第三章 整式及其加减（优质类型） 考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年七年级数学上册（北师大版2024）

第三章 整式及其加减思维导图 【类型覆盖】 类型一、绝对值在数轴中的化简 【解惑】有理数在数轴上所对应的点的位置如图，则化简代数式的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的加减，数轴，绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果． 【详解】解：． 故选：D． 【融会贯通】 1．已知a，b，c三个数在数轴上对应的点如图所示，则化简式子结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查数轴、绝对值的化简求值及整式的加减运算，判断出绝对值里代数式的正负情况是解题的关键． 【详解】解：由数轴得，，， ，，， ， 故选：C． 2．有理数和在数轴上所对应的点如图所示，化简的结果为 【答案】 【分析】此题考查了利用数轴判断式子的符号，化简绝对值，整式加减等知识，数形结合是解题的关键．根据题意得到，则，，据此化简绝对值，再合并同类项即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 3．若有理数a、b、c数轴上的位置如图所示，化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，化简绝对值，整式的加减计算，根据数轴可推出，据此去绝对值，并利用整式的加减计算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可知，且， ∴， ∴ ， 故答案为：． 类型二、阴影部分的周长与面积 【解惑】如图，一块长为a，宽为b的长方形草坪上，修两条等宽（宽度都为m）的长方形小路，则阴影部分图形的周长与面积分别是（    ） A．； B．； C．； D．； 【答案】B 【分析】本题考查了几何图形的周长、面积问题、列代数式表示式等知识，根据图形结合长方形的周长与面积的公式列出代数式即可得出答案，正确列出代数式并进行简单计算是解题的关键． 【详解】解：阴影部分图形为两个宽都为长方形，一个长方形的长为，另一个长方形的长为，两个长方形重合部分为一个边长为的正方形， 则周长为， 面积为， 故选：． 【融会贯通】 1．如图所示，长方形中放置两个正方形，分别是正方形与和正方形，边长分别为5和2，若如图阴影部分的面积之和记为，长方形的面积记为，已知，则长方形的周长为（    ） A．27 B．26 C．25 D．24 【答案】B 【分析】设，，可得，，，，从而可得，，再由，求得，即可求解． 【详解】解：由题意可得，四边形、四边形、四边形是长方形， 设，， 则，，，， ∴， ， ∵， ∴， 整理得，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查整式的混合运算、长方形的面积和周长的计算，求出是解题的关键． 2．如下图： （1）阴影部分的周长是： ； （2）阴影部分的面积是： ； （3）当，时，阴影部分的周长是 ，面积是 ． 【答案】 46 77 【分析】(1)将各边的长度相加求和即可；(2)用大矩形的面积减去小矩形(空白区域)即可；(3)分别将具体数值代入上述两个代数式求值即可. 【详解】(1) 阴影部分的周长是：0.5x+2y+2x+2y+x+y+(2x-0.5x-x)+y=； (2) 阴影部分的面积是：2x×2y-y×(2x-0.5x-x)=； (3) 当，时，则：    阴影部分的周长是：；    阴影部分的面积是：； 【点睛】本题考查了代数式和代数式求值的知识. 3．将四张正方形纸片①，②，③，④，按如图方式放入长方形内（相邻纸片之间互不重叠也无缝隙），未被四张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，要求出图中两块阴影部分的周长之差，只需知道其中一个正方形的边长即可，则这个正方形编号是 ． 【答案】① 【分析】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键．设①、②、③、④四个正方形的边长分别为a、b、c、d，用a、b、c、d表示出右上角、左下角阴影部分的周长，利用整式的加减混合运算法则计算，得到结果． 【详解】解：设①，②，③，④四个正方形的边长分别为a，b，c，d， 由题意得，左上角的阴影部分周长为， 右下角的阴影部分周长为， 两块阴影周长之差为， 只需知道正方形①的边长即可． 故答案为：①． 类型三、代数式的新定义运算 【解惑】定义新运算：，．若，则称有理数，为“隔一数对”．例如：，，即，所以2，3就是一对“隔一数对”．已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，计算（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，根据两个连续的非零整数都是“隔一数对”可得（为正整数），把所求式子的每一项按照此方法裂项求解即可． 【详解】解：∵两个连续的非零整数都是“隔一数对”， ∴ ， 故选：D． 【融会贯通】 1．定义新运算“@”与“”：，．则的值是（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，根据，．可以求得所求式子的值． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故选：C． 2．定义一种新运算：对于任意有理数、，都有，例如：． 化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查整式的加减运算，解题的关键是理解题意根据新的定义计算，掌握相应的运算法则和运算顺序． 【详解】解： ． 故答案为：． 3．定义一种新运算：．如：．若的值与的取值无关，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的新定义运算，整式加减无关型问题，代数式求值，理解新定义运算是解题的关键．先化简，然后根据的值与x的取值无关，可以得到k的值，然后即可求得所求式子的值． 【详解】解：由题意可得， ； 的值与x的取值无关， ， 解得：． ． 故答案为：． 类型四、操作问题 【解惑】三个不完全相同的非负整数a，b，c，记为，进行如下操作：将其中最大的数减去7再取绝对值，另两个数分别加上1，得到对应的三个新数，，，第一次操作的结果记为，若有两个相等的最大数，则取最后面的最大数减7再取绝对值，另两个数分别加1；将按上述方式再做一次操作，得到第二次操作的结果，以此类推，当三个数相等时，停止操作．例如，当时，，，即第二次操作后停止．下列说法： ①当时，经过3次操作后停止； ②当为奇数，且经过三次操作后停止，则一定为偶数； ③若，则． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了数字的规律探索，绝对值的意义，根据操作规则，分别对三个说法中数的变化、和的奇偶性及操作次数进行分析判断为解题关键，①通过题目中给出的规律进行求解判断即可；②第一次操作过程是一个数减7再取绝对值，另两个数加1，那么每次操作后的奇偶性都会改变，而得到，为偶数；③通过多次操作的规律发现每三次的最大数是一样的，每三次就减少5，当数值较大时，每次操作的总和减少5，当三个数中最大数大于等于7时，成立，这样的循环循环到第1212次操作，再根据实际求出第1217次操作的结果，从而作出判断． 【详解】解：分析①：已知． 第一次操作：因为有两个最大数7，取后面的7进行操作，根据规则，最大数，另两个数，，所以． 第二次操作：最大数是8，，另两个数，，所以． 第三次操作：最大数是5，，另两个数，，所以，经过3次操作后停止，故①正确． 分析②：设为第n次操作后三数之和， 则，，， 第一次操作过程是一个数减7再取绝对值，另两个数加1，那么每次操作后的奇偶性都会改变， 为奇数， 则为偶数， 为偶数， 经过三次操作后停止， ，则为偶数， 一定为偶数，故②正确． 分析③：当时，最大数为2027，总和为6078， 第一次操作，操作后得到，最大数为2027，总和为6073 第二次操作，操作后得到，最大数为2027，总和为6068 第三次操作，操作后得到，最大数为2022，总和为6063 第四次操作，操作后得到，最大数为2022，总和为6058 第五次操作，操作后得到，最大数为2022，总和为6048 第六次操作，操作后得到，最大数为2017，总和为6043 第七次操作，操作后得到，最大数为2017，总和为6038 ， 第次操作，操作后得到，最大数为，总和为， 通过多次操作发现，每三次的最大数是一样的，每三次就减少5，当数值较大时，每次操作的总和减少5，当三个数中最大数大于等于7时，成立， ，解得， 当时，即第1212次操作后，，最大数为7，总和为18， 第1213次操作后，，最大数为7，总和为13， 第1214次操作后，，最大数为7，总和为8， 第1215次操作后，，最大数为2，总和为3， 第1216次操作后，，最大数为5，总和为8， 第1217次操作后，，最大数为3，总和为8， ，故③错误， 综上，正确的个数为2， 故选：C． 【融会贯通】 1．有两个整数，，把整数对进行操作后可得到，，中的某一个整数对，将得到的新整数对继续按照上述规则操作下去，每得到一个新的整数对称为一次操作．将整数对按照上述规则进行操作，则以下结论正确的个数是（   ） ①二次操作后，可能得到整数对； ②三次操作后，可能得到整数对； ③不管经过多少次操作，得到的整数对都不会是． A．0个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了新定义．根据把整数对进行操作后可得到，，中的某一个整数对，对分别进行操作，对各结论逐一判断即可得到答案． 【详解】解：把整数对按照操作，得出，按照操作，得出，故①正确； 把整数对按照操作，得出，再按照操作，得出，再按照操作，得出，故②正确； ③把整数对按照，，操作，得到的数对中的数都是偶数，所以不管经过多少次操作，得到的整数对都不会是．故③正确． 故选：B． 2．把有理数a代入得到，称为第一次操作；再将作为a的值代入得到，称为第二次操作，...，若，经过第2030次操作后得到的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字的变化规律，找到变化规律是解题的关键．先根据题干中的式子求出前7个数，得到规律，再代入求解． 【详解】解： .....， 余1 ∴ 故答案为：. 3．有依次排列的2个整式：，． 将第1个整式乘以2再与第2个整式相加，得到第3个整式，称为第一次操作； 将第2个整式乘以2再与第3个整式相加，得到第4个整式，称为第二次操作； 将第3个整式乘以2再与第4个整式相加，得到第5个整式，称为第三次操作，……， 以此类推，下列说法： ①第六次操作得到的整式为； ②第20个整式中含项的系数的2倍与第21个整式中含项的系数之差为1； ③第2025个整式和第2026个整式中含项的系数之和等于． 其中正确的有 ． 【答案】①③ 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，与多项式有关的规律探索，根据题意分别求出前8个整式的结果，可得规律当n为奇数时，第n个整式中含x项的系数的2倍比第个整式中含x项的系数大1，当n为偶数时，第n个整式中含x项的系数的2倍比第个整式中含x项的系数小1，且第n个整式中含x项的系数与第个整式中含x项的系数之和为，据此判断求解即可． 【详解】解：第1个整式为， 第2个整式为， 第3个整式为， 第4个整式为， 第5个整式为， 第6个整式为， 第7个整式为， 第8个整式为，故①正确； ……， 以此类推可知，当n为奇数时，第n个整式中含x项的系数的2倍比第个整式中含x项的系数大1，当n为偶数时，第n个整式中含x项的系数的2倍比第个整式中含x项的系数小1，且第n个整式中含x项的系数与第个整数中含x项的系数之和为， ∴第20个整式中含项的系数的2倍与第21个整式中含项的系数之差为，第2025个整式和第2026个整式中含项的系数之和等于，故②错误，③正确； 故答案为：①③． 类型五、数的规律 【解惑】观察下面三行数： ，4，，16，，64，…；① 0，6，，18，，66，…；② ，2，，8，，32，…；③ 设x、y、z分别为第①②③行的第99个数，则的值为（   ） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查数字的变化类，根据题目中的数据，可以发现第一行数字的变化特点，从而可以写出第n个数的式子，同理可以发现第二行的数字就是第一行对应的数字加上2，第三行数字的特点就是第一行对应的数字除以2，然后即可得到每行的第99个数字，再求和即可解答本题． 【详解】解：由题目中的数据可得， 第一行数据的第n个数是， 第二行数据的第n个数是， 第三行数据的第n个数是， 故第一行的第99个数是，第二行数据的第99个数是，第三行数据的第99个数是， ， 故选：A． 【融会贯通】 1．已知一列数，…中，……则 的个位数字是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了数列中的数字规律，根据已知，先进行适当的计算，从中寻找规律是解题的关键． 先计算数列前几项的个位数字，找出循环规律，再根据规律确定第2024项和第2023项的个位数字，再求和即可． 【详解】解：∵， ∴， ； ； ； ； ； ； ∴可以得出结论，从开始，个位数字以每4个循环， ∵，， ∴的个位数字为，的各位数字为， ∴的个位数字是， 故选：D． 2．已知，按此规律， ． 【答案】7500 【分析】本题主要考查数字规律，解题的关键是得到数字的一般规律即可；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵，，，，……； ∴， ∴ ； 故答案为7500． 3．观察下列三列数： 、、、、、、…① 、、、、、、…② 、、、、、、…③ (1)第①行第10个数是 ，第②行第15个数是 ； (2)在②行中，是否存在三个连续数，其和为1001？若存在，求这三个数；若不存在，说明理由； (3)若在每行取第k个数，这三个数的和正好为399，则 ． 【答案】(1)； (2)不存在；理由见解析 (3)201 【分析】本题主要考查了数字规律，一元一次方程的应用． （1）根据规律进行计算便可； （2）设三个连续整数为，，，根据题意分n为奇数和偶数分别列出方程，根据方程的解的情况进行判断； （3）分k为奇数和偶数，分别列出方程进行解答． 【详解】（1）解：根据规律可得，第①行第10个数是； 第②行第15个数是； 故答案为：；； （2）解：不存在．理由如下： 由（1）可知，第②行数的第n个数是， 设三个连续整数为，，， 当n为奇数时，则， 化简得，， 解得，（舍）， 当n为偶数时，则， 化简得，， 解得，（不合题意，舍去）， 综上，不存在三个连续数，其和为1001； （3）解：当k为奇数时，根据题意得， ， 解得，， 当k为偶数时，根据题意得， ， 解得，（舍去）， 综上，． 类型六、图形的规律 【解惑】如图，用规格相同的小棒摆成一组图案，第1个图案需要3根小棒，第2个图案需要5根小棒，第3个图案需要7根小棒，…，按此规律，则第2025个图案中需要小棒的根数是（   ） A．4048 B．4049 C．4050 D．4051 【答案】D 【分析】本题考查了图形的变化规律．观察图案，可知下一个图比前一个图多2根小棒，据此即可解答． 【详解】解：由图可得： 第1个图案需要小棒3根，即， 第2个图案需要小棒5根，即， 第3个图案需要小棒7根，即， 第4个图案需要小棒9根，即， … ∴第2025个图案需要小棒的根数是：． 故选：D. 【融会贯通】 1．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形态来研究数，比如：他们研究过图①中的1，3，6，10，……由于这些数能够表示成三角形，故将其称为“三角形数”，类似地，称图②中的1，4，9，16，……这样的数称为“正方形数”．下列数中，既是“三角形数”又是“正方形数”的是（   ） A．15 B．25 C．36 D．49 【答案】C 【分析】本题考查了图形及数字变化规律，由题意得到三角形数的第个图中点的个数为，正方形数的第个图中点的个数为，再把下列数代入即可判断，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由图①可知，三角形数的第个图中点的个数为：， 由图②可知，正方形数的第个图中点的个数为：， A、由无整数解， ∴不是正方形数，故选项不符合题意； B、由无整数解， ∴不是三角形数，故选项不符合题意； C、由， ∴， ∴是三角形数， 又∵， ∴是正方形数，故选项符合题意； D、由无整数解， ∴不是三角形数，故选项不符合题意； 故选：C． 2．用黑白两种颜色的正六边形地砖按如图所示的方式排成若干个图案，第8个图案中有白色地砖 块；如果白色地砖有90块，这时黑色地砖有 块． 【答案】 34 22 【分析】本题考查图形规律的探索，熟练掌握图形规律的探索方法是解题的关键．依次列出第个图案中白色地砖有（块），第个图案中白色地砖有（块），第个图案中白色地砖有（块），，故第个图案中白色地砖有块，再把代入进行计算，最后列式，进行计算，即可作答． 【详解】解：第个图案中白色地砖有（块）， 第个图案中白色地砖有（块）， 第个图案中白色地砖有（块）， 第个图案中白色地砖有（块）， 第个图案中白色地砖有块， 则把代入，得， 依题意，得， 解得 故答案为：34，． 3．奥地利数学家皮克（）发现，在网格中，顶点均在格点的多边形面积S可以由多边形内部格点数i和边界格点数b计算得到，请你观察下列图形，探索S与i和b之间的关系． 图形 ① ② ③ ④ ⑤ 0 2 2 6 6 10 6 6 2 6 4 12 (1)观察图1，补全表格． (2)观察图1中的①、③、④可以发现，i每增加1时，面积增加_____；观察②和③，④和⑤可以发现，b每增加1时，面积增加 ．根据上述发现，可得：______．（用含i和b的式子表示） (3)根据你发现的结论计算图2的面积． 【答案】(1)见解析 (2)；； (3)20 【分析】本题考查图形类规律探究，解题的关键是由已知图形抽象概括出相应的规律： （1）观察图形，分割法求出图④的面积，数出图⑤中内部格点数和边界格点数，进行作答即可； （2）根据表格数据，得到i每增加1时，面积增加1，b每增加1时，面积增加，进而得到； （3）利用（2）中结论进行计算即可． 【详解】（1）解：观察图形， 图④的面积为：，图⑤中内部格点数为6，边界格点数为14， 补全表格，如下所示： 图形 ① ② ③ ④ ⑤ 0 2 2 6 6 6 10 6 6 14 2 6 4 8 12 （2）观察①、③、④可以发现，，， 故：i每增加1时，面积增加1． 观察②和③，④和⑤可以发现，，， 故：b每增加1时，面积增加． 根据上述发现，可得：． （3）解：观察可知，图中内部格点数和边界格点数分别为和， 故： 答：图形的面积是20． 类型七、整除问题 【解惑】证明：三个连续自然数之和能被整除． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了整式的加减，列代数式，设第一个数为（是自然数），则第二个数为，第三个数为，则这三个自然数的和，从而求证，根据题意数量关系列出正确的代数式求解是解题的关键． 【详解】证明：设第一个数为（是自然数），则第二个数为，第三个数为， ∴这三个自然数的和 ， ∵， ∴三个连续的自然数之和能被整除． 【融会贯通】 1．一个四位正整数可表示为，若它的各位数字之和（即）可以被整除，则这个四位数可以被整除．试说明理由． 【答案】理由见解析 【分析】本题主要考查了整式加减混合运算，熟练掌握整式加减混合运算法则是解题的关键．根据题意可得，再变形为，可设（为整数），则原式可化为，即可求解． 【详解】解：， 可以被整除， 可设（为整数）， 则原式， 而为整数， 可以被整除． 2．已知两个一次式分别是和． (1)求与的和； (2)当和为正整数时，减去的差能否被6整除？请说明理由． 【答案】(1) (2)能，理由见详解 【分析】本题考查了整式的加减运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意列式，然后去括号再合并同类项，即可作答． （2）根据题意列式，然后去括号再合并同类项，得，最后结合为正整数，则为正整数，即可作答． 【详解】（1）解：依题意， ； （2）解：能，理由如下： 依题意， ∵为正整数， ∴为正整数， ∴能被6整除， 即当和为正整数时，减去的差能被6整除． 3．数学中的逻辑推理主要包括归纳推理、类比推理和演绎推理．小明尝试探索能被整除的整数的规律． 观察： ，，； ，，； ，，； ，，． 猜想： （1）请你判断__________被整除（填“能”或“不能”）； （2）由上述规律，我们发现：判断一个大于的整数能否被整除，只需要看这个数的后__________位数能否被整除．请说说你的判断方法． 应用： （3）如果一个整数能被整除，那么这个整数的特征是__________． （4）某宾馆的一间客房的房间号是一个四位数，已知：①这个数能被整除；②十位数字比个位数字大；③百位数字是十位数字的一半；④千位数字是最小的正整数．这个房间号是多少？说说你的理由． 【答案】（1）能；（2）三，理由见解析；（3）末两位必须是或或或；（4），理由见解析 【分析】本题考查整式的加减运算的应用，数字类规律问题，解题的关键是掌握以上知识点． （1）通过计算判断即可； （2）观察题干中的数据总结规律即可，然后根据整除的性质求解即可； （3）同（2）的方法求解即可； （4）根据题意设设这个四位数的百位数字是x，则十位数字是，个位数字是，表示出这个四位数，然后求出，得到或或或，然后分别代入求解判断即可． 【详解】解：（1）∵， ∴能被整除， 故答案为：能； （2）由上述规律，我们发现：判断一个大于的整数能否被整除，只需要看这个数的后三位数能否被整除， 故答案为：三； 理由：∵， ∴能被整除 ∴个位，十位，百位都是的大于的数都能被整除 ∴如果一个大于的整数的后三位能被整除， ∴这个大于的整数就能被整除； （3）∵， ∴能被整除 ∴个位，十位都是的大于的数都能被整除， ∴如果一个大于的整数的末两位能被整除， ∴这个大于的整数就能被整除 ∵，，，， ∴如果一个整数能被整除，那么这个整数的特征是末两位必须是或或或， 故答案为：末两位必须是或或或； （4）这个房间号是，理由如下： ∵某宾馆的一间客房的房间号是一个四位数，十位数字比个位数字大；百位数字是十位数字的一半； 设这个四位数的百位数字是x，则十位数字是，个位数字是， ∵千位数字是最小的正整数， ∴这个四位数可以表示为， ∵这个数能被整除， ∴能被8整除， 根据题意得，， ∴解得：， ∵x是正整数 ∴或或或， 当时，，能被整除，符合题意． ∴当时，，不能被整除，不符合题意； 当时，，不能被整除，不符合题意； 当时，，不能被整除，不符合题意； ∴，，， ∴这个房间号是． 类型八、销售、打折问题 【解惑】某商家有600件成本元的商品，现将商品分成两部分，分别采取两种销售方案： 方案一： 将其中200件商品交给某直播团队直播带货，商品售价定为成本的2倍再降5元，并用当天销售额的作为整个直播团队的费用，结果当晚所有200件商品全部销售完毕． 方案二： 将剩下400件的商品打折销售，售价定为成本的倍，第一次打八折，售出100件；第二次在第一次基础上再打八折，剩下商品被一抢而空． (1)用含的代数式表示方案一中直播团队的费用为________元； (2)用含的代数式表示方案二的总销售额； (3)用含的代数式表示商家两种方案销售后的总盈利．（总盈利＝总销售额−总成本） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意得出方案一中直播团队的费用即可； （2）根据题意得出方案二的总销售额即可； （3）根据题意得出两种方案销售后的总盈利即可． 【详解】（1）解：方案一中直播团队的费用为元， 故答案为：； （2）解：（元）； （3）解：商家两种方案销售后的总盈利为：元． 【点睛】此题考查列代数式，解题的关键是根据题意得出代数式求解． 【融会贯通】 1．某商家有6000件成本m元的商品，现将商品分成两部分，分别采取两种销售方案： 方案一： 将其中2000件商品交给某直播团队直播带货，商品售价定为成本的2倍再降5元，并用当天销售额的1%作为整个直播团队的费用，结果当晚所有商品全部销售完毕． 方案二： 将剩下的商品打折销售，售价定为成本的2.5倍，第一次打八折，售出1000件；第二次再打八折，剩下商品被一抢而空． （1）用含m的代数式表示方案一中直播团队的费用为 　 　元； （2）用含m的代数式表示方案二的总销售额； （3）用含m的代数式表示商家两种方案销售后的总盈利． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据售价定为成本的2倍再降5元，并用当天销售额的1%作为整个直播团队的费用，列式即可； （2）直接根据方案二的方式列式即可； （3）根据总盈利=总销售额-总成本－直播团队的费用． 【详解】解：（1）由题意可得： 直播团队的费用为：（元）， 故答案为：； （2）根据题意得： 方案二总销售额： ＝， 故方案二总销售额为； （3）方案一、方案二的总销售额＝， 直播团队的费用为：元； 商品总成本为：， 总盈利＝． 【点睛】本题考查了列代数式，读懂题意，明确题中数量关系是解本题的关键． 2．某家具商场销售某品牌餐桌、餐椅的信息如下表： 餐桌 餐椅 进价（元/张） 150 40 售价（元/张） 270 70 利润（元/张） 120 该商场购进了一批餐桌和餐椅，总数量为200张．现计划将一半的餐桌配成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套，售价为500元）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售，设购进餐桌x张． （1）填空：______． （2）若，请求出餐桌、餐椅按计划销售完的总利润． （3）受疫情影响，该商场拟停业休整，为了清除库存，该商场对配成套的餐桌用了如下表的折扣方式促销，零售的桌、餐椅不打折； 一次性购买的餐桌套数 不超过15套的部分 超过15套的部分 折扣数 9折 8折 小王开的中餐厅刚好需要一批餐桌、餐椅，他购买了该商场所有配成套的餐桌椅，请求出商场卖完这批一批餐桌和餐椅的总利润（用含x的代数式表示）． 【答案】（1）；（2），8600元；（3）当x≤30时， 元；当x>30时 元． 【分析】（1）利用餐椅的售价减进价即可， （2）先设x张餐桌，套卖，其余零售，每套利润×+零售餐桌利润×+餐椅利润×剩余餐椅数， （3）当x≤30时，求出餐桌椅的利润+零售餐桌、椅子的利润；当x>30时，求出15套餐桌椅的利润+超过15套的部分餐桌套数的利润+零售餐桌、椅子的利润． 【详解】（1）； （2）， =    ， = ， 当x=40时，总利润=8600元； （3）15×2=30， 当x≤30时，， =， =元， 当x>30时，， =， =元． 【点睛】本题考查了整式加减的应用，涉及打折销售利润问题，掌握利润的计算法，会根据条件选择恰当的方法列出代数式是解题关键． 3．七星商场冬季新款到货，A款服装每件进价180元，B款服装每件进价240元．由于“双十一购物狂欢节”，京东，天猫等电商平台推出了预售，满减，送券，领红包等优惠活动，11月份该商场所有商品销量均减少．为吸引顾客，11月份商场对全场打折促销．店长根据市场调查推出两种促销方案如下（两种方案不能叠加享受）： 方案一：顾客所购商品的原价总和每满300元送60元的现金券，无论用券与否原总价打九折；若有券，折后可用券抵扣． 方案二： 原价总和 优惠标准 不超过300元的部分 九折优惠 超过300元但不超过600元的部分 七折优惠 超过600元但不超过900元的部分 六折优惠 超过900元的部分 五折优惠 (1)小天一次性购买物品的原价为750元，则方案一实际付款为 元；则方案二实际付款为 元； (2)小七去七星商场购物，商品原价为a（）元，试用含a的式子表示出小七选择方案二应付的费用；（结果需化简） (3)已知小天选择方案一购物，小七选择方案二购物，他们所购物品原价总和为1500元，且小七所购物品的原总价m元，且高于小天．两人实际付款一共多少元（请用含m的代数式表示并化简）？为使消费者获利更多，店员建议他们两人组合，一次性购买所有物品，并且选择最优惠的购买方案，如果两人组合购买，实际付款多少元？ 【答案】(1)555；570 (2)当时，应付的费用为元；当时，应付的费用为元 (3)或或元；960元 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键． （1）直接根据两种活动方案求解即可； （2）分两种情况：当时，当时，求解即可； （3）根据小七所购物品的原总价高于小天，可得，然后分当时，当时，当时，三种情况进行讨论求解． 【详解】（1）解：方案一实际付款为元； 方案二实际付款为元； 故答案为：630；570 （2）解：当时，元； 当时，元； 综上所述，当时，应付的费用为元；当时，应付的费用为元； （3）解：∵小七所购物品的原总价m元， ∴小天所购物品的原总价是元， ∵小七所购物品的原总价高于小天， ∴，且， ∴， ∴， ∵小天选择方案一购物，小七选择方案二购物， 当时，， 小天实际付款为元，小七实际付款为元， 此时两人实际付款一共元； 当时，， 小天实际付款为元，小七实际付款为元， 此时两人实际付款一共元； 当时，， 小天实际付款为元，小七实际付款为元， 此时两人实际付款一共元； 综上所述，两人实际付款一共或或元； 两人组合，一次性购买所有物品， 按照方案一实际付款为：元， 按照方案二实际付款为： ∵， ∴两人组合购买，实际付款为960元． 类型九、代数式中的整体思想问题 【解惑】阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，合并______； (2)已知，运用“整体思想”求的值； (3)若，，则______． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题主要考查了代数式的求值、合并同类项等知识点，掌握运用整体代入法求解代数式的值是解题的关键． （1）运用“整体思想”合并同类项即可解答； （2）把写成，然后将整体代入即可解答； （3）将和相加可得，写成，然后将整体代入即可解答． 【详解】（1）解： ． 故答案为：2． （2）解：∵， ∴． （3）解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 【融会贯通】 1．阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，合并的结果是_________； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减，代数式求值，解决问题的关键是运用整体思想；给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算． （1）把看成一个整体，运用合并同类项法则进行计算即可； （2）把变形，得到，再根据整体代入法进行计算即可． 【详解】（1）解：把看成一个整体， 则 ； 故答案为：； （2）∵， ∴原式． 2．我们知道，，类似的，若把看成一个整体，则．“整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)把看成一个整体，合并 ． (2)已知，求的值． (3)已知，． ① ； ②求的值． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】（）根据合并同类项法则计算即可； （）把代数式变形为，再代入已知计算即可； （）①把已知相加即可求解；②把已知代入进行化简，最后再把的值代入计算即可； 本题考查了合并同类项，代数式求值，掌握整体思想是解题的关键． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴； （3）解：①∵，， ∴， 即， ∴， 故答案为：； ②∵，， ∴ ． 3．阅读材料：我们知道，．类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，尝试应用： (1)把看成一个整体，求出的结果； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了合并同类项，代数式求值和添括号，利用整体代入的思想求解是解题的关键． （1）仿照题意利用整体法求解即可； （2）所求式子可变形为，据此利用整体代入法求解即可； （3）把已知条件式两边同时除以2即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵， ∴， ∴ 类型十、代数式的新定义应用与值的变化情况 【解惑】新定义：对任意一个两位数x，如果x满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“互异数”，将一个“互异数”两个数位上的数字对调后可以得到一个不同的新两位数，把这两个新两位数的和与11的商记为．例如，对调个位与十位上的数字得到42，这两个两位数的和为，，所以． (1)计算：________； (2)若s，t都是“互异数”，其中，（m，n均为不大于9的正整数）． ①求（用含n的式子表示）； ②求最小值． 【答案】(1) (2)①；②3 【分析】本题考查了有理数的混合运算，列代数式，以及代数式求值，整式的混合运算，理解新定义是解题的关键． （1）根据定义直接计算即可求解； （2）①根据定义，求得；②根据定义求得，再根据题意取的最小值，代入代数式求值即可求解． 【详解】（1）解：，对调个位与十位上的数字得到， 这两个两位数的和为， 所以． 故答案为： （2）解：①∵，对调个位与十位上的数字得到， 这两个两位数的和为， 所以． ②∵，对调个位与十位上的数字得到， 这两个两位数的和为， 所以． ∴， ∵ m，n均为不大于9的正整数，根据“互异数”的定义可得， 所以当时，最小，最小值为． 【融会贯通】 1．观察下列两个等式：，给出定义：我们称使等式成立的一对有理数，为“方和有理数对”，记为，如，都是“方和有理数对”． (1)数对，中是“方和有理数对”的是______． (2)请你再写出一对符合条件的“方和有理数对”：______注意：不能与题目中已有的“方和有理数对”重复． (3)若是“方和有理数对”，求的值． 【答案】(1) (2)（答案不唯一） (3) 【分析】本题主要考查了新定义问题、有理数的混合运算、整式加减中的化简求值，解题时要熟练掌握并能读懂新定义是关键． 依据题意，“方和有理数对”的定义逐个判断可以得解； 依据题意，由“方和有理数对”满足，则当时，，则此时，进而可以得解； 依据题意，由是“方和有理数对”，则，又，从而代入计算可以得解． 【详解】（1）由题意，， 数对不是“方和有理数对”． ， 数对是“方和有理数对”． 故答案为：． （2）由题意， “方和有理数对”满足， 当时，，则此时． 故答案为：（答案不唯一）． （3）由题意，是“方和有理数对”， ． ． 又 ， ． 2．我们定义：对于数对，若，则称为“和积等数对”．如：因为，，所以都是“和积等数对”． (1)下列数对中，是“和积等数对”的是 ；（填序号） ①；②；③． (2)若是“和积等数对”，求代数式的值． 【答案】(1)①③ (2)24 【分析】本题考查解一元一次方程，整式的加减—化简求值； （1）根据“和积等数对”的定义即可得到结论； （2）将原式去括号，合并同类项进行化简，然后根据新定义内容列出等式并化简，最后代入求值． 【详解】（1）解：∵， ∴数对是“和积等数对”， ∵， ∴不是“和积等数对”， ∵， ∴数对是“和积等数对”， 故答案为：①③； （2）解： ， ∵是“和积等数对” ∴， ∴原式 ． 3．综合与实践 请同学们用数学的眼光认真观察下面表格中两个代数式及其相应的值，通过数学的思维进行思考，并用数学的语言表达下列问题． x … 0 1 2 … … m 2 5 … … 8 5 2 n … (1)【初步感知】根据表中信息可知：______，______． (2)【归纳规律】表中代数式的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就增加3．类似的，代数式的值的变化规律是什么？ (3)【拓展应用】当x的值每增加2时，猜想代数式的值会怎样变化？请通过具体数据代入计算加以验证． 【答案】(1)， (2)减少3 (3)代数式的值减少10，见解析 【分析】本题考查了代数式求值，整式的加减； （1）把代入可求出m，把代入可求出n； （2）根据表中数据可知x的值每增加1，值就减少3； （3）分别求出和时代数式的值，相减即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，； 当时，， 故答案为：，； （2）解：由表中数据可知，x的值每增加1，值就减少3， （3）解：代数式的值会减少10； 证明：当时，； 当时，； ∵， ∴当x的值每增加2时，代数式的值减少10． 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 整式及其加减思维导图 【类型覆盖】 类型一、绝对值在数轴中的化简 【解惑】有理数在数轴上所对应的点的位置如图，则化简代数式的结果是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．已知a，b，c三个数在数轴上对应的点如图所示，则化简式子结果为（    ） A． B． C． D． 2．有理数和在数轴上所对应的点如图所示，化简的结果为 3．若有理数a、b、c数轴上的位置如图所示，化简： ． 类型二、阴影部分的周长与面积 【解惑】如图，一块长为a，宽为b的长方形草坪上，修两条等宽（宽度都为m）的长方形小路，则阴影部分图形的周长与面积分别是（    ） A．； B．； C．； D．； 【融会贯通】 1．如图所示，长方形中放置两个正方形，分别是正方形与和正方形，边长分别为5和2，若如图阴影部分的面积之和记为，长方形的面积记为，已知，则长方形的周长为（    ） A．27 B．26 C．25 D．24 2．如下图： （1）阴影部分的周长是： ； （2）阴影部分的面积是： ； （3）当，时，阴影部分的周长是 ，面积是 ． 3．将四张正方形纸片①，②，③，④，按如图方式放入长方形内（相邻纸片之间互不重叠也无缝隙），未被四张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，要求出图中两块阴影部分的周长之差，只需知道其中一个正方形的边长即可，则这个正方形编号是 ． 类型三、代数式的新定义运算 【解惑】定义新运算：，．若，则称有理数，为“隔一数对”．例如：，，即，所以2，3就是一对“隔一数对”．已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，计算（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．定义新运算“@”与“”：，．则的值是（   ） A． B． C． D．1 2．定义一种新运算：对于任意有理数、，都有，例如：． 化简： ． 3．定义一种新运算：．如：．若的值与的取值无关，则的值为 ． 类型四、操作问题 【解惑】三个不完全相同的非负整数a，b，c，记为，进行如下操作：将其中最大的数减去7再取绝对值，另两个数分别加上1，得到对应的三个新数，，，第一次操作的结果记为，若有两个相等的最大数，则取最后面的最大数减7再取绝对值，另两个数分别加1；将按上述方式再做一次操作，得到第二次操作的结果，以此类推，当三个数相等时，停止操作．例如，当时，，，即第二次操作后停止．下列说法： ①当时，经过3次操作后停止； ②当为奇数，且经过三次操作后停止，则一定为偶数； ③若，则． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【融会贯通】 1．有两个整数，，把整数对进行操作后可得到，，中的某一个整数对，将得到的新整数对继续按照上述规则操作下去，每得到一个新的整数对称为一次操作．将整数对按照上述规则进行操作，则以下结论正确的个数是（   ） ①二次操作后，可能得到整数对； ②三次操作后，可能得到整数对； ③不管经过多少次操作，得到的整数对都不会是． A．0个 B．3个 C．2个 D．1个 2．把有理数a代入得到，称为第一次操作；再将作为a的值代入得到，称为第二次操作，...，若，经过第2030次操作后得到的数是 ． 3．有依次排列的2个整式：，． 将第1个整式乘以2再与第2个整式相加，得到第3个整式，称为第一次操作； 将第2个整式乘以2再与第3个整式相加，得到第4个整式，称为第二次操作； 将第3个整式乘以2再与第4个整式相加，得到第5个整式，称为第三次操作，……， 以此类推，下列说法： ①第六次操作得到的整式为； ②第20个整式中含项的系数的2倍与第21个整式中含项的系数之差为1； ③第2025个整式和第2026个整式中含项的系数之和等于． 其中正确的有 ． 类型五、数的规律 【解惑】观察下面三行数： ，4，，16，，64，…；① 0，6，，18，，66，…；② ，2，，8，，32，…；③ 设x、y、z分别为第①②③行的第99个数，则的值为（   ） A． B．4 C． D．2 【融会贯通】 1．已知一列数，…中，……则 的个位数字是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 2．已知，按此规律， ． 3．观察下列三列数： 、、、、、、…① 、、、、、、…② 、、、、、、…③ (1)第①行第10个数是 ，第②行第15个数是 ； (2)在②行中，是否存在三个连续数，其和为1001？若存在，求这三个数；若不存在，说明理由； (3)若在每行取第k个数，这三个数的和正好为399，则 ． 类型六、图形的规律 【解惑】如图，用规格相同的小棒摆成一组图案，第1个图案需要3根小棒，第2个图案需要5根小棒，第3个图案需要7根小棒，…，按此规律，则第2025个图案中需要小棒的根数是（   ） A．4048 B．4049 C．4050 D．4051 【融会贯通】 1．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形态来研究数，比如：他们研究过图①中的1，3，6，10，……由于这些数能够表示成三角形，故将其称为“三角形数”，类似地，称图②中的1，4，9，16，……这样的数称为“正方形数”．下列数中，既是“三角形数”又是“正方形数”的是（   ） A．15 B．25 C．36 D．49 2．用黑白两种颜色的正六边形地砖按如图所示的方式排成若干个图案，第8个图案中有白色地砖 块；如果白色地砖有90块，这时黑色地砖有 块． 3．奥地利数学家皮克（）发现，在网格中，顶点均在格点的多边形面积S可以由多边形内部格点数i和边界格点数b计算得到，请你观察下列图形，探索S与i和b之间的关系． 图形 ① ② ③ ④ ⑤ 0 2 2 6 6 10 6 6 2 6 4 12 (1)观察图1，补全表格． (2)观察图1中的①、③、④可以发现，i每增加1时，面积增加_____；观察②和③，④和⑤可以发现，b每增加1时，面积增加 ．根据上述发现，可得：______．（用含i和b的式子表示） (3)根据你发现的结论计算图2的面积． 类型七、整除问题 【解惑】证明：三个连续自然数之和能被整除． 【融会贯通】 1．一个四位正整数可表示为，若它的各位数字之和（即）可以被整除，则这个四位数可以被整除．试说明理由． 2．已知两个一次式分别是和． (1)求与的和； (2)当和为正整数时，减去的差能否被6整除？请说明理由． 3．数学中的逻辑推理主要包括归纳推理、类比推理和演绎推理．小明尝试探索能被整除的整数的规律． 观察： ，，； ，，； ，，； ，，． 猜想： （1）请你判断__________被整除（填“能”或“不能”）； （2）由上述规律，我们发现：判断一个大于的整数能否被整除，只需要看这个数的后__________位数能否被整除．请说说你的判断方法． 应用： （3）如果一个整数能被整除，那么这个整数的特征是__________． （4）某宾馆的一间客房的房间号是一个四位数，已知：①这个数能被整除；②十位数字比个位数字大；③百位数字是十位数字的一半；④千位数字是最小的正整数．这个房间号是多少？说说你的理由． 类型八、销售、打折问题 【解惑】某商家有600件成本元的商品，现将商品分成两部分，分别采取两种销售方案： 方案一： 将其中200件商品交给某直播团队直播带货，商品售价定为成本的2倍再降5元，并用当天销售额的作为整个直播团队的费用，结果当晚所有200件商品全部销售完毕． 方案二： 将剩下400件的商品打折销售，售价定为成本的倍，第一次打八折，售出100件；第二次在第一次基础上再打八折，剩下商品被一抢而空． (1)用含的代数式表示方案一中直播团队的费用为________元； (2)用含的代数式表示方案二的总销售额； (3)用含的代数式表示商家两种方案销售后的总盈利．（总盈利＝总销售额−总成本） 【融会贯通】 1．某商家有6000件成本m元的商品，现将商品分成两部分，分别采取两种销售方案： 方案一： 将其中2000件商品交给某直播团队直播带货，商品售价定为成本的2倍再降5元，并用当天销售额的1%作为整个直播团队的费用，结果当晚所有商品全部销售完毕． 方案二： 将剩下的商品打折销售，售价定为成本的2.5倍，第一次打八折，售出1000件；第二次再打八折，剩下商品被一抢而空． （1）用含m的代数式表示方案一中直播团队的费用为 　 　元； （2）用含m的代数式表示方案二的总销售额； （3）用含m的代数式表示商家两种方案销售后的总盈利． 2．某家具商场销售某品牌餐桌、餐椅的信息如下表： 餐桌 餐椅 进价（元/张） 150 40 售价（元/张） 270 70 利润（元/张） 120 该商场购进了一批餐桌和餐椅，总数量为200张．现计划将一半的餐桌配成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套，售价为500元）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售，设购进餐桌x张． （1）填空：______． （2）若，请求出餐桌、餐椅按计划销售完的总利润． （3）受疫情影响，该商场拟停业休整，为了清除库存，该商场对配成套的餐桌用了如下表的折扣方式促销，零售的桌、餐椅不打折； 一次性购买的餐桌套数 不超过15套的部分 超过15套的部分 折扣数 9折 8折 小王开的中餐厅刚好需要一批餐桌、餐椅，他购买了该商场所有配成套的餐桌椅，请求出商场卖完这批一批餐桌和餐椅的总利润（用含x的代数式表示）． 3．七星商场冬季新款到货，A款服装每件进价180元，B款服装每件进价240元．由于“双十一购物狂欢节”，京东，天猫等电商平台推出了预售，满减，送券，领红包等优惠活动，11月份该商场所有商品销量均减少．为吸引顾客，11月份商场对全场打折促销．店长根据市场调查推出两种促销方案如下（两种方案不能叠加享受）： 方案一：顾客所购商品的原价总和每满300元送60元的现金券，无论用券与否原总价打九折；若有券，折后可用券抵扣． 方案二： 原价总和 优惠标准 不超过300元的部分 九折优惠 超过300元但不超过600元的部分 七折优惠 超过600元但不超过900元的部分 六折优惠 超过900元的部分 五折优惠 (1)小天一次性购买物品的原价为750元，则方案一实际付款为 元；则方案二实际付款为 元； (2)小七去七星商场购物，商品原价为a（）元，试用含a的式子表示出小七选择方案二应付的费用；（结果需化简） (3)已知小天选择方案一购物，小七选择方案二购物，他们所购物品原价总和为1500元，且小七所购物品的原总价m元，且高于小天．两人实际付款一共多少元（请用含m的代数式表示并化简）？为使消费者获利更多，店员建议他们两人组合，一次性购买所有物品，并且选择最优惠的购买方案，如果两人组合购买，实际付款多少元？ 类型九、代数式中的整体思想问题 【解惑】阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，合并______； (2)已知，运用“整体思想”求的值； (3)若，，则______． 【融会贯通】 1．阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，合并的结果是_________； (2)已知，求的值． 2．我们知道，，类似的，若把看成一个整体，则．“整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)把看成一个整体，合并 ． (2)已知，求的值． (3)已知，． ① ； ②求的值． 3．阅读材料：我们知道，．类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，尝试应用： (1)把看成一个整体，求出的结果； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 类型十、代数式的新定义应用与值的变化情况 【解惑】新定义：对任意一个两位数x，如果x满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“互异数”，将一个“互异数”两个数位上的数字对调后可以得到一个不同的新两位数，把这两个新两位数的和与11的商记为．例如，对调个位与十位上的数字得到42，这两个两位数的和为，，所以． (1)计算：________； (2)若s，t都是“互异数”，其中，（m，n均为不大于9的正整数）． ①求（用含n的式子表示）； ②求最小值． 【融会贯通】 1．观察下列两个等式：，给出定义：我们称使等式成立的一对有理数，为“方和有理数对”，记为，如，都是“方和有理数对”． (1)数对，中是“方和有理数对”的是______． (2)请你再写出一对符合条件的“方和有理数对”：______注意：不能与题目中已有的“方和有理数对”重复． (3)若是“方和有理数对”，求的值． 2．我们定义：对于数对，若，则称为“和积等数对”．如：因为，，所以都是“和积等数对”． (1)下列数对中，是“和积等数对”的是 ；（填序号） ①；②；③． (2)若是“和积等数对”，求代数式的值． 3．综合与实践 请同学们用数学的眼光认真观察下面表格中两个代数式及其相应的值，通过数学的思维进行思考，并用数学的语言表达下列问题． x … 0 1 2 … … m 2 5 … … 8 5 2 n … (1)【初步感知】根据表中信息可知：______，______． (2)【归纳规律】表中代数式的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就增加3．类似的，代数式的值的变化规律是什么？ (3)【拓展应用】当x的值每增加2时，猜想代数式的值会怎样变化？请通过具体数据代入计算加以验证． 6 学科网（北京）股份有限公司 $