福建省南平市部分学校2025-2026学年高二上学期开学质量检测数学试卷

高二质量检测 数 学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一、二册。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.已知集合A={xlx<10},B={x|2<x<12},则AUB= A.{x|x<12} B.(rlr>2 C.{xlx<10} D.{x|2<xr<10} 2.从装有1个红球、1个白球和1个黄球的口袋中任取1个球，则与事件“取出的是红球”互为 对立事件的是 A.“取出的是白球” B.“取出的是黄球” C.“取出的是红球” D.“取出的不是红球” 3.若复数x=1十i,则引x2+1川·|x2一i川= A.5 B.35 C.5 D.55 4.“x>1”的一个充分不必要条件是 A.x>1 B.x>0 C.x>2 D.>1 5.已知sina+cosa=- 5a∈(0，x),则cos2a= 7 7 A B.一25 c- n易 6.位于灯塔P的正西方向且相距40海里的M处有一艘甲船，需要海上加油，位于灯塔P的东 北方向的C处有一艘乙船在甲船的北偏东75°方向上，则乙船前往支授M处的甲船需要航 行的最短距离是 A.20√2海里 B.40√2海里 C.40√海里 D.30海里 7.已知数据1,2,5，x,2,4,若这组数据的极差是中位数的2倍，则满足条件的正整数x的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 仪供发爱化用 【高二数学第1页（共4页）】 8.如图，设A成=xAD,AC-A正，线段DE与BC交于点F,且B萨=BC,则4x+y A.4 B.3 c号 D.5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.若复数之=m一4一mi(m∈R),则 A当之为实数时，m=0 B.当x为纯虚数时，m=4 C.当之的实部与虚部相等时，之=2一21 D.之在复平面内对应的点不可能位于第一象限 10.已知函数f(x)=Asin(ar十g)(A>0,w>0,lgl<)的部分图象 如图所示，其中△CMN为等边三角形，点M的坐标为(1,0)，则 Aw=音 B9=-开 C.直线x=7是f(x)图象的一条对称轴 D.将f(x)的图象向左平移2个单位长度后，所得图象与函数g(x)=23sin(于x+于)的 图象重合 11.《九章算术》是我国的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中记载“斜解立方，得两堑堵”， 堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱.如图，在堑堵ABC-A1B1C:中，CB=CA=AA1=6, D,E分别为AA1,AB的中点，则 A.该堑堵的体积为108 B.DE平面CBB,C C.该堑堵外接球的表面积为108π D.平面DEC:与BC的交点恰好为线段BC的一个三等分点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.甲，乙两人每人投篮一次，投中的总次数记为X.已知甲、乙投篮命中的概率分别为行·亏， 24 且甲、乙投篮命中的结果相互独立，则X=1的概率是▲ 【高二数学第2页（共4页）】 13.已知函数f(x)= 2二+x,则不等式f(-x)+f(2x+3)>0的解集为 2+1 14若△ABC的两条中线长均为2，则△ABC面积的最大值为▲· 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知非零向量a=(x,0),b=(1,x),且la一b|=1. (1)求x的值： (2)求向量a与b的夹角： (3)求向量a在b方向上的投影向量的模 16.(15分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知7sinC+33cosA=0,a2+b2-c2= 1 7a6. (1)求A: (2)若a+c=10,求△ABC的面积 17.(15分) 某电脑公司为调查旗下某品牌电脑的使用情况，随机抽取200名用户，根据不同年龄段（单 位：岁)统计，数据见下表： 分组 频率/组距 [25.30) 0.03 [30.35) 3a [35.40) 0.05 [40,45) 2a [45.50] a (1)根据上表，求a的值，并估计样本的中位数； 【高二数学第3页（共4页）】 (2)按照年龄段从[25,30)，[40,45)，[45,50]内的用户中进行分层随机抽样，抽取9人，再从 中随机选取2人赠送小礼品，求这2人不在同一年龄段内的概率。 18.(17分) 如图，在三棱锥P-ABC中，AP⊥平面PBC,AC⊥BC,PA=PC=2√2，BC=1,E为棱AB 的中点。 (1)证明：平面APC⊥平面ABC (2)求三棱锥P-ABC的表面积. (3)求直线PE与平面PBC所成角的正弦值. 19.(17分) 如图，圆台形水桶内装有少量水.已知水桶的上底面直径B,C,=50cm,下底面直径BC= 40cm,水面直径PQ=42cm,AA,BB,CC1均为圆台形水桶的母线，长度均为50cm.现 有一根细棒1，其长度为16/I0cm,将1放入水桶中，且将1的一端置于点B处（水桶厚度、 细棒粗细均忽略不计)， (1)1如何放置时，浸入水中部分的长度最小，最小为多少？ (2)若将1的另一端置于母线CC1上点M2处，求1浸入水中部分的长度， (3)已知AA1⊥BC,若将l的另一端置于母线AA1上点M3处，求I浸入水中部分的长度 B 【高二数学第4页（共4页）】高二质量检测 数学参考答案 1.A因为A={x|x<10},B={x|2<x<12},所以AUB={x|x<12. 2.D与事件“取出的是红球”互为对立事件的是“取出的不是红球”. 3.A因为x2=2i,所以|z2+1|·|x2-i=√5×1=√5， 4.C“x>1”的一个充分不必要条件是“x>2”. 5.A由 sina十cosa=一 5结合sina>0,解得sina三， sin2a+cos a=1, 则cos2a=1-2sina=1-25=26. 6.B画出示意图，如图所示，则PM=40海里，∠PMC=90°-75°= 15°，∠MPC=90°+45°=135°，所以∠PCM=180°-135°-15°=30°， MC 很据正弦定理可得90=视35解得MC=2MP=40,厄海里？ 则乙船前往支援M处的甲船需要航行的最短距离是40√2海里. 7.C当x=1或2时，该组数据的中位数为2，极差为4，满足题意； 当x=3或4时，该组数据的中位数为士极差为4，不满足题意： 当正整数x≥5时，该组数据的中位数为3，极差为x一1，则x一1=6，即x=7满足题意.故 选C. &D易得萨-A+萨-A+号武-店+号(AC-A)=店+号AC-市+ A正.因为D,F,E三点共线，所以导x十号y=1,所以4女十y=5 9.ABD若之为实数，则一m=0,即m=0,A正确.若之为纯虚数，则 m-4=0, -m≠0， 解得m=4,B 正确.若复数之的实部与虚部相等，则m一4=一m,解得m=2,则之=一2一2i,之=一2十2i,C 错误.若：在复平面内对应的点位于第一象限，则m一0· 不等式组无解，所以之在复平面 -m>0, 内对应的点不可能位于第一象限，D正确. 0.BCD由图可知A=23,MN1=23,则IMN=2=5 2X2=4,得T-2x-8,解得 ω 【高二数学·参考答案第1页（共6页）】 w至，Λ错误.因为线段MN的中点坐标为3.0)，所以平×3十9受+2x(k∈Z),解得 9=一于+2kxk∈2，因为1g<受，所以g=-年，B正确.因为f7)=25sim(行-) -25sm警=-25，所以直线x=7为了(x)图象的一条对称轴，C正确fx+2) 25sn(行x+-）=25sn(子+》D正确 11.ACD 该堑堵的体积为2×6×6×6=108，A正确：因为直线DE与直 C 线BB,相交，所以DE不与平面CBB,C1平行，B错误；该堑堵外接球的 半径R-合++-3V5,所以外接球的表面积为108x,C正确：延 2 长DE并与B1B的延长线交于点F,连接C1F,交BC于点G,连接EG,由AA1∥BB1,可知 BF=DA=3,由CC1∥BB1,可知CG=2BG=4,平面DEC1与BC的交点恰好为线段BC 的一个三等分点，D正确， 12. 号由题意可得PX=D-号×号+号×号是-号 13.(一3，+∞)f(x)的定义域为R,因为f(一x)=一f(x),所以f(x)是奇函数.f(x)= 十十2号十十十1.则)在R上单调递增，由/一)+/2z+3)>0,可得一 f(2x+3)>-f(一x),即f(2x+3)>f(x).因为f(x)在R上单调递增，所以2x+3>x, 解得x>-3,故不等式f(-x)+f(2x十3)>0的解集为(-3，+∞). 8 14. (方法一)设角A,B,C所对的边分别为a,b,c.根据题意不妨设中线AM=2,中线BV =2. 易得4=2+-2：台cosA=+十心得2u+2-=16.0 2 4=+号2，号c0sB-62+-+,得2弥+22-4-16.@ 4 由①@可得a-6a2=16-2.因为A△BC的面积S分esin B. 所以s-mB-1-sB)--0(ety-f =16-2{e-》+g当且仅当a-6-c-号时，等号 9 /648 成立，故△ABC面积的最大值为√9=3： 【高二数学·参考答案第2页（共6页）】 (方法二)根据题意不妨设中线AM与BN交于点O,AM=2,BN=2,根据重心性质可得 OA=0B=号×2=专则Sk=3Saw=3·号0A·0B·sin∠A0B=奇n∠A0B,当 Sn∠A0B=1时，△AC的面积取得最大值，最大值为号 15.解：(1)由题意得a一b=(x一1，一x),…1分 则(x-1)2十(-x)2=1,即2.x(.x-1)=0,…2分 解得=1或0.…3分 因为a为非零向量，所以x≠0，所以x=1.…4分 (2)由(1)得a=(1,0),b=(1,1),所以a=1,b|=√2，a·b=1,…6分 所以cosa,b>=a6方 a·b1√2 …8分 2 因为a,b)∈[0，]，所以a,b)=至，即向量a,b的夹角为平 …9分 (3)向量a在b方向上的投影向量的模为a:b1=1-区 1b22 …13分 16.解：1)油余弦定理有a2+b2-c2=2 abcosC,结合a2+62-c2=13 13 可得cosC=a2+b2-c2 13 2ab 2ab 14 …2分 因为C∈(0，π)，所以sinC>0, sin C-/1-cos C-3/3 3分 14 又因为7sinC+3cosA=0,所以cosA= …5分 注意到A∈(0，)，所以A=2如 3 …7分 (2》由正弦定理有A一C即，后 3 ，故c= 3√3 7a, …9分 2 14 因为a十c=10,所以a=7,C=3.…11分 由1D可知a2+62-c2-8ab,且a>6,所以6=5. …13分 △ABC的面积5Ar-合tesin A=号×5X3×号_15,5 2 4 …15分 17.解：(1)由(0.03+6a+0.05)×5=1,得a=0.02. …2分 【高二数学·参考答案第3页（共6页）】 因为(0.03+0.06)×5=0.45，(0.03+0.06+0.05)×5=0.7，所以中位数在[35,40)内.… …4分 设中位数为x,则0.03×5十0.06×5十0.05×(x一35)=0.5，解得x=36.…6分 (2)根据分层随机抽样，其中位于[25,30)内的有3人，记这3人为A1,A2,A3;位于[40,45) 内的有4人，记这4人为B1,B2,B3,B4;位于[45,50]内的有2人，记这2人为C1,C2.… …7分 从这9人中抽取2人，有(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(A1,B),(A1,B2),(A1,B3),(A1, B),(A1,C1),(A1,C2),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,B4),(A2,C1),(A2,C2),(A3, B),(A3,B2),(A3,B3),(A3,B4),(A3,C),(A3,C2),(B1,B2),(B1,B3),(B1,B4),(B1, C),(B1,C2),(B2,B3),(B2,B4),(B2,C1),(B2,C2),(B3,B4),(B3,C1),(B3,C2),(B4,C1), (B4,C2),(C1,C2)这36种情况，…11分 2人不在同一年龄段内的情况有(A1,B),(A1,B2),(A1,B),(A1,B),(A1,C),（A1,C2), (A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,B4),(A2,C1),(A2,C2),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3), (A3,B4),(A3,C1),(A3,C2),(B,C1),(B1,C2),(B2,C1),(B2,C2),(B3,C1),(B3,C2), (B4,C1),(B4,C2)这26种，…14分 2613 所以这2人不在同一年龄段内的概率为36一18 …15分 18.(1)证明：因为AP⊥平面PBC,BCC平面PBC,所以AP⊥BC.·1分 又因为AC⊥BC,AP∩AC=A,所以BC⊥平面PAC,…3分 因为BCC平面ABC,所以平面APC⊥平面ABC. …5分 (2)解：易得△ABC,△PAC,△PAB,△PBC均为直角三角形， 所以三楼锥P-ABC的表面积S=21X4+1X2反+2反X22+22X3)=12+6. …9分 (3)解：取PB的中点M,连接EM.因为E为棱AB的中点，所 以EM∥AP.因为AP⊥平面PBC,所以EM⊥平面PBC,则 ∠EPM即为直线PE与平面PBC所成的角.…11分 因为PA=PC=2√2，AP⊥PC,所以AC=√8+8=4.… …13分 因为BC=1.ACLBC.所以AB=√1中6=7，EM=号PA=反.…14分 因为AP1平面PBC.所以APLPB,.所以PE-AB=罗 2 …15分 【高二数学·参考答案第4页（共6页）】 所以sin∠EPM= EM 22√34 2√34 PE 17 17,故直线PE与平面PBC所成角的正弦值为17， 2 …17分 19.解：(1)当l垂直于圆台形水桶的底面，即直线BM1垂直于圆台形水桶的底面时，浸入水中 部分的长度最小。…1分 记BM,nPQ=D,BM,∩BC,-E(图略，B,E=BC,BC-5m,QD=PQ,BC 2 1cm,水桶的高h=BE=√JBB-B1E2=15√/1Icm.…2分 因为△Q0B7△BB所以合5-器即-1S,解得B0-3VTm 所以浸入水中部分的长度的最小值为3√11cm. …4分 (2)记BM2∩PQ=H,过C作CG⊥B1C1,垂足为G(图略) coS∠BCC1=-cos∠CC1B1=- 1 CC 10 …5分 在△BCM2中，BM=BC2+CM-2BC·CM2cos∠BCC1, 所以16o)P=40+CMg-2×40×CM,×(-),解得CM,=4(-1Dcm(CM,= 4(一√/61一1)舍去).… …7分 BE BE BB 由(1)得，△QDBn△B,EB,所以QD一B-BQ =5,解得BQ=PC=10cm. BH PC 因为HPBC,所以MBMC,即H 10 、,解得BH=2√0(+1) cm, 16/104(/6T-1 3 所以1浸人水中部分的长度为2√0(V6+) 3 Cm.…9分 (3)记圆台形水桶上底面圆的圆心为O1,下底面圆的圆心为O,连接OO(图略). 因为OO1⊥平面ABC,BCC平面ABC,所以OO1⊥BC. 因为AA1⊥BC,直线AA1与直线OO1一定相交，所以BC⊥平面OO1A1A,BC⊥OA.… …11分 在等腰梯形ABB1A1中，AB=20√2cm,A1B1=25√2cm,cos∠BAA1=-cos∠AA1B1= 一2 20 在△ABM3中，BM=AB2+AM-2AB·AM3cos∠BAA1, 所以16vD)=(20E)+AM-2X20E×M,X(-爱)，解得AM,=40m(AM, 【高二数学·参考答案第5页（共6页）】 44舍去）.…13分 记点M3在平面ABC内的投影为N,点A1在平面ABC内的投影为I,矩形OO1A1I如 图1所示。 7,,,即0-15页 因为△AM,N∽△AA,1,所以A=AL. 10M,N,解得M,N=12/cm. …15分 记BM?与水面交于点K,点K在平面ABC内的投影为S,△BM3N如图2所示， BK KS 因为△BKSO△MN,所以N,即队-0 ,解得BK=4I0cm, 16/1012/11 所以1浸入水中部分的长度为4√10cm. …17分 O A M: M 0 AN B 图1 图2 【高二数学·参考答案第6页（共6页）】