第十二讲：函数单调性知识总结与题型归纳讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦函数单调性的核心概念与应用，从定义出发，层层递进地梳理了单调函数的判定方法、常见函数的单调区间、复合函数的“同增异减”规律及抽象函数的性质，构建起由基础定义到综合运用的学习支架。 资料设计亮点突出，体现数学眼光、数学思维与数学语言的融合。例如例16用定义法证明单调性，强化学生逻辑推理能力，落实数学思维素养；例21通过抽象函数不等式求解，引导学生从现实情境中提炼数量关系，发展数学建模意识；题型归纳清晰，覆盖判断、证明、应用三大维度，课中便于教师精准施教，课后助力学生查漏补缺，提升解题规范性和思维严谨性。

第十二讲：函数单调性知识总结与题型归纳 知识再现 1、函数的单调性 (1)单调函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为A,区间D三A: 如果对于D内的任意两个自变量的值x,x当x<x2时，都有f(x)<f(2),那么就说 f(x)在区间D上是增函数 如果对于D内的任意两个自变量的值x,x,当x<x2时，都有f(x)<f(x),那么就说 f(x)在区间D上是减函数。 ①属于定义域A内某个区间上； ②任意两个自变量x,x3且x<x2; ③都有f(x)<f(x2)或f(x)>f(x2); ④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是 下降的. (2)定义法证明函数单调性的步骤 ①取值：设x,x是f(x)定义域内一个区间上的任意两个量，且x<x2; ②变形：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； ③定号：判断差的正负或商与1的大小关系； ④得出结论。 (3)单调性与单调区间 ①单调区间的定义：如果函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数∫(x) 在区间D上具有单调性，D称为函数f(x)的单调区间. ②函数的单调性是函数在某个区间上的性质 (4)函数单调性的判断方法 ①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值一变形一判断符号一下结论”进行 判断 ②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性 ③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写 出它们的单调区间. (5)记住几条常用的结论： ①若f(x)是增函数，则-f(x)为减函数；若f(x)是减函数，则-f(x)为增函数； 第1页共12页 ②若f(x)和g(x)均为增（或减）函数，则在f(x)和g(x)的公共定义域上f(x)+g(x)为 增（或减）函数； ③若f>0且f()为增函数，则函数VF四为增函数， 1为减函数； ④送/>0L心)为减西数，则函敖广)为波西数，子和为增函教 (6)复合函数的单调性 复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函 数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是 减（增）函数，复合函数是减函数 题型一：单调性的定义 例1.（多选)若函数f(x)在[a,b]上是增函数，对于任意的x1,x2∈[a,b](x≠x2),则下 列结论正确的是() A.0 B.(x-x,)f(x)-fx2]>0 X1-X2 C.fa)≤f(x)<f(x2)≤f(b) D.f(x)≠f(x2】 例2.下列函数八x)中，满足“对任意xx2∈(0，+0)，且x<x都有∫x1)>f(x2)”的是() A.fx)=√F B.)=x-2 C.A)=x+x-2 D.)=- 例3.已知函数∫x)在0，+o)上单调递减，则不等式∫2x-1)<f(1-x)的解集为（) a.(到.(3c.别D.3到 第2页共12页 例4.已知函数f(x)= 。，若x4>2x3,则实数x的取值范围是(） A.（-1,+o0） B.（-0,-1 C.（-1,4 D.（-0l 例5.若函数f(x)= [x2+2ax+3,x≤1 是R上的减函数，则a的取值范围是 ax+1,x>1 A.[-3,-1]B.(-∞，-1C.[-1,0)D.[-2,0) a,x-l 例6.若函数f(x)= 在R上为减函数，则实数a的取值范围() (3-5ax+2,x≤1 A. c到 D.0 题型二：常见函数的单调性 厨7已知函数了心牛，其定义藏足8,4，则下列说法正确的奥 .5 A.(x)有最大值，无最小值 B.了到有莱大位；，最小位写 1 C,四有最大值写，无最小值D.)无最大值，最小值 第3页共12页 例8已知一次函数y=k+1)x+k在R上是在增函数，且其图象与x轴的正半轴相交，则 k的取值范围是」 例9.已知函数y=x2+2m-2)x+3m+4，则使得函数在区间-0，-3上递减时实数m 的取值范围是() A.-4,+∞） B.-00,4 C4,+∞D.(4,+0 例10.如果函数fx)=ax2+(2a+4)x-a2+3在区间-1,1上是增函数，则实数a的取值 范围是 1高数小-在区同[2]上约聚大位为（) A. 15 B.2 C.3 D.4 第4页共12页 例12函教y=x-1在，2上的最大值为(） A.0 B.2 3 C.2 D.3 例13.函数f(x)=x2-4|x+3的单调递减区间是（) A.（-0,-2) B.(-0,-2)和(0,2) C.(-2,2) D.（-2,0)和(2，+0) 例14.函数f(x)=x2-3x+2的单调递增区间是(） A.[3B.[引利mC.和2D.（引利2+ 第5页共12页 例15.函数f(x)x-1川+|x-2的单调递增区间是（) A.[1,+o) B.（-o∞，1] C.[1,2] D.[2,+o0) 题型三：用定义证明函数的单调性 例16.用定义证明函数f(x)=x3在R上单调递增. 第6页共12页 倒7.已知小=+号 (1)证明：f(x)在(2，+∞)单调递增； (2)解不等式：f(x2-2x+4)≤f(7)· 例18浅用定义计论茅远明函八内-口号》在-，-2上的单性 第7页共12页 题型四：抽象函数的单调性 例19.已知函数y=f(x)是定义在区间(-5,1)上的减函数，若f(2m-4)<f(3-4m),则实数 m的取值范围是 例20.已知f(x)是定义在(0，+o)上的减函数，若f(2a2+a+1<f(3a2-4a+1成立， 则a的取值范围是 第8页共12页 例21.已知fx)是定义在R上的减函数，对任意x、y∈R,fx+y=fx)f(y)恒成立， 若f(-5)=3,则f(3-x<27的解集为() A.-0,15B.-0,18) C.(15,+0） D.(18,+0 例22巴知画数f到的定义战是0，+a,且满足f川=f+f列，f侣》-l,知采对于 0<x<y,都有f(x>∫(y),则不等式∫(2x)+f(3-x≥-2的解集为() A.[1,2] B.（-0,1U2,+∞） C.(0,1U(2,3 D.(0,1U[2,3 第9页共12页 题型五：单调性的性质 例23函数y=√x+1-√1-x的值域为 A.[-2,2] B.(0,W2 C.(-0,2] D.「-v2,+∞) 例24.已知函数f(x)=x+V2x-3,则函数f(x)有（) A.最小值1，无最大值 B兼大值，无花小位 C.兼小值，无装大位 D,无最大值，无最小值 第10页共12页 第十二讲：函数单调性知识总结与题型归纳 知识再现 1、函数的单调性 （1）单调函数的定义 一般地，设函数的定义域为，区间： 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数． 如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数． ①属于定义域内某个区间上； ②任意两个自变量，且； ③都有或； ④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的． （2）定义法证明函数单调性的步骤 ①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且； ②变形：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； ③定号：判断差的正负或商与的大小关系； ④得出结论． （3）单调性与单调区间 ①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间． ②函数的单调性是函数在某个区间上的性质． （4）函数单调性的判断方法 ①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断． ②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． ③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间． （5）记住几条常用的结论： ①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数； ②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数； ③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数； ④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数． （6）复合函数的单调性 复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数． 题型一：单调性的定义 例1.（多选）若函数在上是增函数，对于任意的，（），则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 解：由函数的单调性定义知，若函数在给定的区间上是增函数，则，与同号，由此可知，选项A，B，D都正确. 若，则，故选项C不正确. 故选：ABD. 例2.下列函数中，满足“对任意，且都有”的是（    ） A． B． C． D． 解析：“对任意，，且都有”， 函数在上单调递减， 结合选项可知，A ：在单调递增，不符合题意， B：在单调递增，不符合题意， C：在单调递增，不符合题意， D：在单调递减，符合题意. 故选：D． 例3.已知函数在上单调递减，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 解：由题意，在上单调递减. 则由可得，解得，即原不等式的解集为. 故选：B. 例4.已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解析：函数， 函数在，上为减函数，在上函数值保持不变， 若， 则或，解得：，故选：． 例5.若函数是上的减函数，则的取值范围是 A． B． C． D． 解析：因为函数是上的减函数，所以有，解得，故选A. 例6.若函数在R上为减函数，则实数a的取值范围（    ） A． B． C． D． 解析：由题意可得，解得，所以实数a的取值范围为.故选：A. 题型二：常见函数的单调性 例7.已知函数，其定义域是，则下列说法正确的是 A．有最大值，无最小值 B．有最大值，最小值 C．有最大值，无最小值 D．无最大值，最小值 解析：因为函数，所以在上单调递减，则在处取得最大值，最大值为，取不到函数值，即最小值取不到.故选A. 例8.已知一次函数在上是在增函数，且其图象与轴的正半轴相交，则的取值范围是________. 例9.已知函数，则使得函数在区间上递减时实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 例10.如果函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是________. 例11.函数在区间上的最大值为（    ） A． B． C． D． 解析：设，则问题转化为求函数在区间上的最大值．根据对勾函数的性质，得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以．故选：B 例12.函数在上的最大值为（    ） A．0 B． C．2 D．3 解:函数y＝x在[1，2]上是增函数，函数y＝－在[1，2]上是增函数， 所以函数y＝x－在[1，2]上是增函数．当x＝2时，. 故选:B 例13.函数的单调递减区间是（    ） A． B．和 C． D．和 解析：， 则由二次函数的性质知，当时，的单调递减区间为； 当，的单调递减区间为， 故的单调递减区间是和.故选：B 例14.函数的单调递增区间是（       ） A． B． 和 C．和 D． 和 解析：（2）如图所示： 函数的单调递增区间是和．故选：B. 例15.函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 解析：因为，所以的增区间为，故选：D. 题型三：用定义证明函数的单调性 例16.用定义证明函数在上单调递增. 例17.已知． （1）证明：在（2，+∞）单调递增； （2）解不等式：． 【解析】（1）∀x1，x2∈[2，+∞），且x1＜x2，则 ， ∵x1，x2∈[2，+∞），则x1x24＞0，x1x2＞0， 且x1﹣x2＜0， ∴0，即，∴在[2，+∞）单调递增． （2）由，即∈[2，+∞）， ∵在[2，+∞）单调递增，要使， ∴，即，解得， ∴不等式的解集为． 例18.试用定义讨论并证明函数在上的单调性. 题型四：抽象函数的单调性 例19.已知函数是定义在区间上的减函数，若，则实数的取值范围是__． 解析：根据题意，函数是定义在区间上的减函数， 若，则有，解可得， 即的取值范围为，，故答案为：，． 例20.已知是定义在上的减函数，若成立，则的取值范围是________. 例21.已知是定义在上的减函数，对任意、，恒成立，若，则的解集为（    ） A． B． C． D． 解析：因为对任意、，恒成立， 所以，， 则由，得，又是上的减函数， 所以，解得．因此，不等式的解集为.故选：B． 例22.已知函数的定义域是，且满足，如果对于，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 解析：由于，令得，即， 则，由于，则，即有， 由于对于，都有，则在上递减，不等式即为.则，解得或，即解集为.故选：D 题型五：单调性的性质 例23.函数的值域为 A． B． C． D． 解析：由题意可得，解得，则函数的定义域为， 由于函数在区间上为增函数，函数在区间上为减函数， 所以，函数在定义域上为增函数， 当时，该函数取得最小值，即；当时，该函数取得最大值，即. 因此，函数的值域为. 故选：A. 例24.已知函数，则函数有（    ） A．最小值1，无最大值 B．最大值，无最小值 C．最小值，无最大值 D．无最大值，无最小值 解析：因为，令，所以， 所以，因为的对称轴为，所以在上递增， 所以，无最大值，所以的最小值为，无最大值，故选：C. 例25.关于函数的最值的说法正确的是（    ） A．既没有最大值也没有最小值 B．没有最小值，只有最大值 C．没有最大值，只有最小值 D．既有最小值0，又有最大值 解析：函数的定义域为：. , 函数在时,都是增函数且,因此 函数在时,是单调递减函数故函数有最大值,最大值为,函数没有最小值.故选：B 例26.函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 解析：令，解得的定义域为 在上递增，在上递减，函数在上为增函数 函数的单调增区间为故选：A 例27.函数的单调减区间是（    ） A． B． C． D． 解析：由函数有意义得，解得. 函数图象的对称轴为直线 在上单调递增，在上单调递减， 的单调递减区间是.故选：C. 例28.已知函数，若在区间上是减函数，则实数的取值范围是________. 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $