1—3 代数式 整式的加减 探索与表达规律 考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年七年级数学上册（北师大版2024）

1—3 代数式 整式的加减 探索与表达规律 一、代数式 代数式是用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子。单独的一个数或一个字母也是代数式。代数式的书写要求包括： 1. 代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt。 2. 数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a。带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数。 3. 代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如4÷（a-4）应写作。 4. 表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面。 二、整式 整式包括单项式和多项式。 1. 单项式：数与字母的乘积组成的式子叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数。 2. 多项式：几个单项式的和组成的式子叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。多项式里，次数最高项的次数，叫做多项式的次数。 三、同类项与合并同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。合并同类项就是把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。 四、整式的加减 整式的加减是求几个整式的和或差的运算，其实质是去括号，合并同类项。去括号法则为：括号前是“+”号，去掉括号不变号；括号前是“-”号，去掉括号要变号。 五、探索与表达规律 探索规律的一般步骤包括观察、分析、推理、验证和表达规律。这可以应用于数字中的规律和算式中的规律，如通过观察日历表或数列来找出其中的规律，并用代数式来表示这些规律。同时，也可以用代数式来表示图形的变化规律，如通过观察图形的数量或形状随序号增加的变化情况来找出规律。 巩固课内例1:列代数式 1．一个两位数，十位上的数字是，个位上的数字是．这个两位数用含有字母的式子表示是（   ） A．mn B． C． D． 2．裤子的价钱是a元，上衣的价钱比裤子的1.8倍多10元，上衣的价钱是 元． 3．一个两位数为 x ，三位数为 y ，将 x 放在 y 的左边得到一个五位数，用含 x、 y 代数式表示这个五位数． 巩固课内例2:合并同类项 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．合并同类项： （1） ； （2） ； （3） ． 3．合并同类项： (1)； (2)． 巩固课内例3:去括号化简 1．在下列去括号或添括号的变形中，错误的是（   ） A． B． C． D． 2．化简： ． 3．化简：． 巩固课内例4:计算两个多项式的和与差 1．一个多项式与的和是，则这个多项式为（   ） A． B． C． D． 2．若单项式与单项式的和仍是单项式，则 ． 3．求整式与的差． 巩固课内例5:日历规律 1．如图为2024年某月日历，现用一个正方形方框框住部分（阴影部分）9个位置上的数，若中间位置上的数记为，则方框框住的9个数中，最大数与最小数的差为（   ） A． B．0 C．16 D． 2．如图是某月份的日历，用方框圈出了9个数．设最中间一个是x，则方框左上角的数可表示为 ，左下角的数可表示为 ． 3．数学活动——探究日历中的数字规律：如图是年月份的日历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图所示的四个数“”的值．探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图中的结果为 ； 将的方框移动到图中的其他位置，通过计算可以发现的值均为 ； (2)数学思考：小乐认为（）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，， ， ， （ ）， ， 所以，的值均为 ； (3)拓广探究：同学们利用小乐的方法，借助图中的日历，继续进行如下探究．请从下列，两题中任选一题作答．我选择 题． ．在日历中用“型框”框住位置如图所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由； ．在日历中用“型框”框住位置如图所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． 类型一、用字母表示数 1．任意三个连续自然数，最小的是，那么最大的数表示为（　　） A． B． C． D． 2．一支铅笔的价格是a元，一块橡皮的价格是b元，买2支铅笔和7块橡皮应付 元． 3．某公司在11月11日这一天，上午卖出某品牌手机75部，下午又卖出100部，已知每部手机的售价为a元，每部手机的成本为b元. （1）求这一天该公司卖出该品牌手机的总销售额. （2）求这一天该公司卖出该品牌手机所得的利润. （3）当a=6800,b=2700时，总销售额和利润分别是多少？ 类型二、代数式的定义 1．下列式子中，是代数式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式：①，②，③，④，⑤，⑥．其中属于代数式的有 ．（请填写序号） 3．指出下列各式中，哪些是代数式，哪些不是代数式? （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 类型三、代数式的实际意义 1．关于代数式的意义，下列说法中不正确的是（   ） A．比a的平方少8的数 B．a的平方与8的差 C．a的平方减去8 D．a与8的差的平方 2．举例说明代数式的实际意义： ． 3．说出下列代数式的意义： (1)； (2)； (3)； (4)． 类型四、单项式与多项式的定义 1．下列式子：①；②0；③；④；⑤；⑥，多项式的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．在代数式：，0，，，中，单项式有 个． 3．下列哪些是单项式，哪些是多项式？，0，，，，，， 单项式{                                } 多项式{                                } 类型五、代数式的书写 1．下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）吨，其中符合书写要求的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．下列式子：①；②；③；④，其中格式书写正确的个数有 个． 3．下列用字母表示数的写法中哪些不规范，请改正过来． (1)3x＋1；(2)m×n－3；(3)2×y；(4)a·m＋b×n元；(5)a÷(b＋c)；(6)a－1÷b． 类型六、同类型的定义 1．下列式子中，的同类项是（　　） A． B． C． D． 2．请写出的一个同类项 ． 3．下列各题中的两项是不是同类项？若不是，请说明理由． (1)与； (2)与； (3)与； (4)与； (5)与； (6)与． 类型一、单项式的系、次数 1．单项式的系数是（   ） A．5 B． C．2 D． 2．单项式的系数为 ． 3．判断下列各代数式是不是单项式，如果不是，请说明理由；如果是，请指出它的系数与次数： (1)； (2)． 类型二、多项式的系、次、项数 1．多项式的次数和常数项分别是（　　） A．2和2 B．2和 C．3和2 D．3和 2．多项式的次数是 ，二次项系数是 ． 3．下列整式中哪些是单项式？哪些是多项式？是单项式的指出系数和次数，是多项式的指出项和次数： ． 类型三、不含某项、与某项无关 1．要使多项式化简后不含有x的二次项，则m等于（　　） A．0 B．3 C． D． 2．若关于x，y的多项式与的差中不含项，则k的值是 ． 3．已知，，且的值与的取值无关，求的值． 类型四、去括号与添括号 1．下列计算正确的是(    ) A． B． C． D． 2．（1）（ ）+3 （2）（ ） 3．某同学化简出现了错误，解答过程如下： 原式第一步 第二步 第三步 (1)该同学解答过程从第几步开始出错，错误原因是什么？ (2)写出此题正确的解答过程． 类型一、阴影部分的周长与面积问题 1．如图，长方形中挖去一个圆形，则阴影部分面积的表达式为（   ） A． B． C． D． 2．如图，正方形的边长为分别为线段上的点，，则图中的阴影部分面积为 ． 3．如图，矩形为公园的一个花圃示意图（阴影部分种花，其他部分种草），其中矩形长为，宽为． (1)根据图中的数据，用含和的代数式表示阴影部分的面积； (2)若，种花的费用为每平方米100元，种草的费用为每平方米 50元，求共需要多少钱？ 类型二、程序问题 1．如图是一个数值转换机的示意图，若输入x的值为3，y的值为，则输出的结果为（   ） A． B．5 C． D．6 2．一个运算程序如右图所示，若输入数字为5，则结果是( )． 3．有一数值转换器，原理如下图所示： (1)如果开始输入的值是1，可发现第一次输出的是4，第二次输出的是 ，第三次输出的是 ，第四次输出的是 ，…； (2)如果开始输入的数是11，可发现第一次输出的是14，第二次输出的是7，…，请你探索：第2017次输出的结果是 和2018次输出的结果是 ． 类型三、摆放规律 1．如图所示的图案是由相同大小的圆点按照一定的规律摆放而成的，按此规律，第个图形中圆点的个数为（   ） A． B． C． D． 2．按照如图所示的规律摆下去，第20个图形摆放的黑色棋子的个数是 ． 3．如图所示，改变五子棋中黑棋的摆放方式，解答下列问题． (1)观察图①和图②，五子棋分别被直线和折线隔开摆放成4层，按照图中规律继续摆下去，第 n 层有__________个棋子； (2)数图中棋子的总个数可以有多种不同的方法：如：前2层棋子的个数和为或，因此可以得到，同样，前3层棋子的个数和为，前4层棋子的个数和为，… 根据上述规律，前n层棋子的个数和用含n的代数式可以表示为________________； (3)运用（2）中发现的规律，计算：． 类型四、整除问题 1．一个正两位数M，它的个位数字是a，十位数字比个位数字大3，把M十位上的数字与个位上的数字交换位置得到一个新两位数N，则的值总能(   ) A．被6整除 B．被9整除 C．被11整除 D．被22整除 2．定义：如果一个四位数的各数位上的数字均不为0，且满足，那么称这个四位数为＂四自少年数＂，例如：四位数5321，，是“四自少年数”，则最小的“四自少年数”为 ；若一个“四自少年数”满足的和能被6整除，则满足条件的最大的“四自少年数”为 ． 3．我们用表示一个三位数，其中x表示百位上的数，y表示十位上的数，z表示个位上的数，即． (1)试证明：若可以被3整除，则可以被3整除； (2)若能被13整除，求x，y，z之间满足的数量关系． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1—3 代数式 整式的加减 探索与表达规律 一、代数式 代数式是用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子。单独的一个数或一个字母也是代数式。代数式的书写要求包括： 1. 代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt。 2. 数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a。带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数。 3. 代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如4÷（a-4）应写作。 4. 表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面。 二、整式 整式包括单项式和多项式。 1. 单项式：数与字母的乘积组成的式子叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数。 2. 多项式：几个单项式的和组成的式子叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。多项式里，次数最高项的次数，叫做多项式的次数。 三、同类项与合并同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。合并同类项就是把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。 四、整式的加减 整式的加减是求几个整式的和或差的运算，其实质是去括号，合并同类项。去括号法则为：括号前是“+”号，去掉括号不变号；括号前是“-”号，去掉括号要变号。 五、探索与表达规律 探索规律的一般步骤包括观察、分析、推理、验证和表达规律。这可以应用于数字中的规律和算式中的规律，如通过观察日历表或数列来找出其中的规律，并用代数式来表示这些规律。同时，也可以用代数式来表示图形的变化规律，如通过观察图形的数量或形状随序号增加的变化情况来找出规律。 巩固课内例1:列代数式 1．一个两位数，十位上的数字是，个位上的数字是．这个两位数用含有字母的式子表示是（   ） A．mn B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，根据题意正确列式是解题关键． 【详解】解：一个两位数，十位上的数字是，个位上的数字是．这个两位数用含有字母的式子表示是， 故选：C． 2．裤子的价钱是a元，上衣的价钱比裤子的1.8倍多10元，上衣的价钱是 元． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式，根据上衣的价钱比裤子的1.8倍多10元即可得出上衣的价钱． 【详解】解：裤子的价钱是a元，上衣的价钱比裤子的1.8倍多10元，则上衣的价钱是元， 故答案为： 3．一个两位数为 x ，三位数为 y ，将 x 放在 y 的左边得到一个五位数，用含 x、 y 代数式表示这个五位数． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式及数位表示的数学意义，解题的关键是理解“将两位数放在三位数左边”时，两位数的数位会发生变化，需根据数位价值确定其扩大的倍数． 明确两位数x放在三位数y左边时，x从两位数变为五位数的万位和千位，相当于扩大倍；y仍为三位数，位置不变，数值保持原样；将扩大后的x与y相加，即可得到这个五位数的代数式． 【详解】解：∵两位数x放在三位数y左边，x的数位从个位、十位变为万位、千位，相当于将x扩大倍，即； 又∵三位数y的位置不变，数值仍为y； ∴这个五位数为与y的和，即 ． 巩固课内例2:合并同类项 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查同类项的概念以及合并同类项的法则．同类项是指所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，合并同类项就是把同类项的系数相加，字母和指数不变；接下来依次分析每个选项． 【详解】解：A、，故A选项不符合题意； B、因为与所含字母不同，不是同类项，所以，故B选项不符合题意； C、，故C选项符合题意； D、因为与所含字母相同，但相同字母的指数不同，不是同类项，所以不能合并，，故D选项不符合题意． 故选：C． 2．合并同类项： （1） ； （2） ； （3） ． 【答案】 【分析】本题考查合并同类项，同类项的系数相加减，字母部分不变，据此计算即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）， 故答案为：． 3．合并同类项： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，掌握合并同类项的法则是解题的关键． （）根据合并同类项的法则合并同类项，先移项，再合并同类项，即可求解； （）根据合并同类项的法则合并同类项，先移项，再合并同类项，即可求解； 【详解】（1）解：； 原式= ． （2） 原式 ． 巩固课内例3:去括号化简 1．在下列去括号或添括号的变形中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题需要根据去括号和添括号的法则，对每个选项逐一进行分析判断，确定其变形是否正确．本题主要考查了去括号和添括号的法则，熟练掌握“去括号和添括号时，括号前符号对括号内各项符号的影响”是解题的关键． 【详解】解： ，故A项正确，不符合题意． ，故B项正确，不符合题意． ，故C项错误，符合题意． ，故D项正确，不符合题意． 故选： ． 2．化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了整式的化简（含去括号和合并同类项），解题的关键是准确去括号（括号前是负号时，括号内各项要变号），再合并同类项得出最简结果． 先根据乘法分配律去括号，将分别乘括号内的a和，注意符号变化；再找出同类项，将含a的项合并，最后整理得到化简结果． 【详解】解：， 故答案为：． 3．化简：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减运算，掌握去括号和合并同类项法则是解题的关键．去括号，再合并同类项即可． 【详解】原式 巩固课内例4:计算两个多项式的和与差 1．一个多项式与的和是，则这个多项式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，根据加减法互为逆运算，求出的结果即可得到答案． 【详解】解：由题意可得： , 故选：A． 2．若单项式与单项式的和仍是单项式，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了同类项与合并同类项，熟练掌握同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项是解题的关键．根据题意可得两个单项式为同类项，再根据同类项的定义解答即可． 【详解】解：若单项式与单项式的和仍是单项式， 则单项式与单项式是同类项， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：5． 3．求整式与的差． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减，根据题意列式子计算即可． 【详解】解：原式． 巩固课内例5:日历规律 1．如图为2024年某月日历，现用一个正方形方框框住部分（阴影部分）9个位置上的数，若中间位置上的数记为，则方框框住的9个数中，最大数与最小数的差为（   ） A． B．0 C．16 D． 【答案】C 【分析】此题考查了整式的加减运算，根据题意表示出左上角的数为，右上角的数为，然后列式求解即可． 【详解】∵中间位置上的数记为， ∴方框框住的9个数中，最小的数为左上角的数，最大的数为右上角的数， ∴． 故选：C． 2．如图是某月份的日历，用方框圈出了9个数．设最中间一个是x，则方框左上角的数可表示为 ，左下角的数可表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出方框圈出的其他数是解题的关键．根据方框圈出9个数之间的关系，即可用含的代数式表示出方程左上角及左下角的数，此题得解． 【详解】解：最中间一个是， 方框左上角的数可表示为，左下角的数可表示为． 故答案为：；． 3．数学活动——探究日历中的数字规律：如图是年月份的日历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图所示的四个数“”的值．探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图中的结果为 ； 将的方框移动到图中的其他位置，通过计算可以发现的值均为 ； (2)数学思考：小乐认为（）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，， ， ， （ ）， ， 所以，的值均为 ； (3)拓广探究：同学们利用小乐的方法，借助图中的日历，继续进行如下探究．请从下列，两题中任选一题作答．我选择 题． ．在日历中用“型框”框住位置如图所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由； ．在日历中用“型框”框住位置如图所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． 【答案】(1)； (2)，，， (3)见解析 【分析】（）计算所列式子即可； （）根据框出数字规律填空即可； （）选择，设，则，，，再代入计算即可；选择，设，则，，，再代入计算即可； 本题考查了整式的加减，解题的关键是能观察得到日历表中框出数字的规律． 【详解】（1）解： ； 将的方框移动到图中的其他位置，总有，，， ； 故答案为：；； （2）解：设，则，，， ， ， ， ∴的值均为； 故答案为：，，，； （3）解：选择， 的值均为，理由如下： 设，则，，， ； 的值均为； 选择， 的值均为，理由如下： 设，则，，， ， 的值均为． 类型一、用字母表示数 1．任意三个连续自然数，最小的是，那么最大的数表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用字母表示数，由任意三个连续自然数，最小的是，则最大的数为，从而求解，掌握连续自然数的特征是解题的关键． 【详解】解：由任意三个连续自然数，最小的是，则最大的数为， 故选：． 2．一支铅笔的价格是a元，一块橡皮的价格是b元，买2支铅笔和7块橡皮应付 元． 【答案】/ 【分析】本题考查用字母表示数，解决本题的依据是总价单价数量． 根据总价单价数量，一支铅笔的价钱是元，买2支铅笔应付元，一块橡皮的价钱是元，买块橡皮应付元，相加即可． 【详解】解：一支铅笔的价钱是元，一块橡皮的价钱是元， 买2支铅笔和块橡皮应付元． 故答案为：． 3．某公司在11月11日这一天，上午卖出某品牌手机75部，下午又卖出100部，已知每部手机的售价为a元，每部手机的成本为b元. （1）求这一天该公司卖出该品牌手机的总销售额. （2）求这一天该公司卖出该品牌手机所得的利润. （3）当a=6800,b=2700时，总销售额和利润分别是多少？ 【答案】（1）175a元;（2）（175a-175b）元;（3）1190000元；717500元 【分析】（1）首先用上午卖出的手机加上下午卖出的手机和，然后再乘a即可； （2）首先求出这一天所卖手机的成本，然后根据（1）中所得总销售额，总销售额减去成本，即可得出利润； （3）将a和b的值代入（1）和（2）中，即可得解. 【详解】（1）根据题意，得 答：这一天该公司卖出该品牌手机的总销售额是元； （2）根据题意，得 这一天卖出手机的成本是：元， 由（1）中所得， 所得利润为元， 答：这一天该公司卖出该品牌手机所得的利润是元； （3）当a=6800,b=2700时， 总销售额是=元 利润是元. 【点睛】此题主要考查了用字母表示数的相关知识，明确题目中的数量关系是解答的关键. 类型二、代数式的定义 1．下列式子中，是代数式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的定义，解题的关键是明确“代数式是由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，或含有字母的数学表达式，不含有等号、不等号等关系符号”． 根据代数式的定义，逐一分析选项：判断每个选项是否含有等号、不等号等关系符号，不含关系符号且符合代数运算规则的即为代数式，由此筛选出正确选项． 【详解】解：根据代数式的定义（不含等号、不等号等关系符号，由数、字母及代数运算组成）： A、含有等号，是等式，不是代数式，此选项不符合题意； B、含有不等号，是不等式，不是代数式，此选项不符合题意； C、由数、字母及减法运算组成，不含关系符号，是代数式，此选项符合题意； D、含有等号，是等式，不是代数式，此选项不符合题意； 故选：C． 2．下列各式：①，②，③，④，⑤，⑥．其中属于代数式的有 ．（请填写序号） 【答案】①③⑤ 【分析】本题考查了代数式的，用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子叫作代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式，据此进行判断即可求解，掌握代数式的定义是解题的关键． 【详解】解：下列各式：①，②，③，④，⑤，⑥．其中属于代数式的有①③⑤， 故答案为：①③⑤． 3．指出下列各式中，哪些是代数式，哪些不是代数式? （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【答案】（1）（4）（5）是代数式；（2）（3）（6）不是代数式 【分析】根据代数式的概念，用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式.单独的一个数或一个字母也是代数式，由此进行判断即可． 【详解】解：（1）（4）（5）是代数式； （2）（3）（6）不是代数式． 【点睛】本题主要考查了代数式的概念，解题的关键在于能够熟练掌握代数式的概念． 类型三、代数式的实际意义 1．关于代数式的意义，下列说法中不正确的是（   ） A．比a的平方少8的数 B．a的平方与8的差 C．a的平方减去8 D．a与8的差的平方 【答案】D 【分析】本题考查列代数式，分别表示出各选项的代数式，进行判断即可． 【详解】解：比a的平方少8的数，a的平方与8的差，a的平方减去8都可以用代数式表示，a与8的差的平方表示为，不能用表示， 故选D． 2．举例说明代数式的实际意义： ． 【答案】一斤苹果a元，一斤梨b元，则苹果和梨平均每斤元（答案不唯一） 【分析】本题考查了代数式的意义，解题关键是准确理解代数式的意义． 根据它的意义赋予实际意义即可． 【详解】解：一斤苹果a元，一斤梨b元，则苹果和梨平均每斤元． 故答案为：一斤苹果a元，一斤梨b元，则苹果和梨平均每斤元（答案不唯一）． 3．说出下列代数式的意义： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)的倍与的和； (2)与的差的倍； (3)与的平方和； (4)与的和与与的差的商． 【分析】此题考查了代数式的意义，熟练掌握代数式的运算顺序是关键． （1）根据代数式的运算顺序进行解答即可； （2）根据代数式的运算顺序进行解答即可； （3）根据代数式的运算顺序进行解答即可； （4）根据代数式的运算顺序进行解答即可． 【详解】（1）解：表示的倍与的和； （2）表示与的差的倍； （3）表示与的平方和； （4）表示与的和与与的差的商． 类型四、单项式与多项式的定义 1．下列式子：①；②0；③；④；⑤；⑥，多项式的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了多项式，多项式的组成元素是单项式，根据几个单项式的和叫做多项式分析判断． 【详解】解：根据多项式的定义可知：①是多项式；②0是单项式；③是单项式；④是分式；⑤是多项式；⑥是分式， 故多项式的个数是2个． 故选：B． 2．在代数式：，0，，，中，单项式有 个． 【答案】4 【分析】数与字母的积的形式的代数式是单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，分母中含字母的不是单项式．本题考查单项式的定义，较为简单，要准确掌握定义． 【详解】解：式子，0，，，符合单项式的定义，是单项式；式子，是多项式． ∴单项式有4个． 故答案为：4． 3．下列哪些是单项式，哪些是多项式？，0，，，，，， 单项式{                                } 多项式{                                } 【答案】，0，，， ；，， 【分析】本题主要考查整式的有关概念及分类，注意区分单项式与多项式的概念是解答本题的关键．“由数字或字母组成的式子叫做单项式，特别的，单独的一个数字或字母也是单项式．” “几个单项式的和叫做多项式．”根据单项式和多项式的定义一一判断即分类即可． 【详解】解：单项式{，0，，， } 多项式{，， } 类型五、代数式的书写 1．下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）吨，其中符合书写要求的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的书写．注意代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）带分数要写成假分数的形式．根据代数式的书写规则，对各小题的代数式进行判断，即可求出答案． 【详解】解：（1）中分数不能为带分数，故原式书写错误； （2）数与字母相乘要数在前，字母在后并省略乘号，故原式书写错误； （3）书写正确； （4）除号应用分数线，故原式书写错误； （5）书写正确； （6）吨应加括号，故原式书写错误； 符合代数式书写要求的有2个． 故选：D． 2．下列式子：①；②；③；④，其中格式书写正确的个数有 个． 【答案】2 【分析】本题考查了代数式，代数式的书写要求：在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写，带分数要写成假分数的形式；根据代数式的书写要求逐项判断即可得解，熟练掌握代数式的书写要求是解此题的关键． 【详解】解：①应写成分数 ，故书写错误，不符合题意； ②应写成，故书写错误，不符合题意； ③书写正确，符合题意； ④书写正确，符合题意； 综上所述，书写正确的有③④，共个， 故答案为：． 3．下列用字母表示数的写法中哪些不规范，请改正过来． (1)3x＋1；(2)m×n－3；(3)2×y；(4)a·m＋b×n元；(5)a÷(b＋c)；(6)a－1÷b． 【答案】见解析 【分析】（1）根据数与字母相乘的规则判断即可； （2）根据字母与字母相乘的规则判断即可； （3）根据数与字母相乘的规则判断即可； （4）根据字母与字母相乘的规则判断即可； （5）根据除号一般用分数线表示的规则判断即可； （6）根据除号一般用分数线表示的规则判断即可． 【详解】解：(1)3x＋1书写规范； (2)m×n－3应该是mn－3； (3)2×y应该是2y； (4)a·m＋b×n元应该是(am＋bn)元； (5)a÷(b＋c)应该是 ； (6)a－1÷b应该是a－． 【点睛】本题主要考查代数式的书写，掌握代数式的书写要求是解题的关键． 类型六、同类型的定义 1．下列式子中，的同类项是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是同类项的定义，解题的关键在于掌握判断同类项的依据． 根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的次数相同，逐项判断，即可解题． 【详解】解：根据同类项的定义可知，的同类项是， 故选：D． 2．请写出的一个同类项 ． 【答案】 【分析】本题主要考查同类项的定义，解题的关键是熟练掌握同类项定义； 根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，只需含字母x、y并且x的指数是2，y的指数是1即可． 【详解】解：根据同类项的定义可知：的同类项可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 3．下列各题中的两项是不是同类项？若不是，请说明理由． (1)与； (2)与； (3)与； (4)与； (5)与； (6)与． 【答案】(1)不是同类项，虽然所含字母相同，但相同的字母的指数不同 (2)不是同类项，因为所含字母不同 (3)是同类项 (4)是同类项 (5)是同类项 (6)是同类项 【分析】本题主要考查了同类项的概念如果两个单项式，他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项，熟练掌握同类项的定义是解此题的关键． （1）根据同类项的定义判断即可得解； （2）根据同类项的定义判断即可得解； （3）根据同类项的定义判断即可得解； （4）根据同类项的定义判断即可得解； （5）根据同类项的定义判断即可得解； （6）根据同类项的定义判断即可得解． 【详解】（1）解：与不是同类项，虽然所含字母相同，但相同的字母的指数不同； （2）解：与不是同类项，因为所含字母不同； （3）解：与是同类项 （4）解：与是同类项 （5）解：与是同类项 （6）解：与是同类项． 类型一、单项式的系、次数 1．单项式的系数是（   ） A．5 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式的知识，单项式中的数字因数叫做单项式的系数．根据单项式的概念求解． 【详解】解：单项式的系数是． 故答案为：D． 2．单项式的系数为 ． 【答案】 【分析】此题考查了单项式的系数，单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，据此进行解答即可． 【详解】解：单项式的系数为． 故答案为： 3．判断下列各代数式是不是单项式，如果不是，请说明理由；如果是，请指出它的系数与次数： (1)； (2)． 【答案】(1)不是单项式，理由见解析 (2)是单项式，它的系数是，次数是3 【分析】本题考查的是单项式，熟知数或字母的积组成的式子叫做单项式；单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数是解答此题的关键． （1）根据单项式的定义进行解答即可； （2）根据单项式的定义，单项式系数及次数的定义进行解答即可． 【详解】（1）解：不是单项式，因为代数式中出现了加法运算． （2）解：是单项式，它的系数是，次数是3． 类型二、多项式的系、次、项数 1．多项式的次数和常数项分别是（　　） A．2和2 B．2和 C．3和2 D．3和 【答案】D 【分析】本题考查多项式的次数、项，根据次数最高的项的次数叫做多项式的次数，不含字母的项是常数项判断即可． 【详解】解：多项式的次数是3，常数项是． 故选：D． 2．多项式的次数是 ，二次项系数是 ． 【答案】 5 【分析】本题考查多项式的次数，系数．多项式包含的单项式中未知数的次数总和的最大值即为多项式的次数．次数为2的单项式的数字因数即为二次项系数，由此可解． 【详解】解：多项式的次数，即单项式的次数，， 其中二次项为，系数为， 故答案为：5，． 3．下列整式中哪些是单项式？哪些是多项式？是单项式的指出系数和次数，是多项式的指出项和次数： ． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了单项式的定义，单项式的次数、系数的定义，多项式的定义及其次数和项的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数，据此求解即可． 【详解】解：是单项式，系数为，次数为； 是单项式，系数为，次数为； 是多项式，项分别是，次数为2； 是单项式，系数为1，次数为1； 是多项式，项分别是，次数为4； 是单项式，系数为32，次数为3； 是多项式，项分别是，次数为1． 类型三、不含某项、与某项无关 1．要使多项式化简后不含有x的二次项，则m等于（　　） A．0 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的加减，先将多项式展开并合并同类项，根据不含二次项的条件，令二次项系数为0，解方程即可． 【详解】解： ， 多项式化简后不含有的二次项， ∴令二次项系数为0，即， 解得， 故选：D． 2．若关于x，y的多项式与的差中不含项，则k的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，熟知不含某项即含某项的系数为0是解题的关键．根据题意列式，先去括号，然后合并同类项化简，再根据化简的结果不含项，即含项的系数为0进行求解即可． 【详解】解：根据题意： ； ∵多项式与的差中不含项， ∴，即， ∴， 故答案为：． 3．已知，，且的值与的取值无关，求的值． 【答案】 【分析】本题考查整式的化简求值，根据题意列式计算后求得的值后代入中计算即可． 【详解】解：，， ， 的值与的取值无关， ， 解得：， 则． 类型四、去括号与添括号 1．下列计算正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据合并同类项及去括号法则依次计算判断即可．本题考查合并同类项及去括号法则，熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. 不能合并，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 2．（1）（ ）+3 （2）（ ） 【答案】 【分析】本题考查了添括号的知识点，解决本题的关键是先确定括号内的内容，然后根据添括号的法则进行符号的调整. 添括号时，因为括号前是负号，括号里的每一项都需要变号. 【详解】解：（1）原式 故答案为： （2）原式 故答案为： 3．某同学化简出现了错误，解答过程如下： 原式第一步 第二步 第三步 (1)该同学解答过程从第几步开始出错，错误原因是什么？ (2)写出此题正确的解答过程． 【答案】(1)第二步；去括号时没有变号 (2)见解析 【分析】本题主要考查整式的运算，解题关键要掌握去括号法则；去括号时，括号外面是正号，则去掉括号后，括号里的各项不改变符号，去括号时，括号外面是负号，则去掉括号后，括号里的各项要改变符号； （1）根据去括号法则判断第二步出错； （2）正确去掉括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：该同学解答过程从第二步开始出错，错误原因是去括号时没有变号； （2）原式 ． 类型一、阴影部分的周长与面积问题 1．如图，长方形中挖去一个圆形，则阴影部分面积的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列代数式，利用长方形的面积减去圆的面积，表示出阴影部分的面积即可． 【详解】解：由图可知，阴影部分的面积为：； 故选A． 2．如图，正方形的边长为分别为线段上的点，，则图中的阴影部分面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，用正方形的面积减两个三角形的面积是关键．由于阴影部分不规则，所以可考虑用正方形的面积减两个三角形的面积． 【详解】解：用正方形的面积减两个三角形的面积可得： 故答案为：． 3．如图，矩形为公园的一个花圃示意图（阴影部分种花，其他部分种草），其中矩形长为，宽为． (1)根据图中的数据，用含和的代数式表示阴影部分的面积； (2)若，种花的费用为每平方米100元，种草的费用为每平方米 50元，求共需要多少钱？ 【答案】(1) (2)共需要2200元 【分析】本题主要考查了列代数式，代数式求值，有理数四则混合计算的实际应用： （1）用的面积减去的面积即可得到答案； （2）根据（1）所求，直接代值计算求出阴影部分的面积，再求出空白部分的面积，然后分别求出种花和种草的费用，二者求和即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：当时，， ∴阴影部分面积为； ， ， 元， ∴共需要2200元 类型二、程序问题 1．如图是一个数值转换机的示意图，若输入x的值为3，y的值为，则输出的结果为（   ） A． B．5 C． D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了求代数式的值，有理数的混合运算，本题是操作型题目，利用程序图中的程序得到代数式是解题的关键．由题意得到程序运算的代数式，分别将，y的值代入，运算即可． 【详解】解：由题意得 图中运算程序为 当输入的值为3，y的值为时， ． 故选：B 2．一个运算程序如右图所示，若输入数字为5，则结果是( )． 【答案】26 【分析】本题考查程序框图的运算，先判断5是质数还是合数，再计算即可． 【详解】解：输入5，5是质数，，输出结果26， 故答案为：26． 3．有一数值转换器，原理如下图所示： (1)如果开始输入的值是1，可发现第一次输出的是4，第二次输出的是 ，第三次输出的是 ，第四次输出的是 ，…； (2)如果开始输入的数是11，可发现第一次输出的是14，第二次输出的是7，…，请你探索：第2017次输出的结果是 和2018次输出的结果是 ． 【答案】(1)2，1，4 (2)2，1 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据所给数值转换器，通过计算发现输出结果的变化规律是解题的关键． （1）根据所给数值转换器，进行计算即可； （2）根据输入的数是11，依次求出输出的结果，发现规律即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知，当输入x的值是1时， 第一次输出的数是：； 第二次输出的数是：； 第三次输出的数是：； 第四次输出的数是：； 故答案为：2，1，4； （2）解：由题知，当输入x的值是11时， 第一次输出的结果是：； 第二次输出的结果是：； 第三次输出的结果是：； 第四次输出的结果是：； 第五次输出的结果是：； 第六次输出的结果是：； 第七次输出的结果是：； 第八次输出的结果是：； 第九次输出的结果是：； …， 由此可见，从第六次输出的结果开始按4，2，1循环， 因为余2， 所以第2017次输出的结果为2； 第2018次输出的结果为1． 故答案为：2，1． 类型三、摆放规律 1．如图所示的图案是由相同大小的圆点按照一定的规律摆放而成的，按此规律，第个图形中圆点的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查图形的变化规律．根据图形可知每个图形都比前一个多3个圆点，又第一个图形有个，即第n个图形就有个． 【详解】解：由题知，第1个图形圆点个数为：； 第2个图形圆点个数为：； 第3个图形圆点个数为：； 第4个图形圆点个数为：； ..． 第n个图形圆点个数为：； 故选：C． 2．按照如图所示的规律摆下去，第20个图形摆放的黑色棋子的个数是 ． 【答案】440 【分析】本题主要考查图形规律，可以发现第1个图形中黑色棋子的个数是；第2个图形中黑色棋子的个数是；依此可得出第n个图形摆放的黑色棋子的个数为，然后代入计算即可求解． 【详解】解：由分析可得：第20个图形需要黑色棋子的个数是（个）． 故答案为：440． 3．如图所示，改变五子棋中黑棋的摆放方式，解答下列问题． (1)观察图①和图②，五子棋分别被直线和折线隔开摆放成4层，按照图中规律继续摆下去，第 n 层有__________个棋子； (2)数图中棋子的总个数可以有多种不同的方法：如：前2层棋子的个数和为或，因此可以得到，同样，前3层棋子的个数和为，前4层棋子的个数和为，… 根据上述规律，前n层棋子的个数和用含n的代数式可以表示为________________； (3)运用（2）中发现的规律，计算：． 【答案】(1) (2) (3)2500 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，图形的变化类，根据已知图形得出数字的变化规律是解题关键． （1）根据已知数据即可得出每一层棋子个数是连续的奇数，进而得出答案； （2）利用已知数据的规律即可得出答案； （3）利用（2）中发现的规律得出答案即可． 【详解】（1）解：根据题意得：第一层有1个棋子， 第二层有个棋子， 第三层有个棋子， 第四层有个棋子， 第五层有个棋子， 第六层有个棋子， ……， 由此发现，第n层有个棋子， 故答案为：； （2）解：∵前2层棋子的个数和为或， 因此可以得到， ∵前3层棋子的个数和为，前4层棋子的个数和为，… ∴前n层棋子的个数和， 即前n层棋子的个数和用含n的代数式可以表示为． 故答案为：； （3）解：由（2）知，， 当，即时， ∴． 类型四、整除问题 1．一个正两位数M，它的个位数字是a，十位数字比个位数字大3，把M十位上的数字与个位上的数字交换位置得到一个新两位数N，则的值总能(   ) A．被6整除 B．被9整除 C．被11整除 D．被22整除 【答案】B 【分析】本题考查整式加减运算的应用，列代数式，先用含a的式子表示出M和N的十位数字、个位数字，进而表示出，即可求解． 【详解】解：由题意知，数字M的个位数字是a，十位数字为， 数字N的十位数字是a，个位数字为， 则 ， 因此的值总能被9整除， 故选：B． 2．定义：如果一个四位数的各数位上的数字均不为0，且满足，那么称这个四位数为＂四自少年数＂，例如：四位数5321，，是“四自少年数”，则最小的“四自少年数”为 ；若一个“四自少年数”满足的和能被6整除，则满足条件的最大的“四自少年数”为 ． 【答案】 3211 9633 【分析】本题考查列代数式，新定义运算，理解新定义概念，正确推理计算是解题关键．根据＂四自少年数＂的概念先求得，再分类讨论求得最小的“四自少年数”， 再求得，由的和能被6整除，可得能被3整除，再分类讨论求得满足条件的最大的“四自少年数”． 【详解】解：由题意可得，， 整理，可得， 四位数中，均为整数，各数位上的数字均不为0， 当时，根据，可得无合适的数使得等式成立， 当时，根据，可得使得等式成立，但不符合题意， 当时，根据，可得使得等式成立， 最小的“四自少年数”为3211； ， ， ， 的和能被6整除， 能被3整除， 当时，根据，可得无合适的数使得等式成立， 当时，根据，可得无合适的数使得等式成立， 当时，根据，可得无合适的数使得等式成立， 当时，根据，可得使得等式成立， 满足条件的最大的“四自少年数”为9633， 故答案为：3211；9633． 3．我们用表示一个三位数，其中x表示百位上的数，y表示十位上的数，z表示个位上的数，即． (1)试证明：若可以被3整除，则可以被3整除； (2)若能被13整除，求x，y，z之间满足的数量关系． 【答案】(1)证明见解析过程 (2)或 26 【分析】本题考查了整式加减的应用，数的整除的有关内容，关键在于先对式子进行化简整理，再利用数的整除的知识点，进行分析，即可快速解答． （1）将进行化简整理，容易看出均可以被 3 整除，因此可以被 3 整除； （2）将进行化简整理，根据题意得可以被 13 整除，因此或 26 ． 【详解】（1）证明：， ∵可以被 3 整除，均可以被 3 整除， ∴可以被 3 整除； （2）解： ， 因为能被 13 整除，所以可以被 13 整除， 由题意知， 因此 ， 因此或 26 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $