第一次月考卷-2025-2026学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版2024）

2025-2026学年八上数学第一次月考卷 考试范围：北师大版2024新教材第一-二章 总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分. 1．下列实数中，是无理数的是（   ） A． B． C．0 D． 2．下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．9，16，25 B．，，2 C．，2， D．5，12，13 3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 4．“勾股定理”被称为“千古第一定理”，其证明的方法多种多样．中国汉代数学家在注释《周髀算经》时给出一个图形，后来人们称它为“赵爽弦图”．这个图形是（   ） A． B． C． D． 5．已知的立方根是4，则的平方根是（   ） A．5 B． C． D． 6．如图所示是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E的面积是（   ） A．7 B．10 C．20 D．34 7．实数a、b在数轴上对应点的位置如图，则的结果是（    ） A． B． C．a D． 8．如图，图是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形探究学习中，标上字母绘成图所示，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题5小题，每小题3分，共15分． 9．在二次根式中，字母a的取值范围是 ． 10．比较大小： 2．（填“>”“<”或“=”） 11．已知直角三角形的两条直角边长为16和30，则第三边的长度是 ． 12．如图，这是一个长方体透明玻璃鱼缸，其中，高，水深，在鱼缸内水面上紧贴内壁处有一鱼饵，在水面线上，且．一只小虫想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内壁处吃鱼饵，小虫爬行的最短路线长为 ． 13．数学家祖冲之曾给出圆周率的两个近似值：“约率”与“密率”．他们可用“调日法”得到：称大于的近似值为强率，小于的近似值为弱率，由为初始弱率，4为初始强率，得，故为强率，与上一次的弱率计算得，故为强率，继续计算，若某次得到的近似率为强率，与上一次得弱率计算得到新的近似值，若某次得到的近似值为弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值，以此类推，已知，则 ； ． 三、解答题：本题共7小题，共61分. 14．（1）计算：．             （2）求式中的值： 15．一个正数的两个平方根分别是和；且． (1)求； (2)求的平方根． 16．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，小正方形的顶点称为格点． (1)请在网格中画出格点三角形，使，，； (2)求的面积． 17．把两张面积都为18的正方形纸片各剪去一个面积为2的正方形，并把这两张正方形纸片按照如图所示叠合在一起，做出一个双层底的无盖长方体容器．（接缝忽略不计） (1)求这个容器的侧面积； (2)如果向容器里注满水，则需注入多少水？ 18．如图，长方形中，，，为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点，且． (1)求证：； (2)求的长． 19．【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．例：求代数式 的最小值． 分析：和 是勾股定理的形式， 是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点B和E重合（图2），这时， 问题就变成“点B在线段的何处时，最短？ ”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 (1)代数式 的最小值为 ； (2)变式训练：利用图3，求代数式 的最小值； 20．阅读下列材料，然后回答问题： ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，，求．我们可以把和看成是一个整体，令，，则．这样，我们不用求出，就可以得到最后的结果． (1)计算：； (2)若是正整数，，，且，求的值； (3)若，则的值是______．（直接写出答案结果） ( 16 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八上数学第一次月考卷 考试范围：北师大版2024新教材第一-二章 总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分. 1．下列实数中，是无理数的是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数：无限不循环小数是无理数，通常有三类数：开方开不尽的数；含的一些数；形如（每两个1之间0的个数依次增加1），据此判断即可． 【详解】解：，是有理数，及0也是有理数，而是无限不循环小数，是无理数； 故选：D． 2．下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．9，16，25 B．，，2 C．，2， D．5，12，13 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股数，根据勾股数的概念对各选项进行逐一分析即可．熟知满足的三个正整数，称为勾股数是解题的关键． 【详解】解：A、，不能构成勾股数，不符合题意； B、不是整数，不能构成勾股数，不符合题意； C、，不是整数，不能构成勾股数，不符合题意； D、，且5，12，13都是正整数，能构成勾股数，符合题意． 故选：D． 3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 根据最简二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，故该选项符合题意； B、，被开方数是小数，可以化简，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； C、，被开方数含有分母，可以化简，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； D、，被开方数含有能开的尽方的数，可以化简，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； 故选：A． 4．“勾股定理”被称为“千古第一定理”，其证明的方法多种多样．中国汉代数学家在注释《周髀算经》时给出一个图形，后来人们称它为“赵爽弦图”．这个图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查“赵爽弦图”的图形特征，对选项中的图形进行判断．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成的大正方形图案． 【详解】解：A、是由四个直角三角形组成的大正方形，但直角三角形的排列方式与“赵爽弦图”不符； B、是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成的大正方形，符合“赵爽弦图”的特征； C、是由正方形和三角形组成的图形，不符合“赵爽弦图”的特征； D、是由三角形组成的大三角形，不符合“赵爽弦图”的特征； 故选：B． 5．已知的立方根是4，则的平方根是（   ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了立方根和平方根，根据立方根的定义得到x的值是解题的关键．根据的立方根是4，从而得到，代入，再根据平方根的定义即可得到答案． 【详解】解：∵的立方根是4， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 故选：B． 6．如图所示是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E的面积是（   ） A．7 B．10 C．20 D．34 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形F的边长为c，如图，则由勾股定理可得及正方形面积公式可得正方形F的面积为7，同理可求解问题． 【详解】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形F的边长为c，如图， 由勾股定理可得， ∴正方形F的面积为， 同理可得正方形H的面积为， ∴正方形E的面积为． 故选：B． 7．实数a、b在数轴上对应点的位置如图，则的结果是（    ） A． B． C．a D． 【答案】A 【分析】本题考查实数与数轴，二次根式的性质，化简绝对值．由数轴可知，，进而可得，根据绝对值性质和二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由数轴可知，， ，， ， 故选A． 8．如图，图是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形探究学习中，标上字母绘成图所示，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． 根据题意所求阴影部分面积为，再根据所给条件求面积即可． 【详解】解：如图， ，， 阴影部分面积， 朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为， ，， 青出与青入的三角形全等， ， ， ， ， ，， ， 阴影部分面积 ， 故选：B． 二、填空题：本题5小题，每小题3分，共15分． 9．在二次根式中，字母a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义即被开方数为非负数解答即可． 【详解】解：根据题意得， 解得 故答案为： 10．比较大小： 2．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】本题主要考查了实数大小的比较，对于含有算术平方根的两个实数大小的比较，先比较两个被开方数的大小，则被开方数大的其算术平方根也大；或者先比较这两个数的平方，则平方大的这个数也大． 【详解】解：∵， ∴，即， 故答案为：． 11．已知直角三角形的两条直角边长为16和30，则第三边的长度是 ． 【答案】34 【分析】本题考查勾股定理，掌握该知识点是解题的关键． 根据勾股定理，即可求出第三边的长度． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长为16和30， ∴第三边是斜边， 由勾股定理，得 第三边的长度是． 故答案为：34． 12．如图，这是一个长方体透明玻璃鱼缸，其中，高，水深，在鱼缸内水面上紧贴内壁处有一鱼饵，在水面线上，且．一只小虫想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内壁处吃鱼饵，小虫爬行的最短路线长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称——最短路径问题，勾股定理的应用．作点D关于的对称点，连接，交于点Q，连接，小虫的爬行路径为最短，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：作点D关于的对称点，连接，交于点Q，连接， ∴， ∴小虫的爬行路径为最短． 由对称可得， ∴， ∴在中，， ∴小虫爬行的最短路线长为． 故答案为： 13．数学家祖冲之曾给出圆周率的两个近似值：“约率”与“密率”．他们可用“调日法”得到：称大于的近似值为强率，小于的近似值为弱率，由为初始弱率，4为初始强率，得，故为强率，与上一次的弱率计算得，故为强率，继续计算，若某次得到的近似率为强率，与上一次得弱率计算得到新的近似值，若某次得到的近似值为弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值，以此类推，已知，则 ； ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，无理数的大小估算，根据“调日法”的规则依次计算，直到约率，进而求出的值即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵为强率，， ∴，为强率， ∴，为强率， ∴，为强率， ∴，为强率， ∴，为弱率， ∵是弱率，按照规则要与上一次的强率计算， ∴， 故答案为：，． 三、解答题：本题共7小题，共61分. 14．（1）计算：．             （2）求式中的值： 【答案】（1）3；（2），或 【分析】本题考查了实数的运算，掌握立方根、算术平方根的定义，绝对值的意义，乘方运算的符号法则是解题的关键． （1）根据立方根，绝对值的意义，乘方运算，算术平方根的定义，计算即可． （2）移项，根据平方根意义解方程即可． 【详解】解：（1）原式． （2）∵， ∴． ∴． ∴． ∴，或． 15．一个正数的两个平方根分别是和；且． (1)求； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（）根据平方根的性质可得，即得，进而根据平方根的定义可求出的值，再根据立方根的定义可求出的值； （）根据（）的结果求出，再根据平方根的定义解答即可； 本题考查了平方根和立方根，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∵， 代入， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴的平方根为． 16．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，小正方形的顶点称为格点． (1)请在网格中画出格点三角形，使，，； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了作图——应用与设计作图，勾股定理，构图法求三角形的面积，读懂题目信息，理解构图法的操作方法是解题的关键． （）根据勾股定理画出图形即可； （）利用所在的长方形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，计算即可得解． 【详解】（1）解：如图， 理由：由网格可得，，， ∴即为所求作；（位置不唯一） （2）解：． 17．把两张面积都为18的正方形纸片各剪去一个面积为2的正方形，并把这两张正方形纸片按照如图所示叠合在一起，做出一个双层底的无盖长方体容器．（接缝忽略不计） (1)求这个容器的侧面积； (2)如果向容器里注满水，则需注入多少水？ 【答案】(1)16 (2)需注入水的体积为 【分析】本题考查了算术平方根的应用，二次根式的应用，长方体的侧面积和体积公式． （1）先求出面积都为18的正方形和面积为2的正方形的边长，然后结合题意求出这个长方体容器的侧面积； （2）结合题意可知，注入水的量即为该容器的体积，根据长方体体积公式计算即可． 【详解】（1）解：两张正方形纸片的面积都为18， 它们的边长都是， 剪去的正方形的面积为2， 剪去的正方形的边长为， 做出的双层底的无盖长方体纸盒的底面是边长为的正方形，盒子高为， 这个容器的侧面积为； （2）解：容器的体积为， 如果向容器里注满水，则需注入水的体积为． 18．如图，长方形中，，，为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点，且． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析； (2)2.4． 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，解题的关键是灵活运用这些性质． （1）根据折叠的性质可得，，，结合，可证明，得到，； （2）推出，设，则，，推出，在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是长方形， ，，， 将沿翻折至，与相交于点，与相交于点， ，， 在和中， ， ， ，； （2）解：∵， ， 即， ， 设，则，， ，， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， ． 19．【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．例：求代数式 的最小值． 分析：和 是勾股定理的形式， 是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点B和E重合（图2），这时， 问题就变成“点B在线段的何处时，最短？ ”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 (1)代数式 的最小值为 ； (2)变式训练：利用图3，求代数式 的最小值； 【答案】(1)13 (2) 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，关键是根据题意运用数形结合思想进行求解问题． （1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （2）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，设，，点A在的上方，且，点D在的下方，且，对于任意一点B，过点D作，交延长线于点G，连接，则， ∴代数式表示， ∵的最小值为的长， 即代数式的最小值为的长， 在中，由勾股定理得：， 即的最小值为13； 故答案为：13 （2）解：设，，点A在的上方，且，点D在的下方，且，对于任意一点B，过点D作，交延长线于点H，连接，则，， ∴代数式表示， ∵的最小值为的长， ∴代数式的最小值为的长， ∵， 即代数式的最小值为． 20．阅读下列材料，然后回答问题： ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，，求．我们可以把和看成是一个整体，令，，则．这样，我们不用求出，就可以得到最后的结果． (1)计算：； (2)若是正整数，，，且，求的值； (3)若，则的值是______．（直接写出答案结果） 【答案】(1) (2) (3)9 【分析】本题考查了分母有理化、利用完全平方公式进行计算、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）利用分母有理化的方法对各式子进行整理，从而可求解； （2）先利用分母有理化的方法对各式子进行整理，再代入式子化简求解即可； （3）先求出，再计算出，结合，，即可求解． 【详解】（1）解：原式 （2），， ． ． ． ， ， ， 解得：； （3）， ， ， ， ， ， ． 故答案为：9． ( 16 ) 学科网（北京）股份有限公司 $