重难点02：材料阅读与新定义问题 2025-2026学年沪教版（五四制）数学八年级上册

2025-2026学年八年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点02 材料阅读与新定义问题 题型一、材料阅读 【例1】课堂上老师提出一个问题：“一个数是74088，它的立方根是多少？”小明脱口而出：“42”．老师十分惊奇，忙问计算的奥妙．小明给出以下方法： ①由，，能确定是两位数； ②由74088的个位上的数是8，因为，能确定的个位上的数是2； ③如果划去74088后面的三位088得到数74，而，，由此能确定的十位上的数是4．（提示：） 已知为整数，请利用以上方法，则的每位数上的数字之和为（   ） A．15 B．16 C．17 D．19 【例2】类比平方根和立方根，我们定义n次方根为：一般地，如果，那么x叫a的n次方根，其中，且n是正整数．例如：因为，所以±3叫81的四次方根，记作：，因为，所以叫的五次方根，记作：，下列说法不正确的是（　　） A．负数a没有偶数次方根 B．任何实数a都有奇数次方根 C． D． 【例3】求59319的立方根，解答如下： ①，又，，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是 ． 【例4】我们已经从定义、表示、特征三个方面研究了平方根与立方根．实际上，数的方根的概念可以推广．类比平方根与立方根的学习，博学小组合作探究了次方根，下面是他们写的“次方根的学习档案”的部分内容．请认真阅读，并帮助其补充完整． 次方根的学习档案 定义：如果一个数的次方等于（是大于1的整数），即，那么这个数就叫做的次方根． 例如2是16的 ． 求一个数的次方根的运算叫做 ，叫做 ． 特征：根据次方根的意义，结合平方根与立方根的特征，探究发现正数、0和负数的次方根的特征如下： 正数的次方根是正数；0的次方根是 ；负数 ． 【例5】类比平方根和立方根，我们定义n次方根为：一般地，如果，那么x叫a的n次方根，其中，且n是正整数．例如：因为，所以叫的四次方根，记作：，因为，所以叫的五次方根，记作：，下列说法不正确的是（    ） A．负数a没有偶数次方根 B．任何实数a都有奇数次方根 C． D． 【例6】本学期《实数》中，我们学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）． 一般地，如果一个数x的立方等于a即x＝a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）． 运算 求一个数a的平方根的运算叫做开平方．开平方和平方互为逆运算． 求一个数a的立方根的运算叫做开立方．开立方和立方互为逆运算． 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数：0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 表示方法 正数a的平方根可以表示为“±”． 一个数a的立方根可以表示为“”． 今天我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根类比探索： （1）探索定义：填写下表： x4 1 16 81 x 类比平方根和立方根，给四次方根下定义： （2）探究性质 ①1的四次方根是　 　； ②16的四次方根是　 　； ③的四次方根是　 　； ④12的四次方根是　 　； ⑤0的四次方根是　 　； ⑥﹣625　 　（填“有”或“没有”）四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：　 　． （3）拓展应用：在探索过程中，你用到了哪些数学思想？请写出两个：　 　． 【例7】我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求54872的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是王老师的探究过程，请补充完整： (1)口算并填空：个位数字为______． (2)求． ①由，，可以确定是______位数； ②由54872的个位上的数是2，可以确定的个位上的数是______； ③如果划去54872后面的三位872得到数54，而，，可以确定的十位上的数是______，由此求得______． (3)已知17576是整数的立方，请用类似的方法求出的值．［过程可按题中的步骤写］ 【例8】对于实数a,我们规定用{}表示不小于的最小整数，称{a}为 a的根整数.如{}=4. (1)计算{}=？ (2)若{m}=2,写出满足题意的m的整数值； (3)现对a进行连续求根整数，直到结果为2为止．例如对12进行连续求根整数，第一次{}=4,再进行第二次求根整数{}=2,表示对12连续求根整数2次可得结果为2.对100进行连续求根整数， 次后结果为2. 题型二、定义新运算 【例9】定义新运算的法则为，则 ． 【例10】对于任意两个正实数，，定义运算“☆”：．如：．根据定义可得 ． 【例11】对任意实数定义一种新运算“⊕”，规定：．如：． (1)求的值； (2)已知x为的整数部分，化简并求值：； (3)若比小，请直接写出一个满足条件的m值． 【例12】阅读下列材料，解决问题： 材料一：设表示不大于x的最大整数，如，． 材料二：求的值：∵，∴，∴，∴． 材料三：2025数字构成的巧合：；． 2025年是仅有的平方年、立方年，不能不珍惜这神奇的一年． (1) ； ； ． (2)已知n为整数，化简：（结果用含n的代数式表示）． (3)已知，，令，求． 【例13】【阅读材料】对任意一个实数，定义：表示不超过的最大整数，表示的非负纯小数部分，即．则．例：，其中，；，其中，． 【解答问题】 (1)________； (2)若，求整数的值； (3)若，，求的值． 题型三、定义新概念 【例14】三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：、、这三个数，，，其结果都是整数，所以这三个数称为“完美组合数”．这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由； 【例15】喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这个三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数被称为“最小算术平方根”，最大的整数被称为“最大算术平方根”．例如：1、4、9这三个数，，，，2、3、6都是整数，所以1、4、9这三个数被称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)请证明：2、18、8这个三个数是“和谐组合”，并求出最大算术平方根； (2)已知16、a、25这三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求a的值． 1．对任意两个正实数，，定义新运算为：若，则；若，则．则下列说法中正确的有（    ） ①；②；③． A．① B．② C．①③ D．②③ 2.我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于，若我们规定一个新数i，使其满足(即方程有一个根为i)，并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算法则仍然成立，于是有 从而对任意正整数n，我们可得到同理可得，，，那么，的值为(　　) A．0 B．1 C． D． 3.定义一种新的运算“”，若，则． ①依定义， ； ②若，则 ． 4.一个四位数，且满足各数位上的数字互不相同，且都不为零．若将的个位数字与千位数字交换，百位数字与十位数字交换，得到新的一个数，记，若为整数，我们称为“善雅数”．例如：，为“善雅数”．求 ；若是“善雅数”，当最大时， ． 5.我们用符号表示一个不大于实数x的最大的整数，如：，则按这个规律， ， ． 6.小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为83的正方形的边长是，且， ∴设，其中； 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： 又∵， ∴ 当时，假设忽略不计，得，解得，即． (1)填空：的整数部分的值为 ； (2)类比上述方法，探究的近似值．（结果精确到0.01）（要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 7.请认真阅读下面的材料，再解答问题． 我们学习了平方根与立方根后，可以类比平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义．给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根： 若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；的五次方根为_____； (2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_____ (3)求的值：． 8．规定：表示取一组数据中的最大的数，例如：． (1)___________． (2)若，求的值； (3)①若，则的最小值为___________； ②已知点，当最小时，求点的坐标． 9.对于整数，定义为不大于的最大整数，例如：，，． (1)直接写出的值． (2)显然，当时，的值为1，2或3． ①当时，请直接写出所有满足条件的的值； ②当时，求所有满足条件的的个数． 10．新定义：若无理数的被开方数(T为正整数)满足 (其中n为正整数)，则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： (1)的“青一区间”为 ；的“青一区间”为 ； (2)若无理数(a为正整数)的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值． (3)实数x，y，满足关系式：，求的“青一区间”． 11.规定表示一对数对，给出如下定义：，，与称为数对的一对“对称数对”．例如：数对的一对“对称数对”为与． (1)数对的一对“对称数对”是______； (2)若数对的一个“对称数对”是，则的值是______； (3)若数对一个“对称数对”是，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点02 材料阅读与新定义问题 题型一、材料阅读 【例1】课堂上老师提出一个问题：“一个数是74088，它的立方根是多少？”小明脱口而出：“42”．老师十分惊奇，忙问计算的奥妙．小明给出以下方法： ①由，，能确定是两位数； ②由74088的个位上的数是8，因为，能确定的个位上的数是2； ③如果划去74088后面的三位088得到数74，而，，由此能确定的十位上的数是4．（提示：） 已知为整数，请利用以上方法，则的每位数上的数字之和为（   ） A．15 B．16 C．17 D．19 【答案】B 【详解】解：∵根据题意可知为两位数，∴的个位上的数是9， ∵，，∴的十位上的数是7，∴可以断定， ∴的每位数上的数字之和为16．故选：B． 【例2】类比平方根和立方根，我们定义n次方根为：一般地，如果，那么x叫a的n次方根，其中，且n是正整数．例如：因为，所以±3叫81的四次方根，记作：，因为，所以叫的五次方根，记作：，下列说法不正确的是（　　） A．负数a没有偶数次方根 B．任何实数a都有奇数次方根 C． D． 【答案】D 【分析】利用n次方根的定义逐项判断即可解答． 【详解】解：∵任何实数的偶数次都是非负数， ∴负数a没有偶数次方根， ∴A选项的结论不符合题意； ∵任何实数a都有奇数次方根， ∴B选项的结论不符合题意； ∵， ∴， ∴C选项的结论不符合题意； ∵， ∴， ∴D选项的结论符合题意， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了方根的意义，理解并熟练应用n次方根的定义是解题的关键． 【例3】求59319的立方根，解答如下： ①，又，，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是 ． 【答案】68 【分析】本题考查立方根，根据题意所给方法确定314432的立方根是个两位数，再确定个位、十位上的数，即可解答． 【详解】解：， 又， ， ∴能确定314432的立方根是个两位数． 314432的个位数是2， 又， ∴能确定314432的立方根的个位数是8． 划去314432后面的三位432得到数314，而，则， 可得，由此能确定314432的立方根的十位数是6， 因此314432的立方根是68， 故答案为68． 【例4】我们已经从定义、表示、特征三个方面研究了平方根与立方根．实际上，数的方根的概念可以推广．类比平方根与立方根的学习，博学小组合作探究了次方根，下面是他们写的“次方根的学习档案”的部分内容．请认真阅读，并帮助其补充完整． 次方根的学习档案 定义：如果一个数的次方等于（是大于1的整数），即，那么这个数就叫做的次方根． 例如2是16的 ． 求一个数的次方根的运算叫做 ，叫做 ． 特征：根据次方根的意义，结合平方根与立方根的特征，探究发现正数、0和负数的次方根的特征如下： 正数的次方根是正数；0的次方根是 ；负数 ． 【答案】四次方根；开次方；被开方数；0；没有偶次方根，奇次方根为负数 【详解】解∶，2是16的四次方根； 如果一个数x的n(n是大于|的整数)次方等于a，即，那么这个数x就叫做a的n次方根，求一个数a的n次方根的运算叫做开n次方，a叫做被开方数，n叫做根指数；正数的n次方根是正的；0的n次方根是0；负数不存在偶次方根，奇次方根为负数， 故答案为：四次方根；开次方；被开方数；0；没有偶次方根，奇次方根为负数． 【例5】类比平方根和立方根，我们定义n次方根为：一般地，如果，那么x叫a的n次方根，其中，且n是正整数．例如：因为，所以叫的四次方根，记作：，因为，所以叫的五次方根，记作：，下列说法不正确的是（    ） A．负数a没有偶数次方根 B．任何实数a都有奇数次方根 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵任何实数的偶数次都是非负数， ∴负数a没有偶数次方根，∴A选项的结论不符合题意； ∵任何实数a都有奇数次方根，∴B选项的结论不符合题意； ∵，∴∴C选项的结论不符合题意； ∵，∴∴D选项的结论符合题意，故选：D． 【例6】本学期《实数》中，我们学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）． 一般地，如果一个数x的立方等于a即x＝a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）． 运算 求一个数a的平方根的运算叫做开平方．开平方和平方互为逆运算． 求一个数a的立方根的运算叫做开立方．开立方和立方互为逆运算． 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数：0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 表示方法 正数a的平方根可以表示为“±”． 一个数a的立方根可以表示为“”． 今天我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根类比探索： （1）探索定义：填写下表： x4 1 16 81 x 类比平方根和立方根，给四次方根下定义： （2）探究性质 ①1的四次方根是　 　； ②16的四次方根是　 　； ③的四次方根是　 　； ④12的四次方根是　 　； ⑤0的四次方根是　 　； ⑥﹣625　 　（填“有”或“没有”）四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：　 　． （3）拓展应用：在探索过程中，你用到了哪些数学思想？请写出两个：　 　． 【答案】（1）见解析；（2）①1；②2；③；④；⑤0；⑥没有；一个正数有两个四次方根，且互为相反数；0的四次方根是0，负数没有四次方根．（3）类比思想；分类讨论思想；由特殊到一般的思想． 【分析】（1）计算即可求解； （2）根据平方根、立方根的意义和特征，类推四次方根的意义和特征，根据四次方根的意义求一个数的四次方根． （3）用到了：类比思想；分类讨论思想；由特殊到一般的思想． 【详解】解：（1）填写表格如下： x4 1 16 81 x 1 2 3 （2）①1的四次方根是：1； ②16的四次方根是：2； ③的四次方根是：； ④12的四次方根是：； ⑤0的四次方根是：0； ⑥﹣625没有四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：一个正数有两个四次方根，且互为相反数；0的四次方根是0，负数没有四次方根． （3）拓展应用： 在探索过程中，用到了：类比思想；分类讨论思想；由特殊到一般的思想． 【点睛】本题主要考查了平方根、立方根、方根的意义、特征，解题的关键是熟练掌握方根的意义．依据意义正确的计算是重要的环节． 【例7】我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求54872的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是王老师的探究过程，请补充完整： (1)口算并填空：个位数字为______． (2)求． ①由，，可以确定是______位数； ②由54872的个位上的数是2，可以确定的个位上的数是______； ③如果划去54872后面的三位872得到数54，而，，可以确定的十位上的数是______，由此求得______． (3)已知17576是整数的立方，请用类似的方法求出的值．［过程可按题中的步骤写］ 【答案】(1)5 (2)①两；②8；③， (3) 【分析】本题考查求一个数的立方根，根据已知内容进行类比探究是解答问题的关键． （）根据的个位数字即可判断； （）根据题干提供的思路和方法，进行推理验证得出答案； （）根据（）的方法、步骤，类推出相应的结果即可． 【详解】（1）解：∵，个位数字为， ∴个位数字为， 故答案为：； （2）解：①∵，， ∴， ∴可以确定是两位数， 故答案为：两； ②由的个位上的数是，，个位数字为， ∴的个位上的数是， 故答案为：； ③∵，，， ∴， ∴可以确定的十位上的数是， ∴ 故答案为：． （3）解：，， 的个位上的数是6，只有个位数字是6的数的立方的个位数字是6， 的个位数字是6． 如果划去17576后面的三位576得到数17，而，，， ， ，即的十位数字是2． ． 【例8】对于实数a,我们规定用{}表示不小于的最小整数，称{a}为 a的根整数.如{}=4. (1)计算{}=？ (2)若{m}=2,写出满足题意的m的整数值； (3)现对a进行连续求根整数，直到结果为2为止．例如对12进行连续求根整数，第一次{}=4,再进行第二次求根整数{}=2,表示对12连续求根整数2次可得结果为2.对100进行连续求根整数， 次后结果为2. 【答案】(1)3；(2)2，3，4(3)3 【分析】（1）先计算出 的大小，再根据新定义可得结果； （2）根据定义可知1＜≤2，可得满足题意的m的整数值； （3）根据定义对100进行连续求根整数，可得3次之后结果为2. 【详解】解：（1）根据新定义可得，{}=3，故答案为3； （2）∵{m}=2，根据新定义可得，1＜≤2，可得m的整数值为2,3,4，故答案为2,3,4； （3）∵{100}=10，{10}=4，{4}=2，∴对100进行连续求根整数，3次后结果为2；故答案为3. 【点睛】本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查了对新定义的理解能力，准确理解新定义是解题的关键. 题型二、定义新运算 【例9】定义新运算的法则为，则 ． 【答案】 【分析】根据新定义运算法则，计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了新定义运算、算术平方根、立方根，解本题的关键在理解新定义运算法则． 【例10】对于任意两个正实数，，定义运算“☆”：．如：．根据定义可得 ． 【答案】5 【分析】将8和9替换定义中的a和b即可计算． 【详解】解：由题意得： 8☆9=+=2+3=5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，将数据代入新定义的式子中即可． 【例11】对任意实数定义一种新运算“⊕”，规定：．如：． (1)求的值； (2)已知x为的整数部分，化简并求值：； (3)若比小，请直接写出一个满足条件的m值． 【答案】(1) (2)30 (3)（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，无理数的估算，解题的关键是理解新定义，列出算式． （1）根据题干提供的信息列出算式进行计算即可； （2）根据x为的整数部分，得出，然后把代入列式求解即可； （3）先求出，，比小，得出m的取值范围，得出答案即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， 又∵x为的整数部分， ∴， ∴ ． （3）解：∵， ， 又∵比小， ∴， ∴， ∴满足条件的m值可以是．（答案不唯一） 【例12】阅读下列材料，解决问题： 材料一：设表示不大于x的最大整数，如，． 材料二：求的值：∵，∴，∴，∴． 材料三：2025数字构成的巧合：；． 2025年是仅有的平方年、立方年，不能不珍惜这神奇的一年． (1) ； ； ． (2)已知n为整数，化简：（结果用含n的代数式表示）． (3)已知，，令，求． 【答案】(1)，6，2 (2)当时，，当时，， (3) 【分析】本题主要考查了无理数关于整数部分的计算，估计无理数大小是解题关键． （1）根据定义：表示不大于x的最大整数，即可解答； （2）根据可得，再分和两种情况求解； （3）根据（2）的结论可得，由此求出a，b．代入求值即可． 【详解】（1）解：∵，∴ ∵，即：，∴； ∵，，∴． 故答案为：，6，2 （2）∵n为整数，， ∴， 当时，， 当时，， （3）由（2）得 ， ， ∴ ∴． 【例13】【阅读材料】对任意一个实数，定义：表示不超过的最大整数，表示的非负纯小数部分，即．则．例：，其中，；，其中，． 【解答问题】 (1)________； (2)若，求整数的值； (3)若，，求的值． 【答案】(1)6 (2)10，11 (3)12 【分析】本题考查了实数的新定义运算，无理数的估算，理解新定义运算是解题的关键． （1）根据实数的新定义直接解答即可； （2）由数的新定义可得，求出不等式的解集进而即可求解； （3）根据实数的新定义分别求出和的值，进而代入计算即可求解； 【详解】（1）解：∵， ， ， 故答案为：6； （2）解：∵， ， 解得：， ∴整数的值为 10，11 ； （3）解：， ， ， 原式 ． 题型三、定义新概念 【例14】三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：、、这三个数，，，其结果都是整数，所以这三个数称为“完美组合数”．这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由； 【答案】是；理由见解析 【分析】本题主要考查了新定义运算、算术平方根，根据“完美组合数”的定义，结合算术平方根进行计算判断即可． 【详解】解：三个数是“完美组合数”，理由如下： 三个数都是负数， ， ， 结果4、6、12都是整数， 三个数是“完美组合数”． 【例15】喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这个三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数被称为“最小算术平方根”，最大的整数被称为“最大算术平方根”．例如：1、4、9这三个数，，，，2、3、6都是整数，所以1、4、9这三个数被称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)请证明：2、18、8这个三个数是“和谐组合”，并求出最大算术平方根； (2)已知16、a、25这三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求a的值． 【答案】(1)证明见解析，最大算术平方根是12 (2)a的值为81 【分析】本题主要考查了新定义问题，算术平方根， 对于（1），根据新定义解答即可； 对于（2），分三种情况讨论得出答案即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴2、18、8这个三个数是“和谐组合” ∴最小算术平方根是4，最大算术平方根是12； （2）解：分三种情况：①当时，，得：（舍去）； ②当时，，得：（舍去）； ③当时，，得：． 综上所述，a的值为81． 1．对任意两个正实数，，定义新运算为：若，则；若，则．则下列说法中正确的有（    ） ①；②；③． A．① B．② C．①③ D．②③ 【答案】A 【分析】此题主要考查了定义新运算，以及实数的运算①根据新运算的运算方法，分类讨论：，，判断出是否等于即可；②由①，推得，所以不一定成立；③举反例，判断出与的关系即可． 【详解】解：①时， ，， ； 时， ，， ； ①符合题意． ②由①，可得：， 当时， ， 不一定等于， 当时， ， 不一定等于， 不一定成立， ②不符合题意． ③当时， 取， ， 不成立， ③不符合题意， 说法中正确的有1个：①． 故选：A． 2.我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于，若我们规定一个新数i，使其满足(即方程有一个根为i)，并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算法则仍然成立，于是有 从而对任意正整数n，我们可得到同理可得，，，那么，的值为(　　) A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，同底数幂的运算、实数的运算，解答本题的关键是计算出前面几个数的值，发现规律，求出一个循环内的和再计算．从而可知4次一循环，一个循环内的和为0，据此计算即可． 【详解】解：由题意得，故可发现4次一循环，一个循环内的和为0， 故选：C． 3.定义一种新的运算“”，若，则． ①依定义， ； ②若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方，积的乘方等知识，①直接根据新定义即可求解设，②，，根据新运算定义用表示得方程即可求解，理解并运用新运算的定义是解题的关键． 【详解】解：①依题意可得， ∴， ∴， 设，， ②依题意可知：，， ∴， ∴ ∴ ， 故答案为：，． 4.一个四位数，且满足各数位上的数字互不相同，且都不为零．若将的个位数字与千位数字交换，百位数字与十位数字交换，得到新的一个数，记，若为整数，我们称为“善雅数”．例如：，为“善雅数”．求 ；若是“善雅数”，当最大时， ． 【答案】 138 1289 【分析】本题考查了新定义，理解新定义，掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据“善雅数”的定义直接进行求解即可； （2）根据当最大时，则最大，可以确定出，时，最大，即可求出结果． 【详解】解：根据题意“善雅数”的定义， ， 当最大时，则最大， ∴当，时，最大， 故答案为：，． 5.我们用符号表示一个不大于实数x的最大的整数，如：，则按这个规律， ， ． 【答案】 3 【分析】先估算出，以及的范围，再根据新定义，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：3，． 【点睛】本题考查无理数的估算．熟练掌握夹逼法进行无理数的估算，是解题的关键． 6.小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为83的正方形的边长是，且， ∴设，其中； 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： 又∵， ∴ 当时，假设忽略不计，得，解得，即． (1)填空：的整数部分的值为 ； (2)类比上述方法，探究的近似值．（结果精确到0.01）（要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 【答案】(1)11 (2) 【分析】本题考查了无理数的估算和实数混合运算的应用，正确理解题意、灵活应用数形结合思想是解题的关键； （1）利用夹逼法求解即可； （2）仿照题干中的解题思路解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分的值为11； 故答案为：11； （2）解：∵面积为127的正方形的边长是，且， ∴设，其中； 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： 又∵， ∴ 当时，假设忽略不计，得， 解得， 即． 7.请认真阅读下面的材料，再解答问题． 我们学习了平方根与立方根后，可以类比平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义．给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根： 若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；的五次方根为_____； (2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_____ (3)求的值：． 【答案】(1) (2)为任意实数 (3)或 【分析】本题考查新定义．解题的关键是利用类比法，理解四次方根和五次方根的定义． （1）进行开方运算即可； （2）根据定义，进行计算即可； （3）利用四次方根解方程即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：∵是一个数的四次方， ， ， ∴若有意义，则的取值范围是； ∵中是一个数的三次方， ∴为任意实数． 故答案为：为任意实数； （3）解：， ， ， ， 或， 或． 8．规定：表示取一组数据中的最大的数，例如：． (1)___________． (2)若，求的值； (3)①若，则的最小值为___________； ②已知点，当最小时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或； (3)①；②点 【分析】（1）找出中最大数即可求解； （2）根据题意分和两种情况讨论，即可求解； （3）①根据题意分和两种情况讨论，得到，据此即可求解； ②根据题意得当时，才能取最小，据此即可求解． 【解析】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：当时， ∴或， 当时，，满足条件； 当时，，不满足条件，舍去； 当时，； ∴或， 当时，，满足条件； 当时，，不满足条件，舍去； 综上所述，或； （3）解：①当时，； 当时，； 综上所述，； ∴的最小值为； ②当时，才能取最小， ∴或； 当时，； 当时，； 而，因此时，最小， 则点． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集、理解新定义列出不等式组是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 9.对于整数，定义为不大于的最大整数，例如：，，． (1)直接写出的值． (2)显然，当时，的值为1，2或3． ①当时，请直接写出所有满足条件的的值； ②当时，求所有满足条件的的个数． 【答案】(1) (2)①的值为4，5，6，7，8；②所有满足条件的n的个数为21 【分析】本题考查无理数的估算，新定义，解答本题的关键是明确题意． （1）根据，即可写出相应的结果； （2）①根据，，即可写出相应的结果；②根据，，即可解答． 【详解】（1）解：∵，即， ∴； （2）解：①当时，， ∴的值为4，5，6，7，8． ②当时，， 的值为100，101，102，103，104，105，106，107，108，109，110，111，112，113，114，115，116，117，118，119，120． 所有满足条件的n的个数为21． 10．新定义：若无理数的被开方数(T为正整数)满足 (其中n为正整数)，则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： (1)的“青一区间”为 ；的“青一区间”为 ； (2)若无理数(a为正整数)的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值． (3)实数x，y，满足关系式：，求的“青一区间”． 【答案】(1)， (2)2或 (3) 【分析】（1）根据“青一区间”的定义和确定方法，进行求解即可； （2）根据“青一区间”的定义求出的值，再根据立方根的定义，进行求解即可； （3）利用非负性求出的值，再进行求解即可． 【解析】（1）解：∵， ∴的“青一区间”为； ∵， ∴的“青一区间”为； 故答案为：，； （2）∵无理数“青一区间”为， ∴， ∴，即， ∵无理数的“青一区间”为， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴或， 当时，， 当时，， ∴的值为2或． （3）∵ ∴， 即， ∴，， ∴， ∵， ∴的“青一区间”为． 【点睛】本题考查无理数的估算，非负性，求一个数的立方根．理解并掌握“青一区间”的定义和确定方法，是解题的关键． 11.规定表示一对数对，给出如下定义：，，与称为数对的一对“对称数对”．例如：数对的一对“对称数对”为与． (1)数对的一对“对称数对”是______； (2)若数对的一个“对称数对”是，则的值是______； (3)若数对一个“对称数对”是，求的值． 【答案】(1)与 (2)1 (3)或 【分析】本题主要考查了新定义运算，理解和应用新定义是解本题的关键． （1）根据新定义即可得出答案； （2）根据新定义可得，解方程即可得出答案； （3）根据新定义得出方程组，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：，， 数对的一对“对称数对”是与， 故答案为：与 （2）解：数对的一个“对称数对”是， ， ， 故答案为：1； （3）解：数对一个“对称数对”是， 或， 或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$