精品解析：河南省开封市等两地2025-2026学年高二上学期开学数学试题

2025-2026暑期开学考联考 高二年级数学试题 考试时间：120分钟；总分值：150分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 已知复数在复平面内对应的点是，则（ ） A. B. C. D. 2. “关于的方程：表示圆”是“”的（ ）条件 A. 必要不充分 B. 充要 C. 充分不必要 D. 既不充分也不必要 3. 已知向量 ，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知复数满足：，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 5. 已知事件和事件独立，若，则（ ） A. 0.21 B. 0.51 C. 0.79 D. 0.91 6. 已知是一平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是（     ）. A. B. 1 C. D. 7. 如图，的外接圆圆心为O，，，则（ ） A. B. C. 3 D. 2 8. 体积为的三棱柱，所有顶点都在球O的表面上，侧棱底面，底面是正三角形，与底面所成的角是45°．则球O的表面积是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分；全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 小胡同学参加射击比赛，打了8发子弹，报靶数据如下：9，8，6，10，9，7，6，9（单位：环），则下列说法正确的是（ ） A. 这组数据的众数为9 B. 这组数据的分位数是7.5 C. 这组数据的极差是4 D. 这组数据的标准差是 10. 有下列说法，其中错误的说法为（ ）. A. 、为实数，若，则与共线 B. 若、，则 C. 两个非零向量、，若，则与垂直 D. 若，、分别表示、的面积，则 11. 已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E是DD1的中点，则下列选项中正确的是（ ） A. AC⊥B1E B. B1C∥平面A1BD C. 三棱锥C1﹣B1CE的体积为 D. 异面直线B1C与BD所成的角为45° 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知直线．若，则实数的值为________________． 13. 已知某运动员每次投篮命中的概率是40%．现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下10组随机数： 204 978 171 935 263 321 947 468 579 682， 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为__________． 14. 如图，在正方体中，分别是棱的中点，则正方体被平面所截得的截面周长是__________. 四、解答题（本题共5小题，77分.解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤.） 15. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求实数的值； （3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. 16. 在中，角，，的对边分别为，，.且满足. （Ⅰ)求角； （Ⅱ)若的面积为，，求边. 17. 在三棱锥中，平面平面，是边长为2的正三角形，，. （1）证明：； （2）求二面角的余弦值. 18. 江门市某中学高一年级举行了一次数学竞赛，从中随机抽取了一批学生的成绩．经统计，这批学生的成绩全部介于50至100之间，将数据按照，，，，的分组作出频率分布直方图如图所示． （1）求频率分布直方图中a的值，并估计本次竞赛成绩的第80百分位数： （2）若按照分层随机抽样的方法从成绩在，的两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，求至少有2人的成绩在内的概率． 19. 如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为.在仿射坐标系中，向量的加减法、数乘运算的坐标运算规律和直角坐标系一致.已知在仿射坐标系下，. （1）当时，求； （2）当时，求； （3）如图，在仿射坐标系中，，分别在轴，轴正半轴上，，，，分别为，的中点，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026暑期开学考联考 高二年级数学试题 考试时间：120分钟；总分值：150分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 已知复数在复平面内对应的点是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的几何意义表示出，再根据复数代数形式的除法运算法则计算即可. 【详解】复数在复平面内对应的点为，则， 所以. 故选：B． 2. “关于的方程：表示圆”是“”的（ ）条件 A. 必要不充分 B. 充要 C. 充分不必要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】先得的表示圆时的的取值范围，从而得到结论. 【详解】由题意有， 所以或， 由于为或的真子集， 故方程表示圆是的必要不充分条件， 故选：A. 3. 已知向量 ，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得，结合投影向量的定义分析求解. 【详解】因为， 则， 所以在方向上的投影向量为. 故选：A. 4. 已知复数满足：，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的几何意义，将问题转化为圆上一点到定点的距离，计算即可. 【详解】设，其中，则， ∵， ∴，即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， ∴即为圆上动点到定点的距离， ∴的最大值为. 故选：B. 5. 已知事件和事件独立，若，则（ ） A. 0.21 B. 0.51 C. 0.79 D. 0.91 【答案】C 【解析】 【分析】根据独立事件的概率公式计算，再利用概率的加法公式即可. 【详解】由题意可得，， 则. 故选：C 6. 已知是一平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是（     ）. A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出直观图面积，再根据原图形与直观图面积关系求解. 【详解】根据题意，可知是等腰直角三角形，又， 所以，故， 所以原平面图形的面积. 故选：D. 7. 如图，的外接圆圆心为O，，，则（ ） A. B. C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，分别求出、即可求解作答. 【详解】因的外接圆圆心为O，，，由圆的性质得， 有，同理， 所以. 故选：A 【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积的方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 8. 体积为的三棱柱，所有顶点都在球O的表面上，侧棱底面，底面是正三角形，与底面所成的角是45°．则球O的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三棱柱体积和线面角求出棱长，结合外接球半径计算方法即可得解. 【详解】 三棱柱体积为，侧棱底面，底面是正三角形， 设底面边长，与底面所成的角是45°，即，所以， 三棱柱体积为， 底面三角形外接圆半径， 所以外接球半径， 所球的表面积. 故选：A 二、多选题（每小题6分，共18分；全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 小胡同学参加射击比赛，打了8发子弹，报靶数据如下：9，8，6，10，9，7，6，9（单位：环），则下列说法正确的是（ ） A. 这组数据的众数为9 B. 这组数据的分位数是7.5 C. 这组数据的极差是4 D. 这组数据的标准差是 【答案】ACD 【解析】 【分析】分别计算这组数据的众数、百分位数、极差、标准差逐项判断即可. 【详解】对于A，由题意知这组数据的众数为9，故A正确； 对于B，这组数据从小到大为6，6，7，8，9，9，9，10， 由知分位数为8，故B错误； 对于C，这组数据的极差是，故C正确； 对于D，这组数据的平均数是， 方差是， 所以这组数据的标准差是，故D正确. 故选：ACD. 10. 有下列说法，其中错误的说法为（ ）. A. 、为实数，若，则与共线 B. 若、，则 C. 两个非零向量、，若，则与垂直 D. 若，、分别表示、的面积，则 【答案】AB 【解析】 【分析】由零与任何向量共线，即可判断B；由三角形的重心的向量表示和性质可判断D；由向量共线的性质可判断A；根据平面向量数量积的运算律判断C． 【详解】解：对于A选项，当时，与可以为任意向量，满足，但与不一定共线，故A错误， 对于B选项，如果、都是非零向量，，满足已知条件，但是结论不成立，故B错， 对于C选项，若，所以，即，即，所以，∴与垂直，故C正确， 若，设，，可得为的重心， 设，，， 则，，，由， 可得，故D正确； 故选：AB. 11. 已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E是DD1的中点，则下列选项中正确的是（ ） A. AC⊥B1E B. B1C∥平面A1BD C. 三棱锥C1﹣B1CE的体积为 D. 异面直线B1C与BD所成的角为45° 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，由已知可得AC⊥平面BB1D1D，从而可得AC⊥B1E；对于B，利用线面平行的判定定理可判断；对于C，由进行求解即可；对于D，由于BD∥B1D1，所以∠CB1D1是异面直线B1C与BD所成的角，从而可得结果 【详解】解：如图， ∵AC⊥BD，AC⊥BB1，∴AC⊥平面BB1D1D， 又B1E⊂平面BB1D1D，∴AC⊥B1E，故A正确； ∵B1C∥A1D，A1D⊂平面A1BD，B1C平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD，故B正确； 三棱锥C1﹣B1CE的体积为，故C错误； ∵BD∥B1D1，∴∠CB1D1是异面直线B1C与BD所成的角，又△CB1D1是等边三角形， ∴异面直线B1C与BD所成的角为60°，故D错误. 故选：AB. 【点睛】此题考查线线垂直的判定、线面平行的判定、异面直线所成的角以及体积的计算等知识，考查推理能力，属于中档题 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知直线．若，则实数的值为________________． 【答案】2 【解析】 【分析】由两直线平行的公式求参数可得结果. 【详解】因为，所以，解得或. 当时，，符合题意. 当时，，两直线重合，不合题意. 综上，. 故答案为：2. 13. 已知某运动员每次投篮命中的概率是40%．现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下10组随机数： 204 978 171 935 263 321 947 468 579 682， 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为__________． 【答案】##0.3 【解析】 【分析】由所提供的模拟数据确定在10组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的结果数，根据古典概型概率公式求概率． 【详解】由已知三次投篮恰有两次命中情形有：三组 故可以估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率 故答案为： 14. 如图，在正方体中，分别是棱的中点，则正方体被平面所截得的截面周长是__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先确定截面的位置和特征，然后根据已知条件中的线段和角的关系求截面的周长即可. 【详解】在正方体中，取的中点,的中点为,连接， 由是的中点，得，则四边形， ，由是的中点，得， 梯形是正方体被平面所截得的截面， ， 所以所求截面的周长是. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，77分.解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤.） 15. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求实数的值； （3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）且 【解析】 【分析】（1）根据向量平行的坐标运算列式求解的值，从而得模长； （2）根据向量的坐标的线性运算得的坐标，再根据向量垂直的坐标运算求解实数的值； （3）根据向量夹角与数量积的关系求解即可. 【小问1详解】 因为向量，且， 所以，解得， 所以. 【小问2详解】 因为，且， 所以，解得. 【小问3详解】 因为与的夹角是钝角， 则且与不共线， 即且， 所以且. 16. 在中，角，，的对边分别为，，.且满足. （Ⅰ)求角； （Ⅱ)若的面积为，，求边. 【答案】（Ⅰ)；（Ⅱ) 【解析】 【分析】（Ⅰ）由正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得，结合范围，可得．（Ⅱ）由已知利用三角形的面积公式可得：，进而根据余弦定理可得的值． 【详解】（Ⅰ)由得： ∴ ∴ 又 ∴，即.又，∴ （Ⅱ)∵的面积为，∴∴ 又， ∴，即 【点睛】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想． 17. 在三棱锥中，平面平面，是边长为2的正三角形，，. （1）证明：； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质即可求解， （2）根据面面垂直的性质，结合线面垂直可知为二面角的平面角,即可利用三角形的边角关系求解. 【小问1详解】 由于平面平面，且两平面的交线为, ，.,故，因此, 平面，故平面， 平面，故， 【小问2详解】 取的中点为，过作于点，连接, 由于为等边三角形，故, 由于平面平面，且两平面的交线为,平面， 故平面， 平面，故， 又，平面， 故平面，平面，故,因此为二面角的平面角， , 故, 18. 江门市某中学高一年级举行了一次数学竞赛，从中随机抽取了一批学生的成绩．经统计，这批学生的成绩全部介于50至100之间，将数据按照，，，，的分组作出频率分布直方图如图所示． （1）求频率分布直方图中a的值，并估计本次竞赛成绩的第80百分位数： （2）若按照分层随机抽样的方法从成绩在，的两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，求至少有2人的成绩在内的概率． 【答案】（1），估计本次竞赛成绩的第80百分位数为85； （2） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图的性质列式求出的值，然后根据百分位数的定义即可求解第80百分位数； （2）根据分层抽样算出成绩在，的两组分别抽取多少人，然后利用古典概型的概率计算公式即可求解. 【小问1详解】 解：由频率分布直方图的性质得：，解得， 因为，所以成绩在80分以下的频率为，成绩在90分以下的频率为， 所以估计本次竞赛成绩的第80百分位数为； 【小问2详解】 解：因为成绩在，的两组频率之比为， 所以从成绩在中抽人，从成绩在中抽人， 所以从这5人中随机抽取3人，至少有2人的成绩在内的概率为. 19. 如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为.在仿射坐标系中，向量的加减法、数乘运算的坐标运算规律和直角坐标系一致.已知在仿射坐标系下，. （1）当时，求； （2）当时，求； （3）如图，在仿射坐标系中，，分别在轴，轴正半轴上，，，，分别为，的中点，求. 【答案】（1）1 （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）当时，平面坐标系为仿射坐标系，也就是平面直角坐标系，由，计算即可； （2）当时，，又，，由两个向量夹角的余弦值的计算公式求解即可； （3）依题意将表示为基向量利用数量积求解即可. 【小问1详解】 当时，平面坐标系为仿射坐标系，也就是平面直角坐标系， . ，即. 【小问2详解】 当时，，又，， ， ， . 【小问3详解】 依题意，，，. ，， ，， ， 又由（2）知，当时，，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $