专题06 有理数的乘方与混合运算重难点题型专训（5个知识点+11大题型+3拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学上册重难点专题提升讲练（北师大版2024）

该初中数学讲义以“有理数的乘方与混合运算”为核心，构建了从概念理解到实际应用的完整知识体系。通过清晰的知识框架图梳理五大核心知识点，用表格对比正负数乘方符号规律，借助思维导图串联起幂的意义、运算规则、科学记数法及四则混合运算顺序等重难点内容，体现各模块间的逻辑关联和内在结构。 讲义的亮点在于“问题驱动+方法提炼”的练习设计，如经典例题中“算24点”引导学生运用运算律灵活组合数字，培养运算能力和推理意识；拓展训练中“乘方规律探究”鼓励学生观察末位数字变化趋势，发展抽象能力和创新意识。每类题型均配有典型错因分析和解题策略指导，基础薄弱生可掌握规范步骤，优等生能突破综合难题，教师据此实现精准诊断与分层教学，助力学生自主复习与能力进阶。

专题06有理数的乘方与混合运算重难点题型专训 （5个知识点+11大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 有理数幂的相关概念 题型二 有理数的乘方运算 题型三 有理数乘方的逆运算 题型四 乘方运算的符号规律 题型五 乘方的应用 题型六 用科学记数法表示数 题型七 将科学记数法表示的数变回原数 题型八 与科学记数法有关的计算问题 题型九 有理数四则混合运算的实际应用 题型十 程序流程图 题型十一 算24点 拓展训练一 有理数乘方的规律计算探究 拓展训练二 有理数四则混合运算综合 拓展训练三 有理数四则混合运算实际应用综合 知识点一、有理数的乘方 求相同因数的积的运算叫做乘方，相同因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数，乘方的运算结果叫做幂. 一般地，记作，读作“a的n次方”，其中a叫做底数，n叫做指数，当看作a的n次方的计算结果时，也可以读作“a的n次幂”. 1. 乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果； 2. 一个数可以看作是它本身的一次方，指数1可省略不写； 3. 底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来； 4. 当负数或分数作为底数时，底数必须用括号括起来； 5. 一个数的二次方又称为这个数的平方，一个数的三次方又称为这个数的立方. 【即时训练】 1．（2025·吉林长春·二模）下列说法不正确的是（   ） A．可表示两个5相加 B．可表示五个2相加 C．可表示两个5相乘 D．可表示五个2相乘 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的乘法和乘方，根据有理数的乘法和乘方的定义判断即可得出答案． 【详解】解：A、可表示两个5相加，正确，故不符合题意； B、可表示五个2相加，正确，故不符合题意； C、可表示五个2相乘，原说法不正确，故符合题意； D、可表示五个2相乘，正确，故不符合题意； 故选：C． 2．（2025·吉林长春·模拟预测）在中，底数是 ． 【答案】 【分析】根据乘方的定义，明确乘方表达式中底数的概念来求解．本题主要考查乘方的定义，熟练掌握乘方表达式中底数、指数的概念是解题的关键． 【详解】解：在中，底数是． 故答案为： ． 知识点二、有理数乘方的运算 （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4） 有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值. 【即时训练】 1．（23-24七年级上·甘肃兰州·期中）下列式子中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数数的乘方，分别计算出每个数的乘方，再进行比较即可． 【详解】解：Ａ、∵，∴，故此选项正确，符合题意； Ｂ、∵，，∴，故原选项计算错误，不符合题意； C、∵，∴，故原选项计算错误，不符合题意； D、∵，，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：A． 2．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： ， ， ． 【答案】 4 / 【分析】本题考查了有理数的乘方，根据表示个相乘的积计算即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：4；；． 知识点三、科学记数法 1. 科学计数法的定义：一般地，一个大于10的数可以写成的形式，其中，n是正整数，这种记数方法称为科学记数法. 2. 如何确定科学记数法中的a和n （1） a是一个整数数位只有一位的数，即； （2） 确定n的两种方法：①若这个数是大于10的数，则n等于原数的整数位数减1；②按小数点移动的位数来确定n的值，小数点向左移动了几位，n就等于几. a) 用科学记数法表示的数只是改变数的形式，而没有改变数的性质和大小； b) 用科学记数法表示一个带有单位的数时，其表示的结果也应带有单位，并且前后要一致； c) 用科学记数法表示负数的方法和正数一样，就是要在前面多一个“－”号； d) 对用科学记数法表示的数进行还原时，只需将小数点向右移动n位（不足的数位用0补齐），并把乘号和去掉. 【即时训练】 1．（2025·吉林长春·二模）截至2025年3月9日，《哪吒之魔童闹海》（《哪吒2》）的全球票房（含预售及海外）已超过148亿元人民币，成功跻身全球影史票房榜第六位，148亿这个数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 利用科学记数法的表示形式进行表示即可． 【详解】解：148亿． 故选：B． 2．（24-25九年级上·重庆垫江·期末）美丽的三合湖湿地公园完成蓄水后，蓄水量达到1400000，把数据1400000用科学记数法记为 ． 【答案】 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】把数据1400000用科学记数法记为． 故答案为：． 知识点四、有理数的混合运算顺序 1. 先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2. 同级运算，按照从左到右的顺序进行； 3. 如果有括号，先进行括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次计算；如需去括号，一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号. PS：在有理数混合运算中，通常情况下，带分数要先化成假分数，小数要先化成分数，再进行计算，有些计算是可以同时进行的. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）下列算式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，根据含乘方的有理数混合运算法则以及运算顺序逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A．，故A错误； B．，故B错误； C．，故C正确； D．，故D错误． 故选：C． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）计算： ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算．根据有理数的乘方，绝对值的性质计算即可． 【详解】解：． 故答案为：7 知识点五、利用运算律简便计算 1. 有理数运算律包括加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律及乘法分配律等； 2. 一些计算优先结合会简便很多，如下所示： （1） 相反数结合； （2） 凑整结合； （3） 正、负分别结合； （4） 同分母结合； （5） 倒数结合 【即时训练】 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算，需按照运算顺序和法则逐一验证各选项. 【详解】选项A：=，结果应为，故A错误. 选项B：=，结果应为，故B错误. 选项C：=，故C错误. 选项D：=，故D正确. 故选：D. 2．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法和加法运算，解题的关键是熟练运用有理数乘、加法的运算法则． 先分别计算两个乘法式子，再将所得结果相加． 【详解】原式． 【经典例题一 有理数幂的相关概念】 【例1】（2025·吉林长春·二模）对于式子，下列说法正确的是（   ） A．指数是 B．底数是3 C．幂是9 D．表示2个3相乘 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘方，中a为底数，b为指数，结果为幂，表示b个a相乘，由此逐项判断即可． 【详解】解：对于式子， 指数是2，故A选项错误； 底数是，故B选项错误； ，即幂是9，故C选项正确； 表示2个相乘，故D选项错误； 故选：C． 【例2】（24-25七年级上·全国·假期作业）把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数各是什么． (1)； (2) 【答案】(1)，底数为，指数为5 (2)，底数为，指数为6 【分析】本题考查乘方定义，乘方是一种特殊的乘法运算，幂是乘方的结果，当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括起来再写指数．首先化成幂的形式，再指出底数和指数，熟记乘方定义是解决问题的关键． 【详解】（1）解：， 底数为，指数为5； （2）解：， 底数为，指数为6． 1．（25-26七年级上·陕西西安·开学考试）与（    ）相等． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题考查了乘方的意义，根据乘方的意义，表示个相乘，据此可得答案， 【详解】解：表示a与自身相乘，即；、是“a的2倍”，是“a加 2”，均与含义不同． 故选：C． 2．（2025七年级上·河北·专题练习）我们知道相同加数可以写成乘法，如：，这样可以给我们解决问题带来方便．其实相同因数的乘法也可以写成乘方的形式，如，那么根据上述提示计算（ ） A．3 B．6 C．9 D．27 【答案】D 【分析】本题主要考查了乘方，表示个相乘，展开就是，一共有个相乘，所以，根据乘法法则计算即可． 【详解】解：. 故选：D. 3．（24-25六年级上·上海宝山·期末）5个相乘用乘方的形式表示： ． 【答案】 【分析】此题考查了乘方定义的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识．运用乘方的定义进行求解． 【详解】解：由题意得， 故答案为： 4．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）仔细观察下列算式：，． (1) ； (2) ； (3) ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据有理数的乘方的意义，有理数的乘法运算进行计算即可求解； （2）根据有理数的乘方的意义，有理数的乘法运算进行计算即可求解； （3）根据（1）（2）得出结论，即可求解． 【详解】（1）， 故答案为：． （2）， 故答案为：． （3） 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数乘方的意义，熟练掌握幂的概念是解题的关键． 【经典例题二 有理数的乘方运算】 【例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）化简的结果是（ ） A． B．64 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算以及负整数指数幂． 先根据幂的乘方对原式进行计算，再计算负整数指数幂即可得到答案． 【详解】解： 故选：D. 【例2】（2025七年级上·全国·专题练习）计算： ； ； ； ． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的乘方，熟练掌握乘方的运算法则是解题的关键． 根据乘方的定义计算即可； 【详解】解：； ； ； ． 故答案为；；；． 1．（24-25七年级上·河北廊坊·阶段练习）对于与，下列说法正确的是（    ） A．它们的底数相同 B．它们的结果相等 C．它们的底数不同，但结果相等 D．它们的底数不同，并且结果也不相等 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方的定义，理解有理数的乘方的定义是解题的关键． 先确定和的底数和运算结果即可解答． 【详解】解：∵ 的底数为，的底数为，，， ∴和底数不同，并且结果也不相等． 故选：D． 2．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）下列各对数中，数值相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查的有理数的乘方，根据乘方的运算法则算出各自的结果，再比较即可得到答案． 【详解】解：A. 与，数值不相等； B. 与，数值相等； C. 与，数值不相等； D. 与，数值不相等； 故选：B． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算：（1） ； （2） ； （3） ， ． 【答案】 16 9 【分析】本题主要考查了有理数乘方运算，熟练掌握运算法则进行计算即可； （1）根据多个有理数乘法运算法则，求出结果即可； （2）根据乘方定义和多个有理数乘法运算法则，求出结果即可； （3）根据乘方运算法则，直接得出结果即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）； 故答案为：；16 （3）； ． 故答案为：；9． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题主要考查有理数的乘方运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式直接进行四次方运算即可得到答案； （2）原式直接进行四次方运算即可得到答案； （3）原式直接进行立方运算即可得到答案； （4）原式将分子进行立方运算即可得到答案； （5）根据的偶次方等于1可得结果． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：． 【经典例题三 有理数乘方的逆运算】 【例1】（23-24七年级上·甘肃兰州·期中）《庄子·天下篇》讲到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”意思是说一尺长的木棍，每天截取它的一半，千秋万代也截不完．一天之后“一尺之棰”剩尺，两天之后剩尺，那么五天之后，这个“一尺之棰”还剩（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，弄懂题意并掌握乘方的运算法则是解答的关键． 【详解】解：根据题意，第一天后剩尺， 两天之后剩（尺）， 第三天后剩（尺）， … 第n天后剩（尺）， 第五天后这个“一尺之棰”还剩（尺）． 故选：D．、 【例2】（24-25七年级上·贵州铜仁·期中）某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据，知道，可以求的值．如果知道，可以求的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，则．例如：，则． (1)填空：______； (2)计算：． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，读懂题意掌握运算法则是解题关键． （1）根据规定，进行求解即可； （2）先根据规定，求出，再进行加法运算即可； 【详解】（1）解：因为，所以． 故答案为： （2）因为，所以． 又因为， 所以． 所以． 1．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）如果，则是（   ） A．8或 B． C．4 D．4或 【答案】D 【分析】此题考查有理数的乘方．直接利用有理数的乘方运算法则计算得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴a是：4或−4． 故选：D． 2．（22-23七年级上·广东东莞·期中），由此你能算出（    ） A．6 B．8 C． D．十分麻烦 【答案】B 【分析】先把原式变形为，从而得到，即可求解． 【详解】解： ＝1×8 ＝8 故选：B． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方运算，掌握有理数乘方的意义是解题的关键． 3．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）如图，在下列计算程序中填写适当的数 ． 【答案】4或 【分析】本题主要考查了有理数乘方的逆运算，根据得到要填写的数与1的和为，据此可得答案． 【详解】解：∵，且， ∴填写的数为4或， 故答案为；4或． 4．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）已知，，，其中、、均为正整数， (1)根据题意，可求得 ， ， ； (2)计算的值； 【答案】(1)3，2，1 (2)216 【分析】本题主要考查了有理数乘方的运算，熟知乘方运算法则是正确解决本题的关键． （1）先根据，可得，即可求出n，a； （2）将数值代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵，即， ∴． ∵，即，且a为正整数， ∴． 故答案为：3，2，1； （2）解：原式． 【经典例题四 乘方运算的符号规律】 【例1】（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）若 ，则一定有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是乘方运算的符号规律，分别根据，，进行探究即可得到答案． 【详解】解：当，则， 当，则， 当，则，则， ∴当，则， 故选：C 【例2】（2025七年级上·全国·专题练习）判断下列各式计算结果的正负： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)正 (2)负 (3)负 (4)负 【分析】根据有理数乘方的符号规律解答即可． 【详解】（1）解： ∵的指数是12，为偶数，负数的偶次幂是正数， ∴的结果为正； （2）解：∵的指数是9，为奇数，负数的奇次幂是负数， ∴的结果为负； （3）解：∵表示的是的相反数，正数的任何次幂都是正数， 的结果为正，所以的结果为负； （4）解：∵的指数是11，为奇数，负数的奇次幂是负数， ∴的结果为负． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方的符号规律，掌握负数的偶次幂为正、奇次幂为负成为解答本题的关键． 1．（2024七年级上·江苏·专题练习）如果一个有理数的奇次幂是正数，那么这个有理数（　　） A．一定是正数 B．是正数或负数 C．一定是负数 D．可以是任意有理数 【答案】A 【分析】根据有理数的乘方法则进行判断即可．此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方运算法则是解本题的关键． 【详解】解：∵正数的任何次幂是正数，负数的奇次幂数负数，0正整数次幂是0 ∴一个有理数的奇次幂是正数，这个数一定是正数． 故选：A． 2．（23-24七年级上·河北唐山·期中）通过计算器计算发现：，，……，按照以上的规律计算的结果是（    ） A．123454321 B．1234564321 C．1234567654321 D．123456787654321 【答案】C 【分析】根据已知条件可以得到这样的规律：对于由1组成的数字，当平方后最中间的数字是几，这个数字就是由几个1组成． 【详解】解：根据已知条件可以得到这样的规律： 11的平方是121，中间的数字是2，111的平方是12321，中间的数字是3，…… 由此可以推断出：对于由1组成的数字，当平方后最中间的数字是几，这个数字就是由几个1组成；所以的结果是1234567654321， 故选C． 【点睛】本题主要考查了观察式子找规律，找到对于由1组成的数字，当平方后最中间的数字是几，这个数字就是由几个1组成的规律是解题的关键． 3．（24-25七年级上·四川南充·期中）已知的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查乘方的非负性．熟练乘方的非负性是解题的关键． 根据乘方的非负性，确定最大值即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴的最大值为：； 故答案为：． 4．（23-24七年级上·全国·课后作业）判断下列各式计算结果的正负： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）正；（2）负；（3）负；（4）负 【分析】根据有理数乘方的符号规律解答即可． 【详解】解：（1）的指数是12，为偶数，根据负数的偶次幂是正数，可知的结果为正； （2）的指数是9，为奇数，根据负数的奇次幂是负数，可知的结果为负； （3）表示的是的相反数，根据正数的任何次幂都是正数，可知的结果为正，所以的结果为负； （4）的指数是11，为奇数，根据负数的奇次幂是负数，可知的结果为负． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方的符号规律，掌握负数的偶次幂为正、奇次幂为负成为解答本题的关键． 【经典例题五 乘方的应用】 【例1】（2025七年级上·山西大同·专题练习）把一张正方形的纸连续对折次，折后的每一小份占这张正方形纸的（　　） A． B． C． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数乘方的应用，根据题意得出即可，掌握有理数乘方的运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得，折后的每一小部分占这张正方形纸的， 故选：． 【例2】（2024七年级上·全国·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】该题主要考查了有理数的乘方运算，解题的关键是掌握解答方法． 令，求出，根据即可求解． 【详解】解：令①， 则②， 得，即， 故， 即． 1．（24-25七年级上·贵州遵义·阶段练习）如图是一张长、宽的长方形纸片，第一次裁去一半，第2次裁去剩下部分的一半，…，按照此方式裁剪下去，第4次裁剪后剩下的长方形的面积是（   ） A． B． C．25 D．175 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方，分别求出第1次和第2次裁剪后剩下的图形的面积是解题的关键． 先求出第1次和第2次裁剪后剩下的图形的面积，总结出一般变化规律，即可解答． 【详解】解：长方形的面积为：， 第1次裁剪后剩下的长方形的面积， 第2次裁剪后剩下的长方形的面积， …… 第4次裁剪后剩下的长方形的面积． 故选：A． 2．（23-24九年级上·甘肃兰州·期中）你喜欢吃兰州牛肉面吗？拉面的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如下图所示．请问要想拉出128根面条，需要捏合的次数是（   ） A．5次 B．6次 C．7次 D．8次 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键． 根据题意归纳总结得到第n次捏合，可拉出根面条，结合可得到结果． 【详解】第一次捏合，可拉出2根面条；第二次捏合，可拉出根面条；第三次捏合，可拉出根面条； 以此类推，第n次捏合，可拉出根面条， 又， 第7次捏合，可拉出128根面条． 故选：C． 3．（24-25七年级下·河南郑州·阶段练习）某种细菌每1分钟由1个分裂成2个，经过3分钟，1个细菌分裂成23个，这些细菌再继续分裂t分后共分裂成 个． 【答案】/ 【分析】本题考查了乘方的意义．掌握乘方的意义是解决本题的关键．根据乘方的意义得结论． 【详解】解：∵每1分钟由1个分裂成2个， ∴经过3分，一个细菌分裂成个， ∴这些细菌再继续分裂t分后共分裂成个； 故答案为：． 4．（24-25六年级上·山东东营·期中）阅读材料： 求值：． 解：设① 将等式两边同时乘2，得② 得，， 即 请你仿照此法计算： (1)； (2)； (3)．（其中为正整数） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数乘方的应用，掌握乘方的运算法则是解题关键． （1）仿照例题，设，将等式两边同时乘2得到，作差求解即可； （2）仿照例题，设，将等式两边同时乘3，得，作差求解即可； （3）仿照例题，设，将等式两边同时乘3，得，作差求解即可； 【详解】（1）解：设①， 将等式两边同时乘2，得②， 得，， 即； （2）解：设①， 将等式两边同时乘3，得②， 得，，则， 即； （3）解：设①， 将等式两边同时乘3，得②， 得，，则， 即． 【经典例题六 用科学记数法表示数】 【例1】（2025·江西新余·三模）据商务部消息，年以来，电动自行车以旧换新取得积极成效．截至月日，今年全国 电动自行车售旧、换新各万辆，超过年总和．数据万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：万， 故选：． 【例2】（2024七年级上·全国·专题练习）用科学记数法表示下列各数： (1)1000000； (2)300000000； (3)8000000000； (4)10100000． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查科学记数法的表示方法，把一个大于10的数记成的形式，其中，n是正整数．根据科学记数法的定义解答即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 1．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）年前三季度安徽省地区生产总值亿元，其中数据“亿”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：亿， 故选：． 2．（24-25九年级上·北京·期末）推进美丽中国建设，绿色低碳生产生活方式加快形成．中国超额完成到2020年碳排放强度下降40%至45%的目标，累计减排二氧化碳吨，建成全球规模最大碳市场和清洁发电体系．将用科学记数法表示应为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：B． 3．（24-25七年级上·江苏南京·期末）2024年南京马拉松运动深受广大市民的欢迎，共有超过120000人报名，将数据“120000”用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：． 故答案为：． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）已知的氢气质量约为，请用科学记数法表示下列计算结果： (1)求一个容积为的氢气球所充氢气的质量； (2)一块橡皮重，这块橡皮的质量是的氢气质量的多少倍？ 【答案】(1) (2)倍 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用； （1）先用乘法求出氢气球所充氢气的质量, 再用科学记数法表示最终结果； （2）先用除法计算出这块橡皮的质量是的氢气质量的多少倍，再用科学记数法表示最终结果. 【详解】（1）解：． （2）． 故这块橡皮的质量是的氢气质量的倍． 【经典例题七 将科学记数法表示的数变回原数】 【例1】（24-25七年级上·全国·课后作业）下列求原数不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查科学记数法—原数，科学记数法表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．逐项判断即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，此项计算不正确，符合题意． 故选：D． 【例2】（25-26七年级上·全国·随堂练习）下列用科学记数法表示的数，原来分别是什么数？ ． 【答案】10000000，4000，8500000，704000，39600000 【分析】本题主要考查了绝对值较大的科学记数法，熟练掌握其中正整数）表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把的小数点向右移动位所得的数是解题的关键．据此即可求解． 【详解】解：； ； ； ； ． 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）若一个数用科学记数法表示为，则这个数是（    ） A．527000000 B．5270000 C．527000 D．52700000 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法，用科学记数法表示的数还原成原数时，时，是几，小数点就向右移几位． 【详解】解：， 用科学记数法表示为，则这个数是． 故选：B． 2．（2025九年级下·广西·专题练习）截至2025年3月25日，中国国家博物馆文创凤冠冰箱贴累计销量突破件，带动凤冠全系列产品销售额跨越亿元．用科学记数法表示的数原来是（ ） A．100000 B．1000000 C．10000000 D．0.000001 【答案】B 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大（或较小）的数，一般形式为，其中，n为整数，确定a与n的值是解题的关键．根据科学记数法的方法进行解题即可． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意． 故选：B． 3．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）《康熙字典》是清朝康熙年间出版的图书，字典全书共收录汉字余个，则的原数为 ． 【答案】47000 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．据此解答即可． 【详解】解：． 故答案为：47000． 4．（23-24七年级上·全国·课后作业）比较用科学记数法表示的两个数的大小： (1)与． (2)与． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将和化成原数比较即可判断出； （2）根据即可判断出． 【详解】（1）解：∵，， ， ∴； （2）解：∵， ， ∴． 【点睛】本题主要考查的是比较有理数的大小和科学记数法的应用，掌握此类问题的比较方法是解题的关键． 【经典例题八 与科学记数法有关的计算问题】 【例1】（2024七年级上·河南·专题练习）学习完有理数后，李老师留下了如下作业： 判断题（正确画“√”，错误画“×”）． 1.数轴上表示的点与原点的距离是2；（   ） 2.50000用科学记数法表示为；（   ） 3.近似数和的精确度是相同的；（   ） 4.向东走了记作，则向西走了记作．（   ） 嘉嘉看完题后很快给出了答案：1.√；2.×；3.×；4.×.在嘉嘉给出的答案中，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的特点，科学记数法，正负数的运用等知识，掌握有理数的相关概念是解题的关键． 根据数轴上距离的含义，科学记数法，近似数，正负数的意义进行判定即可求解． 【详解】解：1、数轴上表示的点与原点的距离是2；（√） 2、50000用科学记数法表示为；（×） 3、近似数和的精确度是相同的；（× ） 4、向东走了记作，则向西走了记作．（×） ∴嘉嘉给出的答案中，正确的有4个， 故选：D ． 【例2】（24-25七年级上·辽宁铁岭·期中）一粒米微不足道，有时总会在饭桌上不经意地掉下几粒，甚至有挑食的同学会倒掉整碗米饭．针对这种浪费现象，数学老师领同学们进行了实际测算，已知称得500粒大米重约10克，请你来计算： (1)一粒大米重约多少克？ (2)按我国现有人口14亿，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示） (3)假若我们把一年节约的大米卖成钱，按2元千克计算，可卖多少钱？（用科学记数法表示） (4)对于因贫困而失学的儿童，学费按每人每年500元计算，卖得的钱可供多少名失学儿童上一年学？ 【答案】(1) (2) (3)元 (4) 【分析】本题主要考查了有理数乘法的实际应用，有理数除法的应用，有理数乘除混合运算，科学记数法—表示较大的数，熟练掌握科学记数法是解题的关键． （1）根据500粒大米重约10克，直接列式计算即可； （2）14亿，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米，那么一年大约能节约的千克数可列式为，然后计算出答案即可； （3）直接用单价乘以重量即可得到答案； （4）直接用钱数除以每人每年的学费即可． 【详解】（1）解：500粒大米重约10克，那么一粒大米重约：（克）， 答：一粒大米重约克； （2）解：按我国现有人口14亿，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米， 那么一年大约能节约大米：（千克）， 答：一年大约能节约大米千克； （3）解：（元）， 答：可卖元； （4）解：（名）， 答：卖得的钱可供122640名失学儿童上一年学． 1．（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）中国探月工程走过20年，九天揽月，探索不止．嫦娥六号的飞行速度约为，从地球到月球需要飞行约，则地球与月球的距离（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的乘法和科学记数法，先根据有理数乘法计算出地球与月球的距离，再用科学记数法表示出结果即可． 【详解】解： ， 故选：A． 2．（23-24九年级下·山东威海·期中）我国发射的海洋Ⅰ号气象卫星，进入预定轨道后，若地球运行的速度为米/秒，则运行秒走过的路程是 米（用科学记数法表示） 【答案】 【分析】此题考查科学记数法，有理数乘法计算，正确掌握各计算法则是解题的关键，利用路程＝速度×时间得到答案． 【详解】解：运行秒走过的路程是米, 故答案为． 3．（22-23七年级上·浙江宁波·阶段练习）用科学记数法表示： ． 【答案】 【分析】先进行计算，再用科学记数法表示． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的乘法和乘方计算，以及用科学记数法表示较大的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）在国庆节的七天长假中，某风景区10月1日的旅游人数为6万人，后面的六天与10月1日相比每天旅游人数变化如下表：（正数表示人数增加） 日期 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化（单位：万人） (1)七天长假中游客人数最多的一天比最少的一天多几万人？ (2)据测算，平均每位游客为风景区带来的旅游收入约为200元，则该风景区在这七天假期的旅游总收入约为多少元？（结果用科学记数法表示） 【答案】(1)七天长假中游客人数最多的一天比最少的一天多1万人 (2)该风景区在这七天假期的旅游总收入约为元． 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算的实际应用，有理数减法的实际应用，科学记数法，正负数的实际应用： （1）用表格中人数变化最大的数减去最小的数即可得到答案； （2）先求出这七天的旅游总人数，再求出旅游总收入即可得到答案． 【详解】（1）解：万人， 答：七天长假中游客人数最多的一天比最少的一天多1万人； （2）解： 元， 答：该风景区在这七天假期的旅游总收入约为元． 【经典例题九 有理数的四则混合运算】 【例1】（22-23七年级上·四川资阳·期中）计算的结果是（   ） A．6 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算．设，可得，然后两式相减，即可求解． 【详解】解：设， ∴， ∴ 故选：D． 【例2】（25-26七年级上·全国·阶段练习）计算： (1)； (2) ； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)10 (2)3 (3) (4)20 (5)2 (6)2 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键， （1）先将减法转化为加法，再根据加法法则计算即可； （2）先将除法转化为乘法，再根据乘法法则计算即可； （3）根据乘法分配律进行简便计算即可； （4）根据运算顺序，先算乘除，再算加减即可； （5）根据运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减即可； （6）根据运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 1．（24-25七年级上·广东韶关·阶段练习）下列四个算式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目主要考查有理数的四则运算及乘方运算，熟练掌握运算法则是解题关键 根据有理数的四则运算及乘方运算依次判断即可 【详解】解：A、，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项正确，符合题意； D、，选项错误，不符合题意； 故选：C 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握知识是解题的关键． 根据有理数的乘方，乘除，加减运算，逐项分析判断，即可解答． 【详解】解：A．，该选项正确，符合题意； B． ，该选项错误，不符合题意； C． ，该选项错误，不符合题意； D． ，该选项错误，不符合题意． 故选：A． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)=________． (2)=___________． (3)=___________． (4)=___________． 【答案】(1) (2) (3)10 (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题关键是注意运算的顺序． （1）先计算乘方，括号里的，除法，再计算加减； （2）先计算乘方，绝对值里面的，除法，再计算绝对值与乘法，最后计算加减； （3）先计算乘方，再计算括号里面的，最后计算加减； （4）先计算绝对值，乘法，再计算加减． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4）原式 ． 4．（24-25七年级上·四川成都·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，含乘方的有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算乘法和除法，再运算加法，即可作答． （2）先根据有理数的乘法运算律进行运算以及算出乘方，化简绝对值，再运算加减法，即可作答． 【详解】（1）解： （2）解： 【经典例题十 有理数四则混合运算的实际应用】 【例1】（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（商品问题）某商品有两种不同型号，这两种型号都卖了64元，其中一件盈利，一件亏本，两种都卖出，商家（    ） A．不赔不赚 B．赔了 C．赚了 D．说不清 【答案】B 【分析】本题考查的是有理数的混合运算的实际应用，两种型号的商品成本不同，先列式求出各自成本再比较即可． 【详解】解：（元）， （元）， （元）， ，则商家赔了． 故选：B． 【例2】（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）某食堂购进30袋大米，每袋以50千克为标准，超过的记为正，不足的记为负，称重记录如表： 与标准重量偏差（单位：千克） 0 1 2 3 袋数 5 10 3 1 5 6 (1)这30袋大米的总重量比标准总重量是多还是少？相差多少？ (2)大米单价是每千克元，食堂购进大米总共花多少钱？ 【答案】(1)多千克 (2)食堂购进大米总共花元． 【分析】此题考查有理数的混合运算的应用； （1）根据表格数据，以及正负数的意义列出算式，然后进行计算即可求解； （2）根据30袋大米的总重量乘以单价，即可得到总费用． 【详解】（1）解：千克， 答：这袋大米共多出千克； （2）解：∵这袋大米的总质量是：千克，大米单价是每千克元， ∴总费用元． 答：食堂购进大米总共花元． 1．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知长为120米的秋游队伍，以3米/秒的速度向东行进，在队尾处的甲有一物品要送到队头，送到后立即返回队尾．若甲的往返速度均为5米/秒，则甲往返共用的时间为（　　） A．64 B．75 C．120 D．60 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，甲到队头的时间为队伍的长度除以甲的速度减去乙的速度，甲从队头到队尾的时间等于队伍的长度除以甲的速度加上乙的速度，据此列式求解即可． 【详解】解：秒， ∴ 甲往返共用的时间为75秒， 故选；B． 2．（24-25七年级上·山西吕梁·阶段练习）为了增强身体素质，刘老师每天早上都会在操场进行体育锻炼，她沿着如图所示的学校操场边缘跑一圈是（取）（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查有理数运算的应用，操场一圈的长度等于直径是米的圆的周长加上两条直跑道的长度，根据圆的周长公式，把数据代入公式解答．正确理解题意并列式计算是解题的关键． 【详解】解： （米） ∴她沿着如图所示的学校操场边缘跑一圈是米． 故选：C． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）一种金属丝在温度是时，长，温度每升高或降低，它的长度就随之伸长或缩短．当金属丝冷却后，长度变为，则该金属丝的温度变化了 ． 【答案】80 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是读懂题意，掌握运算律. 根据题意列出相应的式子求解即可. 【详解】解：由题意可得： 所以金属丝的温度降低了（负号代表降低）. 故金属丝的温度变化了 故答案为：． 4．（24-25七年级下·重庆·开学考试）B地在A，C两地之间．甲从B地到A地去，甲出发后1时乙从B地出发到C地，乙出发后1时丙突然想起要通知甲、乙一件重要事情，于是从B地出发骑车去追赶甲和乙．已知甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3倍，为使丙从B地出发到最终赶回B地所用时间最少，丙应当先追甲再返回追乙，还是先追乙再返回追甲？ 【答案】丙应先追乙再返回追甲． 【分析】此题考查了，分别求出先追乙，再追甲与先追甲，再追乙的时间，即可得到答案． 【详解】解：先追乙，再追甲： （小时） 先追甲，再追乙： （小时） ∵， ∴先追乙，再追甲的时间少， 答：丙应先追乙再返回追甲． 【经典例题十一 程序流程图】 【例1】（24-25七年级上·湖北襄阳·阶段练习）小勤设计了一个计算程序（如图），如果输入的数是4，那么输出的结果是（　　） A． B．6 C． D．9 【答案】D 【分析】本题考查了有理数运算，根据程序，当计算的结果小于或等于0时，要将结果再输入，直到结果大于0才可以输出结果． 【详解】解：由题意得， ， ， ， 输出结果为 故选：D． 【例2】（24-25七年级上·全国·课后作业）在图中输入，按所示的程序运算（完成一个方框内的运算后，把结果输入下一个方框继续进行运算），并写出输出的结果． 【答案】3 【分析】本题考查有理数混合运算，解题关键是弄懂程序运算图，根据题意把输入值代入，按程序一步一步计算． 【详解】解：∵输入， ∴，，． ∵， ∴重新输入1， ∴，，． ∵， ∴输出的结果为3． 1．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）乐乐在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，如果输入1，则输出的结果是（   ） A．1 B． C． D．13 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的混合运算．把代入程序中计算，判断结果与的大小，即可． 【详解】解：若输入1，则 ， 即输出的结果是． 故选：B 2．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）如图所示的运算程序中，如果开始输入x的值为2，可以发现第一次输出的结果为，第二次输出的结果为，…，则第2025次输出的结果是（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了规律型—数字的变化类，找出变化规律是解题的关键．计算出第次，第次的输出结果，发现输出结果以、、为一个循环组依次循环，然后计算即可． 【详解】解：∵第次输出的结果为， 第次输出的结果为， ∴第次输出的结果为， 第次输出的结果为， ∴输出结果以、、为一个循环组依次循环， ∵， ∴第2025次输出的结果为1， 故选：A． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示的是一个简单的数值运算程序，当输入的数值为时，其输出的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，解题的关键是按照运算程序逐步进行乘法计算． 根据数值运算程序，将代入，依次进行乘法运算． 【详解】解：输入，运算程序为． 原式 ， 所以当输入时，输出结果为． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，是一个数值转换机的示意图． (1)若输入x的值是3，则输出y的值等于______； (2)若输出y的值是3，求输入x的值． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查有理数混合运算，正确理解程序框图是解题的关键． （1）将代入，即可求解； （2）输出y的值是3，则，即可求解． 【详解】（1）解：输入x的值是3，则， 故答案为：8； （2）解：输出y的值是3，则， ， 解得：． 【经典例题十二 算24点】 【例1】（24-25七年级上·湖北武汉·开学考试）下面各组数中，不能通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24的是（　　） A．1，1，7，7 B．2，2，8，8 C．1，1，2，8 D．1，1，4，6 【答案】A 【分析】本题考查有理数的四则运算，通过尝试不同的四则运算组合，判断每组数字是否能得到24． 【详解】解：A、无法通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； B、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； C、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； D、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24． 故选：A 【例2】（2024七年级上·全国·专题练习）小明和小刚玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（四张牌必须都用且每张牌上的数字只能用一次），使运算结果等于24．其中“J”代表11、“Q”代表12、“K”代表13． (1)小明抽取的四张牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式； (2)小刚抽取的四张牌分别是方块3，梅花3，黑桃7，梅花7，请帮小刚列出一个结果等于24的算式． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，24点的计算方法，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的混合运算，24点的计算方法计算即可； （2）根据有理数的混合运算，24点的计算方法计算即可． 【详解】（1）解：或或．（答案不唯一，合理即可） （2）解：． 1．（24-25七年级上·浙江温州·期中）有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则逐项计算可得答案． 【详解】解：A．，故符合题意； B．，故不符合题意； C．，故不符合题意；     D．，故不符合题意； 故选A． 2．（23-24七年级上·广东佛山·开学考试）“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 【答案】A 【分析】根据题意，逐项组合计算，即可作答． 【详解】A项，1，6，8，7，不能算出结果为24，故符合题意； B项，，能算出结果为24，故不符合题意； C项，，能算出结果为24，故不符合题意； D项，，能算出结果为24，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了数之间的混合运算，根据已有的数据灵活组合举例，是解答本题的关键． 3．（24-25七年级上·福建宁德·期中）“24点”游戏规则如下：将四个数用“加、减、乘、除”进行混合运算，（每个数必须且只用一次，可以添加括号），使其运算结果等于24．如3，8，8，9进行“24点”游戏的算式是或．现有，3，4，10，则列出一个求“24点”的算式是 （写出一种即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的加减乘除法，熟练掌握运算法则是解题关键．根据、利用有理数的加法与乘法列出算式即可得． 【详解】解：可列出算式是， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·广东汕头·期中）红红有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，解决下列问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相减的差最大，最大值是______． (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相除的商最小，最小值是______． (3)从中取出0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除、乘方混合运算，使结果为24，写出一种符合要求的运算等式．（注：每个数字只能用一次）． 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算的法则是解题的关键． （1）依据题干要求选取3，，列式运算即可； （2）依据题干要求选取1，，列式运算即可； （3）按要求列式运算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴从中取出2张卡片，数字相减的差最大，最大值是． （2）解：从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相除的商最小，最小值是 ． （3）解：由题意得：； ∴取出的4个数进行的运算式为． 【拓展训练一 有理数乘方的规律计算探究】 【例1】（24-25七年级上·全国·单元测试）观察下列等式：，，，，，…根据其中规律可得的结果的个位数字是（   ） A．3 B．9 C．7 D．1 【答案】D 【分析】本题考查尾数特征，抓住的尾数特征是求解本题的关键． 根据的尾数特征判断． 【详解】解：根据，，，，可得， 个位数字分别为，，，，， 故的个位数按，，，循环出现． ， 的个位数是1． 故选：D． 【例2】（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）探究规律： （1）计算： ① 2－1＝ ； ② 22－2－1＝ ； ③23－22－2－1＝ ； ④24－23－22－2－1＝ ； （2）根据上面结果猜想： ① 22020－22019－22018－…－23－22－2－1＝ ； ②2n－2n－1－2n－2－…－23－22－2－1＝ ； ③212－211－210－29－28－27－26＝ ； 【答案】（1）①1； ②1；③1；④1 （2）①1；②1；③64 【分析】（1）①简单计算即可得到结果； ②，代入计算即可； ③，代入计算即可； ④，代入计算即可． （2）①根据（1）中，四个式子的计算结果，进行猜想即可； ②根据（1）中，四个式子的计算结果，进行猜想即可； ③对比规律可发现，需要将式子变形为： 计算即可． 【详解】解：（1）计算：① ②； ③ ； ④； （2）①； ②； ③ = = = 【点睛】本题考查幂的运算，根据规律进行猜想，并对比分析将式子变形计算是解题关键． 1．（24-25七年级上·全国·假期作业）观察下列算式：①；②；③寻找规律，并判断的值的末位数字为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了整式的规律探究，有理数的乘方．根据题意得到式子的规律，再根据幂的运算得到尾数的规律是解题的关键． 由题意可推导一般性规律为：，当时代入求解，然后找出2的次方末尾数字规律，进而可得结果． 【详解】解：由题意可推导一般性规律为：， 当时， ， ∴， ∵，，，，， ∴尾数是4个一循环， ∵， ∴尾数为：， 故选：C． 2．（23-24七年级上·福建厦门·期末）观察下列三组数的运算：，；，；，．联系这些具体数的乘方，可以发现规律．下列用字母表示的式子：①当时，；②当时，．其中表示的规律正确的是（    ） A．① B．② C．①、②都正确 D．①、②都不正确 【答案】B 【分析】根据三组数的运算的规律逐个判断即可得． 【详解】解：由三组数的运算得：， ， ， 归纳类推得：当时，，式子①错误； 由三组数的运算得：， ， ， 归纳类推得：当时，，式子②正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 3．（24-25七年级上·甘肃白银·期中）观察下列算式：根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了尾数特征的应用，先分别得出前几个的末位数字，得出末位数字每4个为一组，依次为1、3、7、5，据此即可解答． 【详解】解：根据题意可得： 1的末位数字为1， 的末位数字为3， 的末位数字为7， 的末位数字为5， 的末位数字为1， 末位数字每4个为一组，依次为1、3、7、5， ， 则该式末位数字为第506组的第四个数字， 的末位数字是5， 故答案为：5． 4．（22-23七年级上·湖北黄冈·阶段练习）观察下面三行数： ，9，，81···① 1，，9，···② ，10，，82···③ (1)认真观察第①行数的排列规律，若设第①行的第n个数为a，则 （用含n的式子表示） (2)分析第②③行数与第①行数分别之间的关系，解答问题：设x、y、z分别为第①②③行的2012个数，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）观察第①行数得，第①行数满足（n为该行第几个数，即n为正整数，且）． （2）观察第②③行数与第①行数，即可得出它们之间的关系，求出x，y，z的值，再代入求解即可． 【详解】（1）观察第①行数得，第①行数的规律是（n为该行第几个数，即n为正整数，且）． 故答案为：； （2）第②行数是第①行数对应的数除以的结果；第③行数是第①行数对应的数加1的结果． ，， ∴ ． 【点睛】本题考查了数字类的规律题，掌握数字之间的规律并代入代数式求解是解题的关键． 【拓展训练四 有理数四则混合运算综合】 【例1】（24-25七年级上·湖北黄冈·阶段练习）如果对于任意两个非零有理数a、b定义运算如下：则的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查定义新运算，根据定义新运算的运算法则进行计算即可解答． 【详解】解：由可知， 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·重庆·开学考试）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，乘法分配律，熟练掌握有理数的四则混合运算法则是解题的关键． （1）将带分数和百分数化为分数，利用乘法分配律计算即可； （2）利用乘法分配律计算即可； （3）将小数化为分数，利用乘法分配律计算即可； （4）将分数裂项，化简计算即可； （5）计算分子可得，再计算分母，即可解答； （6）将分数拆分分别计算即可； （7）将算式拆分，化简计算即可； （8）将带分数化为假分数，化简计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ； （8）解： ． 1．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）通过多次举例验证，发现取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．例如：取自然数5．经过下面5步运算可得1，即：．如果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题主要考查探寻数列规律问题以及逆推法的应用，注意观察总结出规律，并能正确的应用规律是解题关键． 首先根据题意，应用逆推法，用乘以，得到；用乘以，得到；用乘以，得到；用乘以，得到；然后分类讨论，判断出所有符合条件的的值，即可． 【详解】解： 逆运算 第步后的数为 ； 第步后的数： ； 第步后的数： ； 第步后的数： ； 第步后的数： ； 第步后的数： 或 ； 第步后的数： （舍去）或 或 （舍去） 或 ； 则原数为 或 或 或 ； 综上：所有符合条件的的值有4个． 故选：B． 2．（24-25七年级下·四川乐山·期中）已知：则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数字的变化规律，观察所给式子得到一般规律，即可求解 【详解】解：∵， ∴， ， 故选：A． 3．（2025·广东广州·模拟预测）已知为有理数，定义新运算：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，根据题目中的新定义可以计算出所求式子的值． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·全国·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，熟练掌握含乘方的有理数混合运算是解题的关键． （1）先算乘除，再算加减即可； （2）先算乘方和绝对值，再算乘法，最后算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【拓展训练五 有理数四则混合运算实际应用综合】 【例1】（24-25七年级上·四川绵阳·开学考试）小明一家共有三口人，小明的爸爸比妈妈大3岁，今年小明全家人的年龄总和为71岁，8年前全家人的年龄总和为49岁．小明的爸爸今年（　　）岁 A．33 B．34 C．36 D．40 【答案】B 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，根据题意，推出8年前小明还未出生，进而求出小明的年龄，再根据小明的爸爸比妈妈大3岁，今年小明全家人的年龄总和为71岁，进行求解即可． 【详解】解：因为岁，， 所以8年前小明未出生， 所以小明的年龄为：岁， 所以爸爸和妈妈的总年龄为岁， 因为爸爸比妈妈大3岁， 所以爸爸的年龄为：岁； 故选B． 【例2】（24-25七年级上·广东深圳·开学考试）张阿姨经营着一个体育用品商店．一次，她购进了一批皮球，进价是每个6元，打算以每个8元的价格卖出．实际上她在原定卖价的基础上打九折卖出，当这批皮球全部卖出后，张阿姨共获利润216元．问：张阿姨买进的这批皮球一共有多少个？ 【答案】180 【分析】本题考查了利润问题的实际应用，解题的关键是明确利润、单个利润与数量之间的关系，即总利润单个利润数量． 先根据原定卖价和折扣计算实际售价，再用实际售价减去进价得到单个皮球的利润，最后根据总利润和单个利润求出皮球的总数量． 【详解】解：皮球原定卖价为每个8元，打九折后的实际售价为元． 单个皮球的利润为实际售价减去进价，即元． 已知总利润为元，根据“数量总利润单个利润”， 这批皮球的数量为个． 答：张阿姨买进的这批皮球一共有个． 1．（25-26七年级上·浙江金华·自主招生）公交公司59路车早上发第一班车，以后每隔半小时发一班车，最后一班车是晚上．那么59路车一天共发了（    ）班车． A．13 B．25 C．28 D．27 【答案】C 【分析】本题主要是考查时间的推算．公交公司59路车早上发第一班车，以后每隔半小时发一班车，1小时分钟，1小时发（班），把普通计时法转化成24时计时法，用发最后一班车的时刻减开始发车的时刻就是一天发车的时间（小时数），再用每小时发的班数乘一天发的小时数加最后一班，就是这一天一共发车的班数． 【详解】解：早晨就是6.5时，晚上8时就是20时， （小时），1小时分， （班）， （班）， 所以，59路车一天共发了28班车． 故选：C． 2．（24-25六年级下·江西鹰潭·阶段练习）学校要买40盒彩笔，单价25元，三个商店的优惠方式各不相同，甲商店“买10送2”，乙商店打八五折，丙商店每满100元返现金16元，选择（   ）商店最合算． A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查有理数混合运算的应用，根据优惠方式列式计算出三家商店所需费用，比较大小即可． 【详解】解：甲商店：（元）， 乙商店：（元）， 丙商店：（元）， ， 因此选择丙商店最合算． 故选C． 3．（24-25七年级上·湖北十堰·期末）李阿姨在超市选购了袋大米、盒牛奶和盒果汁．正值超市举行“满元减元”的活动，请你算一算，李阿姨最终只需要支付 元． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算的实际应用，有理数的大小比较，根据“单价数量总价”分别计算出买大米、牛奶和果汁的总价，再把个数相加；再看得数是否大于，如果大于，就再减去元．正确理解题意列出算式并进行正确的运算是解题的关键． 【详解】解： ， ∵， ∴（元）， ∴李阿姨最终只需要支付元． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【分段收费】王老师与钱老师一起从学校出发，合乘一辆出租车，王老师去书店、钱老师去图书馆．如图，学校、书店、图书馆在同一条直线上，且书店离学校12千米．两人商定：先由钱老师付车费，再按坐车路程的比例分摊．已知出租车的收费标准为：0-3千米(起步价，含3千米)11元．3千米以上的部分每千米1.8元．到图书馆时钱老师付了41.6元车费．请你算一算∶ (1)学校与图书馆的距离是多少？ (2)与独自乘出租车相比，王老师节约多少元车费？ 【答案】(1)20千米 (2)节约元车费 【分析】本题考查有理数四则运算的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据计费规则及付的费用列式计算即可； （2）先计算出每人每千米应付费用，进而计算出王老师应付费用，再计算出王老师独自乘车应付费用，作差即可． 【详解】（1）解： （千米） 答：学校与图书馆的距离是20千米； （2）解：每人每千米应付：（元）， 王老师应付：（元）， 独自乘出租车时，王老师应付：（元）， （元） 答：与独自乘出租车相比，王老师节约元车费． 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）对于式子，正确的运算顺序是（   ） A．乘方、加法、除法 B．乘方、除法、加法 C．加法、除法、乘方 D．除法、乘方、加法 【答案】B 【分析】根据运算顺序规则，先处理乘方，再乘除，最后加减. 【详解】原式为. 1. 乘方： 计算，则； 计算. 2. 除法： 计算. 3. 加法： 将与相加，结果为. 综上，运算顺序为乘方，除法，加法， 故选B. 【点睛】本题考查有理数混合运算顺序，掌握“先乘方，后乘除，最后加减”是解题的关键. 2．（2025·河南焦作·二模）音乐中的八度是指相邻的音组中相同音名的两个音（包括变化音级），从某一音级到它上方或下方第一个同名音级之间的音高距离，就是八度．如到、到．以频率来表示，相邻一个八度的两个同名音高的声波振动频率高低之比为．观察下面的钢琴键盘示意图，可以得出的振动频率是的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】B 【分析】本题考查了音乐中的八度的理解，有理数的乘方，根据所给定义即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据钢琴键盘示意图可知，从到音高依次经过， ∴跨越了个八度， ∵相邻一个八度的两个同名音高的声波振动频率高低之比为 ∴的振动频率是的， 故选：． 3．（24-25七年级上·福建龙岩·期末）在至33的整数之间进行猜数字游戏，最快在（   ）次内一定能猜中． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了乘方的应用，先求出从至33的整数数量，再根据即可得出答案． 【详解】解：从至33的整数一共有个数， 而， 故最快在6次内一定能猜中， 故选∶B 4．（2025·河北·一模）在式子中，“”应填入的符号为（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方．根据有理数的乘方运算法则计算出结果，再比例即可得解． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：A． 5．（24-25八年级上·江苏南通·期末）定义：若正整数a，b，c满足，则称为梦想数.例如，，，则15，40都是梦想数.下列各数中，不是梦想数的是（   ） A．98 B．87 C．76 D．65 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的乘方，根据新定义，逐一判断即可．熟练掌握有理数的乘方是解题的关键． 【详解】解：A、不能写成两数的平方差，故本选项符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意． 故选：A． 6．（24-25七年级上·四川成都·期末）下列数或式子在数轴上所对应的点一定在原点右边的是（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查了乘方运算，绝对值的非负性，数轴上的点，由乘方运算及小于零的数在数轴上所对应的点在原点左边，大于零的数在数轴上所对应的点在原点右边，在在原点，进行逐一判断，即可求解；能熟练进行乘法运算及绝对值的性质判断正负是解题的关键． 【详解】解：A.，对应的点在原点左边，故不符合题意； B.，对应的点一定在原点右边，故符合题意； C.，对应的点在原点左边，故不符合题意； D. 0对应的点是原点，故不符合题意； 故选：B． 7．（24-25七年级上·北京·期中）求索半世纪、奋斗十余载，中国人的“大飞机梦”在新时代终成现实——我国首次按照国际通行适航标准自行研制、具有自主知识产权的喷气式干线客机完成研发、制造、取证、投运．2024年9月19日中午，印有“”字样的南航航班从广州白云机场腾空而起，飞向上海虹桥机场，（标准航程型）最大起飞质量，用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键．将写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：． 故选：B． 8．（24-25七年级上·云南昆明·期末）二进制在计算机科学中有广泛的应用，计算机和依赖计算机的设备都使用二进制来表示数字和数据．二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1，并利用角标表示二进制数，例如，就是二进制数的简单写法．在学习教科书《进位制的认识与探究》以后，小明查阅了资料并进行了思考，发现以下两种方法均可实现二进制与十进制之间的转换． 以98为例： 方法一：因为 所以． 方法二：用如图的短除法算式表示： 请你根据以上材料，把转换为五进制数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了乘方的应用；仿照二进制与十进制之间的转换的方法进行计算即可求解． 【详解】解：方法一：∵ 所以． 方法二 所以． 故选：C． 9．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）下如为小亮某次测试的答卷，每小题20分，他的得分应是（   ） （1）； （2）数轴上到距离为2的点是1； （3）已知，则； （4）几个有理数相乘，负因数的个数为奇数个时，积为负，这句话是错误的； （5）已知点A、B、C在同一直线上，且，则． A．100分 B．80分 C．60分 D．40分 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的乘方、数轴上两点间距离、非负数的性质、多个有理数的乘法、线段的和差等知识．根据相关知识即可逐项判断即可． 【详解】解：（1）；答案正确； （2）数轴上到距离为2的点是1或；故原说法错误； （3）已知，则，∴；故原说法错误； （4）几个有理数相乘，负因数的个数为奇数个时，积为负，这句话是错误的；故原说法正确； （5）已知点A、B、C在同一直线上，且，则1或5，原说法正确． 综上可知，小亮某次测试的答卷，每小题20分，他的得分应是60分， 故选：C 10．（23-24九年级下·重庆合川·阶段练习）任意一个正整数均可以按下列方式表示：，（其中，，，…，的值为0或1，为正整数），记． 例如：，则；，则；，则． 下列说法：①；②；③．其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查有理数的幂的运算，掌握有理数幂的乘法运算法则是解题的关键． 【详解】解：，故①正确； ，则，故②正确； ③， ， 则 ，，即故③正确， 故选D. 11．（2025六年级上·全国·专题练习）计算： ； ； ； ． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的乘方，熟练运算法则是解题的关键． 根据乘方的定义计算即可； 【详解】解：； ； ； ． 故答案为；；；． 12．（24-25七年级上·河北唐山·期末）日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制，约定“逢十进一”，使用十个数字记数，例如：（规定时，）．嘉淇想将二进制数化成十进制数，则转化后的结果为 ． 【答案】11 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键．根据题干的计算范例列式计算，即得答案． 【详解】解：， 故答案为：11． 13．（24-25七年级上·河南开封·期中）如图，将一张长为的长方形纸条对折，使其左右两端重合，这样连续对折4次后，再将其展开，请求出最左端的折痕和最右端的折痕之间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了乘方的应用．先求得第四次对折分成张纸条，进一步计算即可求解． 【详解】解：第二次对折分成张纸条， 第三次对折分成张纸条， 第四次对折分成张纸条， ∴第四次对折，最左端的折痕和最右端的折痕之间的距离为． 故答案为：． 14．（2025·安徽蚌埠·三模）中国的5G技术领先世界，技术中的数学原理之一是香农公式：，其中表示最大信息传送速率，为信道带宽，为信道内所传信号的平均功率，为信道内部的高斯噪声功率，叫作信噪比．已知某次信息传送的信道带宽为200，信噪比为15，则这次信息传送的最大速率是 ． 【答案】800 【分析】本题主要考查乘方的应用，将相关数据代入，可得，再求解即可． 【详解】解：由题意，得 ∴ ∴ ， ． 故答案为：800． 15．（23-24七年级上·全国·课后作业）【问题解决】 例如：观察下面式子，根据规律填空： （1），，，，…， ， ． （2），，，，…， ． 【答案】 444444888889 【分析】（1）计算末位是5的两位整数的平方，将十位上的数乘比它大1的数，所得结果后面添上25即可； （2）结果中4的个数比底数中6的个数多1，8的个数等于底数中的6的个数﹐最末位数字都是9． 【详解】（1）计算末位是5的两位整数的平方，将十位上的数乘比它大1的数，所得结果后面添上25， 如：，即； ：，即； ：，即； （2）结果中4的个数比底数中6的个数多1，8的个数等于底数中的6的个数﹐最末位数字都是9． ∴． 故答案为：；；． 【点睛】本题主要考查有理数乘方规律应用，找到题中数字规律是解题的关键． 16．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）化简下列各数：①，②，③的倒数，④的相反数，将化简后的各数在数轴上表示出来，再用“”连接起来． 化简：① ② ③ ④ 将化简后的数在数轴上表示： 用“”连接起来 【答案】：①，②，③，④；，数轴见解析. 【分析】本题考查绝对值，乘方的运算，多重符号的化简以及数轴上的有理数的分布与有理数的大小比较，掌握基础概念是解题关键． 利用多重符号化简的法则，化简，利用绝对值与乘方法则分别计算，，然后在数轴上表示这些数，并利用数轴比较大小，可得到答案． 【详解】解：①，②，③的倒数，④的相反数. 将化简后的数在数轴上表示如下： 用“<”连接起来为：. 17．（24-25六年级上·上海·期中）请先写出、、的相反数，并在数轴上表示出这些数及其相反数．（规定：以为一个单位） 【答案】相反数为，相反数为，的相反数为，数轴见解析 【分析】本题主要考查了有理数乘方运算，相反数定义，用数轴上的点表示相反数，先求出各个数，然后写出相反数，再把各个数表示在数轴上即可． 【详解】解：，相反数为， ，相反数为， 的相反数为， 把各个数表示在数轴上，如图所示： 18．（24-25七年级上·吉林长春·期中）2020年12月，我国科学家成功构建了76个光子的量子计算原型机“九章”．当求解5000万个样本的高斯玻色取样问题时，“九章”只需，而截至2020年世界最快的超级计算机则需要6亿年．“九章”平均每秒可处理多少个样本？（用科学记数法表示） 【答案】“九章”平均每秒可处理个样本． 【分析】本题考查科学记数法，有理数的除法运算，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 根据题意计算，然后根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】解：（个）． ∴“九章”平均每秒可处理个样本． 19．（24-25七年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，数轴上从左至右有A，B，C，D四个点，分别表示有理数a，b，c，d，点A和点C之间的距离为20个单位长度，且a，c互为相反数，． (1)______， ______，______； (2)数轴上的动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点D运动，设运动时间为t（）秒．当点P运动到点C时，点Q从点D出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴在点D和点B之间往返运动，当点P运动到点D时，点Q的运动停止． ①求t为何值时，点P与点Q第一次相遇； ②求点Q一共运动了多少个单位长度，并求点Q停止运动时在数轴上所表示的有理数； ③在点Q第一次到达点B前，请直接写出点P与点Q之间的距离不超过15个单位长度的时长． 【答案】(1)10，28，14 (2)①当，点P与点Q第一次相遇②144，4③秒 【分析】本题考查有理数与数轴，非负性，有理数的运算，熟练掌握两点间的距离，正确地列出算式，是解题的关键： （1）根据互为相反数的两个数到原点的距离相等，求出，非负性求出，进而求出即可； （2）①用点到达点的时间加上在上相遇时所用的时间，即可得出结果； ②求出点从点运动到点所用的时间，再根据路程等于速度乘以时间，求出点运动的路程，进而求出点停止时所表示的数； ③求出点为相遇前，相距15个单位长度以及相遇后，相距15个单位长度所用的时间，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵点A和点C之间的距离为20个单位长度，且a，c互为相反数， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）①点到达点所用时间为（秒）， ∴； 故当时，点P与点Q第一次相遇； ②点从点到达点所用时间为（秒）， ∴点一共运动了个单位长度， ， ∴当点停止运动时，离点有24个单位长度， ∴点表示的数为； ③点第一次到达点所用的时间为：（秒） 当点与点相遇前距离15个单位长度时：（秒）； 当点与点相遇后距离15个单位长度时：（秒）； ∴点P与点Q之间的距离不超过15个单位长度的时长为（秒）． 20．（24-25七年级上·福建厦门·期末）某校的课后延时服务开设了“趣味数学”的课程．某次课以“翻牌游戏中的数学道理”为主题开展活动，如图，老师在桌面上摆放了张反面（没有花色的一面）向上的扑克牌，每次翻动其中的若干张牌（包括已翻过的牌），使它们从一面向上变为另一面向上．探究如何翻动扑克牌，使得所有扑克牌都正面向上．小颖和小楠分在同一组，她们决定按照以下思路展开研究．请根据她们的研究思路，回答相应问题． 活动一：动手操作 ①每次只翻动1张扑克牌，至少翻动几次可以使得所有扑克牌都正面向上？ ②每次同时翻动2张扑克牌，无论翻动多少次，都无法使得所有扑克牌都正面向上； ③每次同时翻动3张扑克牌，翻动3次就可以使得所有扑克牌都正面向上，请你写出她们的翻牌方式．（翻动的牌用序号表示） 活动二：解释原理 她们想到可以用有理数的运算来解释活动一的现象：扑克牌正面向上的牌面状态记作，反面向上的牌面状态记作，则7张牌反面都向上的牌面状态记作，7张牌正面都向上的牌面状态记作．按这个规定，翻动一张牌会改变其中一个因数的符号．根据她们的做法，请你解释为什么每次同时翻动2张扑克牌，无论翻动多少次，都无法使得7张扑克牌都正面向上． 活动三：拓展延伸 若桌面上有a张反面向上的扑克牌，每次同时翻动b张，其中，翻动n次后，所有扑克牌都正面向上，请探究a，b，n需满足的条件． 【答案】活动一：第一次翻动①②③，第二次翻动③④⑤，第三次翻动③⑥⑦ 活动二：理由见解析 活动三：与奇偶性相同，且． 【分析】本题考查有理数乘法及乘方运算的实际应用； （1）每次同时翻动3张扑克牌，翻动3次共翻动次，说明有一张牌翻了三次，据此写出翻牌方式即可； （2）向下翻一次相当于乘以，利用有理数的乘法说明即可； （3）根据前面的数据找到规律，再探究a，b，n需满足的条件即可． 【详解】解：活动一：第一次翻动①②③，此时①②③正面朝上； 第二次翻动③④⑤，此时①②④⑤正面朝上； 第三次翻动③⑥⑦，此时全部张都正面朝上； 活动二：翻一次相当于乘以，则每次同时翻动2张扑克牌，翻动次，共翻动次，相当于乘以， 而，， ∴， 即每次同时翻动2张扑克牌，无论翻动多少次，都无法使得7张扑克牌都正面向上． 活动三：根据前面的活动规律，当为奇数时，必须也是奇数，且； 当为偶数时，必须也是偶数，且； 综上所述，与奇偶性相同，且． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06有理数的乘方与混合运算重难点题型专训 （5个知识点+11大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 有理数幂的相关概念 题型二 有理数的乘方运算 题型三 有理数乘方的逆运算 题型四 乘方运算的符号规律 题型五 乘方的应用 题型六 用科学记数法表示数 题型七 将科学记数法表示的数变回原数 题型八 与科学记数法有关的计算问题 题型九 有理数四则混合运算的实际应用 题型十 程序流程图 题型十一 算24点 拓展训练一 有理数乘方的规律计算探究 拓展训练二 有理数四则混合运算综合 拓展训练三 有理数四则混合运算实际应用综合 知识点一、有理数的乘方 求相同因数的积的运算叫做乘方，相同因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数，乘方的运算结果叫做幂. 一般地，记作，读作“a的n次方”，其中a叫做底数，n叫做指数，当看作a的n次方的计算结果时，也可以读作“a的n次幂”. 1. 乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果； 2. 一个数可以看作是它本身的一次方，指数1可省略不写； 3. 底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来； 4. 当负数或分数作为底数时，底数必须用括号括起来； 5. 一个数的二次方又称为这个数的平方，一个数的三次方又称为这个数的立方. 【即时训练】 1．（2025·吉林长春·二模）下列说法不正确的是（   ） A．可表示两个5相加 B．可表示五个2相加 C．可表示两个5相乘 D．可表示五个2相乘 2．（2025·吉林长春·模拟预测）在中，底数是 ． 知识点二、有理数乘方的运算 （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4） 有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值. 【即时训练】 1．（23-24七年级上·甘肃兰州·期中）下列式子中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： ， ， ． 知识点三、科学记数法 1. 科学计数法的定义：一般地，一个大于10的数可以写成的形式，其中，n是正整数，这种记数方法称为科学记数法. 2. 如何确定科学记数法中的a和n （1） a是一个整数数位只有一位的数，即； （2） 确定n的两种方法：①若这个数是大于10的数，则n等于原数的整数位数减1；②按小数点移动的位数来确定n的值，小数点向左移动了几位，n就等于几. a) 用科学记数法表示的数只是改变数的形式，而没有改变数的性质和大小； b) 用科学记数法表示一个带有单位的数时，其表示的结果也应带有单位，并且前后要一致； c) 用科学记数法表示负数的方法和正数一样，就是要在前面多一个“－”号； d) 对用科学记数法表示的数进行还原时，只需将小数点向右移动n位（不足的数位用0补齐），并把乘号和去掉. 【即时训练】 1．（2025·吉林长春·二模）截至2025年3月9日，《哪吒之魔童闹海》（《哪吒2》）的全球票房（含预售及海外）已超过148亿元人民币，成功跻身全球影史票房榜第六位，148亿这个数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·重庆垫江·期末）美丽的三合湖湿地公园完成蓄水后，蓄水量达到1400000，把数据1400000用科学记数法记为 ． 知识点四、有理数的混合运算顺序 1. 先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2. 同级运算，按照从左到右的顺序进行； 3. 如果有括号，先进行括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次计算；如需去括号，一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号. PS：在有理数混合运算中，通常情况下，带分数要先化成假分数，小数要先化成分数，再进行计算，有些计算是可以同时进行的. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）下列算式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）计算： ． 知识点五、利用运算律简便计算 1. 有理数运算律包括加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律及乘法分配律等； 2. 一些计算优先结合会简便很多，如下所示： （1） 相反数结合； （2） 凑整结合； （3） 正、负分别结合； （4） 同分母结合； （5） 倒数结合 【即时训练】 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）计算的结果为 ． 【经典例题一 有理数幂的相关概念】 【例1】（2025·吉林长春·二模）对于式子，下列说法正确的是（   ） A．指数是 B．底数是3 C．幂是9 D．表示2个3相乘 【例2】（24-25七年级上·全国·假期作业）把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数各是什么． (1)； (2) 1．（25-26七年级上·陕西西安·开学考试）与（    ）相等． A． B． C． D． 2．（2025七年级上·河北·专题练习）我们知道相同加数可以写成乘法，如：，这样可以给我们解决问题带来方便．其实相同因数的乘法也可以写成乘方的形式，如，那么根据上述提示计算（ ） A．3 B．6 C．9 D．27 3．（24-25六年级上·上海宝山·期末）5个相乘用乘方的形式表示： ． 4．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）仔细观察下列算式：，． (1) ； (2) ； (3) ． 【经典例题二 有理数的乘方运算】 【例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）化简的结果是（ ） A． B．64 C． D． 【例2】（2025七年级上·全国·专题练习）计算： ； ； ； ． 1．（24-25七年级上·河北廊坊·阶段练习）对于与，下列说法正确的是（    ） A．它们的底数相同 B．它们的结果相等 C．它们的底数不同，但结果相等 D．它们的底数不同，并且结果也不相等 2．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）下列各对数中，数值相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算：（1） ； （2） ； （3） ， ． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【经典例题三 有理数乘方的逆运算】 【例1】（23-24七年级上·甘肃兰州·期中）《庄子·天下篇》讲到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”意思是说一尺长的木棍，每天截取它的一半，千秋万代也截不完．一天之后“一尺之棰”剩尺，两天之后剩尺，那么五天之后，这个“一尺之棰”还剩（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【例2】（24-25七年级上·贵州铜仁·期中）某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据，知道，可以求的值．如果知道，可以求的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，则．例如：，则． (1)填空：______； (2)计算：． 1．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）如果，则是（   ） A．8或 B． C．4 D．4或 2．（22-23七年级上·广东东莞·期中），由此你能算出（    ） A．6 B．8 C． D．十分麻烦 3．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）如图，在下列计算程序中填写适当的数 ． 4．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）已知，，，其中、、均为正整数， (1)根据题意，可求得 ， ， ； (2)计算的值； 【经典例题四 乘方运算的符号规律】 【例1】（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）若 ，则一定有（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025七年级上·全国·专题练习）判断下列各式计算结果的正负： (1)； (2)； (3)； (4)． 1．（2024七年级上·江苏·专题练习）如果一个有理数的奇次幂是正数，那么这个有理数（　　） A．一定是正数 B．是正数或负数 C．一定是负数 D．可以是任意有理数 2．（23-24七年级上·河北唐山·期中）通过计算器计算发现：，，……，按照以上的规律计算的结果是（    ） A．123454321 B．1234564321 C．1234567654321 D．123456787654321 3．（24-25七年级上·四川南充·期中）已知的最大值为 ． 4．（23-24七年级上·全国·课后作业）判断下列各式计算结果的正负： （1）； （2）； （3）； （4）． 【经典例题五 乘方的应用】 【例1】（2025七年级上·山西大同·专题练习）把一张正方形的纸连续对折次，折后的每一小份占这张正方形纸的（　　） A． B． C． 【例2】（2024七年级上·全国·专题练习）计算：． 1．（24-25七年级上·贵州遵义·阶段练习）如图是一张长、宽的长方形纸片，第一次裁去一半，第2次裁去剩下部分的一半，…，按照此方式裁剪下去，第4次裁剪后剩下的长方形的面积是（   ） A． B． C．25 D．175 2．（23-24九年级上·甘肃兰州·期中）你喜欢吃兰州牛肉面吗？拉面的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如下图所示．请问要想拉出128根面条，需要捏合的次数是（   ） A．5次 B．6次 C．7次 D．8次 3．（24-25七年级下·河南郑州·阶段练习）某种细菌每1分钟由1个分裂成2个，经过3分钟，1个细菌分裂成23个，这些细菌再继续分裂t分后共分裂成 个． 4．（24-25六年级上·山东东营·期中）阅读材料： 求值：． 解：设① 将等式两边同时乘2，得② 得，， 即 请你仿照此法计算： (1)； (2)； (3)．（其中为正整数） 【经典例题六 用科学记数法表示数】 【例1】（2025·江西新余·三模）据商务部消息，年以来，电动自行车以旧换新取得积极成效．截至月日，今年全国 电动自行车售旧、换新各万辆，超过年总和．数据万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024七年级上·全国·专题练习）用科学记数法表示下列各数： (1)1000000； (2)300000000； (3)8000000000； (4)10100000． 1．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）年前三季度安徽省地区生产总值亿元，其中数据“亿”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·北京·期末）推进美丽中国建设，绿色低碳生产生活方式加快形成．中国超额完成到2020年碳排放强度下降40%至45%的目标，累计减排二氧化碳吨，建成全球规模最大碳市场和清洁发电体系．将用科学记数法表示应为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 3．（24-25七年级上·江苏南京·期末）2024年南京马拉松运动深受广大市民的欢迎，共有超过120000人报名，将数据“120000”用科学记数法表示为 ． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）已知的氢气质量约为，请用科学记数法表示下列计算结果： (1)求一个容积为的氢气球所充氢气的质量； (2)一块橡皮重，这块橡皮的质量是的氢气质量的多少倍？ 【经典例题七 将科学记数法表示的数变回原数】 【例1】（24-25七年级上·全国·课后作业）下列求原数不正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·全国·随堂练习）下列用科学记数法表示的数，原来分别是什么数？ ． 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）若一个数用科学记数法表示为，则这个数是（    ） A．527000000 B．5270000 C．527000 D．52700000 2．（2025九年级下·广西·专题练习）截至2025年3月25日，中国国家博物馆文创凤冠冰箱贴累计销量突破件，带动凤冠全系列产品销售额跨越亿元．用科学记数法表示的数原来是（ ） A．100000 B．1000000 C．10000000 D．0.000001 3．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）《康熙字典》是清朝康熙年间出版的图书，字典全书共收录汉字余个，则的原数为 ． 4．（23-24七年级上·全国·课后作业）比较用科学记数法表示的两个数的大小： (1)与． (2)与． 【经典例题八 与科学记数法有关的计算问题】 【例1】（2024七年级上·河南·专题练习）学习完有理数后，李老师留下了如下作业： 判断题（正确画“√”，错误画“×”）． 1.数轴上表示的点与原点的距离是2；（   ） 2.50000用科学记数法表示为；（   ） 3.近似数和的精确度是相同的；（   ） 4.向东走了记作，则向西走了记作．（   ） 嘉嘉看完题后很快给出了答案：1.√；2.×；3.×；4.×.在嘉嘉给出的答案中，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（24-25七年级上·辽宁铁岭·期中）一粒米微不足道，有时总会在饭桌上不经意地掉下几粒，甚至有挑食的同学会倒掉整碗米饭．针对这种浪费现象，数学老师领同学们进行了实际测算，已知称得500粒大米重约10克，请你来计算： (1)一粒大米重约多少克？ (2)按我国现有人口14亿，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示） (3)假若我们把一年节约的大米卖成钱，按2元千克计算，可卖多少钱？（用科学记数法表示） (4)对于因贫困而失学的儿童，学费按每人每年500元计算，卖得的钱可供多少名失学儿童上一年学？ 1．（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）中国探月工程走过20年，九天揽月，探索不止．嫦娥六号的飞行速度约为，从地球到月球需要飞行约，则地球与月球的距离（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·山东威海·期中）我国发射的海洋Ⅰ号气象卫星，进入预定轨道后，若地球运行的速度为米/秒，则运行秒走过的路程是 米（用科学记数法表示） 3．（22-23七年级上·浙江宁波·阶段练习）用科学记数法表示： ． 4．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）在国庆节的七天长假中，某风景区10月1日的旅游人数为6万人，后面的六天与10月1日相比每天旅游人数变化如下表：（正数表示人数增加） 日期 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化（单位：万人） (1)七天长假中游客人数最多的一天比最少的一天多几万人？ (2)据测算，平均每位游客为风景区带来的旅游收入约为200元，则该风景区在这七天假期的旅游总收入约为多少元？（结果用科学记数法表示） 【经典例题九 有理数的四则混合运算】 【例1】（22-23七年级上·四川资阳·期中）计算的结果是（   ） A．6 B．2 C． D． 【例2】（25-26七年级上·全国·阶段练习）计算： (1)； (2) ； (3)； (4)； (5)； (6)． 1．（24-25七年级上·广东韶关·阶段练习）下列四个算式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)=________． (2)=___________． (3)=___________． (4)=___________． 4．（24-25七年级上·四川成都·期末）计算： (1) (2) 【经典例题十 有理数四则混合运算的实际应用】 【例1】（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（商品问题）某商品有两种不同型号，这两种型号都卖了64元，其中一件盈利，一件亏本，两种都卖出，商家（    ） A．不赔不赚 B．赔了 C．赚了 D．说不清 【例2】（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）某食堂购进30袋大米，每袋以50千克为标准，超过的记为正，不足的记为负，称重记录如表： 与标准重量偏差（单位：千克） 0 1 2 3 袋数 5 10 3 1 5 6 (1)这30袋大米的总重量比标准总重量是多还是少？相差多少？ (2)大米单价是每千克元，食堂购进大米总共花多少钱？ 1．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知长为120米的秋游队伍，以3米/秒的速度向东行进，在队尾处的甲有一物品要送到队头，送到后立即返回队尾．若甲的往返速度均为5米/秒，则甲往返共用的时间为（　　） A．64 B．75 C．120 D．60 2．（24-25七年级上·山西吕梁·阶段练习）为了增强身体素质，刘老师每天早上都会在操场进行体育锻炼，她沿着如图所示的学校操场边缘跑一圈是（取）（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）一种金属丝在温度是时，长，温度每升高或降低，它的长度就随之伸长或缩短．当金属丝冷却后，长度变为，则该金属丝的温度变化了 ． 4．（24-25七年级下·重庆·开学考试）B地在A，C两地之间．甲从B地到A地去，甲出发后1时乙从B地出发到C地，乙出发后1时丙突然想起要通知甲、乙一件重要事情，于是从B地出发骑车去追赶甲和乙．已知甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3倍，为使丙从B地出发到最终赶回B地所用时间最少，丙应当先追甲再返回追乙，还是先追乙再返回追甲？ 【经典例题十一 程序流程图】 【例1】（24-25七年级上·湖北襄阳·阶段练习）小勤设计了一个计算程序（如图），如果输入的数是4，那么输出的结果是（　　） A． B．6 C． D．9 【例2】（24-25七年级上·全国·课后作业）在图中输入，按所示的程序运算（完成一个方框内的运算后，把结果输入下一个方框继续进行运算），并写出输出的结果． 1．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）乐乐在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，如果输入1，则输出的结果是（   ） A．1 B． C． D．13 2．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）如图所示的运算程序中，如果开始输入x的值为2，可以发现第一次输出的结果为，第二次输出的结果为，…，则第2025次输出的结果是（   ） A．1 B．2 C． D． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示的是一个简单的数值运算程序，当输入的数值为时，其输出的结果为 ． 4．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，是一个数值转换机的示意图． (1)若输入x的值是3，则输出y的值等于______； (2)若输出y的值是3，求输入x的值． 【经典例题十二 算24点】 【例1】（24-25七年级上·湖北武汉·开学考试）下面各组数中，不能通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24的是（　　） A．1，1，7，7 B．2，2，8，8 C．1，1，2，8 D．1，1，4，6 【例2】（2024七年级上·全国·专题练习）小明和小刚玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（四张牌必须都用且每张牌上的数字只能用一次），使运算结果等于24．其中“J”代表11、“Q”代表12、“K”代表13． (1)小明抽取的四张牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式； (2)小刚抽取的四张牌分别是方块3，梅花3，黑桃7，梅花7，请帮小刚列出一个结果等于24的算式． 1．（24-25七年级上·浙江温州·期中）有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·广东佛山·开学考试）“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 3．（24-25七年级上·福建宁德·期中）“24点”游戏规则如下：将四个数用“加、减、乘、除”进行混合运算，（每个数必须且只用一次，可以添加括号），使其运算结果等于24．如3，8，8，9进行“24点”游戏的算式是或．现有，3，4，10，则列出一个求“24点”的算式是 （写出一种即可）． 4．（24-25七年级上·广东汕头·期中）红红有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，解决下列问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相减的差最大，最大值是______． (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相除的商最小，最小值是______． (3)从中取出0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除、乘方混合运算，使结果为24，写出一种符合要求的运算等式．（注：每个数字只能用一次）． 【拓展训练一 有理数乘方的规律计算探究】 【例1】（24-25七年级上·全国·单元测试）观察下列等式：，，，，，…根据其中规律可得的结果的个位数字是（   ） A．3 B．9 C．7 D．1 【例2】（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）探究规律： （1）计算： ① 2－1＝ ； ② 22－2－1＝ ； ③23－22－2－1＝ ； ④24－23－22－2－1＝ ； （2）根据上面结果猜想： ① 22020－22019－22018－…－23－22－2－1＝ ； ②2n－2n－1－2n－2－…－23－22－2－1＝ ； ③212－211－210－29－28－27－26＝ ； 1．（24-25七年级上·全国·假期作业）观察下列算式：①；②；③寻找规律，并判断的值的末位数字为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 2．（23-24七年级上·福建厦门·期末）观察下列三组数的运算：，；，；，．联系这些具体数的乘方，可以发现规律．下列用字母表示的式子：①当时，；②当时，．其中表示的规律正确的是（    ） A．① B．② C．①、②都正确 D．①、②都不正确 3．（24-25七年级上·甘肃白银·期中）观察下列算式：根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是 ． 4．（22-23七年级上·湖北黄冈·阶段练习）观察下面三行数： ，9，，81···① 1，，9，···② ，10，，82···③ (1)认真观察第①行数的排列规律，若设第①行的第n个数为a，则 （用含n的式子表示） (2)分析第②③行数与第①行数分别之间的关系，解答问题：设x、y、z分别为第①②③行的2012个数，求的值． 【拓展训练四 有理数四则混合运算综合】 【例1】（24-25七年级上·湖北黄冈·阶段练习）如果对于任意两个非零有理数a、b定义运算如下：则的结果是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·重庆·开学考试）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 1．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）通过多次举例验证，发现取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．例如：取自然数5．经过下面5步运算可得1，即：．如果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（24-25七年级下·四川乐山·期中）已知：则（　　） A． B． C． D． 3．（2025·广东广州·模拟预测）已知为有理数，定义新运算：，则 ． 4．（24-25七年级上·全国·期末）计算 (1) (2) 【拓展训练五 有理数四则混合运算实际应用综合】 【例1】（24-25七年级上·四川绵阳·开学考试）小明一家共有三口人，小明的爸爸比妈妈大3岁，今年小明全家人的年龄总和为71岁，8年前全家人的年龄总和为49岁．小明的爸爸今年（　　）岁 A．33 B．34 C．36 D．40 【例2】（24-25七年级上·广东深圳·开学考试）张阿姨经营着一个体育用品商店．一次，她购进了一批皮球，进价是每个6元，打算以每个8元的价格卖出．实际上她在原定卖价的基础上打九折卖出，当这批皮球全部卖出后，张阿姨共获利润216元．问：张阿姨买进的这批皮球一共有多少个？ 1．（25-26七年级上·浙江金华·自主招生）公交公司59路车早上发第一班车，以后每隔半小时发一班车，最后一班车是晚上．那么59路车一天共发了（    ）班车． A．13 B．25 C．28 D．27 2．（24-25六年级下·江西鹰潭·阶段练习）学校要买40盒彩笔，单价25元，三个商店的优惠方式各不相同，甲商店“买10送2”，乙商店打八五折，丙商店每满100元返现金16元，选择（   ）商店最合算． A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 3．（24-25七年级上·湖北十堰·期末）李阿姨在超市选购了袋大米、盒牛奶和盒果汁．正值超市举行“满元减元”的活动，请你算一算，李阿姨最终只需要支付 元． 4．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【分段收费】王老师与钱老师一起从学校出发，合乘一辆出租车，王老师去书店、钱老师去图书馆．如图，学校、书店、图书馆在同一条直线上，且书店离学校12千米．两人商定：先由钱老师付车费，再按坐车路程的比例分摊．已知出租车的收费标准为：0-3千米(起步价，含3千米)11元．3千米以上的部分每千米1.8元．到图书馆时钱老师付了41.6元车费．请你算一算∶ (1)学校与图书馆的距离是多少？ (2)与独自乘出租车相比，王老师节约多少元车费？ 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）对于式子，正确的运算顺序是（   ） A．乘方、加法、除法 B．乘方、除法、加法 C．加法、除法、乘方 D．除法、乘方、加法 2．（2025·河南焦作·二模）音乐中的八度是指相邻的音组中相同音名的两个音（包括变化音级），从某一音级到它上方或下方第一个同名音级之间的音高距离，就是八度．如到、到．以频率来表示，相邻一个八度的两个同名音高的声波振动频率高低之比为．观察下面的钢琴键盘示意图，可以得出的振动频率是的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 3．（24-25七年级上·福建龙岩·期末）在至33的整数之间进行猜数字游戏，最快在（   ）次内一定能猜中． A．5 B．6 C．7 D．8 4．（2025·河北·一模）在式子中，“”应填入的符号为（   ） A． B． C． D．以上都不对 5．（24-25八年级上·江苏南通·期末）定义：若正整数a，b，c满足，则称为梦想数.例如，，，则15，40都是梦想数.下列各数中，不是梦想数的是（   ） A．98 B．87 C．76 D．65 6．（24-25七年级上·四川成都·期末）下列数或式子在数轴上所对应的点一定在原点右边的是（   ） A． B． C． D．0 7．（24-25七年级上·北京·期中）求索半世纪、奋斗十余载，中国人的“大飞机梦”在新时代终成现实——我国首次按照国际通行适航标准自行研制、具有自主知识产权的喷气式干线客机完成研发、制造、取证、投运．2024年9月19日中午，印有“”字样的南航航班从广州白云机场腾空而起，飞向上海虹桥机场，（标准航程型）最大起飞质量，用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·云南昆明·期末）二进制在计算机科学中有广泛的应用，计算机和依赖计算机的设备都使用二进制来表示数字和数据．二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1，并利用角标表示二进制数，例如，就是二进制数的简单写法．在学习教科书《进位制的认识与探究》以后，小明查阅了资料并进行了思考，发现以下两种方法均可实现二进制与十进制之间的转换． 以98为例： 方法一：因为 所以． 方法二：用如图的短除法算式表示： 请你根据以上材料，把转换为五进制数是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）下如为小亮某次测试的答卷，每小题20分，他的得分应是（   ） （1）； （2）数轴上到距离为2的点是1； （3）已知，则； （4）几个有理数相乘，负因数的个数为奇数个时，积为负，这句话是错误的； （5）已知点A、B、C在同一直线上，且，则． A．100分 B．80分 C．60分 D．40分 10．（23-24九年级下·重庆合川·阶段练习）任意一个正整数均可以按下列方式表示：，（其中，，，…，的值为0或1，为正整数），记． 例如：，则；，则；，则． 下列说法：①；②；③．其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 11．（2025六年级上·全国·专题练习）计算： ； ； ； ． 12．（24-25七年级上·河北唐山·期末）日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制，约定“逢十进一”，使用十个数字记数，例如：（规定时，）．嘉淇想将二进制数化成十进制数，则转化后的结果为 ． 13．（24-25七年级上·河南开封·期中）如图，将一张长为的长方形纸条对折，使其左右两端重合，这样连续对折4次后，再将其展开，请求出最左端的折痕和最右端的折痕之间的距离为 ． 14．（2025·安徽蚌埠·三模）中国的5G技术领先世界，技术中的数学原理之一是香农公式：，其中表示最大信息传送速率，为信道带宽，为信道内所传信号的平均功率，为信道内部的高斯噪声功率，叫作信噪比．已知某次信息传送的信道带宽为200，信噪比为15，则这次信息传送的最大速率是 ． 15．（23-24七年级上·全国·课后作业）【问题解决】 例如：观察下面式子，根据规律填空： （1），，，，…， ， ． （2），，，，…， ． 16．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）化简下列各数：①，②，③的倒数，④的相反数，将化简后的各数在数轴上表示出来，再用“”连接起来． 化简：① ② ③ ④ 将化简后的数在数轴上表示： 用“”连接起来 17． （24-25六年级上·上海·期中）请先写出、、的相反数，并在数轴上表示出这些数及其相反数．（规定：以为一个单位） 18． （24-25七年级上·吉林长春·期中）2020年12月，我国科学家成功构建了76个光子的量子计算原型机“九章”．当求解5000万个样本的高斯玻色取样问题时，“九章”只需，而截至2020年世界最快的超级计算机则需要6亿年．“九章”平均每秒可处理多少个样本？（用科学记数法表示） 19．（24-25七年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，数轴上从左至右有A，B，C，D四个点，分别表示有理数a，b，c，d，点A和点C之间的距离为20个单位长度，且a，c互为相反数，． (1)______， ______，______； (2)数轴上的动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点D运动，设运动时间为t（）秒．当点P运动到点C时，点Q从点D出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴在点D和点B之间往返运动，当点P运动到点D时，点Q的运动停止． ①求t为何值时，点P与点Q第一次相遇； ②求点Q一共运动了多少个单位长度，并求点Q停止运动时在数轴上所表示的有理数； ③在点Q第一次到达点B前，请直接写出点P与点Q之间的距离不超过15个单位长度的时长． 20．（24-25七年级上·福建厦门·期末）某校的课后延时服务开设了“趣味数学”的课程．某次课以“翻牌游戏中的数学道理”为主题开展活动，如图，老师在桌面上摆放了张反面（没有花色的一面）向上的扑克牌，每次翻动其中的若干张牌（包括已翻过的牌），使它们从一面向上变为另一面向上．探究如何翻动扑克牌，使得所有扑克牌都正面向上．小颖和小楠分在同一组，她们决定按照以下思路展开研究．请根据她们的研究思路，回答相应问题． 活动一：动手操作 ①每次只翻动1张扑克牌，至少翻动几次可以使得所有扑克牌都正面向上？ ②每次同时翻动2张扑克牌，无论翻动多少次，都无法使得所有扑克牌都正面向上； ③每次同时翻动3张扑克牌，翻动3次就可以使得所有扑克牌都正面向上，请你写出她们的翻牌方式．（翻动的牌用序号表示） 活动二：解释原理 她们想到可以用有理数的运算来解释活动一的现象：扑克牌正面向上的牌面状态记作，反面向上的牌面状态记作，则7张牌反面都向上的牌面状态记作，7张牌正面都向上的牌面状态记作．按这个规定，翻动一张牌会改变其中一个因数的符号．根据她们的做法，请你解释为什么每次同时翻动2张扑克牌，无论翻动多少次，都无法使得7张扑克牌都正面向上． 活动三：拓展延伸 若桌面上有a张反面向上的扑克牌，每次同时翻动b张，其中，翻动n次后，所有扑克牌都正面向上，请探究a，b，n需满足的条件． 学科网（北京）股份有限公司 $