1.4.2充要条件课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.4.2充要条件 【学习目标 1.理解充分、必要条件与充要条件的概念； 2.掌握判断充要条件的方法步骤； 3.重点：充要条件的概念； 难点：充分不必要、必要不充分条件： 既不充分也不必要条件的判断. 复习回顾 1、充分条件与必要条件及其判断 如果p→g,则p是g的充分条件 同时，q是p的必要条件 如果p本， 则p是q的不充分条件 同时，q是p的不必要条件 2、从集合与集合的关系看充分条件、必要条件 条件p:x∈A,q:x∈B,若A∈B,则 p是q的充分条件， 同时，q是p的必要条件。 B 【新课引入 已知△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C, p:A=B,4:=b, 显然，p→g,且p←q,即p台9， 则称D是的充分且必要条件，简称充要条件： 同时g是p的充分且必要条件。 三角形性质：等角对等边， 等边对等角。 A B 【概念形成 2、充分必要条件（简称充要条件） 若p→q,且p∈q,即p台q,则 p是q的充要条件 同时，g是p的充要条件. 3、从集合与集合的关系看充要条件 条件p:x∈A,q:x∈B,若A=B,则 p是q的充要条作 同时，q是p的充要条件。 (B 【例题】充要条件的判断 例3.下列各题中，哪娜些D是g的充要条件？ ()p:四边形是正方形， D→q,qp q:四边形对角线互相垂直平分； (2)p:两个三角形相似， q:两三角形三边成比例； (3)pxy>0,q:x>0,J>0; p书q, q→D (4)p:x=1是一元二次方程x2+bx+c=0的根， q:+b+c=0,a≠0. 分析：先判断能否p→q,再判断q→p, 若p分q,则互为充要条件。 【例题】充要条件的判断 例3.下列各题中，娜些p是的充要条件？ ()p:四边形是正方形， q:四边形对角线互相垂直平分； P→q,qP (2)p:两个三角形相似， p台q q:两三角形三边成比例； (3)p9y>0,q:x>0,Jy>0; D护q,q→D (4)px=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的根， q:+b+c=0,a≠0. p台q 解：（1) (3)不满足p是的充要条件， (2)(4)满足p是q的充要条件。 【变式训练】 下列“若p,则q”的命题中， 娜些p是q的充要条件？ (1)若两三角形的两角和一角的对边分别相等， 则两三角形全等； AAS,ASA ·(2)若AUB=O,则A=B=O⑦； (3)若两个三角形全等，则两三角形周长相等； (4)若一元二次方程x2+bx+c=0有两不等实根， 则ac<0. x2.3x+2=0 解：(1)（2)p是q的充要条件； (3)p→q,qp,p是q的充分不必要条件； (4)psq,q→p,p是q的必要不充要条件。 例4已知：⊙O的半径为，圆心O到直线的距离为d. 求证：d=r是直线与⊙O相切的充要条件」 分析：设p:d=r,q:直线l与⊙O相切.要证p是q的充要条件， 只需分别证明：充分性p→q和必要性4→p即可. 证明：如图，作OP于点P,则OP=d. (1)充分性(p→q): 若d=r,则点P在⊙O上。在直线上任取 一点Q(异于点P),连接OQ。 在Rt△OPQ中，OQ>OP=”. 所以，除点P外直线l的点都在⊙O的外部，即直线l与⊙O 仅有一个公共点P,所以直线与圆相切。 (2)必要性(q→p): 若直线l与⊙O相切，设切点为P,则OPL,所以d=OP=r 【变式练1】已知：⊙O的半径为r,圆心O到直线的距离为d. 求证：d>r是直线与⊙O相离的充要条件 分析：设：p:d>r,q:直线1与⊙O相离.要证p是q的充要条件， 只需分别证明：充分性p→q和必要性4→p即可. 证明：如图，作OP于点P,则OP=d. (1)充分性(p→q): 若d>r,则点P在⊙O外。在直线上任取 一点Q(异于点P),连接OQ。 在Rt△OPQ中，OQ>OP>. 所以，直线的点都在⊙O的外部，即直线与⊙O无公共点， 所以直线与圆相离。 (2)必要性(q→p): 若直线与⊙O相离，则P在圆外，所以d=OP>