专题1.8 常用逻辑用语中的参数问题讲义（5类必考点）-2025-2026学年高一数学人教A版必修第一册

专题1.8 常用逻辑用语中的参数问题 【知识梳理】 1 【考点1：根据充分不必要条件求参数】 1 【考点2：根据必要不充分条件求参数】 4 【考点3：根据充要条件求参数】 7 【考点4：根据全称量词命题的真假求参数】 9 【考点5：根据存在量词命题的真假求参数】 11 【知识梳理】 1、充分、必要、充要条件与集合的关系： p成立的对象构成的集合为A，q成立的对象构成的集合为B p是q的充分条件 A⊆B p是q的必要条件 B⊆A p是q的充分不必要条件 A⫋B p是q的必要不充分条件 B⫋A p是q的充要条件 A＝B 2、充分、必要、充要条件中的参数问题： 一般将充分、必要、充要条件中的参数问题转化为集合间的包含关系问题，再结合集合的相关知识进行求解； 3、根据全称量词命题或存在量词命题的真假求参数的思路 与全称量词命题或存在量词命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题．解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围．　 【考点1：根据充分不必要条件求参数】 1．（2025高一上·全国·专题练习）设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 2．（2025·河南·模拟预测）已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·吉林延边·一模）若“”的充分不必要条件是“”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·四川自贡·阶段练习）已知集合，集合. (1)若，求； (2)若集合A成立的充分不必要条件是集合B，求实数m的取值范围. 5．（24-25高一上·广东广州·期中）已知集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 6．（24-25高二下·江西南昌·期末）已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 7．（24-25高一上·陕西咸阳·开学考试）已知集合，，． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 8．（24-25高一上·甘肃·期末）已知集合或. (1)当时，求； (2)“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【考点2：根据必要不充分条件求参数】 1．（24-25高二下·山东烟台·期末）设集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数a的值为（   ） A．－1 B．0 C．1 D．2 2．（24-25高一上·广东江门·期中）若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（      ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，． (1)若，那么是的什么条件； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，． (1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 5．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）已知集合，或 (1)当时，求； (2)若，或，且p的必要不充分条件是q，求实数m的取值范围. 6．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知全集，集合，集合. (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 7．（2025高一上·全国·专题练习）已知集合 (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 8．（24-25高一上·江西宜春·期中）已知集合，集合． (1)若，求； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【考点3：根据充要条件求参数】 1．（24-25高一上·广东·期中）方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·广东东莞·阶段练习）方程与有一个公共实数根的充要条件是（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25高一上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）关于的方程的解为的充要条件是 ． 4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，若是的充要条件，则实数 ． 5．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）已知． (1)若是的充要条件，求的值； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围. 6．（24-25高一上·湖南郴州·阶段练习）设集合，； (1)用列举法表示集合； (2)若是的充要条件，求实数的值. 7．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，集合． (1)若是成立的一个充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是成立的充要条件，求实数的值． 8．（24-25高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知，． (1)是否存在实数，使是的充要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． (2)是否存在实数，使是的必要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【考点4：根据全称量词命题的真假求参数】 1．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25高一上·江苏常州·期中）命题“，”为真命题，则实数a的取值范围为 . 3．（2025高一上·江苏·专题练习）已知集合，且，若命题“”是真命题，则m的取值范围是 . 4．（24-25高一上·广东江门·阶段练习）已知命题且，命题恒成立，若与不同时为真命题，则的取值范围是 . 5．（24-25高一上·湖南邵阳·期中）已知集合，集合或，全集. (1)若，求，； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围. 6．（24-25高一上·湖南长沙·期中）已知集合，集合或，全集. (1)若，求实数的取值范围； (2)若命题“，”是真命题，求实数的取值范围. 7．（24-25高二下·四川绵阳·阶段练习）设命题: 实数满足，命题: 实数满足​. (1)若命题“”是真命题，求实数的取值范围; (2)若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 8．（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）设全集，集合，集合． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，则”是假命题，求实数的取值范围． 【考点5：根据存在量词命题的真假求参数】 1．（25-26高一上·全国·课后作业）若命题“，”是真命题，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）若“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·福建泉州·期末）若命题“，使得成立”为假命题，则实数的取值范围是 ． 4．（2025高一·全国·专题练习）已知命题，都有，命题，使，若命题为真命题，命题的否定为假命题，则实数的取值范围为 ． 5．（24-25高一上·全国·周测）设全集，集合，，其中． (1)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 6．（24-25高一上·河南平顶山·阶段练习）已知集合，，且． (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若是真命题，求实数的取值范围． 7．（24-25高一·全国·课后作业）已知集合，且. (1)若命题是真命题，求m的取值范围； (2)若命题是真命题，求m的取值范围． 8．（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，集合． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题“，”是真命题，求实数的取值范围． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.8 常用逻辑用语中的参数问题 【知识梳理】 1 【考点1：根据充分不必要条件求参数】 1 【考点2：根据必要不充分条件求参数】 6 【考点3：根据充要条件求参数】 10 【考点4：根据全称量词命题的真假求参数】 14 【考点5：根据存在量词命题的真假求参数】 18 【知识梳理】 1、充分、必要、充要条件与集合的关系： p成立的对象构成的集合为A，q成立的对象构成的集合为B p是q的充分条件 A⊆B p是q的必要条件 B⊆A p是q的充分不必要条件 A⫋B p是q的必要不充分条件 B⫋A p是q的充要条件 A＝B 2、充分、必要、充要条件中的参数问题： 一般将充分、必要、充要条件中的参数问题转化为集合间的包含关系问题，再结合集合的相关知识进行求解； 3、根据全称量词命题或存在量词命题的真假求参数的思路 与全称量词命题或存在量词命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题．解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围．　 【考点1：根据充分不必要条件求参数】 1．（2025高一上·全国·专题练习）设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解方程得A，再分析的根，得出B是A的子集时对应的，再由充分不必要条件的概念，真子集的概念得解. 【详解】， 若，则，BA， 若，则，BA， 若，则，BA， ∴BA的一个充分不必要条件是. 故选：B 2．（2025·河南·模拟预测）已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当且时求出的取值范围，然后根据充分不必要条件的定义可求出答案. 【详解】由题可知且，解得， 所以使得“且”成立的一个充分不必要条件是集合的一个真子集， 因为只有选项A中的是的真子集， 故选：A 3．（2025·吉林延边·一模）若“”的充分不必要条件是“”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据充分不必要条件的判断即可得到实数的取值范围. 【详解】由＂＂的充分不必要条件是＂＂， 得，但， 所以． 故选：B. 4．（24-25高一上·四川自贡·阶段练习）已知集合，集合. (1)若，求； (2)若集合A成立的充分不必要条件是集合B，求实数m的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）利用并集与补集定义计算即可得； （2）由题意可得集合B是集合A的真子集，再分与计算即可得. 【详解】（1）由题意可知， 若，则， 故，则或； （2）由题意可得集合B是集合A的真子集， 当时，，解得， 当时，则有，解得， 且（等号不能同时成立），解得， 综上所述，实数m的取值范围为. 5．（24-25高一上·广东广州·期中）已知集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据集合的补集和交集运算即可求； （2）由题意可得是的真子集，分和两种情况讨论即可求. 【详解】（1）当时，集合， 所以或， 又， 所以. （2）因为“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集， 当时，即时，，满足是的真子集， 当时，即时， ，且不能同时取等号，解得， 综上，实数a的取值范围为或. 6．（24-25高二下·江西南昌·期末）已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或．； (2)． 【分析】（1）利用交集运算即可求解； （2）利用充分不必要条件转化为⫋，从而可得参数满足的不等式，即可求解. 【详解】（1）当时，集合，又或． ∴或或．； （2）∵若，且是的充分不必要条件，，， ∴⫋，则， 解得:，故的取值范围是． 7．（24-25高一上·陕西咸阳·开学考试）已知集合，，． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据充分不必要条件的性质，得到集合是集合的真子集，从而得到关于实数的不等式组，求解不等式组，即可得到实数的取值范围. （2）根据集合是否为空集进行分类讨论，结合，分别求出实数的取值范围，最后取并集即可. 【详解】（1）已知“”是“”的充分不必要条件，根据充分不必要条件的定义可知集合是集合的真子集. 已知，，则，解得. 故实数的取值范围为. （2）当时，因为，所以，解得，此时成立； 当时，，解得. 因为，，则或，解得或，故此时. 综上，若，则实数的取值范围为. 8．（24-25高一上·甘肃·期末）已知集合或. (1)当时，求； (2)“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或. (2) 【分析】（1）根据集合间的运算可得； （2）根据题意⫋，根据和分类可得. 【详解】（1）当时，. 因为或， 所以或. （2）因为或，所以. 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以⫋. 当时，符合题意，此时有，解得. 当时，要使⫋，只需解得. 综上可得， 即实数的取值范围是 【考点2：根据必要不充分条件求参数】 1．（24-25高二下·山东烟台·期末）设集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数a的值为（   ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】由逻辑用语可得集合的包含关系，再分情况建立方程，根据集合元素的特征验根，可得答案. 【详解】由题意可得，令，解得，则，不符合题意； 令，则，解得或， 当时，，不符合题意，当时，. 综上可得：. 故选：D. 2．（24-25高一上·广东江门·期中）若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两个命题的关系，得到两集合的包含关系，列不等式求解即可. 【详解】依题意知：，， 因为是的必要不充分条件， 所以⫋，所以，解得. 故选：C 3．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，． (1)若，那么是的什么条件； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)必要不充分条件（必要条件也正确） (2) 【分析】（1）根据集合关系判断是的必要不充分条件； （2）根据是的必要不充分条件，得是的真子集， 然后根据集合关系列不等式组求解即可. 【详解】（1）当时，， 显然是的真子集， 所以是的必要不充分条件（注：必要条件也正确）． （2）若是的必要不充分条件， 则是的真子集， 则有或解得， 故实数的取值范围为． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，． (1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】解：（1）因为“”是“”的必要不充分条件，可得A是B的真子集，则满足，解得，所以实数a的取值范围为． （2）因为“”是“”的充分不必要条件，可得B是A的真子集．①当，即时，此时，符合题意；②当，即时，则满足，即，解得．综上可得，实数a的取值范围为． 5．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）已知集合，或 (1)当时，求； (2)若，或，且p的必要不充分条件是q，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）分别求出，，再根据集合的交集运算即可； （2）由于是的必要不充分条件，可知是的真子集，再根据集合关系求出的范围即可． 【详解】（1）， 当时，或． ． （2）因为，或． 是的必要不充分条件，所以或， 所以或． 6．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知全集，集合，集合. (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】(1)当时，求出集合利用补集和交集的运算可求得集合； (2)由必要不充分条件的定义可知且，再利用集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）由得，即， 所以集合. 又全集，所以， 当时，集合， 所以. （2）若“”是“”的必要不充分条件，则且. 所以或，解得. 故实数的取值范围为. 7．（2025高一上·全国·专题练习）已知集合 (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由推出，对集合是否为分类讨论，求解即得； （2）由是成立的必要不充分条件可得是的真子集，列出不等式组，求解即得. 【详解】（1）由，可得， 因为， 当时，，解得，符合题意； 当时，则，解得， 综上，. 故实数的取值范围为． （2）由题意可得，是的充分不必要条件，故是的真子集， 又，， 则，解得， 故实数的取值范围是． 8．（24-25高一上·江西宜春·期中）已知集合，集合． (1)若，求； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出集合，再求即可； （2）由命题是命题的必要不充分条件得集合是集合的真子集，再分、讨论可得答案. 【详解】（1）， 若，则集合， 所以， 则=； （2）∵命题是命题的必要不充分条件， ∴集合是集合的真子集， 当时，，解得， 当时，，或， 解得， 综上所述，实数的取值范围为． 【考点3：根据充要条件求参数】 1．（24-25高一上·广东·期中）方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根的情况，得到不等式组，求解即可. 【详解】由题知，，解得. 故选：A 2．（24-25高一上·广东东莞·阶段练习）方程与有一个公共实数根的充要条件是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用判别式求得的取值范围，然后结合充要条件的知识求得的值. 【详解】方程有实根，故， 解得或. 方程有实根，故， 解得. 综上所述，，只有D选项符合. 若方程与有一个公共实数根，设公共实根为， 则，两式相减得， 由于，所以， 所以. 当时，两个方程分别为、， 方程的两个根为； 方程的两个根为； 即方程与有一个公共实数根. 综上所述，方程与有一个公共实数根的充要条件是. 故选：D 3．（24-25高一上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）关于的方程的解为的充要条件是 ． 【答案】 【分析】根据一元一次方程的解法，以及充要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由必要性得，若方程的解为，把代入方程解得， 当时，方程为，解得，充分性成立， 所以方程的解为的充要条件为. 故答案为：. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，若是的充要条件，则实数 ． 【答案】5 【分析】根据充要条件列出等式求解即可. 【详解】因为，又，是的充要条件， 所以，解得实数． 故答案为：5 5．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）已知． (1)若是的充要条件，求的值； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据充要条件知，不等式的解集相同，建立方程得解； （2）由充分不必要条件可化为，解不等式得解. 【详解】（1）因为是的充要条件， 所以， 解得. （2）因为是的充分不必要条件， 所以， 即，解得， 所以的取值范围. 6．（24-25高一上·湖南郴州·阶段练习）设集合，； (1)用列举法表示集合； (2)若是的充要条件，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接解方程即可； （2）根据条件得，可得是方程的根，进而可得实数的值. 【详解】（1）集合， 即； （2）由已知，， 若是的充要条件，则， ， . 7．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，集合． (1)若是成立的一个充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是成立的充要条件，求实数的值． 【答案】(1)． (2)2 【分析】（1）由题意是B的真子集，构造不等式即可求解； （2）由题意得到，进而可求解. 【详解】（1）由题意 A 是B的真子集，所以，即， 所以实数的取值范围为. （2）因为是成立的充要条件，所以, 所以，即．即实数的值为2． 8．（24-25高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知，． (1)是否存在实数，使是的充要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． (2)是否存在实数，使是的必要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)不存在，理由见解析 (2)存在， 【分析】（1）由列出等式求解即可； （2）分和两类情况讨论即可. 【详解】（1）要使是的充要条件，需使， 即，此方程组无解， 故不存在实数，使是的充要条件． （2）要使是的必要条件，需使． 当时，，解得，满足题意； 当时，，解得，要使，则有 ，解得，所以． 综上可得，当实数时，是的必要条件． 【考点4：根据全称量词命题的真假求参数】 1．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】由其否定为真命题，通过求解即可； 【详解】因为命题是假命题， 可得：为真命题； 可得：， 解得：， 故选：A 2．（24-25高一上·江苏常州·期中）命题“，”为真命题，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】即无解，据此可得答案 【详解】因，，则在R上无解， 则. 故答案为： 3．（2025高一上·江苏·专题练习）已知集合，且，若命题“”是真命题，则m的取值范围是 . 【答案】 【分析】由命题是真命题等价转换成.又列出不等关系式即可求解. 【详解】若命题为真，则集合B中所有元素都在集合A中，即. 又，所以 解得， 故答案为： 4．（24-25高一上·广东江门·阶段练习）已知命题且，命题恒成立，若与不同时为真命题，则的取值范围是 . 【答案】或 【分析】假设两个命题均为真命题求出的取值范围，再取其补集即可. 【详解】当命题为真命题时，， 当命题为真命题时，，即， 所以与同时为真命题时有，解得， 故与不同时为真命题时，的取值范围是或 故答案为：或 5．（24-25高一上·湖南邵阳·期中）已知集合，集合或，全集. (1)若，求，； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)，或 (2){a|或} 【分析】（1）由集合的交集和并集的定义运算即可； （2）由已知可得，进而得到或，求解即可. 【详解】（1）当时，， 因为或， 所以，或； （2）因为“，都有”是真命题，所以， 因为集合，集合或， 所以或， 即或，所以实数的取值范围{a|或}. 6．（24-25高一上·湖南长沙·期中）已知集合，集合或，全集. (1)若，求实数的取值范围； (2)若命题“，”是真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）直接根据两个集合的交集是空集求解即可； （2）根据题意可得，进而结合包含关系求解即可. 【详解】（1）因为对任意恒成立，所以， 又，则，解得， 所以实数的取值范围为 （2）若，是真命题，则有， 则或，所以或， 即实数的取值范围为或. 7．（24-25高二下·四川绵阳·阶段练习）设命题: 实数满足，命题: 实数满足​. (1)若命题“”是真命题，求实数的取值范围; (2)若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意知，，然后根据求解即可； （2）命题 ​是命题​的必要不充分条件,然后按照是的真子集求解即可； 【详解】（1）因为命题""是真命题，所以， 所以 解得，即实数的取值范围是​. （2）命题是命题的必要不充分条件,所以是的真子集， 若 即， 此时，满足是的真子集， 若即，因为是的真子集， 所以, ​解得​， 经检验时，满足是的真子集， 综上，实数的取值范围是. 8．（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）设全集，集合，集合． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，则”是假命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将充分条件转化为子集关系，利用子集的定义即可列出不等式求解． （2）将真命题转化成是的子集，然后分情况讨论集合为空集和非空集合，即可求解． 【详解】（1）由题意可知：集合是集合的真子集， 因此或，解得， 所以实数的取值范围为． （2）若命题“，则”是真命题，则有， 当时，，解得，符合题意，因此； 当时，而，， 则，无解， 所以“，则”是真命题，实数的取值范围． 那“，则”是假命题时，. 【考点5：根据存在量词命题的真假求参数】 1．（25-26高一上·全国·课后作业）若命题“，”是真命题，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知方程有实数解，即，解得． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）若“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解法一：原命题为假，则其否定命题为真，因此写出其否定命题，结合恒成立求解即可； 解法二：先假设原命题为真，利用存在性成立求解后，再取相反面即可. 【详解】解法一：由于“，使得”是假命题， 则其否定：“，使得”是真命题，故， 又随着的增大而减小， 所以小于当时的最小值时，恒成立， 则，即． 解法二：当题中命题为真命题时，可得，使得成立， 所以大于或等于当时的最小值即可， 即，又该命题为假命题，所以． 故选：A. 3．（24-25高二下·福建泉州·期末）若命题“，使得成立”为假命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分析可知方程无解，结合判别式运算求解即可. 【详解】因为命题“，使得成立”为假命题， 可知方程无解，则，解得， 故答案为：. 4．（2025高一·全国·专题练习）已知命题，都有，命题，使，若命题为真命题，命题的否定为假命题，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先判断命题的真假性，然后根据全称命题，特称命题的真假性求参数. 【详解】命题的否定为假命题，所以为真命题， 命题，都有，为真命题，则，即． 命题，使，为真命题，则，即． 因为命题同时为真命题，所以和同时成立，故， 故答案为： 5．（24-25高一上·全国·周测）设全集，集合，，其中． (1)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据条件可知，列不等式，即可求解； （2）首先求当时的取值范围，再求其补集. 【详解】（1）， “”是“”的必要而不充分条件，  ，解得， 即实数的取值范围为； （2）若命题“，使得”是假命题，则， ，或， ①当时，，解得， ②当时，则，无解， 即命题为假命题时，实数的取值范围为， 命题为真命题时，实数的取值范围为． 6．（24-25高一上·河南平顶山·阶段练习）已知集合，，且． (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，即可得到不等式组，解得即可； （2）由求出的取值范围，依题意可得，求出时参数的取范围，即可得解. 【详解】（1）由于是真命题，所以． 而，所以，解得，故的取值范围为． （2）因为，所以，解得． 由为真命题，得， 当时，或，解得． 因为，所以当时，； 所以当时，．故的取值范围为． 7．（24-25高一·全国·课后作业）已知集合，且. (1)若命题是真命题，求m的取值范围； (2)若命题是真命题，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件可得，再由集合间的包含关系求解即可； （2）由条件得到，再由集合间的包含关系求解即可； 【详解】（1）由于命题是真命题， 所以，所以， 解得， （2）q为真，则，因为，所以. 所以， 解得. 8．（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，集合． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题“，”是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意得是的真子集，然后根据真子集关系列不等式组求解即可. （2）由已知条件得集合的关系，然后按照和分类讨论，根据子集关系列不等式组求解即可. （3）方法一：由题意，然后根据集合关系列不等式组求解即可． 方法二：由题意，先求时的取值范围，求解时按照和分类讨论，根据集合关系列不等式组求解，最后利用补集思想求解即可. 【详解】（1）若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 所以，解得， 所以实数的取值范围为． （2）若命题“，都有”是真命题，则是的子集． 当时，满足，此时，得； 当时，若，则，不等式组无解． 综上，实数的取值范围为． （3）方法一：“，”是真命题，则，所以，所以． 所以，解得，所以实数的取值范围为． 方法二：“，”是真命题，则． 当时，若，则； 若，则或，解得． 综上，当时，． 所以当时，，即实数的取值范围为． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$