且，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，分别连接，，则的面积为 ． 【答案】 【详解】解：，，， ，，，， 将线段绕点顺时针旋转得到线段，，， ，即， 在和中，， ，，，，故答案：． 6．（2023·四川遂宁·中考真题）如图，以的边、为腰分别向外作等腰直角、，连结、、，过点的直线分别交线段、于点、，以下说法：①当时，；②；③若，，，则；④当直线时，点为线段的中点．正确的有 ．(填序号)    【答案】①②④ 【详解】解：①当时，是等边三角形，∴∴ ∵等腰直角、，∴∴ ∴；故①正确； ②∵等腰直角、，∴， ∴∴∴；故②正确； ④如图所示，作直线于点， 过点作于点，过点作于点，    ∵，∴，又，∴ 又∵，∴同理得，， ∴，，， ∵，，，∴， ∴，即是的中点，故④正确，∴， 设，则在中， 在中，∴ ∴解得：∴，∴， ∴∴ 在中，∴,故③错误 故答案为：①②④． 7.（24-25七年级下·宁夏银川·阶段练习）如图，，，，．连接，点D恰好在上．(1)求证：；(2)求的度数． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：， ， 在和中，，； （2）解：∵，，， ，． 8．（24-25·广东·七年级专题练习）已知：△ABC与△BDE都是等腰三角形．BA＝BC，BD＝BE（AB＞BD）且有∠ABC＝∠DBE． （1）如图1，如果A、B、D在一直线上，且∠ABC＝60°，求证：△BMN是等边三角形； （2）在第（1）问的情况下，直线AE和CD的夹角是 　 　°； （3）如图2，若A、B、D不在一直线上，但∠ABC＝60°的条件不变则直线AE和CD的夹角是 　 　°； （4）如图3，若∠ACB＝60°，直线AE和CD的夹角是 　 　°． 【答案】（1）证明见解析；（2）60；（3）60；（4）60； 【详解】（1）∵∠ABC＝∠DBE＝60° ∴， ， ∴ ∵BA＝BC，BD＝BE 和中 ∴∴ 和中∴∴∴为等边三角形； （2）∵∠ABC＝∠DBE＝60°, BA＝BC∴为等边三角形；∴ 根据题意，AE和CD相交于点O ∵ ∴ ∵∴ ∴，即直线AE和CD的夹角是故答案为：； （3）∵∠ABC＝∠DBE＝60°, BA＝BC∴为等边三角形；∴ ∵，，∠ABC＝∠DBE＝60°∴ ∵BA＝BC，BD＝BE 和中 ∴∴ 如图，延长，交CD于点O ∴ ∵∴ ∴，即直线AE和CD的夹角是故答案为：； （4）∵BA＝BC，∴ ∵∠ACB＝60°∴∴为等边三角形 ∵BD＝BE，∠ABC＝∠DBE∴ ∵， ∴ 和中 ∴∴ 分别延长CD、AE，相较于点O，如下图： ∴ ∵∴ ∴，即直线AE和CD的夹角是故答案为：． 9．（24-25江苏·八年级期中）已知在中，，过点B引一条射线，D是上一点 【问题解决】(1)如图1，若，射线在内部，，求证：，小明同学展示的做法是：在上取一点E使得，通过已知的条件，从而求得的度数，请你帮助小明写出证明过程； 【类比探究】(2)如图2，已知．①当射线在内，求的度数 ②当射线在下方，如图3所示，请问的度数会变化吗?若不变，请说明理由，若改变，请求出的度数； 【答案】(1)见解析(2)①②；的度数会变化，理由见解析 【详解】（1）证明：如图1，在上取一点E，使， ∵，∴是等边三角形，∴， ∵，，∴是等边三角形，∴，∴， ∴，即， ∵在和中，∴， ∴，∴； （2）证明：①在上取一点E，，如图所示： ∵，，∴，， ∴，∴， ∵在和中，∴， ∴，∴； ②的度数会变化，理由如下：在延长线上取一点E，使得，如图所示： 同理①的方法可证：，∴，∴． 10．（2022·青海·中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形. (1)问题发现：如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：； (2)解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.     图1     图2 【答案】(1)见解析(2)； 【详解】（1）证明：∵和是顶角相等的等腰三角形， ∴，，，∴，∴． 在和中，，∴，∴． （2）解：，，理由如下：由（1）的方法得，， ∴，，∵是等腰直角三角形，∴， ∴，∴，∴． ∵，，∴． ∵，∴，∴．∴． 11．（24-25七年级下·山东济南·期末）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： (1)观察猜想：如图，在中，分别以，为边向外作等腰直角和等腰直角，，连接，，则与的数量关系为 ，位置关系为 ； (2)类比探究：如图 ，在中，分别以，为边作等腰直角和等腰直角，， 点，，在同一直线上，为中边上的高，猜想，，之间的数量关系并说明理由； (3)解决问题：运用（）（）中所积累的经验和知识，完成下题：如图，要测量池塘两岸相对的两点，的距离，已经测得，，，米，米，的长为 米． 【答案】(1)；；(2)，理由见解析；(3)米． 【详解】（1）解：∵和都是等腰直角三角形,∴，， ∵，∴，即， 在和中，，∴，∴，， 设与交于点，与交于点， ∵，∴，∴；故答案为：，； （2），理由如下： ∵和均为等腰直角三角形，∴，， ∵∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，，∴，∵为等腰直角三角形，， ∴，∴，∴，∴； （3）如图，作，使，连接，则为等腰直角三角形， 同（）同理可证：，∴， ∵是等腰直角三角形，∴， ∵，∴，∵，∴， 在中，，∴（米），∴米，故答案为：． 12．（24-25·绵阳市八年级期中）△ACB和△DCE是共顶点C的两个大小不一样的等边三角形． (1)问题发现：如图1，若点A，D，E在同一直线上，连接AE，BE．①求证：△ACD≌△BCE；②求∠AEB的度数．(2)类比探究：如图2，点B、D、E在同一直线上，连接AE，AD，BE，CM为△DCE中DE边上的高，请求∠ADB的度数及线段DB，AD，DM之间的数量关系，并说明理由． (3)拓展延伸：如图3，若设AD（或其延长线）与BE的所夹锐角为α，则你认为α为多少度，并证明． 【答案】(1)①见解析；②∠AEB=60°；(2)∠ADB=60°，2DM+BD=AD，理由见解析；(3)α=60°，证明见解析 【详解】（1）①证明：∵△ACB和△DCE是等边三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠ACD=60°-∠DCB=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS）； ②∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC=180°-∠CDE=120°，又∵∠CED=60°，∴∠AEB=60°； （2）解：∠ADB=60°，2DM +BD=AD，理由如下； ∵AC=BC，CD=CE，∠ACD=60°+∠DCB=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CDA=∠CED=60°； ∵∠ADB+∠CDA=∠DCE+∠CED，∴∠ADB=60°； 又∵CM⊥BE，且△CDE为等边三角形，∴DE=2DM，∴2DM +BD=BE=AD； （3）解：α=60°，理由如下：同理可证△ACD≌△BCE，∴∠BEC=∠ADC，∴∠CDF+∠CEF=180°， ∴∠ECD+∠DFE=180°，而α+∠DFE=180°，∴α=∠ECD=60°． 13．（24-25八年级下·云南文山·期末）已知和都是等边三角形． (1)如图1，点D在边上，连接、．求证：； (2)如图2，将绕点B顺时针旋转，当点E落在的平分线上（在的内部），连接，求此时的度数；(3)如图3，F是的中点，若等边三角形的边长为6，等边三角形的边长为4，绕点B旋转过程中是否存在某一时刻，使得线段的长度最小？若存在，求出的最小值：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【详解】（1）证明：等边三角形，，． 是等边三角形，， 在和中， （2）解：∵等边三角形，，． ∵是等边三角形，， 即 在和中，∵．． ∵，且是的平分线， （3）解：存在．连接，当点D落在线段上时，线段的长度最小．如图， ∵F是的中点，且是边长为6的等边三角形，，，． 在中，根据勾股定理得 ∵是边长为4的等边三角形，的最小值为 14．（2024·湖南郴州·八年级校考阶段练习）在ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE． （1）（请直接写出你的结论）如图1，当点D在线段BC上： ①如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝ °；②如果∠BAC＝100°，则∠BCE＝ °； （2）设∠BAC＝α，∠BCE＝β．①如图2，当点D在线段BC上移动，则α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上移动，则α、β之间有怎样的数量关系？请画出图形，直接写出你的结论． 【答案】（1）①90；②80；（2）①α+β＝180°，理由见解析；②图见解析，α+β＝180°或α＝β 【详解】解：（1）①∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∵∠DAE＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS） ∴∠ABC＝∠ACE＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，故答案为：90； ②∵∠BAC＝100°，AB＝AC，∴∠ABD＝∠ACB＝40°， ∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，∵∠BAD＝∠CAE， ∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE＝40°， ∴∠BCE＝∠ACE+∠ACB＝40°+40°＝80°，故答案为：80． （2）①α+β＝180°，理由：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC．即∠BAD＝∠CAE． 在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠B＝∠ACE．∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB．∵∠ACE+∠ACB＝β，∴∠B+∠ACB＝β， ∵α+∠B+∠ACB＝180°，∴α+β＝180°． ②如图1：当点D在射线BC上时，α+β＝180°，连接CE， ∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE， 在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB＝180°，∴∠BAC+∠ACE+∠ACB＝∠BAC+∠BCE＝180°， 即：∠BCE+∠BAC＝180°，∴α+β＝180°， 如图2：当点D在射线BC的反向延长线上时，α＝β．连接BE， ∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE， 又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE， ∴∠ABD＝∠ACE＝∠ACB+∠BCE，∴∠ABD+∠ABC＝∠ACE+∠ABC＝∠ACB+∠BCE+∠ABC＝180°， ∵∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB，∴∠BAC＝∠BCE．∴α＝β； 综上所述：点D在直线BC上移动，α+β＝180°或α＝β． 15．（24-25河南鹤壁市八年级月考）（1）作图发现：如图1，已知，小涵同学以、为边向外作等边和等边，连接，．这时他发现与的数量关系是 ． （2）拓展探究：如图2，已知，小涵同学以、为边向外作正方形和正方形，连接，，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）BE=CD；（2）BE=CD，理由见解析； 【详解】（1）如图1所示： 和都是等边三角形，， ，即， 在和中，，． （2），四边形和均为正方形， ，，，， 在和中，，， 16．（24-25八年级上·湖南株洲·阶段练习）【问题提出】如图1，、都是等边三角形，求证：． 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】(1)等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边：等边三角形，连接．①如图2，若点在边上，线段、、之间的关系为__________（直接写出结论）． ②如图3，若点在边的延长线上， 试证明线段、、之间的关系． (2)如图4，等腰中，，，，且交于点，以为边作等边，直线交直线于点，连接交于点，写出、、之间的数量关系，并加以说明．(3)如图5，在中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则是否有最小值，如有，求出它的最小值，没有，请说明理由． 【答案】(1)①；②；(2)(3)有最小值，最小值为2 【详解】（1）①结论：. 证明：过点E作，交与点G， ∵是等边三角形，，∴， ∴是等边三角形，∴，∵是等边三角形，∴， ∴，即， 在和中，，∴，∴， ∵，∴，故答案为：； ②结论： 证明：过点E作，交与点G， ∵是等边三角形，，∴， ∴是等边三角形，∴， ∵是等边三角形，∴， ∴，即， 在和中，，∴，∴， ∵，∴； （2）解：，理由如下：∵，是等边三角形， ∴，，，∴， 在中，，∴， ∵，∴垂直平分，∴， ∴，∴，在上截取， ∵，，∴是等边三角形，∴， ∴，即， 在和中，，∴，∴， ∵，∴． （3）解：有最小值，最小值为2 以为边，在下方构造等边三角形，连接， ∵，点D为中点，∴，∵是等边三角形， ∴， ∴，即，在和中，， ∴，∴，∵，∴， ∵点Q在直线上，∴当时，取最小值，此时，． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$