2.5 一元二次方程根与系数关系 同步练习-2025-2026学年北师大版数学九年级上册

2.5一元二次方程根与系数关系 一．选择题（共10小题） 1．一元二次方程2x2﹣3x+1＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 2．若关于x的方程x2﹣4x+b＝0有两个相等的实数根，则b的值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0的一个根是x＝﹣2，则它的另一个根是（　　） A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝5 D．x＝﹣5 4．关于x的一元二次方程x2+2kx﹣2＝0解的情况分析正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 5．设a，b是方程x2+x﹣2025＝0的两个不相等的实数根，则a2+2a+b的值为（　　） A．0 B．1 C．2025 D．2024 6．若关于x的方程x2+（m+1）x+m2＝0的两个实数根互为倒数，则m的值是（　　） A．﹣1 B．1或﹣1 C．1 D．2 7．实数a，b定义新运算“*”如下：a*b＝b2+ab，例如1*2＝22+1×2＝4+2＝6，则方程2*x＝﹣2的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 8．已知x1，x2是关于x的方程x2﹣（k+1）x﹣k2＝0的两个根，下列结论一定正确的是（　　） A．x1≠x2 B．x1＝x2 C．x1，x2＞0 D．x1+x2＞0 9．关于x的一元二次方程kx2﹣4x﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≥﹣2 B．k＞﹣2且k≠0 C．k≥﹣2且k≠0 D．k≤﹣2 10．实数a，b，c满足a﹣b+c＝0，则（　　） A．b2﹣4ac＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．b2﹣4ac≥0 D．b2﹣4ac≤0 二．填空题（共6小题） 11．关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0的一个根为1，则方程的另一个根是　 　 ． 12．已知m、n是一元二次方程x2﹣x﹣2025＝0的两个实数根，则代数式m+n的值等于　 　 ． 13．已知关于x的一元二次方程2x2﹣x+a＝0，有两个相等的实数根，则a的值是　 　 ． 14．在解一元二次方程x2+bx+c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1＝1，x2＝4；小颖看错了常数项e，得到的解为x1＝2，x2＝3．请你写出正确的一元二次方程 　 　 ． 15．已知：m、n是方程x2+3x﹣1＝0的两根，则（m2+3m+3）（n2+3n+3）＝　 　 ． 16．对于一切正整数n，关于x的一元二次方程x2﹣（n+3）x﹣3n2＝0的两个根记为an、bn，则　 　 ． 三．解答题（共9小题） 17．设x1，x2是方程2x2+4x﹣3＝0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值． （1）（x1+1）（x2+1）； （2）． 18．若关于x的一元二次方程x2+2x+n﹣1＝0有一根为1． （1）求n的值； （2）求上述一元二次方程的另一个根． 19．若x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣4x+k﹣3＝0的两个实数根． （1）求出实数k的取值范围； （2）若方程的两个实数根满足x1•x2＝1，求k的值． 20．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+k＝0．求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根． 21．已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC是等腰三角形，AB＝4，另外两边是方程的根，求△ABC的周长． 22．已知：平行四边形ABCD的两边AB、BC的长是关于x的方程x2﹣（m+3）x+2m+2＝0的两个实数根． （1）试说明：无论m取何值方程总有两个实数根； （2）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长． 23．关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0中a、b、c分别是△ABC的三边． （1）若x＝﹣1是该一元二次方程的一个根，试判断△ABC的形状； （2）若该一元二次方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状； （3）若△ABC是等边三角形，试求出这个一元二次方程的根． 24．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k）＝0 （1）说明无论k取何实数值，该方程必有两个实数根； （2）若该方程的两根分别是x1，x2，且3x1﹣x2＝﹣2k﹣5，求k的值． 25．已知x1，x2是关于x的一元二次方程（m+2）x2+2（m﹣2）x+m+10＝0的两实数根． （1）求m的取值范围； （2）已知等腰△ABC的底边BC＝4，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长． （3）阅读材料：若△ABC三边的长分别为a，b，c，那么可以根据秦九韶﹣海伦公式可得：S△ABC，其中p，在（2）的条件下，若∠BAC和∠ABC的角平分线交于点I，根据以上信息，求△BIC的面积． 2.5一元二次方程根与系数关系 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C A D C D A C C 一．选择题（共10小题） 1．一元二次方程2x2﹣3x+1＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 【解答】解：∵a＝2，b＝﹣3，c＝1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×1＝1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 2．若关于x的方程x2﹣4x+b＝0有两个相等的实数根，则b的值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】解：Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×b＝16﹣4b， ∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝0， 即16﹣4b＝0， ﹣4b＝﹣16， b＝4． 故选B． 3．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0的一个根是x＝﹣2，则它的另一个根是（　　） A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝5 D．x＝﹣5 【解答】解：根据一元二次方程根与系数的关系可设该方程的另一个根为t，由题意得：﹣2+t＝3， ∴另一个根为：x＝t＝5； 故选：C． 4．关于x的一元二次方程x2+2kx﹣2＝0解的情况分析正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 【解答】解：由条件可知Δ＝（2k）2﹣4×1×（﹣2）＝4k2+8＞0， ∴方程始终有两个不相等的实数根， 故选：A． 5．设a，b是方程x2+x﹣2025＝0的两个不相等的实数根，则a2+2a+b的值为（　　） A．0 B．1 C．2025 D．2024 【解答】解：由条件可得a2+a﹣2025＝0，a+b＝﹣1， ∴a2+a＝2025， ∴a2+2a+b＝（a2+a）+（a+b）＝2025+（﹣1）＝2024． 故选：D． 6．若关于x的方程x2+（m+1）x+m2＝0的两个实数根互为倒数，则m的值是（　　） A．﹣1 B．1或﹣1 C．1 D．2 【解答】解：由题意可知：Δ＝（m+1）2﹣4m2＝﹣3m2+2m+1， 由题意可知：m2＝1， ∴m＝±1， 当m＝1时，Δ＝﹣3+2+1＝0， 当m＝﹣1时，Δ＝﹣3﹣2+1＝﹣4＜0，不满足题意， 故选：C． 7．实数a，b定义新运算“*”如下：a*b＝b2+ab，例如1*2＝22+1×2＝4+2＝6，则方程2*x＝﹣2的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【解答】解：由题可得：方程2*x＝﹣2化为x2+2x＝﹣2， 即x2+2x+2＝0， ∵Δ＝22﹣4×1×2＝﹣4＜0， ∴方程没有实数根， 故选：D． 8．已知x1，x2是关于x的方程x2﹣（k+1）x﹣k2＝0的两个根，下列结论一定正确的是（　　） A．x1≠x2 B．x1＝x2 C．x1，x2＞0 D．x1+x2＞0 【解答】解：由题意可知：Δ＝[﹣（k+1）]2+4k2＝（k+1）2+4k2＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， ∵x1，x2是关于x的方程x2﹣（k+1）x﹣k2＝0的两个根， ∴x1≠x2；故A正确，B错误； ∴， ∴x1，x2异号或其中一个的值为0，x1+x2的值不一定大于0；故C，D错误； 故选A． 9．关于x的一元二次方程kx2﹣4x﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≥﹣2 B．k＞﹣2且k≠0 C．k≥﹣2且k≠0 D．k≤﹣2 【解答】解：∵关于x的一元二次方程 kx2﹣4x﹣2＝0有实数根， ∴Δ≥0且k≠0，即Δ＝（﹣4）2﹣4k×（﹣2）＝16+8k≥0且k≠0， 解得k≥﹣2且k≠0， 故选：C． 10．实数a，b，c满足a﹣b+c＝0，则（　　） A．b2﹣4ac＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．b2﹣4ac≥0 D．b2﹣4ac≤0 【解答】解：设一元二次方程为ax2+bx+c＝0 当x＝﹣1时，原方程化为a﹣b+c＝0 所以一元二次方程为ax2+bx+c＝0有实数根， 所以b2﹣4ac≥0． 故选：C． 二．填空题（共6小题） 11．关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0的一个根为1，则方程的另一个根是　﹣3　 ． 【解答】解：设方程的另一个根为x2，根据根与系数的关系可得x2+1＝﹣2， 解得x2＝﹣3， 故答案为：﹣3． 12．已知m、n是一元二次方程x2﹣x﹣2025＝0的两个实数根，则代数式m+n的值等于　1　 ． 【解答】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根， ∴m+n＝1， 故答案为：1． 13．已知关于x的一元二次方程2x2﹣x+a＝0，有两个相等的实数根，则a的值是　　 ． 【解答】解：由题知， 因为关于x的一元二次方程2x2﹣x+a＝0，有两个相等的实数根， 所以Δ＝（﹣1）2﹣4×2×a＝0， 解得a． 故答案为：． 14．在解一元二次方程x2+bx+c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1＝1，x2＝4；小颖看错了常数项e，得到的解为x1＝2，x2＝3．请你写出正确的一元二次方程 　x2﹣5x+4＝0　 ． 【解答】解：根据题意得1×4＝c，2+3＝﹣b， 解得b＝﹣5，c＝4， 所以正确的一元二次方程为x2﹣5x+4＝0． 故答案为：x2﹣5x+4＝0． 15．已知：m、n是方程x2+3x﹣1＝0的两根，则（m2+3m+3）（n2+3n+3）＝　16　 ． 【解答】解：∵m、n是方程x2+3x﹣1＝0的两根， ∴m+n＝﹣3，mn＝﹣1，m2+3m﹣1＝0，n2+3n﹣1＝0， ∴m2+3m＝1，n2+3n＝1， （m2+3m+3）（n2+3n+3） ＝（1+3）（1+3） ＝4×4 ＝16， 故答案为：16． 16．对于一切正整数n，关于x的一元二次方程x2﹣（n+3）x﹣3n2＝0的两个根记为an、bn，则　　 ． 【解答】解：由根与系数的关系得an+bn＝n+3，an•bn＝﹣3n2， 所以（an﹣3）（bn﹣3）＝anbn﹣3（an+bn）+9＝﹣3n2﹣3（n+3）+9＝﹣3n（n+1）， 则（）， ∴原式（1） （1） ， 故答案为： 三．解答题（共9小题） 17．设x1，x2是方程2x2+4x﹣3＝0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值． （1）（x1+1）（x2+1）； （2）． 【解答】解：根据题意得x1+x22，x1x2， （1）原式＝x1x2+x1+x2+12+1； （2）原式． 18．若关于x的一元二次方程x2+2x+n﹣1＝0有一根为1． （1）求n的值； （2）求上述一元二次方程的另一个根． 【解答】解：（1）由条件可得：12+2×1+n﹣1＝0． 解得n＝﹣2； （2）将n＝﹣2代入原方程x2+2x+n﹣1＝0， 方程变为x2+2x﹣2﹣1＝0， 即x2+2x﹣3＝0，这里a＝1，b＝2， 设方程的另一个根为x2，已知一个根x1＝1， ，则， 可得x2＝﹣2﹣1＝﹣3， 则一元二次方程的另一个根x2＝﹣3． 19．若x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣4x+k﹣3＝0的两个实数根． （1）求出实数k的取值范围； （2）若方程的两个实数根满足x1•x2＝1，求k的值． 【解答】解：（1）由题意，得Δ＝（﹣4）2﹣4（k﹣3）≥0， 解得k≤7； （2）∵x1•x2＝k﹣3＝1， ∴k＝4． 20．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+k＝0．求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根． 【解答】证明：∵a＝1，b＝2k+1，c＝k2+k， ∴Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+k）＝（4k2+4k+1）﹣（4k2+4k） ＝1＞0 ∴无论k取何值时，方程总有两个不相等实数根． 21．已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC是等腰三角形，AB＝4，另外两边是方程的根，求△ABC的周长． 【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣2m）2﹣4×1×（m2﹣1） ＝4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：解方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0得x1＝m+1，x2＝m﹣1． 当m+1＝4时，解得m＝3，此时等腰三角形三边分别为4，4，2，△ABC的周长为4+4+2＝10； 当m﹣1＝4时，解得m＝5，此时等腰三角形三边分别为4，4，6，△ABC的周长为4+4+6＝14． 综上所述，△ABC的周长为10或14． 22．已知：平行四边形ABCD的两边AB、BC的长是关于x的方程x2﹣（m+3）x+2m+2＝0的两个实数根． （1）试说明：无论m取何值方程总有两个实数根； （2）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长． 【解答】（1）证明：∵方程x2﹣（m+3）x+2m+2＝0， ∴Δ＝（m+3）2﹣4（2m+2）＝（m﹣1）2≥0， ∴无论m取何值方程总有两个实数根； （2）解：四边形ABCD是菱形，由临边相等可知关于x的方程x2﹣（m+3）x+2m+2＝0的两个实数根相等， ∴Δ＝（m﹣1）2＝0， ∴m1＝m2＝1， ∴方程为x2﹣4x+4＝0， ∴x1＝x2＝2， 即菱形的边长为2． 23．关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0中a、b、c分别是△ABC的三边． （1）若x＝﹣1是该一元二次方程的一个根，试判断△ABC的形状； （2）若该一元二次方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状； （3）若△ABC是等边三角形，试求出这个一元二次方程的根． 【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形；理由如下： 把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0， 则a＝b， 所以△ABC为等腰三角形； （2）△ABC为直角三角形；理由如下： 根据题意得Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2， 所以△ABC为直角三角形； （3）∵△ABC是等边三角形， ∴a＝b＝c， ∴方程化为2x2+2x＝0， 2x（x+1）＝0， 2x＝0或x+1＝0， 解得x1＝0，x2＝﹣1． 24．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k）＝0 （1）说明无论k取何实数值，该方程必有两个实数根； （2）若该方程的两根分别是x1，x2，且3x1﹣x2＝﹣2k﹣5，求k的值． 【解答】解：（1）∵在方程x2﹣（2k+1）x+4（k）＝0中，Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×4（k）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2≥0， ∴无论k取何实数值，该方程必有两个实数根； （2）∵方程x2﹣（2k+1）x+4（k）＝0的两根分别是x1，x2， ∴x1+x2＝2k+1①． ∵3x1﹣x2＝﹣2k﹣5②， ∴由①+②，得4x1＝﹣4， ∴x1＝﹣1． 将x1＝﹣1代入原方程，得1+2k+1+4k﹣2＝0， 解得：k＝0． 25．已知x1，x2是关于x的一元二次方程（m+2）x2+2（m﹣2）x+m+10＝0的两实数根． （1）求m的取值范围； （2）已知等腰△ABC的底边BC＝4，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长． （3）阅读材料：若△ABC三边的长分别为a，b，c，那么可以根据秦九韶﹣海伦公式可得：S△ABC，其中p，在（2）的条件下，若∠BAC和∠ABC的角平分线交于点I，根据以上信息，求△BIC的面积． 【解答】解：（1）由题意得：Δ＝b2﹣4ac＝[2（m﹣2）]2﹣4（m+2）（m+10）≥0，且m+2≠0， 化简得：64m≤﹣64， 解得：m≤﹣1且m≠﹣2； （2）由题意知：x1，x2恰好是等腰△ABC的腰长， ∴x1＝x2， ∵x1，x2是关于x的一元二次方程（m+2）x2+2（m﹣2）x+m+10＝0的两实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝[2（m﹣2）]2﹣4（m+2）（m+10）＝0， 解得m＝﹣1， ∴x2﹣6x+9＝0， 解得x1＝x2＝3， ∵BC＝4， ∴△ABC的周长为：3+3+4＝10； （3）由（2）知：△ABC的三边长为3，3，4， ∴p5， ∴S△ABC， 过I分别作IF⊥AB，ID⊥BC，IE⊥AC，垂足分别为F，D，E， ∵I是△ABC角平分线的交点， ∴IF＝ID＝IE， ∴S△ABC， 解得ID， ∴S△BIC． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $