专项训练：解一元二次方程（计算题）-2025-2026学年人教版数学九年级上册

2025-2026学年人教版数学九年级上册 专项提升训练：解一元二次方程计算题 姓名： 班级： 学号： （核心知识点+例题讲解+考点练习+综合提升练习） 核心知识点 知识点1：直接开平方法 （1）适用形式： 或 。 （2）步骤：直接开平方得 或 ，解得 或 。 知识点2：配方法 （1）通用步骤：①化二次项系数为1（两边同除以）； ②移项（常数项移到右边）：； ③配方（两边加“一次项系数一半的平方”）：，化为 ； ④用直接开平方法求解。 知识点3：公式法 （1）求根公式：对于 ，当 时，根为 。 （2）判别式 的作用： ① ：方程有两个不相等的实数根； ② ：方程有两个相等的实数根（）； ③ ：方程没有实数根。 知识点4：因式分解法 （1）适用条件：方程左边能分解为两个一次因式乘积，右边为0，即 （ 为一次因式）。 （2）原理：若 ，则 或 ，解得 。 （3）常见因式分解方法：提公因式、平方差公式（）、完全平方公式（）、十字相乘法（适用于 ）。 例题讲解 一、直接开平方法解一元二次方程 例题1：解方程：。 【答案】解：∵， ∴， 解得 ，。 【解析】方程化为 形式，直接开平方求解。 例题2：解方程：。 【答案】解：方程两边同除以3， 得 ， 开平方得 ， ∴ 或 ， 解得 ，。 【解析】先将方程化为 形式，再开平方求解。 二、配方法解一元二次方程 例题1：解方程：。 【答案】解：移项得 ， 配方（加 ）得 ， 即 ， 开平方得 ， 解得 ，。 【解析】二次项系数为1，直接移项后配方，再用直接开平方法求解。 例题2：解方程：。 【答案】解：二次项系数化为1， 得 ， 移项得 ， 配方（加 ）得 ， 即 ， 开平方得 ， 解得 ，。 【解析】二次项系数不为1时，先化为1，再按“移项—配方—开方”步骤求解。 三、公式法解一元二次方程 例题1：解方程：。 【答案】解：∵，，， ∴， ∴， 解得 ，。 【解析】先确定 ，计算判别式 ，代入求根公式得两个不相等实根。 例题2：解方程：。 【答案】解：∵，，， ∴， ∴，即 。 【解析】判别式 ，方程有两个相等实根。 例题3：解方程：。 【答案】解：∵，，， ∴， ∴原方程没有实数根。 【解析】判别式 ，方程无实根。 四、因式分解法解一元二次方程 例题1：解方程：。 【答案】解：提公因式得 ， ∴ 或 ， 解得 ，。 【解析】左边含公因式 ，提公因式后化为 形式求解。 例题2：解方程：。 【答案】解：用平方差公式分解得 ， ∴ 或 ， 解得 ，。 【解析】左边为平方差形式，分解后求解。 例题3：解方程：。 【答案】解：十字相乘法分解得 ， ∴ 或 ， 解得 ，。 【解析】左边为 型，十字相乘法分解后求解。 考点练习 一、直接开平方法解一元二次方程 练习1：解方程：。 【答案】解：开平方得 ， ∴ 或 ， 解得 ，。 【解析】直接开平方得两个一元一次方程，求解即可。 练习2：解方程：。 【答案】解：方程两边同除以2得 ， 开平方得 ， 解得 ，。 【解析】先化为 形式，再开平方。 练习3：解方程：。 【答案】解：移项得 ， 开平方得 ， 解得 ，。 【解析】直接开平方，注意结果为最简二次根式。 二、配方法解一元二次方程 练习1：解方程：。 【答案】解：移项得 ， 配方（加 ）得 ， 开平方得 ， 解得 ，。 练习2：解方程：。 【答案】解：配方（加 ）得 ， 即 ， 开平方得 ， 解得 ，。 练习3：解方程：。 【答案】解：二次项系数化为1得 ， 移项得 ， 配方（加 ）得 ， 开平方得 ， 解得 ，。 练习4：解方程：。 【答案】解：二次项系数化为1得 ， 移项得 ， 配方（加 ）得 ， 开平方得 ， 解得 ，。 练习5：解方程：。 【答案】解：移项得 ， 配方（加 ）得 ， 开平方得 ， 解得 ，。 三、公式法解一元二次方程 练习1：解方程：。 【答案】解：，，， ， ， 解得 ，。 练习2：解方程：。 【答案】解：，，， ， ， 解得 ，。 练习3：解方程：。 【答案】解：，，， ， ， 即 。 练习4：解方程：。 【答案】解：，，， ， ， 即 。 练习5：解方程：。 【答案】解：，，， ， ∴原方程没有实数根。 练习6：解方程：。 【答案】解：，，， ， ， 解得 ，。 四、因式分解法解一元二次方程 练习1：解方程：。 【答案】解：提公因式得 ， ∴ 或 ， 解得 ，。 练习2：解方程：。 【答案】解：平方差公式分解得 ， ∴ 或 ， 解得 ，。 练习3：解方程：。 【答案】解：完全平方公式分解得 ， ∴， 解得 。 练习4：解方程：。 【答案】解：十字相乘法分解得 ， ∴ 或 ， 解得 ，。 练习5：解方程：。 【答案】解：十字相乘法分解得 ， ∴ 或 ， 解得 ，。 练习6：解方程：。 【答案】解：移项得 ， 提公因式得 ， ∴ 或 ， 解得 ，。 练习7：解方程：。 【答案】解：整理得 ， 十字相乘法分解得 ， ∴ 或 ， 解得 ，。 综合提升练习 1.解方程（选择适当方法）： （1） （2） （3） （4） 【答案】 （1）解：开平方得 ，解得 ，； （2）解：十字相乘法分解得 ，解得 ，； （3）解：，，，，，解得 ，； （4）解：移项得 ，提公因式得 ，解得 ，。 2. 解方程（选择适当方法）： （1） （2） （3） （4） 【答案】 （1）解：提公因式得 ，解得 ，； （2）解：开平方得 ，解得 ，； （3）解：，，，，，解得 ，； （4）解：完全平方公式分解得 ，解得 。 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版数学九年级上册 专项提升训练：解一元二次方程计算题 姓名： 班级： 学号： (核心知识点+例题讲解+考点练习+综合提升练习) 核心知识点 知识点1：直接开平方法 (1)适用形式：x2=aa≥0)或(k+m2=aa≥0)。 (2)步骤：直接开平方得x=±或x+m=±日，解得X=,x2=-或 8=-m+va,x2=-m-Va。 知识点2：配方法 (1)通用步骤：①化二次项系数为1（两边同除以a): ②移项（常数项移到右边）：2+吕x=-景； ③配方（两边加“一次项系数一半的平方”）：x2+x+(偿)广=-号+（告，化为 x+=; ④用直接开平方法求解。 知识点3：公式法 (1)求根公式：对于ax2+bx+c=0(a≠0)，当4△=b2-4ac≥0时，根为x=c。 23 (2)判别式△=b2-4ac的作用： ①△>0：方程有两个不相等的实数根； ②△=0：方程有两个相等的实数根（名1=2=一会： ③△<0：方程没有实数根。 知识点4：因式分解法 (1)适用条件：方程左边能分解为两个一次因式乘积，右边为0，即A·B=0(AB为一次因式)。 (2)原理：若A·B=0,则A=0或B=0,解得x1X2 第1页共8页 (3)常见因式分解方法：提公因式、平方差公式(a2-b2=(a+b(a-b))、完全平方公式 (a2±2ab+b2=(a±b)2)、十字相乘法（适用于x2+p+qk+p9=+px+q)》>。 80800 例题讲解 一、直接开平方法解一元二次方程 例题1：解方程：x2-16=0。 例题2：解方程：3k-2)=27。 二、配方法解一元二次方程 例题1：解方程：x2-6x-7=0: 例题2：解方程：2x2+4x-1=0。 第2页共8页 三、公式法解一元二次方程 例题1：解方程：2x2+5x-3=0 例题2：解方程：x2-x+4=0。 例题3：解方程：3x2+2公+1=0 四、因式分解法解一元二次方程 例题1：解方程：x2-2x=0。 第3页共8页 例题2：解方程：4x2-9=0。 例题3：解方程：x2-7x+12=0。 0 考点练习 一、直接开平方法解一元二次方程 练习1：解方程：(&+4=25。 练习2：解方程：2k-1)2=8。 练习3：解方程：x2-12=0。 二、配方法解一元二次方程 第4页共8页 练习1：解方程：x2+4x-5=0。 练习2：解方程：x2一8x=1。 练习3：解方程：3x2-6x+2=0。 练习4：解方程：2x2-5x十1=0。 练习5：解方程：x2+3x-2=0。 三、公式法解一元二次方程 练习1：解方程：x2-5x十4=0。 第5页共8页 练习2：解方程：2x2+x-1=0。 练习3：解方程：x2-6x十9=0。 练习4：解方程：4x2+4x+1=0。 练习5：解方程：3x2-2x+1=0。 练习6：解方程：5x2-7x-1=0。 四、因式分解法解一元二次方程 练习1：解方程：x2一4x=0。 第6页共8页 练习2：解方程：9x2-16=0。 练习3：解方程：x2十6x+9=0。 练习4：解方程：x2-9x十14=0。 练习5：解方程：2x2-5x-3=0。 练习6：解方程：xx-3)=4-3)。 练习7：解方程：3x2+6x-9=0。 综合提升练习 1.解方程（选择适当方法）： (1)(x+2)=16 (2)x2-5x+6=0 第7页共8页 (3)2x2-4x-1=0 (4)3x8-1)=2x-1) 2.解方程（选择适当方法）： (1)x2-10x=0 (2)(2x-1=3 (3)x2+3x-5=0 (4)4x2-12x+9=0 第8页共8页