第十讲 基本不等式题型归纳（提升篇）讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第十讲：基本不等式题题型归纳（提升篇） 1公式再现： 2.公式变形： 3.公式拓展： ① ② （平方平均数）（算术平均数）（几何平均数）（调和平均数） ③柯西不等式 ④权方和不等式 已知，则有(当且仅当时，等号成立)． 题型一：和为定值积最大 例1：已知，且，则的最大值为（       ） A．2 B．5 C． D． 解析：因为，所以，当且仅当时，等号成立. 所以的最大值为.故选：D 例2.若、，且，则的最小值为（       ）． A． B． C． D． 解析：因为、，所以，即，所以，即，当仅当，即时，等号成立. 故选：A. 例3.若，则当取得最大值时，x的值为（       ） A．1 B． C． D． 解析：因为，所以，则， 当且仅当时取“=”. 故选：D. 例4.已知x>0，y>0，且x＋2y＝4，则(1＋x)(1＋2y)的最大值为（       ） A．36 B．4 C．16 D．9 解析：由题意，，， 所以， 当且仅当时取“=”. 故选：D. 例5：已知，求的最大值。 解析：. 当且仅当时即时取“=”. 例6：已知为正数，，则的最大值为？ 解析：=2 当且仅当时取“=”. 题型二：积为定值和最小 例7.已知a>0，则当取得最小值时，a的值为（       ） A． B． C． D．3 解析：∵a>0，∴，当且仅当，即时，等号成立，故选：C 例8已知，则函数的最小值是（       ） A． B． C．2 D． 解析：由题设，， ∴，当且仅当时等号成立， ∴函数最小值为.故选：D. 例9.若，，则的最小值是（       ） A． B． C．4 D．2 解析：由基本不等式得， 当且仅当，时等号成立，因此，的最小值为. 故选A. 例10.已知a>1，b>2，=2，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 解析：∵， ∴，当且仅当，即，时取等号.故选：C. 题型三：“1”的代换 例11.若正数满足，则的最小值是（       ） A． B． C．5 D．6 解析：，当且仅当时等号成立，∴的最小值是5.故选：C 例12.若，则的最小值为（       ） A．4 B．3 C．2 D．1 解析：因为，所以，∴ ，当且仅当时，即时取等号，所以的最小值为1.故选：D. 例13.若正实数x，y满足，则的最小值为（       ） A．8 B．9 C．10 D．11 解析：因为，则，又，是正数. 所以， 当取得等号，即且时取等号， 所以的最小值为9，故选：B. 例14.已知p，q为正实数且，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 解：由可知， ，当，即时，“”成立，故选：A. 例15.已知正数x，y满足，则的最小值（    ） A． B． C． D． 解析:令，，则，即， ∴， 当且仅当，即，时，等号成立，故选：A. 例16.已知对任意，且，恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解析：由得：，，，， （当且仅当时取等号），当恒成立时，.故选：D. 例17.若正实数、满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（       ）． A．或 B．或 C． D． 解析：因为正实数、满足，则，即， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为， 因为不等式有解，则，即， 即，解得或.故选：A. 题型四：分离常数 例18.若，则的最小值为（       ） A．4 B．5 C．6 D．8 解析：因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立，故，的最小值为6．故选：C． 例19：设为正数，且，则的最小值？ 解析： 当且仅当时等号成立 例20：已知，满足，求的最小值？ 解析： 当且仅当即时等号成立. 题型五：反解代入消元型 例21.已知，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 解析：由题意，可知，且，则， 则， 当且仅当，即等号成立，即最小值是，故选A. 例22.已知，，且，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 解析：因为，所以， 因为，，所以，得， 所以， 记，所以，所以，且， 所以 ，当且仅当即等号成立， 此时 ，     .故选：A. 题型六：和积对称，求谁留谁. 例23.若实数满足：，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 解析：因为，所以， 由基本不等式可得， 故，解得或（舍），即 当且仅当时等号成立，故的最小值为1，故选：A. 例24.知，，，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 解析∵，，， ∴， ∴，当且仅当，即，时“”成立． 故选：A． 例25.若，且，则的取值范围（       ） A． B． C． D． 解析：由，且，则，即， 由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立， 整理得，即， 因为，所以，所以，解得.故选：D 例26.若实数满足，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 解：，又，，令， 则，，即，当且仅当时，取等号， 的取值范围是，．故选：A． 题型七：常数代换型与换元法 例27.已知a，b为正实数，且，则的最小值为（       ） A．1 B．6 C．7 D． 解析：由已知条件得，， 当且仅当，即，时取等号， ∴ 的最小值为6；故选：B. 例28.已知，，，则的最小值为（       ） A． B． C． D．3 解：因为，所以， 则， 因为， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为.故选：B. 例29.对任意正数x，y，不等式恒成立，则实数k的取值范围是（       ） A． B． C． D． 解析：令，则， 故， 当且仅当时等号成立， 故的最大值为，故， 故选：B. 题型八：平方平均数（当且仅当时=成立） 例30：已知，且，则的最小值？ 解析： 当且仅当，时取等号， 例31：已知，且，则的最大值？ 解析：，又 当且仅当时即取等号. 题型九：因式分解型（如：） 例32.（多选）已知，，，则（ ） A．的最大值为2 B．的最小值为4 C．的最小值为3 D．的最小值为 【答案】ABD 【详解】对于A选项：由均值不等式得，则， 令，，解得，即，， 当且仅当，时，等号成立，故A正确；对于B选项：由均值不等式得，又， ∴，解得，（舍）， 当且仅当，时，等号成立，故B正确； 对于C，D选项：令，，则， 则可化为，整理， ∵此方程一定有解，∴，即，解得，（舍），故C错误，D正确. 故选：ABD. 例33：已知，且，求的最小值？ 解析： 当且仅当时，即等号成立 例34：（1）已知，且，求的最小值？ （2）已知，且，求的最小值？ 解析：（1） 当且仅时，即等号成立 （2） 当且仅当时，即等号成立 题型十：构造齐次式 例35：已知，若不等式恒成立，求实数的最大值？ 解析：由恒成立，可得 当且仅当时，即等号成立. 例36：若对任意满足的正实数，满足，则正整数的取值为 。 解析： 当且仅当即时“=”成立 题型十一：多次使用基本不等式（取等条件一致或者取等无关联） 例37：已知，则的最小值为 。 解析： 当且仅当时，等号成立. 例38：已知，，则的最小值为 。 解析： 当且仅当时，等号成立. 例39：已知，且，则的最小值为 。 解析： 当且仅当时，等号成立. 例40：已知，则的最小值为 。 解析： 当且仅当时，等号成立. 例41：已知为正实数，且，则最小值为 。 解析： 当且仅当时，等号成立. 题型十二：万能“K”法 一般情况下的“万能K法” 设K法的三个步骤： ⑴、问谁设谁：求谁，谁就是K； ⑵、代入整理：整理成某个变量的一元二次方程（或不等式）； ⑶、确认最值：方程有解（或不等式用均值放缩），≥0确定最值。 求谁设谁，构造方程用均值 例42.已知，若，则的最小值是（       ） A．8 B．7 C．6 D．5 解：设，则，∴ ∴整理得：， 由得，当且仅当时取“=”. ∴， 解得或（舍去）,即当时，取得最小值8，故选：A. 例43.已知实数x，y满足，，且，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 解析：，，令， ，，当且仅当时取等号，可得， ，，，，的最小值为.故选：A 题型十三　柯西不等式 例44.已知，，求的最值． 解　方法一　由柯西不等式得 (2x＋y)2≤[(x)2＋(y)2]＝(3x2＋2y2)≤11. 当且仅当x·＝y·， 即或时等号成立， 于是2x＋y的最大值为，最小值为－. 方法二　由柯西不等式得 |2x＋y|≤＝≤， 当且仅当x·＝y·， 即或时等号成立， 于是2x＋y的最大值为，最小值为－. 例45．实数满足，则的最小值是(　　) A．－5 B．－6 C．3 D．4 解析　∵实数x，y满足3x2＋4y2＝12，∴＋＝1， ∴(16＋9)≥(2x＋y)2，即－5≤2x＋y≤5，当且仅当3x＝8y， 即时，左边取等号，当时，右边取等号， ∴z＝2x＋y的最小值是－5. 题型十四　权方和不等式 已知，则有(当且仅当时，等号成立)． 例46..若，，则的最小值为________． 答案　＋2 解析　＋＝＋＝＋≥＝， 即2≥，因为x>0，y>0，则6x＋5y≥＋2， 当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号． 例47.已知正数满足，则的最小值为________． 答案　 解析　≥＝， 当且仅当＝＝，即x＝y＝z＝时取等号． 例48.已知正数满足，则的最小值为________． 答案　27 解析　＝＋≥＝27，当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号． 例49.已知，且，则的最小值为(　　) A．1 B．3 C．6 D．9 答案　D 解析　∵， ∴＝ 当且仅当a＝b＝c＝时等号成立． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十讲：基本不等式题题型归纳（提升篇） 1公式再现： 2.公式变形： 3.公式拓展： ① ② （平方平均数）（算术平均数）（几何平均数）（调和平均数） ③柯西不等式 ④权方和不等式 已知，则有(当且仅当时，等号成立)． 题型一：和为定值积最大 例1：已知，且，则的最大值为（       ） A．2 B．5 C． D． 例2.若、，且，则的最小值为（       ）． A． B． C． D． 例3.若，则当取得最大值时，x的值为（       ） A．1 B． C． D． 例4.已知x>0，y>0，且x＋2y＝4，则(1＋x)(1＋2y)的最大值为（       ） A．36 B．4 C．16 D．9 例5：已知，求的最大值。 例6：已知为正数，，则的最大值为？ 题型二：积为定值和最小 例7.已知a>0，则当取得最小值时，a的值为（       ） A． B． C． D．3 例8已知，则函数的最小值是（       ） A． B． C．2 D． 例9.若，，则的最小值是（       ） A． B． C．4 D．2 例10.已知a>1，b>2，=2，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型三：“1”的代换 例11.若正数满足，则的最小值是（       ） A． B． C．5 D．6 例12.若，则的最小值为（       ） A．4 B．3 C．2 D．1 例13.若正实数x，y满足，则的最小值为（       ） A．8 B．9 C．10 D．11 例14.已知p，q为正实数且，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 例15.已知正数x，y满足，则的最小值（    ） A． B． C． D． 例16.已知对任意，且，恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例17.若正实数、满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（       ）． A．或 B．或 C． D． 题型四：分离常数 例18.若，则的最小值为（       ） A．4 B．5 C．6 D．8 例19：设为正数，且，则的最小值？ 例20：已知，满足，求的最小值？ 题型五：反解代入消元型 例21.已知，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 例22.已知，，且，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 题型六：和积对称，求谁留谁. 例23.若实数满足：，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例24.知，，，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 例25.若，且，则的取值范围（       ） A． B． C． D． 例26.若实数满足，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 题型七：常数代换型与换元法 例27.已知a，b为正实数，且，则的最小值为（       ） A．1 B．6 C．7 D． 例28.已知，，，则的最小值为（       ） A． B． C． D．3 例29.对任意正数x，y，不等式恒成立，则实数k的取值范围是（       ） A． B． C． D． 题型八：平方平均数（当且仅当时=成立） 例30：已知，且，则的最小值？ 例31：已知，且，则的最大值？ 题型九：因式分解型（如：） 例32.（多选）已知，，，则（ ） A．的最大值为2 B．的最小值为4 C．的最小值为3 D．的最小值为 例33：已知，且，求的最小值？ 例34：（1）已知，且，求的最小值？ （2）已知，且，求的最小值？ 题型十：构造齐次式 例35：已知，若不等式恒成立，求实数的最大值？ 例36：若对任意满足的正实数，满足，则正整数的取值为 。 题型十一：多次使用基本不等式（取等条件一致或者取等无关联） 例37：已知，则的最小值为 。 例38：已知，，则的最小值为 。 例39：已知，且，则的最小值为 。 例40：已知，则的最小值为 。 例41：已知为正实数，且，则最小值为 。 题型十二：万能“K”法 一般情况下的“万能K法” 设K法的三个步骤： ⑴、问谁设谁：求谁，谁就是K； ⑵、代入整理：整理成某个变量的一元二次方程（或不等式）； ⑶、确认最值：方程有解（或不等式用均值放缩），≥0确定最值。 求谁设谁，构造方程用均值 例42.已知，若，则的最小值是（       ） A．8 B．7 C．6 D．5 例43.已知实数x，y满足，，且，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型十三　柯西不等式 例44.已知，，求的最值． 例45．实数满足，则的最小值是(　　) A．－5 B．－6 C．3 D．4 题型十四　权方和不等式 已知，则有(当且仅当时，等号成立)． 例46..若，，则的最小值为________． 例47.已知正数满足，则的最小值为________． 例48.已知正数满足，则的最小值为________． 例49.已知，且，则的最小值为(　　) A．1 B．3 C．6 D．9 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $$