第24章相似三角形章节复习提升（10大考点+54题专练） 2025-2026学年沪教版（上海）数学九年级第一学期

2025-2026学年九年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第24章相似三角形章节复习提升 考点01：放缩运动与相似形 【例1】（2023秋·上海崇明·九年级校考期中）下列关于“相似形”的说法中正确的是（    ） A．相似形形状相同、大小不同 B．图形的放缩运动可以得到相似形 C．对应边成比例的两个多边形是相似形 D．相似形是全等形的特例 【答案】B 【分析】根据相似形的性质逐一判断即可． 【详解】解：A：相似形形状相同、大小不一定相同，但是可以相同，故选项A错误； B：图形的放缩运动可以得到相似形，选项B正确； C：如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,这两个多边形叫做相似多边形，故选项C错误； D：全等形是相似形的特例，故选项D错误． 【点睛】本题考查相似形的性质，解题的关键是熟练掌握相似形的相关知识． 【例2】（2024·上海静安·统考一模）下列选项中的两个图形一定相似的是（   ） A．两个平行四边形 B．两个圆 C．两个菱形 D．两个等腰三角形 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似图形的识别，对应边成比例，对应角相等的图形叫相似图形，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、两个平行四边形不一定相似，例如没有内角是直角的菱形和矩形不相似，不符合题意； B、两个圆一定相似，符合题意； C、两个菱形不一定相似，例如没有内角是直角的菱形和正方形不相似，不符合题意； D、两个等腰三角形不一定相似，例如等腰直角三角形和等边三角形不相似，不符合题意； 故选B． 【例3】（2022秋·上海浦东新·九年级统考期中）下列各组中两个图形不相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似图形的定义进行分析即可． 【详解】我们把形状相同的图形叫相似图形，其特征是对应角相等，对应边成比例，观察图形得知，B图对应边的比不全相等，故不相似． 故选：B． 【点睛】此题考查了相似图形的判断，解题的关键是理解相似图形的定义． 【例4】（2022秋•金山区校级期末）如果梯形的一条对角线把梯形分成的两个三角形相似，那么我们称该梯形为“优美梯形”．如果一个直角梯形是“优美梯形”，它的上底等于2，下底等于4，那么它的周长为 　　． 【分析】过D作DE⊥BC于E，根据矩形的性质得到BE＝AD＝2，求得BD＝CD，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：如图，过D作DE⊥BC于E， ∵梯形是直角梯形， ∴∠A＝∠ABC＝∠DEB＝90°， ∴四边形ABED是矩形， ∴BE＝AD＝2， ∵BC＝4， ∴CE＝BE＝2， ∴BD＝CD， ∵梯形的一条对角线把梯形分成的两个三角形相似， ∴△ABD∽△DBC， ∴＝， ∴＝＝1， ∴AB＝AD＝2， ∴BD＝CD＝AD＝2， ∴它的周长为2+2+4+2＝8+2， 故答案为：8+2． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角梯形，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键， 考点02：比例线段 【例5】如果，那么 ． 【答案】/0.2 【分析】本题主要考查了比例的性质，理解比例的意义，用含k的式子分别表示a、b是解题关键． 设，，代入化简即可求解． 【解析】解：∵， 设，， ∴． 故答案为：． 【例6】（2023春·上海宝山·九年级统考期末）如果，且是和的比例中项，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由b是a、c的比例中项，根据比例中项的定义，即可求得，又由，即可求得答案． 【详解】解：∵b是a、c的比例中项， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了比例线段，正确把握比例中项的定义是解题关键． 【例7】下列结论不一定成立的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，（），那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】对于A、B选项，设，则，，分别代入验证左右两端是否相等即可；对于C、D选项，设，则，， ，分别代入计算，验证两边是否相等即可． 【解析】解：A：设， 则，， ∴，， ∴，故A不符合题意； B：利用A中的方法，同理可知也成立，故B不符合题意； C：设，则，， ， ∴， 又∵， ∴，故C不符合题意； D：设，则，， ， ∴，，， ∴，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查比例的性质，熟练掌握等比、合比的性质是解题的关键． 【例8】（2023春·山东威海·九年级统考期中）若，则的值为 ． 【答案】-1或8 【分析】设=k，根据比例的性质可得a+b=ck，b+c=ak，c+a=bk，根据等式的性质可得2（a+b+c）=k（a+b+c），分a+b+c=0和a+b+c≠0两种情况，分别求出k值，根据=k3即可得答案． 【详解】设=k， ∴a+b=ck，b+c=ak，c+a=bk， ∴a+b+b+c+c+a=ck+ak+bk，即2（a+b+c）=k（a+b+c）， ∴（a+b+c）(2-k)=0， 当a+b+c=0时，即a+b=-c， ∴k===-1， ∴==k3=-1， 当a+b+c≠0时，则2-k=0， 解得：k=2， ∴==k3=8， 故答案为：-1或8 【点睛】本题考查比例的性质，分情况讨论，注意整体代入思想的运用是解题关键． 【例9】在比例尺是 的地图上，京张（北京北站至张家口站）高速铁路主线长约为 ，则该铁路的实际长度约为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设这段铁路的实际长度为 ，根据比例尺图上距离：实际距离列出方程求解即可． 【解析】设这段铁路的实际长度为 ， 由题意得， 解得 ， 经检验，是原方程的解， ， ∴该铁路的实际长度约为， 故选C． 【点睛】本题主要考查比例尺，理解比例尺的概念，掌握计算方法，是解题的关键． 【例10】（2023春·江苏南京·九年级统考期末）已知线段，若，是的两个黄金分割点，则长为 ． 【答案】 【分析】根据黄金分割的概念先计算出，然后再计算，最后根据即可求出答案． 【详解】如图，，是的两个黄金分割点，设， 根据题意得， ． 故答案为:． 【点睛】本题考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比，熟练掌握黄金比是解题的关键． 【例11】已知三条线段，，满足，且. (1)求，，的值； (2)若线段是线段和的比例中项，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段； （1）设，用含的代数式分别表示出，再由，建立关于的方程，解方程求出的值，从而可求出的值； （2）由已知线段 是线段 和 的比例中项，可得到，代入计算求出的值． 【解析】（1）解：设，则， ∵ ∴ 即， 解得：， ∴； （2）解：∵线段是线段和的比例中项， ∴， ∵ ∴． 考点03：黄金分割 【例12】（23-24九年级·河北保定·期末）如图，已知点C，D都是线段的黄金分割点，如果，那么的长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了黄金分割，不妨设点C靠近A，点D靠近B，则由黄金分割比例得到，，再由列出方程求解即可． 【详解】解：∵点C，D都是线段的黄金分割点， ∴不妨设点C靠近A，点D靠近B， ∴，， ∵， ∴， 解得， 故选：C． 【例13】（2022秋·上海松江·九年级校考期中）已知点C是线段上的一个点，且是和的比例中项，则下列式子成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，则，由比例中项得出，代入解一元二次方程即可解答． 【详解】解：设，，则， ∵是和的比例中项， ∴，即， ∴， 解得：，（舍去），即， ∴， ∴ ，故A符合题意； ，故B不符合题意； ，故C不符合题意； ，故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查比例中项、线段的比、解一元二次方程，熟知比例中项的定义是解答的关键． 【例14】（2023春·辽宁丹东·九年级统考期末）如图，点是线段的黄金分割点，且，下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据黄金分割的定义得，即可解决问题． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，且， ， ，， A、C、D选项不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了黄金分割，解题的关键是掌握黄金分割的定义：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，这个比值为，近似值为，即为黄金分割． 考点04：三角形一边的平行线 【例15】（2023春·广西梧州·九年级校考期中）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC边上，DE∥BC，EF∥AB，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理，在两组平行线里面，通过，，逐项判断，得出结论． 【详解】∵， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴. 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题，解题的关键是找准对应线段，准确列出比例式，推理论证． 【例16】（23-24九年级上·闵行中学·期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC的反向延长线上，下面比例式中，不能判定ED//BC的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理推理的逆定理，对各选项进行逐一判断即可． 【详解】A. 当时，能判断； B. 当时，能判断； C. 当时，不能判断； D. 当时，，能判断. 故选C. 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理推理的逆定理，根据定理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边.能根据定理判断线段是否为对应线段是解决此题的关键. 【例17】（2025·上海嘉定·一模）如图，两条不平行的直线与直线相交于点，四条平行线分别交直线于点、、、，分别交直线于点、、、，则有．如果，，，那么在下列结果中，线段之差最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，分别求出线段之间的数量关系，逐一计算，比较大小即可． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ， ∵， ∴的差最大； 故选D． 【例18】（2025·上海崇明·一模）如图，，，，那么的长等于 ． 【答案】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例定理得到，求出，即可求出的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 【例19】（2022秋·上海静安·九年级上海市华东模范中学校考期中）如图，如果，那么，这个命题是 命题（填“真”或“假”）． 【答案】假 【分析】当是的中点，是的中点时，，但不平行，也不平行，从而得出是假命题． 【详解】解：是假命题，理由如下： 当是的中点，是的中点时，，但不平行，也不平行，所以这是个假命题； 如图， 故答案为：假． 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理和命题的真假，注意找准对应关系，得出正确答案 考点05：重心 【例20】（2023•青浦区一模）三角形的重心是（　　） A．三角形三条角平分线的交点 B．三角形三条中线的交点 C．三角形三条边的垂直平分线的交点 D．三角形三条高的交点 【分析】根据三角形的重心概念作出回答，结合选项得出结果． 【解答】解：三角形的重心是三角形三条中线的交点． 故选：B． 【点评】考查了三角形的重心的概念．三角形的外心是三角形的三条垂直平分线的交点；三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点． 【例21】 （2023·上海崇明·统考一模）如图，△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，过点E作EF∥BC交AD于点F，那么＝ ． 【答案】 【分析】根据重心的性质得到AG=2DG，BG=2GE，根据平行线分线段成比例定理计算即可． 【详解】解：∵△ABC的两条中线AD和BE相交于点G， ∴点G是△ABC的重心， ∴AG=2DG，BG=2GE， ∵EF∥BC， ∴＝=． 故答案为． 【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念和性质、平行线分线段成比例定理的应用，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍． 【例22】（2023·上海浦东新·九年级统考期中）如图，在中，是中线，是重心，过点作，分别交、于点、，若，则 ． 【答案】12 【分析】如图，运用平行线分线段成比例定理列出比例式：，根据AC=18，求出AF即可解决问题． 【详解】解：∵G是△ABC的重心， ∴AG=2DG，AD=3DG； ∵EF∥BC， ∴， ∵AC=18， ∴AF=12． 故答案为12． 【点睛】该题主要考查了三角形重心的性质、平行线分线段成比例定理等几何知识点及其应用问题；牢固掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【例23】（2023春·上海徐汇·九年级上海市田林第三中学校考期中）如图，△ABC的中线AD、CE交于点G，点F在边AC上，GF∥BC，那么的值是 ． 【答案】 【分析】根据三角形的重心和相似三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：∵△ABC的中线AD、CE交于点G， ∴G是△ABC的重心， ∴， ∵GF∥BC， ∴＝， ∵DC＝BC， ∴， 故答案为： 【点睛】此题考查三角形重心问题，关键是根据三角形的重心得出比例关系． 【例24】（2023春·浙江宁波·九年级校联考期中）如图，是的重心，延长交于点，延长交于点，，分别是和的重心，长为12，则的长为（    ） A．2 B．2．5 C．3 D．4 【答案】A 【分析】连接、，并延长，分别交于一点，连接、，由题意易得，，，，进而可求解． 【详解】解：连接、，并延长，分别交于一点，连接、，如图所示： ∵是的重心，延长交于点，延长交于点， ∴，， ∴，， 又∵分别是和的重心， ∴， ∴，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查三角形的重心及平行线所截线段成比例，熟练掌握三角形的重心及平行线所截线段成比例是解题的关键． 【例25】如图，在△ABC中，点G为ABC的重心，过点G作DE∥AC分别交边AB、BC于点D、E，过点D作DF∥BC交AC于点F，如果DF＝4，那么BE的长为 ．    【答案】8 【详解】解：连接BG并延长交AC于H，    ∵G为ABC的重心， ∴2， ∵DE∥AC，DF∥BC， ∴四边形DECF是平行四边形， ∴CE＝DF＝4， ∵GE∥CH， ∴2， ∴BE＝8， 故答案为：8． 【例26】如图，在平面直角坐标系中，已知，，，则重心的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的重心的概念和性质、坐标与图形性质等知识点，根据三角形的重心的概念作出重心，根据重心的性质得到，然后根据平行线分线段成比例定理计算即可．掌握重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴点O是的中点， 如图：连接，作中线交于G，则点G是的重心， ∴， 如图：作于E，于F，则， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴△ABC重心的坐标是， 故答案为． 【例27】如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、． （1）如果，，，求的长； （2）如果，，，求的长． 【解析】解：（1）， ， ，，， ， ． （2）过点作，交于点，交于点， 则， ， ， ， ，， ， ， ． 【点评】本题考查平行线分线段成比例的知识，综合性较强，关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 考点06：相似三角形的判定 【例28】（2025·上海嘉定·一模）下列两个三角形一定相似的是（   ） A．两个直角三角形 B．有一个内角为的两个直角三角形 C．两个等腰三角形 D．有一个内角是的两个等腰三角形 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、两个直角三角形不一定相似，不符合题意； B、根据两角相等的两个三角形相似，可以得到有一个内角为的两个直角三角形一定相似，符合题意； C、两个等腰三角形不一定相似，不符合题意； D、有一个内角是的两个等腰三角形不一定相似，比如一个的角是顶角，一个的角为底角，不符合题意； 故选B． 【例29】（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，不能使得成立的条件是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理逐项判断即可得出答案． 【解析】解：∵， ∴， A、∵，，∴，故不符合题意； B、∵，，∴，故不符合题意； C、不能推出，故符合题意； D、∵，∴，∵，∴，故不符合题意； 故选：C． 【例30】（2024秋·上海闵行区·九年级校考期中）如图示，已知，那么添加下列一个条件后，能判定的是 （请填写序号） ① ② ③ ④ 【答案】①②③ 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟记相关判定定理的内容是解题关键． 【详解】解：∵， ∴ 即： ①若，则（如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似）； ②若，则（如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似）； ③若，则（如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似）； ④，不能判定； 故答案为：①②③ 【例31】（23-24九年级上·上海嘉定·期中）如图，在中，是的平分线，与交于点M，，下列结论中正确的个数是（　　）    ① ；② ； ③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟练的结合角平分线的含义，利用两角分别相等的两个三角形相似逐一分析判断即可． 【详解】解：∵，， ∴，故②符合题意； ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴，；故①④符合题意； 与只有一组角相等，无法证明相似， ∴故③不符合题意； 故选C． 【例32】（2022秋•徐汇区期末）如图，正方形ABCD与△EFG在方格纸中，正方形和三角形的顶点都在格点上，那么与△EFG相似的是（　　） A．以点E、F、A为顶点的三角形 B．以点E、F、B为顶点的三角形 C．以点E、F、C为顶点的三角形 D．以点E、F、D为顶点的三角形 【分析】△EFG中∠EGF＝135°，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似判断A、B、D；根据三组对应边的比相等的两个三角形相似判断C． 【解答】解：由题意可得，△EFG中∠EGF＝135°，EG＝2，GF＝，EF＝． A、△EFA中，∠AEF＞135°，则△EFA与△EFG不相似，故本选项不符合题意； B、△EFB中，∠BEF＞135°，则△EFB与△EFG不相似，故本选项不符合题意； C、△EFC中，EF＝，CE＝，CF＝5， ∵＝＝＝， ∴△EFG∽△FCE， 即△EFC与△EFG相似，故本选项符合题意； D、△EFD中，90°＜∠DEF＜135°，则△EFD与△EFG不相似，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握判定两个三角形相似的方法是解题的关键． 【例33】（2022秋·上海浦东新·九年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P为射线BC上的一个动点，过点P的直线PQ垂直于AP与直线CD相交于点Q，当BP＝5时，CQ＝ ． 【答案】 【分析】通过证明△ABP∽△PCQ，可得 ，即可求解． 【详解】解：如图， ∵BP＝5，BC＝4， ∴CP＝1， ∵PQ⊥AP， ∴∠APQ＝90°＝∠ABC， ∴∠APB+∠BAP＝90°＝∠APB+∠BPQ， ∴∠BAP＝∠BPQ， 又∵∠ABP＝∠PCQ＝90°， ∴△ABP∽△PCQ， ∴， ∴ ∴CQ＝ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形、矩形的性质．根据题意找相似的条件是关键．利用相似比计算线段的长度是常用的方法． 考点07：相似三角形的性质 【例34】（2022秋·上海黄浦·九年级校联考阶段练习）如果两个相似三角形对应高的比为，那么这两个三角形的面积比为 ． 【答案】/ 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵两个相似三角形对应高的比为， ∴这两个三角形的面积比为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【例35】如图，，、相交于点，如果，那么的值是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，先根据同高三角形的面积之比等于底边长之比得到，再证明，最后根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【例36】（2022秋·上海黄浦·九年级统考期中）如图，正方形内接于，，若的面积是，则的长是 ． 【答案】4 【分析】易证，可得：，再由两平行线间的距离相等，即可得出，结合，即可得出，可求解的长． 【详解】解：如图所示：过作于，交于, ∵的面积是，, ∴, ∴， ∴， 正方形内接于， ，设， ，， ， ∴ ， ∴, ∵， ∴, ， 又∵，， ，， ∴ ∵， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，正方形的性质，证明是解题的关键． 【例37】如图，水平地面上放置盛有液体的容器，是液面线，经测量，，把长为的木棍的一端探到容器的底部，另一端与点A重合，则没入液体部分的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质． 根据题意可得，代入数据计算即可． 【详解】解：依题意得：， ∴， ∴， 由题意，， 解得， 故答案为：． 【例38】如图，在四边形中，对角线与交于点E，，    (1)求证：； (2)如果，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，（1）根据两组角对应相等的两三角形相似；（2）利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】（1）证明：， 又， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 【例39】（2023秋•崇明区期中）如图，在梯形中，．点是对角线上的一点．过点分别作、的平行线，与交于点，与交于点．联结交于点． （1）求证：． （2）当，，时，求的长． 【分析】（1）利用平行线的性质可得，，，，从而证明字模型相似，，然后利用相似三角形的性质即可解答； （2）连接，利用（1）的结论可得，然后利用相似三角形的性质可得，从而可得，进而可得四边形是平行四边形，最后根据平行四边形的性质可得，再根据，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】（1）证明：， ，， ， ， ， ，， ， ， ； （2）解：连接， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 的长为． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，梯形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 考点08：平面向量的线性运算 【例40】（2023·上海·一模）下列命题正确的个数是（    ） ①设是一个实数，是向量，那么与相乘的积是一个向量； ②如果，，那么的模是； ③如果，或，那么； ④如果，的方向与的方向相反． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据实数与向量的乘积结合向量的定义，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：①设是一个实数，是向量，那么与相乘的积是一个向量，故①正确； ②如果，，那么的模是，故②正确； ③如果，或，那么，故③错误； ④如果，的方向与的方向相反，故④错误， 故选：B． 【点睛】本题考查了实数与向量的乘积，熟练掌握平面向量的定义是解题关键． 【例41】已知非零向量，下列条件中不一定能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面向量，主要利用了向量平行的判定，解题关键是对向量性质的理解．根据向量的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解析】解：A、只能判定的模的数量关系，不能判定，符合题意； B、，能判定，不符合题意； C、，根据平行的传递性得到，不符合题意； D、，得到，平行的传递性得到，不符合题意； 故选A． 【例42】（2021秋·上海·九年级期末）已知单位向量与非零向量、，下列四个选项中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的定义，平面向量模的定义以及共线向量的定义进行判断即可． 【详解】A.当单位概率与非零向量的方向相同时才成立，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项正确，符合题意； C.当非零向量，的方向相同时才成立，故该选项不正确，不符合题意； D. 当单位概率与非零向量的方向相同时才成立，故该选项不正确，不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查了平面向量知识，理解单位向量是指模等于1的向量。由于是非零向量，单位向量具有确定的方向是解题的关键． 【例43】 计算：     ； ；      ． 【答案】 【分析】（1）根据实数与向量相乘的运算定律计算即可； （2）根据实数与向量相乘的运算定律计算即可； （3）根据实数与向量相乘的运算定律计算即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3）． 【点睛】此题主要考查实数与向量相乘的运算定律，以及去括号法则，掌握运算定律是解决问题的关键． 【例44】已知、为任意向量，计算： 【解析】利用实数与向量的乘积所满足的运算律以及向量加减法所满足的运算律，即可得出结论. 解： 【总结】当括号前是负号时，去括号时只改变第一项的符号，而忘记改变括号里其余项的符号，括号前的系数要和括号里的每一项都相乘. 【例45】（2023·上海·一模）如图，已知在中，点D、E分别在边、上，且，． (1)求证：； (2)设，，试用向量、表示向量． 【答案】(1)见解析． (2) 【分析】（1）由平行线分线段成比例进行证明． （2）由三角形法则求得，然后由与的比例关系求得向量． 【详解】（1）证明： （2）， ∴ 【点睛】本题主要考查了平面向量，解题的关键在于掌握平行线的判定和三角形法则． 【例46】（23-24九年级上·上海黄浦·期末）如图，在四边形中，，对角线交于点． (1)设，试用的线性组合表示向量． (2)如果，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平面向量、相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用参数解决问题． （1）根据题意可得，然后利用平行四边形法则得到即可； （2）过点D作交的延长线于点F，则有，得到，求出长，然后利用勾股定理得到长计算面积即可 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）过点D作交的延长线于点F， ∵， ∴为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：或（舍去） ∴， ∴． 【例47】（2022秋·上海浦东新·九年级校考阶段练习）如图，已知在平行四边形中，E、F分别是边的中点，设．    (1)求向量（用向量表示）； (2)求作向量在方向上的分向量（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）． 【答案】(1)， (2)画图见解析，向量是向量在方向上的分量，向量是向量在方向上的分量 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，再根据线段中点的定义得到，则； （2）如图所示，分别以为圆心，为半径画弧，二者交于H，过点H作于G，则向量是向量在方向上的分量，向量是向量在方向上的分量． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵E、F分别是边的中点， ∴， ∴； （2）解：如图所示，分别以为圆心，为半径画弧，二者交于H，过点H作于G，则向量是向量在方向上的分量，向量是向量在方向上的分量．    【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，向量的线性运算，熟知向量的相关知识是解题的关键． 考点09：几何证明 【例48】（2025·上海闵行·一模）如图：在四边形中，对角线平分，且，点在线段上且，连接并延长交于点，连接并延长交于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，掌握全等三角形与相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）证明即可得到 （2）证明即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴． 【例49】（2025·上海虹口·一模）如图，在中，，点在边上，过点作垂直交于点，连接、交于点． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识： （1）由，证明， 得，所以，则； （2）由相似三角形的性质得，推导出，由， ，得，则 ， ，而，所以，则，所以，则 【详解】（1） （2） ， ， 【例50】（2025·上海徐汇·一模）如图，在梯形中，是梯形对角线，．    (1)求证：； (2)以为一边作交边于点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似，是解题的关键： （1）证明，即可得证； （2）证明，得到，结合，即可得证． 【详解】（1）， ， ， ， ， ， ； （2）作交边于点 ，    由（1）得， ， 又， ， ， ， 又， ． 考点10：几何综合压轴 【例51】（23-24九年级上·上海杨浦·期中）如图，已知在中，，，点、在边上（点在点右侧，点不与点重合）运动，，过点作，交的延长线于点．    (1)当时，求线段的长； (2)设，，求关于的函数解析式，并写出的取值范围； (3)连接，如果与相似，求的长． 【答案】(1) (2) (3)与相似时，的长为4或8 【分析】（1）根据，，得出，，，根据勾股定理得出，求出，根据直角三角形性质得出，根据勾股定理得出，求出，根据求出结果即可； （2）证明，得出，求出，证明，得出，求出，根据点、在边上，点在点右侧，点不与点重合，得出，，求出即可； （3）分两种情况，当时或当时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，，， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， ∵，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∵在和中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵点、在边上，点在点右侧，点不与点重合， ∴，， ∴， ∴， ∴． （3）解：当时，如图所示：    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴； 当时，如图所示：    ∵， ∴，，， 根据解析（2）可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上分析可知，与相似时，的长为4或8． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，解题的关键是数形结合，作出相应的图形，并注意分类讨论． 【例52】（22-23九年级上·民办华育·期中）在等腰直角三角形中，，．点，分别为，的中点，为线段上一动点（不与点，重合），将线段绕点A逆时针方向旋转得到线段，连接，， (1)如图①，证明：； (2)如图②，连接，，交于点， ①证明：在点的运动过程中，总有． ②若，当的长度为多少时，为等腰三角形？请直接写出的长度 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析②或4时，是等腰三角形 【分析】（1）由“将线段绕点A逆时针方向旋转得到线段”可得，，由推出，然后通过证明即可； （2）①先根据“点，分别为，的中点”得到进而得出是等腰直角三角形，再根据证明，进而可证； ②先由得到，，再分三种情况分别作答． 【详解】（1）证明：由题意可知，， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴． （2）①证明：∵点D是的中点，点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 由（1）得， 在和中， ， ， ∴， ∴； ②解：由①得：， ∴， ∴， 如图1， 当时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 如图2， 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴， 此时F点和E点重合，不符合题意， 综上所述：或4时，是等腰三角形． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【例53】（22-23九年级上·上外附中·期中）如图，在中，，，，过点作射线，点、是射线上的两点（点不与点重合，点在点右侧），联结、分别交边于点、，． (1)当时，求的长； (2)设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围； (3)联结并延长交边于点，如果是等腰三角形，请直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)的长是或或． 【分析】（1）利用勾股定理计算和的长，再证明，列比例式可得的长； （2）如图1，先证明，得，再证明，得，分别表示，和的长，代入比例式计算即可；根据无限接近时，的值接近4，可得的取值； （3）分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别根据平行线分线段成比例定理列比例式，结合方程可解答． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， 由勾股定理得：， ∵， ， ， ， ， ； （2）解：如图1，∵， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ，， ，， 同理得：， ， ； 如图2，当点在直线上时，， ，， ， ， 的取值范围是； （3）解：分三种情况： ①当时，如图3，过点作于， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ∵， ，即， ， ， ， ， ，（舍， ； ②当时，如图4， 由勾股定理得：， 由（2）同理得：， ∵， ， ，即， ， 解得：， ； ③当时，如图5，过点作于， 设， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ∵， ， ，即， ， ， ， ， 综上，的长是或或． 【点睛】本题属于三角形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会利用分类讨论的思想解决问题，并与方程相结合，本题计算量大，属于中考压轴题． 【例54】（22-23九年级上·上海徐汇·期中）已知矩形中，，，P是边上一点，将沿直线翻折，使点A落在点E处，连结，直线与射线相交于点F．    (1)如图1，当F在边上，若时，求的长； (2)若射线交的延长线于Q，设，，求y与x的函数解析式，并写出x的取值范围； (3)①如图2，直线与边相交于点G，若与相似，则________度； ②如图3，当直线与的延长线相交于点H时，若．求的长． 【答案】(1)４ (2)， (3)①；②10 【分析】(1)根据矩形性质和，推出四边形为平行四边形，得到，得到，，由翻折性质得到，，得到，得到； (2)根据， ，得到，得到 ，推出 ， x的取值范围是； (3)①连接，根据翻折性质得到，，根据，，得到，推出，得到；②连接, , ，分别过A，H作于点M, 交延长线于点N，得到，由折叠性质得到，，根据，得到，得到，得到，推出四边形为矩形，得到，得到，由折叠性质得到，得到，得到，根据勾股定理得到，即得． 【详解】（1）如图，∵在矩形中，，且， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴，， 由翻折知，，， ∴， ∴, ∵， ∴；    （2）∵在矩形中，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 解得，， ∴x的取值范围是； （3）①如图，设交于点M，连接，由折叠知，，，    ∵ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； ②如图，连接, , ，分别过A，H作于点M, 交延长线于点N，则，    由折叠知，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 由（2）知垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形折叠综合．熟练掌握矩形的判定和性质，折叠性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第24章相似三角形章节复习提升 考点01：放缩运动与相似形 【例1】（2023秋·上海崇明·九年级校考期中）下列关于“相似形”的说法中正确的是（    ） A．相似形形状相同、大小不同 B．图形的放缩运动可以得到相似形 C．对应边成比例的两个多边形是相似形 D．相似形是全等形的特例 【例2】（2024·上海静安·统考一模）下列选项中的两个图形一定相似的是（   ） A．两个平行四边形 B．两个圆 C．两个菱形 D．两个等腰三角形 【例3】（2022秋·上海浦东新·九年级统考期中）下列各组中两个图形不相似的是（    ） A． B． C． D． 【例4】（2022秋•金山区校级期末）如果梯形的一条对角线把梯形分成的两个三角形相似，那么我们称该梯形为“优美梯形”．如果一个直角梯形是“优美梯形”，它的上底等于2，下底等于4，那么它的周长为 　　． 考点02：比例线段 【例5】如果，那么 ． 【例6】（2023春·上海宝山·九年级统考期末）如果，且是和的比例中项，那么等于（    ） A． B． C． D． 【例7】下列结论不一定成立的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，（），那么 D．如果，那么 【例8】（2023春·山东威海·九年级统考期中）若，则的值为 ． 【例9】在比例尺是 的地图上，京张（北京北站至张家口站）高速铁路主线长约为 ，则该铁路的实际长度约为 （    ） A． B． C． D． 【例10】（2023春·江苏南京·九年级统考期末）已知线段，若，是的两个黄金分割点，则长为 ． 【例11】已知三条线段，，满足，且. (1)求，，的值； (2)若线段是线段和的比例中项，求的值. 考点03：黄金分割 【例12】（23-24九年级·河北保定·期末）如图，已知点C，D都是线段的黄金分割点，如果，那么的长度是（　　） A． B． C． D． 【例13】（2022秋·上海松江·九年级校考期中）已知点C是线段上的一个点，且是和的比例中项，则下列式子成立的是（　　） A． B． C． D． 【例14】（2023春·辽宁丹东·九年级统考期末）如图，点是线段的黄金分割点，且，下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 考点04：三角形一边的平行线 【例15】（2023春·广西梧州·九年级校考期中）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC边上，DE∥BC，EF∥AB，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【例16】（23-24九年级上·闵行中学·期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC的反向延长线上，下面比例式中，不能判定ED//BC的是（  ） A． B． C． D． 【例17】（2025·上海嘉定·一模）如图，两条不平行的直线与直线相交于点，四条平行线分别交直线于点、、、，分别交直线于点、、、，则有．如果，，，那么在下列结果中，线段之差最大的是（   ） A． B． C． D． 【例18】（2025·上海崇明·一模）如图，，，，那么的长等于 ． 【例19】（2022秋·上海静安·九年级上海市华东模范中学校考期中）如图，如果，那么，这个命题是 命题（填“真”或“假”）． 考点05：重心 【例20】（2023•青浦区一模）三角形的重心是（　　） A．三角形三条角平分线的交点 B．三角形三条中线的交点 C．三角形三条边的垂直平分线的交点 D．三角形三条高的交点 【例21】 （2023·上海崇明·统考一模）如图，△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，过点E作EF∥BC交AD于点F，那么＝ ． 【例22】（2023·上海浦东新·九年级统考期中）如图，在中，是中线，是重心，过点作，分别交、于点、，若，则 ． 【例23】（2023春·上海徐汇·九年级上海市田林第三中学校考期中）如图，△ABC的中线AD、CE交于点G，点F在边AC上，GF∥BC，那么的值是 ． 【例24】（2023春·浙江宁波·九年级校联考期中）如图，是的重心，延长交于点，延长交于点，，分别是和的重心，长为12，则的长为（    ） A．2 B．2．5 C．3 D．4 【例25】如图，在△ABC中，点G为ABC的重心，过点G作DE∥AC分别交边AB、BC于点D、E，过点D作DF∥BC交AC于点F，如果DF＝4，那么BE的长为 ． 【例26】如图，在平面直角坐标系中，已知，，，则重心的坐标是 ． 【例27】如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、． （1）如果，，，求的长； （2）如果，，，求的长． 考点06：相似三角形的判定 【例28】（2025·上海嘉定·一模）下列两个三角形一定相似的是（   ） A．两个直角三角形 B．有一个内角为的两个直角三角形 C．两个等腰三角形 D．有一个内角是的两个等腰三角形 【例29】（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，不能使得成立的条件是（   ） A． B． C． D． 【例30】（2024秋·上海闵行区·九年级校考期中）如图示，已知，那么添加下列一个条件后，能判定的是 （请填写序号） ① ② ③ ④ 【例31】（23-24九年级上·上海嘉定·期中）如图，在中，是的平分线，与交于点M，，下列结论中正确的个数是（　　） ① ；② ； ③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例32】（2022秋•徐汇区期末）如图，正方形ABCD与△EFG在方格纸中，正方形和三角形的顶点都在格点上，那么与△EFG相似的是（　　） A．以点E、F、A为顶点的三角形 B．以点E、F、B为顶点的三角形 C．以点E、F、C为顶点的三角形 D．以点E、F、D为顶点的三角形 【例33】（2022秋·上海浦东新·九年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P为射线BC上的一个动点，过点P的直线PQ垂直于AP与直线CD相交于点Q，当BP＝5时，CQ＝ ． 考点07：相似三角形的性质 【例34】（2022秋·上海黄浦·九年级校联考阶段练习）如果两个相似三角形对应高的比为，那么这两个三角形的面积比为 ． 【例35】如图，，、相交于点，如果，那么的值是 ． 【例36】（2022秋·上海黄浦·九年级统考期中）如图，正方形内接于，，若的面积是，则的长是 ． 【例37】如图，水平地面上放置盛有液体的容器，是液面线，经测量，，把长为的木棍的一端探到容器的底部，另一端与点A重合，则没入液体部分的长为 ． 【例38】如图，在四边形中，对角线与交于点E，， (1)求证：； (2)如果，求的值． 【例39】（2023秋•崇明区期中）如图，在梯形中，．点是对角线上的一点．过点分别作、的平行线，与交于点，与交于点．联结交于点． （1）求证：． （2）当，，时，求的长． 考点08：平面向量的线性运算 【例40】（2023·上海·一模）下列命题正确的个数是（    ） ①设是一个实数，是向量，那么与相乘的积是一个向量； ②如果，，那么的模是； ③如果，或，那么； ④如果，的方向与的方向相反． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例41】已知非零向量，下列条件中不一定能判定的是（    ） A． B． C． D． 【例42】（2021秋·上海·九年级期末）已知单位向量与非零向量、，下列四个选项中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【例43】 计算：     ； ；      ． 【例44】已知、为任意向量，计算： 【例45】（2023·上海·一模）如图，已知在中，点D、E分别在边、上，且，． (1)求证：； (2)设，，试用向量、表示向量． 【例46】（23-24九年级上·上海黄浦·期末）如图，在四边形中，，对角线交于点． (1)设，试用的线性组合表示向量． (2)如果，求四边形的面积． 【例47】（2022秋·上海浦东新·九年级校考阶段练习）如图，已知在平行四边形中，E、F分别是边的中点，设． (1)求向量（用向量表示）； (2)求作向量在方向上的分向量（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）． 考点09：几何证明 【例48】（2025·上海闵行·一模）如图：在四边形中，对角线平分，且，点在线段上且，连接并延长交于点，连接并延长交于点． (1)求证：； (2)求证：． 【例49】（2025·上海虹口·一模）如图，在中，，点在边上，过点作垂直交于点，连接、交于点． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【例50】（2025·上海徐汇·一模）如图，在梯形中，是梯形对角线，． (1)求证：； (2)以为一边作交边于点，求证：． 考点10：几何综合压轴 【例51】（23-24九年级上·上海杨浦·期中）如图，已知在中，，，点、在边上（点在点右侧，点不与点重合）运动，，过点作，交的延长线于点． (1)当时，求线段的长； (2)设，，求关于的函数解析式，并写出的取值范围； (3)连接，如果与相似，求的长． 【例52】（22-23九年级上·民办华育·期中）在等腰直角三角形中，，．点，分别为，的中点，为线段上一动点（不与点，重合），将线段绕点A逆时针方向旋转得到线段，连接，， (1)如图①，证明：； (2)如图②，连接，，交于点， ①证明：在点的运动过程中，总有． ②若，当的长度为多少时，为等腰三角形？请直接写出的长度 【例53】（22-23九年级上·上外附中·期中）如图，在中，，，，过点作射线，点、是射线上的两点（点不与点重合，点在点右侧），联结、分别交边于点、，． (1)当时，求的长； (2)设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围； (3)联结并延长交边于点，如果是等腰三角形，请直接写出的长． 【例54】（22-23九年级上·上海徐汇·期中）已知矩形中，，，P是边上一点，将沿直线翻折，使点A落在点E处，连结，直线与射线相交于点F． (1)如图1，当F在边上，若时，求的长； (2)若射线交的延长线于Q，设，，求y与x的函数解析式，并写出x的取值范围； (3)①如图2，直线与边相交于点G，若与相似，则________度； ②如图3，当直线与的延长线相交于点H时，若．求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$