精品解析： 广东省肇庆市第二中学2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年广东省肇庆二中九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分． 1. 2024年4月，中国航天成功发射神舟十八号飞船．下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　） A. 中国探火 B. 中国火箭 C. 中国探月 D. 中国行星探测 2. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 没有实数根 3. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 将小鱼图案绕着头部某点顺时针旋转90°后可以得到的图案是（　　） A. B. C. D. 5. 将二次函数y=x2的图象向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度所得的图象解析式为 A. B. C. D. 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 7. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 中国汽车工业协会数据显示，某品牌新能源汽车2022年5月份销量为10万辆，7月份销量为14.5万辆．设该品牌新能源汽车的月平均增长率为，则（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在等边中，，点是的中点，将绕点逆时针旋转后得到，那么线段的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，某工厂的大门是抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为，两侧距地面高处各有一壁灯，两壁灯间的水平距离为，则厂门的高度约为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分 11. 函数 中，自变量x的取值范围是__________． 12. 二次函数的最小值为________． 13. 要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为________． 14. 已知关于x的一元二次方程的一个根是，则它的另一个根为______． 15. 已知二次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分 16. 用适当的方法解方程： （1）； （2）． 17. 如图，D是等边内一点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，．求证：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，△的顶点坐标分别为，，． （1）直接写出点关于轴对称的点的坐标：_____； （2）平移△，使平移后点的对应点的坐标为，请画出平移后的△； （3）求线段的长度． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点． （1）求抛物线的解析式和对称轴； （2）利用图象回答：当取何值时，． 20. 某蔬菜批发商以每千克18元的价格购进一批山野菜，市场监督部门规定其售价每千克不高于28元．经市场调查发现，山野菜的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表： 每千克售价x（元） …… 20 22 24 …… 日销售量y（千克） …… 66 60 54 …… （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当每千克山野菜的售价定为多少元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大？最大利润为多少元？ 21. 综合与实践．实践主题：黄金分割数． （1）材料探索：如图1，我们知道，如果点P是线段上的一点，将线段分割成，两条线段，且满足，那么这种分割就叫做黄金分割．其中线段与的比值或线段与的比值叫做黄金分割数． 若设线段，的长为x，则可表示为， ∵， ∴， …，根据此方法可计算出黄金分割数为_____________（结果保留根号）． （2）实践应用：二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，演奏家发现，二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处（“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短），奏出来的音调最和谐悦耳．如图2，一把二胡的琴弦长为，求“千斤”下面一截琴弦长（结果保留根号）． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分 22. 【知识技能】 材料：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，． 材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，，∴，， 则． 【数学理解】 （1）一元二次方程的两个根为，，则_____，______． 【拓展探索】 （2）已知一元二次方程的两根分别为，，求的值． （3）已知实数，满足，，且，求的值． 23. 【问题背景】水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂．图1是某学校兴趣小组制作出的一款简易弹射水火箭． 【实验操作】为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集水火箭相对于出发点的水平距离（单位：m）与飞行时间（单位：s）的数据，并确定函数表达式为：．同时也收集了飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）的数据，发现其近似满足二次函数关系．数据如表所示： 飞行时间/s 0 2 4 6 8 ．．． 飞行高度/m 0 10 16 18 16 ．．． 【建立模型】任务1：求关于的函数表达式． 任务2：探究飞行距离，当水火箭落地（高度为）时，求水火箭飞行的水平距离． 【反思优化】图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为），当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段为水火箭回收区域，已知，． 任务3：当水火箭落到内（包括端点A，B），求发射台高度的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年广东省肇庆二中九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分． 1. 2024年4月，中国航天成功发射神舟十八号飞船．下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　） A. 中国探火 B. 中国火箭 C. 中国探月 D. 中国行星探测 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，符合题意； C、不是中心对称图形，符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意； 故选B． 2. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 没有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 移项，然后利用直接开平方法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ． 故选：C． 3. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，根据的顶点式即可得到答案，熟练掌握二次函数的顶点坐标为是解题的关键． 【详解】解：物线的顶点坐标为， 故选：A． 4. 将小鱼图案绕着头部某点顺时针旋转90°后可以得到的图案是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的定义，图片按顺时针旋转90°，即横向状态转为顺时针的正立状态. 【详解】A项，图案按顺时针方向旋转0°或360°的结果，故A项错误； B项，图案按顺时针方向旋转90°的结果，故B项正确； C项，图案按顺时针方向旋转180°的结果，故C项错误； D项，图案按逆时针方向旋转90°的结果，故D项错误. 【点睛】本题主要考查图形的旋转变换. 5. 将二次函数y=x2的图象向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度所得的图象解析式为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵二次函数y=x2的图象向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度， ∴其顶点（0，0）也向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到新函数的顶点（1，3）． ∴根据平移的性质，所得图象的函数解析式是：． 故选A． 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】求出其根的判别式，然后根据根的判别式的正负情况即可作出判断． 【详解】∵，，， ∴， ∴方程有两个相等的实数根． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程（）的根的判别式：当＞0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当＜0，方程没有实数根． 7. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把常数项移到方程的右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后把方程左边利用完全平方公式写成平方形式即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查利用配方法对一元二次方程求解，解题的关键是：熟练运用完全平方公式进行配方． 8. 中国汽车工业协会数据显示，某品牌新能源汽车2022年5月份销量为10万辆，7月份销量为14.5万辆．设该品牌新能源汽车的月平均增长率为，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设月平均增长率为x，根据题意列出方程即可． 【详解】解：设月平均增长率为x， 根据题意，． 故选：D． 9. 如图，在等边中，，点是的中点，将绕点逆时针旋转后得到，那么线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形，旋转的性质，由等边三角形的性质可得，，，进而由锐角三角函数得到，再根据旋转的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵点为等边的边的中点， ，，， 在中，， ， ∵绕点逆时针旋转后得到， ， 故选：． 10. 如图所示，某工厂的大门是抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为，两侧距地面高处各有一壁灯，两壁灯间的水平距离为，则厂门的高度约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用，由题意可知，以地面为轴，大门左边与地面的交点为原点建立平面直角坐标系，抛物线过、、、，运用待定系数法求出解析式后，求函数值的最大值即可，解题的关键是建立数学模型，借助二次函数解决实际问题，注意根据线段长度得出各点的坐标． 【详解】解：以地面为轴，大门左边与地面的交点为原点建立平面直角坐标系，如图， 则抛物线过、、、，四点，设该抛物线解析式为：， ∴，解得：， ∴该抛物线解析式为， 则， ∴厂门的高度约为米， 故选：． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分 11. 函数 中，自变量x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，可得，解不等式即可，熟知根号下需要大于等于0，是解题的关键． 【详解】解：根据二次根式的意义，有， 解得， 故自变量x的取值范围是， 故答案为：． 12. 二次函数的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式转化为顶点式是解题的关键． 运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可求解． 【详解】解：， 二次函数的图象开口向上，有最小值为， 故答案为：． 13. 要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数作为等量关系列方程求解．设共有x个队参加比赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛90场，可列出方程． 【详解】赛制为双循环形式，每个队都要和其他队赛两场，则比赛总场数为场， 已知共比赛90场， 所以． 故答案为：． 14. 已知关于x的一元二次方程的一个根是，则它的另一个根为______． 【答案】4 【解析】 【分析】利用根与系数之间的关系来求解． 【详解】解：设方程的另一个根为， 关于x的一元二次方程的一个根是， 由根与系数之间的关系可得 ， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数之间的关系．解题的关键是一元二次方程的两根如果为、，则有 ，． 15. 已知二次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，先求出新函数图象的顶点坐标，根据已知条件和结合函数图象，即可求出m的取值范围． 【详解】解：∵， ∴原函数图象的顶点坐标为：， 如图，根据折叠的性质， 可得新函数图象G的顶点坐标为：，即点D的坐标为， 当直线与新图象有4个交点时，根据图象可知： m的取值范围是：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图像与几何变换、二次函数的性质等知识点，根据翻折变换规律得到新抛物线的顶点坐标是解题的难点． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分 16. 用适当的方法解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据方程特点选择合适方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用因式分解求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 解得：，． 【小问2详解】 解：， 或， 解得：，． 17. 如图，D是等边内一点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，．求证：． 【答案】 证明：∵是等边三角形， ， ∵线段绕点顺时针旋转，得到线段， ， ， ， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据等边三角形的性质，可得，再由旋转的性质，可得，从而得到，即可证明； 【详解】略 18. 如图，在平面直角坐标系中，△的顶点坐标分别为，，． （1）直接写出点关于轴对称的点的坐标：_____； （2）平移△，使平移后点的对应点的坐标为，请画出平移后的△； （3）求线段的长度． 【答案】（1） （2） 平移后的△，如图所示． （3） 【解析】 【分析】本题是三角形的综合题，考查了作图-平移变换，勾股定理，解决本题的关键是掌握平移的性质，轴对称的性质． （1）根据中心对称的性质即可得点B关于x轴的对称点的坐标； （2）根据平移的性质即可画出平移后的； （3）根据勾股定理即可求出答案． 【小问1详解】 解：点，关于x轴的对称点的坐标， 故答案为：； 【小问2详解】 平移后的对应点为， 平移规则是向右平移3个单位、再向上平移1个单位， 据此可以画出平移后的△； 【小问3详解】 根据勾股定理得， 线段的长度为． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点． （1）求抛物线的解析式和对称轴； （2）利用图象回答：当取何值时，． 【答案】（1），直线 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数解析式，根据图象解一元二次不等式等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）先由待定系数法求解二次函数解析式，再由对称轴公式即可求解对称轴； （2）根据图象即可解不等式． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点． ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴对称轴为直线； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线与轴相交于，两点， ∴当或时，． 20. 某蔬菜批发商以每千克18元的价格购进一批山野菜，市场监督部门规定其售价每千克不高于28元．经市场调查发现，山野菜的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表： 每千克售价x（元） …… 20 22 24 …… 日销售量y（千克） …… 66 60 54 …… （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当每千克山野菜的售价定为多少元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】（1）y与x之间的函数关系式为y＝﹣3x+126 （2）当每千克山野菜的售价定为28元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大，最大利润为420元． 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）设批发商每日销售这批山野菜所获得的利润为w元，然后根据总利润等于每千克的利润×销售量，然后根据二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）， 由表中数据得：， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣3x+126； 【小问2详解】 设批发商每日销售这批山野菜所获得的利润为w元， 由题意得：w＝（x﹣18）y＝（x﹣18）（﹣3x+126）＝﹣3x2+180x﹣2268＝﹣3（x﹣30）2+432， ∵市场监督部门规定其售价每千克不高于28元， ∴18≤x≤28， ∵﹣3＜0， ∴当x＜30时，w随x的增大而增大， ∴当x＝28时，w最大，最大值为420， ∴当每千克山野菜的售价定为28元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大，最大利润为420元． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式以及二次函数的性质． 21. 综合与实践．实践主题：黄金分割数． （1）材料探索：如图1，我们知道，如果点P是线段上的一点，将线段分割成，两条线段，且满足，那么这种分割就叫做黄金分割．其中线段与的比值或线段与的比值叫做黄金分割数． 若设线段，的长为x，则可表示为， ∵， ∴， …，根据此方法可计算出黄金分割数为_____________（结果保留根号）． （2）实践应用：二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，演奏家发现，二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处（“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短），奏出来的音调最和谐悦耳．如图2，一把二胡的琴弦长为，求“千斤”下面一截琴弦长（结果保留根号）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割的定义即可解决问题．熟知黄金分割的定义是解题的关键． （1）根据比例的性质得出关于x的一元二次方程，求解即可得出答案． （2）则令“千斤”下面一截琴弦长为，利用黄金分割数的定义，得出，解方程即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ∴， 整理得： 解得：，（舍去）， 故黄金分割数为； 【小问2详解】 解：因为二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处，且“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短， 则令“千斤”下面一截琴弦长为， 所以， 解得， 所以“千斤”下面一截琴弦长为． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分 22. 【知识技能】 材料：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，． 材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，，∴，， 则． 【数学理解】 （1）一元二次方程的两个根为，，则_____，______． 【拓展探索】 （2）已知一元二次方程的两根分别为，，求的值． （3）已知实数，满足，，且，求的值． 【答案】（），；（）；（）． 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，通过完全平方公式进行变形求值，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （）利用根与系数的关系即可求解； （）根据根与系数的关系得，，由，再代入即可求解； （）根据题意可得、可看作方程的两根，则，，由，再代入即可求解． 【详解】解：（）根据根与系数的关系得，； 故答案为：，； （）根据根与系数的关系得，， ∴ ； （）∵实数，满足，，且， ∴、可看作方程的两根， ∴，， ∴ ， ∴． 23. 【问题背景】水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂．图1是某学校兴趣小组制作出的一款简易弹射水火箭． 【实验操作】为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集水火箭相对于出发点的水平距离（单位：m）与飞行时间（单位：s）的数据，并确定函数表达式为：．同时也收集了飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）的数据，发现其近似满足二次函数关系．数据如表所示： 飞行时间/s 0 2 4 6 8 ．．． 飞行高度/m 0 10 16 18 16 ．．． 【建立模型】任务1：求关于的函数表达式． 任务2：探究飞行距离，当水火箭落地（高度为）时，求水火箭飞行的水平距离． 【反思优化】图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为），当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段为水火箭回收区域，已知，． 任务3：当水火箭落到内（包括端点A，B），求发射台高度的取值范围． 【答案】任务：； 任务：米； 任务：． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解决本题的关键是利用待定系数法求出二次函数的解析式，再根据二次函数的解析式解答． 任务：由表格中的数据可知抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为：，把点的坐标代入解析式可得：，解方程求出的值即可； 任务：把代入关于的函数表达式，可得，解方程，可得：水火箭飞行的水平距离为米； 任务：当抛物线经过点时，可以求出，当抛物线经过点时，可以求出，所以可得发射台高度的取值范围为． 【详解】解：任务： 二次函数经过点，， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为：， 抛物线经过点， ， 解得：， 关于的函数表达式为：； 任务2：， ， ， 整理得：， 当水火箭落地（高度为）时，， 解得：（不合题意，舍去），， 答：水火箭飞行的水平距离为米； 任务：设的长度为， 水火箭的抛物线解析式为， 当抛物线经过点时， ， 点的坐标为， ， 解得：， 当抛物线经过点时， ，， ， 点的坐标为， ， 解得：， 水火箭落到内（包括端点，）， ， ， 答：发射台高度的取值范围为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $