代数式的化简求值及其简单应用（3）二次根式的化简与求 课件-2025-2026学年高一数学初升高衔接

2025-2026学年高中数学高一上学期 初升高衔接系列 高中数学课件系列 代数学基础系列 第五课 （代数式的化简求值及其简单应用） 高中数学课件系列 制作时间（2025-09-02） 制作人：罗 志（罗三俨） 目录 CONTENTS 主题三、典例剖析 3 主题二、二次根式的化简与求值 2 1 主题一、代数式化简求值的一般原则 代数式的化简与求值的一般原则 1.先化简代数式，再求值. 2.求出字母的值，代入求值． 3.设而不求，整体代换求值． 5.赋值法，利用赋特殊值构造代数式求值． 4.利用特殊数学性质求值，例如非负数的和为0，则每个非负数同时为0． 二次根式的化简与求值 一、二次根式的定义 形如（a≥0）的式子叫做二次根式．其中，a称为被开方数，它必须是非负数．此外，形如b（a≥0）的式子也是二次根式，它表示b与的积． 二次根式的化简与求值 二、二次根式有意义的条件 二次根式有意义的条件是：被开方数必须是非负数．如果二次根式的被开方数是含有字母的式子，那么需要求出使该式子非负的字母的取值范围． 二次根式的化简与求值 三、二次根式的性质 1．非负性：（≥0）是一个非负数，其最小值是0． 2．双重非负性：若a≥0，则具有双重非负性，即是非负的，且（）²=． 二次根式的化简与求值 四、二次根式的乘法 两个二次根式相乘，将它们的被开方数相乘．即若有两个二次根式和（其中a≥0，b≥0），则它们的乘积为．此外，积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积． 二次根式的化简与求值 五、二次根式的除法 两个二次根式相除，将它们的被开方数相除，再取商的算术平方根．即若有两个二次根式 （其中a≥0，b>0），则它们的商为=．同时，商的算术平方根等于被除数和除数的算术平方根的商． 二次根式的化简与求值 在学习二次根式的乘除法时，需要注意以下几点： 1.确保被开方数为非负数，以保证根式有意义． 2.在进行乘除法运算时，可以先将根式外的数进行乘除运算，再将结果与被开方数相乘或相除． 3.运算结果需要化简，使被开方数中不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式，得到最简二次根式． 二次根式的化简与求值 六、同类二次根式 1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式． 2.判断方法： 1．化成最简二次根式． 2．看被开方数是否相同，根指数是否相同（都等于2）． 注意：几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关． 二次根式的化简与求值 七、二次根式的加法 1.实质上就是合并同类二次根式，即把它们的系数相加，根指数和被开方数都不变． 2.基本步骤： 1．将每个二次根式化为最简二次根式． 2．找出其中的同类二次根式． 3．合并同类二次根式，即把系数相加减，根指数和被开方数不变． 注意：对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中．在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用． 二次根式的化简与求值 八、二次根式的减法运算 1.实质上就是合并同类二次根式，即把它们的系数相减，根指数和被开方数都不变． 2.一般步骤： 1、将每一个二次根式化成最简二次根式； 2、找出其中的同类二次根式； 3、合并同类二次根式，即把它们的系数相减． 需要注意的是，不是同类二次根式的不能合并．另外，过去在学习整式的加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则在二次根式的加减运算中仍然适用．二次根式的加减运算结果应写成最简结果或几个非同类二次根式的和． 二次根式的化简与求值 九、化简二次根式的常见基本技巧： 1.两个化简公式： 1、==； 2、． 2. 有理化因式：+和-互为有理化因式,亦称为一对“对偶式”． 3. 拆和凑积配开方： ==+； ==| - | 二次根式的化简与求值 二次根式的混合运算 在进行二次根式的混合运算时，运算顺序与实数运算类似，即先乘方开方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．同时，原来学过的所有运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的运算中仍然适用． 二次根式的化简与求值 、 ; 、已知 ; 、已知b=, 　 例1：利用已知条件，求值： 　 　 二次根式的化简与求值 、; 、 ; 、已知叫黄金分割数, 猜想 　 例2：利用已知条件，化简求值： 　 　 二次根式的化简与求值 例3、把下列各式，化简求值： 　 （2）.＝ ; 　 　 （1）.＝ ; 　 　 （3）..＝ . 　 　 二次根式的化简与求值 例3、把下列各式，化简求值： 　 （4）; 　 　 (6）.+++++＝ ; 　 　 （5）.＝ ; 　 　 (7）.++++＝ ; 　 　 二次根式的化简与求值 例4： 古今中外的不少学者对三角形面积的计算做出了诸多思考，尤其值得一提的是古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶均提出了类似的计算办法：若三角形三边长分别为a，b，c，记，则三角形的面积为，因此后人将他们的发现合称为海伦－秦九韶公式．若中，AB=AC=5，BC=4，请你利用海伦－秦九韶公式计算的面积为 . ． 答案】 二次根式的化简与求值 例5、先化简，再求值： 　 　 （1）； 　 　 （2）； 再见 $