三角恒等变换（7大题型）讲义-2026届高三数学一轮复习

三角恒等变换 题型一：两角和与差的三角函数公式的应用 【解题方法总结】 在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的． 例1．已知均为锐角，且，则（    ） A． B． C．2 D．3 例2．已知，，则（    ） A． B． C． D． 例3．若，，，，则（    ） A． B． C． D． 题型二：两角和与差的三角函数公式的逆用与变形 【解题方法总结】 (1)化简三角函数式的标准和要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数式的种数、项数及角的种类尽可能少；③使三角函数式的次数尽可能低；④使分母中尽量不合三角函数式和根式. (2)化简三角函数式的常用方法: ①切化弦；②异名化同名；③异角化同角；④高次降低次. 例4．已知、是不同的两个锐角，则下列各式中一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 例5．化简： (1)； (2)． 例6．化简： (1)(tan 10°－)·； (2)sin(α＋β)cos α－[sin(2α＋β)－sin β]． 题型三：利用二倍角公式求值 【解题方法总结】 对于给角求值问题，需观察题中角之同的关系，并能根据式子的特点构造出二倍角的形式，正用、逆用、变形用二倍角公式求值，注意利用诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化. 例7．已知 (1)求 ； (2)求 的值. 例8．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 例9．已知 ，求 (1) 的值; (2) 的值. 题型四：给角求值 【解题方法总结】 （1）给角求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法． （2）给角求值问题的一般步骤 ①化简条件式子或待求式子； ②观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手； ③将已知条件代入所求式子，化简求值． 例10．的值为（    ） A． B． C．1 D．2 例11．（多选题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 例12．若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 题型五：给值求值 【解题方法总结】 给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用已知三角函数表示；②将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这些关系来选择公式． 例13．若，，则（    ） A． B． C． D． 例14．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 例15．（多选题）已知，，则（    ） A． B． C． D．3 题型六：给值求角 【解题方法总结】 给值求角：解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求角”的范围，最后借助三角函数图像、诱导公式求角． 例16．已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 例17．已知，且，求的值为_____． 例18．已知，，，，则________． 题型七：正切恒等式求非特殊角 【解题方法总结】 正切恒等式：当时，． 证明：因为，，所以 故． 例19．已知，则 ． 例20．（多选题）已知，，则（    ） A． B． C． D．3 例21．若，为锐角，且，则__________；__________ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三角恒等变换 题型一：两角和与差的三角函数公式的应用 【解题方法总结】 在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的． 例1．已知均为锐角，且，则（    ） A． B． C．2 D．3 【解题思路】根据两角和差的正弦公式，结合商数关系化简即可得解. 【解答过程】解：因为， 所以， 即， 又均为锐角，所以，即. 故选：D. 例2．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据同角三角函数的基本关系求出，再根据利用两角和的正弦公式计算可得. 【解答过程】解：因为，所以，又， 所以， 所以 ， 故选：D. 例3．若，，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意求得和的值，结合两角差的余弦公式，即可求解. 【解答过程】由题意，可得，， 因为，，可得，， 则 . 故选：C. 题型二：两角和与差的三角函数公式的逆用与变形 【解题方法总结】 (1)化简三角函数式的标准和要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数式的种数、项数及角的种类尽可能少；③使三角函数式的次数尽可能低；④使分母中尽量不合三角函数式和根式. (2)化简三角函数式的常用方法: ①切化弦；②异名化同名；③异角化同角；④高次降低次. 例4．已知、是不同的两个锐角，则下列各式中一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 【解析】因为、是不同的两个锐角，即， 所以，， 对于A，因为， 所以一定成立，故A错误； 对于D，可能成立，故D错误； 对于B，因为， 所以恒成立， 即一定不成立，故B正确； 对于C，可能成立，故C错误. 故选：B. 例5．化简： (1)； (2)． 【解题思路】（1）由结合和差角公式化简即可； （2）由结合和差角公式以及诱导公式化简即可. 【解答过程】(1) ； (2) . 例6．化简： (1)(tan 10°－)·； (2)sin(α＋β)cos α－[sin(2α＋β)－sin β]． 【解题思路】（1）结合同角三角函数的基本关系式、两角差的正弦公式计算出正确答案. （2）结合两角和与差的正弦公式计算出正确答案. 【解答过程】(1) 原式＝(tan 10°－tan 60°)·＝· ＝· ＝－·＝－＝－2. (2) 原式＝sin(α＋β)cos α－[sin(α＋α＋β)－sin(α＋β－α)] ＝sin(α＋β)cos α－[sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β)－sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α] ＝sin(α＋β)cos α－×2sin αcos(α＋β) ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β－α)＝sin β. 题型三：利用二倍角公式求值 【解题方法总结】 对于给角求值问题，需观察题中角之同的关系，并能根据式子的特点构造出二倍角的形式，正用、逆用、变形用二倍角公式求值，注意利用诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化. 例7．已知 (1)求 ； (2)求 的值. 【解题思路】（1）根据两角和的正切公式，结合正切二倍角公式进行求解即可； （2）根据二倍角的正弦公式和余弦公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可. 【解答过程】（1）由， 所以； （2） 例8．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【解题思路】（1）利用同角三角函数的基本关系式求解即可. （2）利用正弦及余弦的二倍角公式展开后分式上下同除以，然后代入的值即可求解. 【解答过程】(1) ∵ ∴ ∴. (2) . 例9．已知 ，求 (1) 的值; (2) 的值. 【解题思路】（1）将已知等式分子分母同除，可构造关于的方程，求得； （2）将所求式子利用二倍角公式化为正余弦的二次式，配凑分母，分子分母同除可构造出关于的方程，代入可求得结果. 【解答过程】(1) ，   ，解得：. (2) 题型四：给角求值 【解题方法总结】 （1）给角求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法． （2）给角求值问题的一般步骤 ①化简条件式子或待求式子； ②观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手； ③将已知条件代入所求式子，化简求值． 例10．的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【解题思路】根据正弦的二倍角公式，结合诱导公式，以及余弦的和差角公式，化简即可求得结果. 【解答过程】 . 故选：A. 例11．（多选题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据两角和的正切公式、二倍角公式、诱导公式求得正确答案. 【解答过程】因为，故A正确； ，故B正确； ，故C正确； 因为， 所以，故D错误． 故选：ABC. 例12．若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【解析】由已知可得 . 故选：A. 题型五：给值求值 【解题方法总结】 给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用已知三角函数表示；②将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这些关系来选择公式． 例13．若，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】结合诱导公式，同角三角函数的基本关系式、二倍角公式求得正确答案. 【解答过程】， 由于，所以， 所以. 故选：D. 例14．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用二倍角的余弦公式求得，再根据诱导公式即可得解. 【解答过程】解：因为，所以， 即， 所以. 故选：A. 例15．（多选题）已知，，则（    ） A． B． C． D．3 【解题思路】由条件结合两角差的正切公式求，再由二倍角公式求. 【解答过程】因为，又，，所以， 因为，所以，所以， 解得或3， 故选：AD. 题型六：给值求角 【解题方法总结】 给值求角：解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求角”的范围，最后借助三角函数图像、诱导公式求角． 例16．已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出的取值范围，利用同角三角函数的基本关系以及两角差的正弦公式求出的值，即可得解. 【解答过程】因为，则，因为，则，可得， 因为，则，， 所以，，， 所以， ， 所以，. 故选：A. 例17．已知，且，求的值为_____． 【答案】/ 【解析】，则，注意到 ，于是 ，不妨记 ，于是，而，于是（负值舍去），又，则（正值舍去），于是计算可得： ，而，于是 . 故答案为：. 例18．已知，，，，则________． 【答案】 【解析】因为，，则，，， 所以，，， 所以， ， 因此，. 故答案为：. 题型七：正切恒等式求非特殊角 【解题方法总结】 正切恒等式：当时，． 证明：因为，，所以 故． 例19．已知，则 2 ． 【解题思路】将代入目标式，利用两角差的正切公式化简计算即可. 【解答过程】， 故答案为：2. 例20．（多选题）已知，，则（    ） A． B． C． D．3 【解题思路】由条件结合两角差的正切公式求，再由二倍角公式求. 【解答过程】因为，又，，所以， 因为，所以，所以， 解得或3， 故选：AD. 例21．若，为锐角，且，则__________；__________ 【答案】 【解析】利用两角和差正切公式来构造出，代入可求得结果；根据的规律可整理得到结果.     即 故答案为：； 学科网（北京）股份有限公司 $$