精品解析：云南省保山市腾冲市第八中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题

腾冲市第八中学2025—2026学年高二上学期开学考 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第4页至第6页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 过点A（0，2）的直线l与圆x2+y2=1相切，则直线l的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60°或120° C. 30°或60° D. 30°或150° 2. 下列说法中，正确的是（ ） A. 过点且在轴截距相等的直线方程为 B. 直线在轴上的截距为 C. 直线的倾斜角为60° D. 过点并且倾斜角为的直线方程为 3. 若一动圆的圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则此动圆必过定点（ ） A. B. C. D. 4. 设向量，，不共面，则下列向量组可作为空间的一组基的是（ ） A. B. C. D. 5. 若表示面积为的圆的方程，则实数的值为（   ） A. 2 B. C. 1 D. 6. 已知，，，若，且平面，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知实数满足，其中，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，是椭圆上两点，，分别在的左、右焦点，，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 已知双曲线，则（ ） A. 的焦点坐标为 B. 的渐近线方程为 C. 的虚轴长为 D. 的离心率为 10. 已知直线，其中，则（ ） A. 直线l过定点 B. 当时，直线l与直线垂直 C. 若直线l与直线平行，则 D. 当时，直线l在两坐标轴上的截距互为相反数 11. 已知是边长为1的正六边形内一点（含边界），且，，则（ ） A. 的面积恒为 B. 存在，使得 C. D. 的取值范围是 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量为平面的法向量，点在内，点在外，则点P到平面的距离为______． 13. 正四面体棱长为6，，且，以为球心且半径为1的球面上有两点，，则的最小值为__________. 14. 设，则直线与围成的三角形的面积的最大值为________． 四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 的顶点A，B的坐标分别为． （1）求线段AB的中垂线在x轴上的截距； （2）若点C的坐标为，求△ABC垂心的坐标． 16. 如图，正四面体的高的中点为，的中点为. （1）求证：，，两两垂直； （2）求. 17. 已知直线l经过点． （1）若原点到直线l的距离为2，求直线l的方程： （2）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程． 18. 在如图所示的几何体中，四边形是菱形，是矩形，平面，，，，E为的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． （3）在线段上是否存在点P，使直线与平面所成的角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 19. 已知点P为椭圆上一动点，，为左右两焦点，点P到坐标原点的最大距离为，的最大面积为1. （1）求椭圆C的方程； （2）过动点P（不在坐标轴上）作圆的两条切线，切点分别为A，B，直线AB交椭圆于M，N两点，求的面积S的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 腾冲市第八中学2025—2026学年高二上学期开学考 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第4页至第6页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 过点A（0，2）的直线l与圆x2+y2=1相切，则直线l的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60°或120° C. 30°或60° D. 30°或150° 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，直线的倾斜角和斜率的关系的应用求解． 【详解】由题知：直线存在斜率，设直线的方程为， 圆心到直线的距离，解得， 所以，， 故或. 故选：B 2. 下列说法中，正确的是（ ） A. 过点且在轴截距相等的直线方程为 B. 直线在轴上的截距为 C. 直线的倾斜角为60° D. 过点并且倾斜角为的直线方程为 【答案】B 【解析】 【分析】 根据直线截距的概念、倾斜角与斜率之间的关系逐一判断即可. 【详解】对于A，过点且在轴截距相等的直线方程为 或，故A不正确； 对于B，，令，可得，所以在轴上的截距为，故B正确； 对于C，， 则，所以直线的倾斜角为 ，故C不正确. 对于D，过点并且倾斜角为的直线方程为，故D不正确. 故选：B 3. 若一动圆的圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则此动圆必过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件可知是抛物线的准线，根据抛物线的定义，直接求得结果. 【详解】由题可知的准线为，焦点为. 因为动圆的圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切， 利用抛物线的定义可知，动圆的圆心到抛物线焦点的距离即为半径， 说明了必定过抛物线的焦点． 故选：B 4. 设向量，，不共面，则下列向量组可作为空间的一组基的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的共面和空间基底的条件即可解答. 【详解】A选项，由于与任意两个向量共面，不能作为基底； B选项，，故三个向量共面，不能作为基底； C选项，设， 向量，，不共面，上式显然不成立，即与不共面，符合题意； D选项，，故三个向量共面，不能作为基底； 故选：C. 5. 若表示面积为的圆的方程，则实数的值为（   ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简圆的方程为标准形式，列出关系式求解即可. 【详解】解：方程表示圆，且圆的半径为， 可得， 可得，解得，经检验，均符合题意. 故选：B. 【点睛】本题主要考查圆的一般方程的特征，属于基本知识的考查. 6. 已知，，，若，且平面，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由可得出可求得的值，由平面，可得出，可得出关于实数、的方程组，进而可解得实数、的值，由此可得出向量的坐标. 【详解】，，，则，解得， ， 平面，、平面，所以，，， 则，解得，因此，. 故选：D. 【点睛】本题考查利用向量垂直、线面垂直求参数，考查计算能力，属于中等题. 7. 已知实数满足，其中，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数的运算性质可得.作出不等式组表示的可行域，设，根据几何意义，结合图象得出，进而即可根据不等式的性质得出答案. 【详解】由已知可得，， 则不等式为. 作出可行域 设，， 则表示可行域内的点与点连线的斜率. 由图象可知，直线的斜率最小，的斜率最大. 联立可得，，所以，. 联立可得，，所以，. 所以，. 根据不等式的性质，可知， 所以，. 故选：D. 8. 已知，是椭圆上两点，，分别在的左、右焦点，，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，由椭圆的定义求出，再由勾股定理求出，又由，即可求出答案. 【详解】设， 由椭圆的定义可得：， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 化简可得：，解得：， 所以， 又因为，所以， 所以. 故选：D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 已知双曲线，则（ ） A. 的焦点坐标为 B. 的渐近线方程为 C. 的虚轴长为 D. 的离心率为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程，求出，然后对选项逐一判断即可. 【详解】因为双曲线，则 则焦点坐标为，故A错误； 焦点在轴的双曲线的渐近线方程为，即，故B错误； 双曲线虚轴长为，故C正确； 离心率为，故D正确. 故选:CD. 10. 已知直线，其中，则（ ） A. 直线l过定点 B. 当时，直线l与直线垂直 C. 若直线l与直线平行，则 D. 当时，直线l在两坐标轴上的截距互为相反数 【答案】ABD 【解析】 【分析】A. 令判断；B.由两直线的位置关系判断；C. 由两直线的位置关系判断；D.由直线的方程判断. 【详解】对于A，当时，，与a的取值无关，故直线l过定点，所以A正确； 对于B，当时，直线l的方程为，其斜率为1， 而直线的斜率为， 所以当时，直线l与直线垂直，所以B正确； 对于C，若直线l与直线平行，则，解得或，所以C错误； 对于D，当时，直线l的方程为，横截距和纵截距分别是，1，互为相反数，所以D正确. 故选：ABD 11. 已知是边长为1的正六边形内一点（含边界），且，，则（ ） A. 的面积恒为 B. 存在，使得 C. D. 的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】根据向量共线，即可求解A，根据对称性可求解BC，根据数量积的定义求解D. 【详解】由，可得，即， 所以在正六边形的对角线上运动，所以， 所以的面积为定值，且，A正确； 因为正六边形关于直线对称，所以不论在何处，总有，B错误； 根据图形的对称性，当为的中点时，取到最大值， 当与或重合时，取到最小值，故的取值范围是，C正确； ，的取值范围是，D错误． 故选:AC． 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量为平面的法向量，点在内，点在外，则点P到平面的距离为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用点到平面距离的向量求法计算作答. 【详解】依题意，，而平面的法向量为， 所以点P到平面的距离. 故答案为： 13. 正四面体棱长为6，，且，以为球心且半径为1的球面上有两点，，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意计算可得，再由，推出，，，再由向量的数量积的计算公式得到，结合基本不等式，即可求解结果. 【详解】因为正四面体的棱长为， 所以， 同理可得， ， 又因为以为球心且半径为1的球面上有两点，， 所以， 由， 则 因为，所以 当且仅当取等号， 此时， 所以， 故的最小值为. 故答案为：. 14. 设，则直线与围成的三角形的面积的最大值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】由直线方程确定直线，且直线过定点，直线过定点，定点都在直线上，这样设直线交于，得出三条直线围成直角，利用基本不等式可得的最大值，从而得三角形面积最大值． 【详解】由题知直线，且直线过定点，直线过定点，点在直线上． 设直线交于，则三条直线围成的三角形为，且， 所以． 因为， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以，所以． 故答案为：2. 四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 的顶点A，B的坐标分别为． （1）求线段AB的中垂线在x轴上的截距； （2）若点C的坐标为，求△ABC垂心的坐标． 【答案】（1）-3； （2） 【解析】 【分析】（1）求出AB的中点和直线AB的斜率，再求出线段AB中垂线的斜率，即可得到答案； （2）求出AB边上的高所在直线的斜率，得到AB边上的高所在直线的方程，同理可得AC边上的高所在直线的方程，两条方程联立即可得到答案 【小问1详解】 ∵△ABC的顶点A，B的坐标分别为， ∴AB的中点是，直线AB的斜率是， ∵线段AB中垂线与线段AB垂直， ∴线段AB中垂线的斜率是， ∴线段AB的中垂线方程是，即x－3y＋3＝0， 令y＝0，得x＝－3，即线段AB的中垂线在x轴上的截距为-3； 【小问2详解】 ∵，∴AB边上的高所在直线的斜率为， ∵，∴AB边上的高所在直线的方程为，即x－3y=0， ∵，∴AC边上的高所在直线的斜率为， ∵，∴AC边上的高所在直线的方程为，即2x＋3y-19=0， 联立x－3y=0和2x＋3y-19=0，得，， ∴△ABC垂心的坐标为 16. 如图，正四面体的高的中点为，的中点为. （1）求证：，，两两垂直； （2）求. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）首先以为基底表示向量，再表示向量，再利用数量积公式证明垂直关系； （2）首先利用基底表示向量，再代入向量夹角的余弦公式，即可求解. 【小问1详解】 设，，，正四面体的棱长为1， 因为 ， ， ， ， 所以 ，所以，即. 同理，，，所以，，两两垂直. 【小问2详解】 ， 所以， 又， ， 所以， 又，所以. 17. 已知直线l经过点． （1）若原点到直线l的距离为2，求直线l的方程： （2）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）当斜率不存在时，l：，验证即可，当斜率存在时，设l：，由原点到直线l的距离为2求解； （2）若直线过原点，设直线方程为，根据直线l经过点求解；若直线不过原点，设直线方程为，根据直线l经过点求解. 【小问1详解】 解：当斜率不存在时，l：，符合题意； 当斜率存在时，设l：，即， ∴，解得：， ∴l：或. 【小问2详解】 若直线过原点，设直线方程为， 因为直线l经过点， 所以， 所以直线方程为, 若直线不过原点，设直线方程为， 因为直线l经过点， 所以， 所以直线方程为, ∴直线l：或. 18. 在如图所示的几何体中，四边形是菱形，是矩形，平面，，，，E为的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． （3）在线段上是否存在点P，使直线与平面所成的角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）不存在点P使直线PE与平面MBC所成角为.理由见解析. 【解析】 【分析】（1）设CM与BN交于F，连接EF，由题意可知四边形BCNM是平行四边形，则，利用线面平行的判定定理即可得证； （2）根据题意可得，利用线面垂直的性质定理得到，建立如图空间直角坐标系D-xyz，利用空间向量法求解面面所成角即可； （3）设，则，由（2）知平面MBC的法向量，利用空间向量法求解线面角，即可判断. 【小问1详解】 因为四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形， 所以且，且， 则且，所以四边形BCNM是平行四边形， 设CM与BN交于F，则F是BN的中点．连接EF，又E是AB的中点， 所以，又平面MEC，平面MEC， 所以平面MEC． 【小问2详解】 连接DE，由四边形ABCD是菱形，， 所以为正三角形，又E是AB的中点，得，即， 因为平面ABCD，平面ABCD， 所以，建立如图空间直角坐标系D-xyz， 则，，，，， 得，，， 设平面、平面MBC的一个法向量分别为、， 则， 令，得，令，得， ∴，， 得， 又平面与平面MBC的夹角为锐角， ∴平面与平面MBC所成角的余弦值为； 【小问3详解】 设，则，且， 由（2）知平面MBC的法向量为， 设直线PE与平面MBC的所成角为，则， 所以， 解得，不符合题意， ∴在线段AM上不存在点P，使直线PE与平面MBC的所成角为． 19. 已知点P为椭圆上一动点，，为左右两焦点，点P到坐标原点的最大距离为，的最大面积为1. （1）求椭圆C的方程； （2）过动点P（不在坐标轴上）作圆的两条切线，切点分别为A，B，直线AB交椭圆于M，N两点，求的面积S的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得到，再由求解； （2）设切点，，，由圆O的方程，得到切线PA方程，切线PB方程，由切线都过点P，得到直线AB方程：，然后与椭圆方程联立，求得弦长MN和点O到直线AB的距离，由的面积求解. 【小问1详解】 解：依题意得， ，则， 又， ∴. 椭圆C的方程为. 【小问2详解】 设切点，，， 因为圆O的方程为， 则切线PA方程：，切线PB方程：， 切线都过点P，所以，， ∴直线AB方程：， 设与椭圆的交点为，， 联立椭圆方程，得， ∴，， 又O到直线MN距离为， 的面积， 令，，， ∴，， ∴. 当且仅当，即，又，则时，等号成立. 故的面积S的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $