精品解析：山西省吕梁市文水县2024-2025学年上学期九年级月考数学试卷

2024~2025学年度第一学期第一次阶段性作业 九年级数学 （建议完成时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ∴或， ∴， 故选：C． 2. 下列二次函数中，图象的形状与二次函数相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数的关系，两个二次函数的二次项系数的绝对值相同时，两个二次函数图象的形状才相同，据此求解即可． 【详解】解：两个二次函数的二次项系数的绝对值相同时，两个二次函数图象的形状才相同， 故选：D． 3. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程----配方法．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．在方程左右两边同时加上一次项系数的一半的平方，然后配方即可． 【详解】解：， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到 ， 配方得， 故选：A ． 4. 若二次函数的图象经过原点，则的值为（    ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】把代入求解，注意的取值范围． 【详解】解：把代入得， 解得或， ， ． 故选：． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，注意二次函数二次项系数不为． 5. 一个直角三角形的一条直角边长是4，另一直角边的长是一元二次方程的根，则该三角形的面积是（ ） A. B. 4或 C. 8或 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，注意计算的准确性即可． 【详解】解：解方程得：（舍）， ∴该直角三角形的另一条直角边长是， 故该三角形的面积 故选：A 6. 已知关于的一元二次方程，则下列分析正确的是（ ） A. 当时，方程有两个相等的实数根 B. 当时，方程有两个不相等的实数根 C. 当时，方程没有实数根 D. 方程的根的情况与的值无关 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式；先将该方程整理成一般式，再求得其根的判别式为，再判断各选项的正确与否即可． 【详解】解：方程可整理为， ∴． 当时，， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选项A不符合题意； 当时，， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选项B符合题意； 当时，的正负无法确定， ∴无法判断该方程实数根的情况， 故选项C不符合题意； ∵方程的根的情况和的值有关， 故选项D不符合题意． 故选B． 7. 若抛物线（a，h，k均为常数，）的顶点坐标为，且抛物线经过点，则该抛物线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查抛物线的性质，待定系数法求抛物线解析式，先有顶点坐标为，且抛物线经过点求出解析式，再画图判断即可． 【详解】解：∵抛物线顶点坐标为， ∴抛物线解析式为， 把代入得，解得， ∴抛物线解析式为， 抛物线的大致图象如图： ∴该抛物线不经过第三象限， 故选：C． 8. 已知抛物线（m、n是常数，）的对称轴为直线，将抛物线L向上平移，使得平移后的抛物线与坐标轴恰好有两个交点，则下列平移方式正确的是（ ） A. 向上平移1个单位长度 B. 向上平移2个单位长度 C. 向上平移3个单位长度 D. 向上平移4个单位长度 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与平移，利用对称轴求得，可得抛物线解析式为，得到抛物线的顶点坐标为，根据平移后的抛物线与坐标轴恰好有两个交点可得平移后的抛物线顶点在轴上，据此即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ， ， 抛物线的解析式为， 抛物线顶点坐标为， 平移后的抛物线与坐标轴恰好有两个交点， 平移后的抛物线顶点在轴上， 抛物线应向上平移2个单位长度， 故选：B． 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 抛物线的开口向______．（填“上”、“下”） 【答案】下 【解析】 【分析】根据二次项系数的正负即可进行解答． 【详解】解：∵， ∴函数开口方向向下， 故答案为：下． 【点睛】本题主要考查了二次函数的开口方向和二次项系数的关系，解题的关键是熟练掌握当时，函数开口向下，当时，函数开口向上． 10. 若方程化为一般形式后的二次项为，则一次项的系数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，熟知一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式是解题的关键．将方程转化为一般形式后，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴一次项的系数为， 故答案为：． 11. 二次函数（a、b、c是常数，）的图象如图所示，则点在第__________象限． 【答案】三 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，以及象限内点的坐标特征，根据图象可知，，，即可判断点所在象限，即可解题． 【详解】解：由图知，，，对称轴为直线 ∴ 点在第三象限． 故答案为：三． 12. 一小球从20米的高处落下，小球离地面的高度和下落时间大致有如下关系：，那么小球经过____________秒落到地面． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了求函数的自变量，令，解出t即可作答． 【详解】解：当小球落到地面时，， ∴， 解得：，或（舍去）， 故答案为：2． 13. 在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为．若对于，，都有，则的取值范围____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，运用熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关键．根据题意判断出离对称轴更近的点，从而得出与的横坐标中点在对称轴的右侧，再根据对称性即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴点离对称轴距离更近， 又∵， ∴与的横坐标中点在对称轴的右侧， ∴，即． 故答案为：． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 中文“方程”一词出自古代数学专著《九章算术》，其第八卷即名“方程”． 请解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程－公式法．运用公式法求解一元二次方程即可． 【详解】解：整理得， ∵，，，， ∴， ∴，． 15. 已知抛物线（a、b、c是常数，）的对称轴为直线． （1）写出b与a满足的等量关系： （2）点在该地物线上，，请判断、的大小关系． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质． （1）利用对称轴公式求得即可； （2）二次函数开口向上，则对称轴右侧y随x的增大而增大，然后再比较m,n的大小，结合二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 整理得； 【小问2详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线开口向上，当时随的增大而增大， ∵点在该地物线上，， ∴． 16. 已知代数式与代数式的值相等，求x的值． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程的应用．先根据题意得出方程，再求出方程的解即可． 【详解】解：根据题意得：， 整理得：，即， ∴或， 解得：，． 17. 已知二次函数的图象如图所示，点在第二象限的函数图象上，点的坐标为．连接、，若，求点的坐标． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，设点到轴的距离为．则，解得．当时，，从而即可得解． 【详解】解：点的坐标为， ． 设点到轴的距离为． ， ． 当时，， 点的坐标为． 18. 已知二次函数（是常数，）．求证：该二次函数的图象与轴总有两个公共点． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点，一元二次方程根的判别式．解题的关键在于对知识的灵活运用．由题意得一元二次方程，判断判根公式与的大小即可． 【详解】证明：中，令，得， ∴． ∵， ． 二次函数图象与轴总有两个公共点． 19. 已知关于x的一元二次方程，如果a、b、c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程．已知关于x的波浪方程的一个根是，求a，c的值． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解．根据波浪方程的定义，结合方程的一个根为，得到关于a，c的方程组即可解决问题． 【详解】解：由已知得：， 解得， ，． 20. 在平面直角坐标系中，设二次函数（a为常数，且）．若该函数的图象经过点，求二次函数的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，直接利用待定系数法求解即可． 【详解】解：函数图象经过点，得：， 解得：， 当时，函数y的解析式，化简，得； 当时，函数y的解析式，化简，得， 二次函数的解析式为． 21. 晓丽家想建一个兔子饲养场，晓丽爸爸利用一个直角墙角和围栏围出矩形饲养场（靠墙两面不用围栏），点A、C均在墙面上，，两边墙都足够长，，所用围栏总长为，若矩形的面积为，求边的长． 【答案】边长为． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程应用，根据题意列出方程是解题的关键． 设，根据长方形的面积公式列出关于x的一元二次方程，再求解舍去不合题意的数，即可得出答案． 【详解】解：设，则， 依题意，得， 即， 解得，． ∵， 即， 解得， ∴不合舍去，则． 答：边长为． 22. 为装饰墙面，在墙面上点，处分别钉一颗钉子，在、之间悬挂一条近似抛物线的彩带．，以水平地面上所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线的解析式为． （1）求的长； （2）现要在抛物线上的点处粘贴一个气球（不改变抛物线的形状），已知点到的距离为，求点到水平地面的距离． 【答案】（1） （2）点到水平地而的距离是 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像及性质，求函数值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键， （1）将抛物线解析式化为顶点式为．得抛物线的顶点坐标为，利用抛物线的对称性即可得解； （2）由点到的距离为．得点到的距离为，把代入解析式即可得解． 【小问1详解】 解：抛物线解析式化为顶点式为． 抛物线的顶点坐标为， ∵， ∴，关于对称轴对称， ． 【小问2详解】 解：点到的距离为． 点到的距离为， 当时，． 点到水平地而的距离是． 23. 已知关于x的一元二次方程无实数根． （1）求m的取值范围； （2）判断关于x的一元二次方程的根的情况． 【答案】（1） （2）当时，方程有一个实数根；当且时，方程有两个不相等的实数根； 【解析】 【分析】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况．熟记相关结论即可. （1）对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根．据此即可求解． （2）分类讨论方程为一元一次方程和一元二次方程的情况． 【小问1详解】 解：由题意得：且； 解得： 【小问2详解】 解：当时，即时： 方程为，此一元一次方程有一个实数根； 当且时：此方程为一元二次方程 ， ∵， ∴； 此时方程有两个不相等的实数根； 综上所述：当时，方程有一个实数根；当且时，方程有两个不相等的实数根； 24. 如图，在矩形中，，点M从点A出发沿以秒的速度移动，同时，点N从点D出发沿以秒的速度移动，当点M到达点D时，M，N都停止移动，以为边向上作正方形，设移动的时间为x（秒），正方形的面积为． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当时，求y的值． 【答案】（1） （2）y的值为116 【解析】 【分析】本题四边形的综合，涉及矩形的性质，正方形的性质，四边形动点问题，勾股定理等知识点； （1）正方形的面积为，在中利用勾股定理计算即可； （2）把代入（1）中解析式计算即可． 【小问1详解】 解：在矩形中，， ∴，， ∵点M从点A出发沿以秒的速度移动，同时，点N从点D出发沿以秒的速度移动， ∴，， ∴， 当点M到达点D时，M，N都停止移动，此时，解得， ∴， 正方形的面积 ． ∴y与x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 当时，． 当时，y的值为116． 25. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 泥塑，俗称“彩塑”，泥塑艺术是中国民间传统一种古老常见的民间艺术．某泥塑作坊制作泥塑进行销修，7月份制作泥塑1000件，同年9月份制作泥塑1440件． 素材2 泥塑的制作成本为30元/件，销售一段时间后发现，该泥塑每月的销售量m（件）与每件售价n（元）之间符合一次函数关系． 问题解决 任务1 求该泥塑作坊7月份到9月份制作泥塑数量月平均增长率； 任务2 为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价应定为多少元/件？ 【答案】任务一：7月份到9月份制作泥塑数的月平均增长率为；任务二：该泥塑的售价应定为50元件 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 任务1：设7月份到9月份制作泥塑数的平均增长率为x，利用9月份制作泥塑数=该车间7月份制作泥塑数该车间4月份到6月份制作泥塑数的平均增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； 任务2：该泥塑每件的售价为n元，则每件的销售利润为元，利用总利润=每个的销售利润×月销售量，可列出关于n的一元二次方程，解之可得出n的值，再结合要尽可能让顾客得到实惠，即可确定结论． 【详解】解：任务1：设7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：7月份到9月份制作泥塑数的月平均增长率为． 任务2：该泥塑每件的售价为n元，则每件的销售利润为元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 又尽可能让顾客得到实惠， ． 该泥塑的售价应定为50元/件． 26. 已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于两点． （1）求抛物线的函数解析式及点C的坐标； （2）平移抛物线得到抛物线，抛物线经过点C，且与x轴交于两点，连接，．点P是抛物线上的点，连接，若，请求出所有符合条件的点P的坐标． 【答案】（1）， （2）点P的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求解析式，二次函数与角度问题，二次函数的平移； （1）把代入计算即可； （2）先求出抛物线的解析式和所在直线的函数解析式，再根据①当点P在上方时，②当点P在下方时两种情况分别画出图形后计算即可． 【小问1详解】 解：把代入中，得 解得 解得， 抛物线的解析式为． 令，则 ． 【小问2详解】 解：∵平移抛物线得到抛物线，抛物线经过点C， ∴设抛物线的解析式为， 将点代入，解得， ∴抛物线的解析式为． 设所在直线的函数解析式为， 将代入得，解得 ∴所在直线的函数解析式为， ①当点P在上方时，将沿x轴向右平移2个单位，此时点B与点N重合，得到线段，则所在直线的函数解析式为， 设所在直线与抛物线的另一交点为， 由平移的性质可得，， ∴， 令，解得（舍），， ． ②当点P在下方时．取的中点E，连接，交于点F，连接并延长交抛物线于点， ，， ∴是等腰直角三角形，所在直线的函数解析式为， 是的垂直平分线， ∴， ∴， 令，解得， ， 设所在直线的函数解析式为， 将代入得，解得， ∴所在直线的函数解析式为． 令，解得（舍），． ． 综上，点P的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度第一学期第一次阶段性作业 九年级数学 （建议完成时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 方程的解是（ ） A. B. C D. 2. 下列二次函数中，图象形状与二次函数相同的是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若二次函数的图象经过原点，则的值为（    ） A B. C. 或 D. 5. 一个直角三角形的一条直角边长是4，另一直角边的长是一元二次方程的根，则该三角形的面积是（ ） A. B. 4或 C. 8或 D. 4 6. 已知关于的一元二次方程，则下列分析正确的是（ ） A. 当时，方程有两个相等的实数根 B. 当时，方程有两个不相等的实数根 C. 当时，方程没有实数根 D. 方程的根的情况与的值无关 7. 若抛物线（a，h，k均为常数，）的顶点坐标为，且抛物线经过点，则该抛物线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 已知抛物线（m、n是常数，）的对称轴为直线，将抛物线L向上平移，使得平移后的抛物线与坐标轴恰好有两个交点，则下列平移方式正确的是（ ） A. 向上平移1个单位长度 B. 向上平移2个单位长度 C. 向上平移3个单位长度 D. 向上平移4个单位长度 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 抛物线的开口向______．（填“上”、“下”） 10. 若方程化为一般形式后的二次项为，则一次项的系数为__________． 11. 二次函数（a、b、c是常数，）的图象如图所示，则点在第__________象限． 12. 一小球从20米的高处落下，小球离地面的高度和下落时间大致有如下关系：，那么小球经过____________秒落到地面． 13. 在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为．若对于，，都有，则的取值范围____________． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 中文“方程”一词出自古代数学专著《九章算术》，其第八卷即名“方程”． 请解方程：． 15. 已知抛物线（a、b、c是常数，）的对称轴为直线． （1）写出b与a满足的等量关系： （2）点在该地物线上，，请判断、的大小关系． 16. 已知代数式与代数式的值相等，求x的值． 17. 已知二次函数的图象如图所示，点在第二象限的函数图象上，点的坐标为．连接、，若，求点的坐标． 18. 已知二次函数（是常数，）．求证：该二次函数的图象与轴总有两个公共点． 19. 已知关于x的一元二次方程，如果a、b、c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程．已知关于x的波浪方程的一个根是，求a，c的值． 20. 在平面直角坐标系中，设二次函数（a为常数，且）．若该函数图象经过点，求二次函数的解析式． 21. 晓丽家想建一个兔子饲养场，晓丽爸爸利用一个直角墙角和围栏围出矩形饲养场（靠墙两面不用围栏），点A、C均在墙面上，，两边墙都足够长，，所用围栏总长为，若矩形的面积为，求边的长． 22. 为装饰墙面，在墙面上点，处分别钉一颗钉子，在、之间悬挂一条近似抛物线的彩带．，以水平地面上所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线的解析式为． （1）求的长； （2）现要在抛物线上的点处粘贴一个气球（不改变抛物线的形状），已知点到的距离为，求点到水平地面的距离． 23. 已知关于x的一元二次方程无实数根． （1）求m的取值范围； （2）判断关于x的一元二次方程的根的情况． 24. 如图，在矩形中，，点M从点A出发沿以秒的速度移动，同时，点N从点D出发沿以秒的速度移动，当点M到达点D时，M，N都停止移动，以为边向上作正方形，设移动的时间为x（秒），正方形的面积为． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当时，求y的值． 25. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 泥塑，俗称“彩塑”，泥塑艺术是中国民间传统的一种古老常见的民间艺术．某泥塑作坊制作泥塑进行销修，7月份制作泥塑1000件，同年9月份制作泥塑1440件． 素材2 泥塑的制作成本为30元/件，销售一段时间后发现，该泥塑每月的销售量m（件）与每件售价n（元）之间符合一次函数关系． 问题解决 任务1 求该泥塑作坊7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率； 任务2 为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价应定为多少元/件？ 26. 已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于两点． （1）求抛物线的函数解析式及点C的坐标； （2）平移抛物线得到抛物线，抛物线经过点C，且与x轴交于两点，连接，．点P是抛物线上的点，连接，若，请求出所有符合条件的点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$