6.2线段、射线和直线 讲义 2025--2026学年浙教版七年级数学上册

6.2线段、射线和直线 讲解目录 【知识点1】相交线 1 【知识点2】直线、射线、线段 2 【知识点3】垂线 3 【知识点4】点到直线的距离 5 【知识点5】直线的性质：两点确定一条直线 6 【知识点6】垂线段最短 7 【题型1】与线段中点有关的计算 9 【题型2】直线和线段的性质（基本事实） 12 【题型3】直线、射线、线段的表示及画法 15 【题型4】线段大小的比较 18 【题型5】线段的和差倍分 21 知识讲解 【知识点1】相交线 （1）相交线的定义 两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线． （2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类． （3）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）． 1.（2024春•襄都区月考）下列图形满足“直线l1与直线l2相交，点M既在直线l1，又在直线l2上”的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线l1与直线l2相交，点M既在直线l1，又在直线l2上进行判断，即可得出结论． 【解答】解：A．直线l1与直线l2相交，点M在直线l1，不在直线l2上，故本选项不符合题意； B．直线l1与直线l2相交，点M不在直线l1，在直线l2上，故本选项不符合题意； C．直线l1与直线l2相交，点M既在直线l1，又在直线l2上，故本选项符合题意； D．直线l1与直线l2相交，点M既不在直线l1，也不在直线l2上，故本选不项符合题意； 故选：C． 2.（2023秋•佛山期末）若平面内互不重合的4条直线只有3个交点，则平面被分成了（　　）个部分． A．7或8 B．8 C．8或9 D．10 【答案】C 【分析】根据题意画出图形即可． 【解答】解：如图， 所以，平面内互不重合的4条直线只有3个交点，则平面被分成了8或9个部分， 故选：C． 【知识点2】直线、射线、线段 （1）直线、射线、线段的表示方法 ①直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大写字母（直线上的）表示，如直线AB． ②射线：是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边． ③线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）． （2）点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外． 1.（2024秋•吴桥县期末）如图几何图形与相应语言描述相符的有（　　） ①直线a,b相交于点A ②射线CD与线段AB没有公共点 ③延长线段AB ④直线MN经过点A A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据直线、射线、线段的定义即可作答． 【解答】解：①直线a,b相交于点A，故本选项符合题意； ②射线CD与线段AB有公共点，故本选项不符合题意； ③延长线段AB，故本选项符合题意； ④直线MN未经过点A，故本选项不符合题意． 故选：B． 2.（2024秋•房山区期末）如图，若射线AB上有一点C，下列与射线AB是同一条射线的是（　　） A．射线BA B．射线AC C．射线BC D．射线CB 【答案】B 【分析】根据射线的定义可求解． 【解答】解：与射线AB是同一条射线的是射线AC， 故选：B． 【知识点3】垂线 （1）垂线的定义 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． （2）垂线的性质 在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一” “过一点”的点在直线上或直线外都可以． 1.（2025春•万年县期末）如图，直线AB与CD相交于点O，射线OE⊥CD于点O，若∠AOD=26°，则∠BOE的度数为（　　） A．116° B．126° C．144° D．154° 【答案】A 【分析】由垂直的定义得到∠COE=90°，由对顶角相等得到∠BOC=∠AOD=26°，即可求出∠BOE的度数． 【解答】解：∵OE⊥CD于点O， ∴∠COE=90°， ∵∠BOC=∠AOD=26°， ∴∠BOE=∠COE+∠BOC=116°． 故选：A． 2.（2025春•蜀山区校级期末）已知∠AOB=25°，OD⊥OB，以O为顶点作射线OC，使∠AOC=2∠AOB，若设∠COD=α（0°＜α＜180°），则α的值有可能为：①α=15°；②α=65°；③α=115°；④α=165°．以上结论中正确的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】根据题意，分情况讨论射线OC和OD的位置，计算出∠COD的可能值即可． 【解答】解：由条件可知∠AOC=50°，∠BOD=90°， 如图，分四种情况进行讨论：   由图可知：∠C1OD=∠BOD-∠AOC1-∠AOB=15°； ∠C2OD=∠BOD+∠AOC2-∠AOB=115°； ∠C3OD=∠BOD+∠AOC3+∠AOB=165°； ∠C4OD=∠BOD-（∠AOC4-∠AOB）=65°； 综上：正确的个数是4个； 故选：A． 【知识点4】点到直线的距离 （1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． （2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形． 1.（2025春•天河区期末）如图，直线外一点O，点C、D、E、F都在直线AB上，则点O到直线AB的距离是（　　） A．线段OC的长度 B．线段OD的长度 C．线段OE的长度 D．线段OF的长度 【答案】B 【分析】直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，根据定义作出判断即可． 【解答】解：∵直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离， ∴由图可知，点O到直线AB的距离是线段OD的长度． 故选：B． 2.（2025春•罗湖区期末）如图，A，B，C，D四点在直线l上，点M在直线l外，MC⊥l,若MA=5cm,MB=4cm,MC=2cm,则点M到直线l的距离是（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【答案】A 【分析】根据点到直线的距离的定义即可求解． 【解答】解：由条件可知点M到直线l的距离是2cm, 故选：A． 3.（2025春•寿县期末）如图，点A在直线l1上，点B，C在直线l2上，AB⊥l2，AC⊥l1，BC=3，AB=4，AC=5．有下列结论：①点A到直线l2的距离等于4；②点C到直线l1的距离等于3；③点C到AB的距离等于5．其中，正确的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，根据点到直线的距离的概念解答即可． 【解答】解：根据点到直线的距离的概念可知， 点A到直线l2的距离等于4，故①正确； 点C到直线l1的距离等于5，故②不正确； 点C到AB的距离等于3，故③不正确． 故选：B． 【知识点5】直线的性质：两点确定一条直线 （1）直线公理：经过两点有且只有一条直线．           简称：两点确定一条直线． （2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了． 1.（2024秋•西山区期末）下列说法中，正确的是（　　） A．射线AB和射线BA是同一条射线 B．近似数3.1和3.10的精确度相同 C．若|a-1|=a-1，则a＞1 D．两点确定一条直线 【答案】D 【分析】分别根据射线，近似数的定义，绝对值的定义和直线的性质判断即可． 【解答】解：A．射线AB和射线BA的端点不同，所以不是同一条射线，故不符合题意； B．近似数3.1和3.10的精确度不相同，故不符合题意； C．若|a-1|=a-1，则a≥1，故不符合题意； D．两点确定一条直线，故符合题意． 故选：D． 2.（2024秋•徐州校级月考）下列几种生活、生产现象：①植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；②把弯曲的公路改直，就能缩短路程；③用两个钉子就可以把木条固定在墙上；④从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设．其中可用数学知识“两点确定一条直线”来解释的现象有（　　） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】由线段的性质：两点之间，线段最短，直线的性质：两点确定一条直线，即可判断． 【解答】解：①植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线，用到的知识为两点确定一条直线； ②把弯曲的公路改直，就能缩短路程，用到的知识为两点之间，线段最短； ③用两个钉子就可以把木条固定在墙上，用到的知识为两点确定一条直线； ④从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设，用到的知识为两点之间，线段最短； 故选：B． 【知识点6】垂线段最短 （1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段． （2）垂线段的性质：垂线段最短． 正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言． （3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择． 1.（2025春•曲阜市期末）数学源于生活，用于生活，我们要会“用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界”．下列生活场景中，用到“垂线段最短”这一数学原理的是（　　） A． 打靶瞄准 B． 拉绳插秧 C． 跳远测量成绩 D． 弯曲河道改直 【答案】C 【分析】根据线段的性质，直线的性质和垂线段最短分别判断即可． 【解答】解：A、打靶瞄准为两点确定一条直线，故该选项不符合题意； B、拉绳插秧为两点确定一条直线，故该选项不符合题意； C、跳远测量成绩为垂线段最短，故该选项符合题意； D、弯曲河道改直为两点之间，线段最短，故该选项不符合题意； 故选：C． 2.（2024秋•晋安区期末）在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“垂线段最短”来解释的是（　　） A． 平板弹墨线 B． 建筑工人砌墙 C． 弯河道改直 D． 测量跳远成绩 【答案】D 【分析】根据垂线段最短解答即可． 【解答】解：A、平板弹墨线，用基本事实“两点确定一条直线”来解释，不符合题意； B、建筑工人砌墙，用基本事实“两点确定一条直线”来解释，不符合题意； C、弯河道改直，用基本事实“两点之间，线段最短”来解释，不符合题意； D、测量跳远成绩，用基本事实“垂线段最短”来解释，符合题意； 故选：D． 题型专练 【题型1】与线段中点有关的计算 【典型例题】如图，点A、B、C顺次在直线l上，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点．若想求出MN的长度，那么只需条件（　　） A.AB＝12 B.BC＝4 C.AM＝5 D.CN＝2 【答案】A 【解析】根据点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点，可知：， ∴只要已知AB即可． 故选：A． 【举一反三1】如图，C，D是线段AB上的两点，且D是线段AC的中点，若AB＝10 cm，BC＝4 cm，则AD的长为(　　) A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.6 cm 【答案】B 【举一反三2】已知线段，点是直线上一点，，点是线段的中点，则的长为（    ） A.或 B. C. D.或 【答案】D 【解析】①如图1， ∵，， ∴， ∵点D为线段的中点， ∴， ∴； ②如图2， ∵，， ∴， ∵点D为线段的中点， ∴， ∴； ∴的长为或． 故选：D． 【举一反三3】电影《哈利•波特》中，小哈利波特穿越墙进入“站台”的镜头（如示意图的Q站台），构思奇妙，能给观众留下深刻的印象．若A、B站台分别位于，处，，则P站台用类似电影的方法可称为“     站台”． 【答案】或6 【解析】， ，或， P：，或. 故P站台用类似电影的方法可称为“站台”或者“6站台”． 【举一反三4】线段，点A在直线上，且，B为线段的中点，则线段的长为（　　） A．或B．或 C．或D．或 【答案】B 【解析】∵线段，点A在线段上，且，如图， ∴, ∴， ∵为线段的中点， ∴， 当点A在线段的延长线上， ∴， ∴， ∵为线段的中点， ∴． 故选：B． 【举一反三5】任意画一个四边形ABCD，记其四边的中点分别为E，F，G，H，连接EF，FG，GH，HE，并量出它们的长，你发现了什么？量出图中∠1，∠2，∠3，∠4的度数，你又发现了什么？多画几个四边形试一试，你能得到什么猜想？ 【答案】解：通过测量可以发现：EF=GH，EH=FG，∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°，∠1=∠3，∠2=∠4， 可以猜想：四边形EFGH为平行四边形． 【题型2】直线和线段的性质（基本事实） 【典型例题】高速公路是指专供汽车高速行驶的公路．高速公路在建设过程中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直以缩短路程．其中的数学原理是（　　） A.两点之间线段最短 B.两点确定一条直线 C.平行线之间的距离最短 D.平面内经过一点有无数条直线 【答案】A 【解析】在高速公路的建设中，通常从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，以缩短路程，这是因为：两点之间，线段最短． 故选：A． 【举一反三1】在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的是（    ） A.   B.   C.      D.   【答案】D 【解析】由题意可得， 平面弹墨线是两点确定一条直线，不符合题意， 建筑工人砌墙是两点确定一条直线，不符合题意， 会场摆放茶杯是连点确定一条直线，不符合题意， 弯河道改直用的是两点间线段最短， 故选：D． 【举一反三2】在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是（　　） ①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上； ②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线； ③把弯曲的公路改直，就能缩短路程； ④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上． A.①③ B.②④ C.①④ D.②③ 【答案】C 【解析】①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释； ②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线，可以用基本事实“无数个点组成线”来解释； ③把弯曲的公路改直，就能缩短路程，可以用基本事实“两点之间线段最短”来解释； ④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释． 故选：C． 【举一反三3】四个村庄A、B、C、D位置如图，现要在平面内建造一个天然气供应站，并从供应站向四个村庄铺设天然气管道，为使铺设的管道总长最短，则天然气供应站应建造的位置是(　　) A.点A处 B.线段AC的中点处 C.任意两村庄所连线段的中点处 D.线段AC和线段BD的交点处 【答案】D 【解析】根据两点之间线段最短，则天然气供应站应建造的位置是：线段AC和线段BD的交点处． 故选：D． 【举一反三4】如图，蒙蒙同学用剪刀沿直线将一张圆形纸片剪掉一部分，发现剩下的部分的周长比原圆形周长要小，这其中的道理是 　 　． 【答案】两点之间，线段最短 【解析】根据题意可知这其中的道理是两点之间，线段最短. 【举一反三5】过一个已知点可以画            条直线，过两点可以画            条直线，过三点            画直线．(选填“能”“不能”或“不一定能”) 【答案】无数条 1 不一定能 【解析】过一个已知点可以画无数条条直线，过两点可以画1条直线，过三点不一定能画直线，因为只有三点在一条直线上时可以画一条直线，否则无法过三点画直线． 【举一反三6】用一个钉子把一根细木条钉在木板上，用手拨木条，木条能转动，这说明什么？在细木条上再钉一个钉子，细木条就被固定在木板上，这说明什么？ 【答案】解：用一个钉子把一根细木条钉在木板上，用手拨木条，木条能转动，这说明经过一点可以作无数条直线； 在细木条上再钉一个钉子，细木条就被固定在木板上，这说明两点确定一条直线. 【举一反三7】如图所示，工厂A与工厂B想在公路m旁修建一座共用的仓库O，并且要求O到A与O到B的距离之和最短，请你在公路m上确定仓库O的位置，同时说明你选择该点的理由． 【答案】解：如图，连接AB交直线m于点O，则O点即为所求的点． 理由如下：因为连接两点间的所有连线中，线段最短， 所以OA＋OB最短． 【题型3】直线、射线、线段的表示及画法 【典型例题】下列语句中，正确的是（　　） A.反向延长线段AB，得到射线BA B.延长线段AB到点C，使BC=AC C.若AB=a，则射线AB=a D.取直线AB的中点C 【答案】A 【解析】A.反向延长线段AB，得到射线BA，正确； B.延长线段AB到点C，使BC=AB，错误； C.射线不能用一个小写字母表示，错误； D.取线段AB的中点C，直线不能取中点，错误. 故选：A. 【举一反三1】如图，用适当的语句表述图中点与直线的关系，错误的是（　　） A.点P在直线AB外 B.点C在直线AB外 C.直线AC不经过点M D.直线AC经过点B 【答案】B 【解析】A.点P在直线AB外，正确，故A不符合题意； B.点C在直线AB上，故B符合题意； C.直线AB不经过点P，正确，故C不符合题意； D.直线AB经过点B，正确，故D不符合题意． 故选：B． 【举一反三2】关于图中的点和线，下列说法错误的是（　　） A.点C在直线AB上 B.点C在线段AB上 C.点B在射线AC上 D.点B在线段AC上 【答案】D 【解析】根据图形可知：点C在直线AB上正确，故选项A正确，不符合题意； 点C在线段AB上正确，故选项B正确，不符合题意； 点B在射线AC上正确，故选项C正确，不符合题意； 点B在线段AC上不正确，故选项D不正确，符合题意． 故选：D． 【举一反三3】如图，图中以B为一个端点的线段共有（　　） A.2条 B.3条 C.4条 D.5条 【答案】B 【解析】以B为端点的线段有AB、CB、DB，共3条. 故选：B． 【举一反三4】如图：图中射线有            条． 【答案】7 【解析】以C为端点的有1条，以B为端点的有1条，以A为端点的有1条，以O为端点时有2条，以P为端点的有1条，以E为端点的有1条，射线共有7条． 【举一反三5】如图，棋盘上有黑、白两色棋子若干，若直线l经过3枚颜色相同的棋子，则这样的直线共有 　 　条． 【答案】3 【解析】如图所示，则所有三颗颜色相同的棋并且在同一直线上的直线共有3条. 【举一反三6】如图，一根长10cm的木棒，棒上有两个刻度，把它作为尺子，量一次要量出一个长度，则能量出            个长度． 【答案】6 【解析】∵图中共有3+2+1=6条线段，∴能量出6个长度． 【举一反三7】如图，已知三点A、B、Q，请画直线AB，并描述点Q和直线AB的位置关系. 【答案】解：如图，点Q和直线AB的位置关系：点Q不在直线AB上. 【举一反三8】如图，在平面内有 A，B，C三点，请在图中回答下列问题：    (1)画直线； (2)画射线； (3)画线段； (4)在线段上任取一点D (不同于 B，C)，连接，并延长至点 E，使； (5)在上述所画的图中，数一数，此时图中共有多少条线段？ 【答案】解：（1）如图所示，直线即为所求；    （2）如图所示，射线即为所求； （3）如图所示，线段即为所求； （4）如图所示，线段和线段即为所求； （5）图中的线段有：线段，线段，线段，线段，线段，线段，线段和线段，共有8条线段． 【题型4】线段大小的比较 【典型例题】把两条线段AB和CD放在同一条直线上比较长短时，下列说法错误的是（　　） A.如果线段AB的两个端点均落在线段CD的内部，那么AB＜CD B.如果A，C重合，B落在线段CD的内部，那么AB＜CD C.如果线段AB的一个端点在线段CD的内部，另一个端点在线段CD的外部，那么AB＞CD D.如果B，D重合，A，C位于点B的同侧，且落在线段CD的外部，则AB＞CD 【答案】C 【解析】A、如果线段AB的两个端点均落在线段CD的内部，那么AB＜CD，故本选项正确； B、如果A，C重合，B落在线段CD的内部，那么AB＜CD，故本选项正确； C、如果线段AB的一个端点在线段CD的内部，另一个端点在线段CD的外部，则AB有可能大于或等于或小于CD，故本选项错误； D、如果B，D重合，A，C位于点B的同侧，且落在线段CD的外部，则AB＞CD，故本选项正确． 故选：C． 【举一反三1】在线段MN上，分别以点M，N为圆心，c为半径画弧，交线段MN于点E，F，如图所示，则线段MF与NE的大小关系是（　　） A.MF＞NE B.MF＜NE C.MF＝NE D.不能确定 【答案】C 【解析】由题意得ME＝NF，又∵MF＝MN﹣NF，NE＝MN﹣ME，∴MF＝NE． 故选：C． 【举一反三2】点C为线段AB延长线上的一点、则线段AB、BC、AC间大小关系正确的是(　　) A.BC＞AB B.AB＞BC C.BC＝AB D.AC＞AB 【答案】D 【解析】如图，AC＞AB，故D选项正确. 故选：D． 【举一反三3】如图，AC＞BD，则AD与BC的大小关系是：AD 　  　BC．（填“＞”或“＜”或“＝”） 【答案】＞ 【解析】∵AC＞BD，∴AC+CD＞BD+CD，∴AD＞BC． 【举一反三4】如图，比较线段的长短：AB 　  　AC．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【答案】＜ 【解析】由图可知，AB＜AC． 【举一反三5】比较图中下列线段的大小（填“＜”，“＞”或“＝”）： （1）AD 　      　BC； （2）AB 　      　CD； （3）AC 　      　BD； （4）AO 　      　CO． 【答案】＝；＝；＞；＝ 【解析】所画图形是平行四边形，∴（1）AD＝BC；（2）AB＝CD；（3）AC＞BD；（4）AO＝CO. 【举一反三6】图①中的线段a与线段b一样长吗？图②中的线段AB与线段CD在同一直线上吗？先观察猜想，再借助工具验证． 【答案】解：观察图形得图①中的线段a与线段b一样长，图②中的线段AB与线段CD在同一直线上． 【举一反三7】分别比较图（1）（2）（3）中各条线段的长短： （1） （2） （3） 【答案】解：分别利用刻度尺测量即可， （1）CD＞AB； （2）CD＞AB； （3）AB＞BC＞AD＝CD． 【题型5】线段的和差倍分 【典型例题】如果A、 B、C三点在同一直线上，线段AB=3cm，BC=2cm，那么A、C两点之间的 距离为（   ） A.1cm B.5cm C.1cm或5cm D.无法确定 【答案】C 【解析】试题解析：由题意可知，C点分两种情况， ①C点在线段AB延长线上，如图1， AC=AB+BC=3+2=5cm； ②C点在线段AB上，如图2， AC=AB-BC=3-2=1cm． 综合①②A、C两点之间的距离为1cm或5cm． 故选：C． 【举一反三1】已知在同一直线上有A，B，C三个点，且AB＝3，BC＝2，则AC的长为(　　) A.5 B. C.5或1 D.或1 【答案】C 【解析】如图1，AC＝AB﹣BC＝3﹣2＝1； 如图2，AC＝AB+BC＝3+2＝5， 所以AC的长为5或1． 故选：C． 【举一反三2】如图，线段AB＝8cm，点C是AB的中点，点D在CB上且DB＝1.5cm，则线段CD的长(　　) A.2.5cm B.3.5cm C.2cm D.3cm 【答案】A 【解析】∵线段AB＝8cm，点C是AB的中点，∴BC＝AB＝4(cm)， ∵DB＝1.5cm，∴CD＝BC﹣BD＝4﹣1.5＝2.5(cm)． 故选：A． 【举一反三3】已知线段AB＝20cm，PA+PB＝30cm，下列说法正确的是（　　） A.点P不能在直线AB上 B.点P只能在直线AB外 C.点P只能在线段AB延长线上 D.点P不能在线段AB上 【答案】D 【解析】点P在线段AB上时，PA+PB＝AB＝20cm， ∵PA+PB＝30cm，∴点P不能在线段AB上； 点P在直线AB外，一定能找到AB＝20cm，PA+PB＝30cm的点P； 点P在线段BA的延长线上，如图1，若PA＝5cm，则PB＝AB+PA＝25cm， 所以，PA+PB＝5+25＝30cm； 点P在线段AB的延长线上，如图2，若PB＝5cm，则PA＝AB+PB＝20+5＝25cm， 所以，PA+PB＝25+5＝30cm． 综上所述，点P可以在线段AB的延长线上，BA的延长线上，直线AB外，不能在线段AB上． 故选：D． 【举一反三4】画直线a，并在直线a上截取线段AB＝5cm，再在直线a上截取线段BC＝2cm，则线段AC的长是　　           ． 【答案】3或7 【解析】①由图示可知AC＝AB﹣BC＝5﹣2＝3； ②由图示可知AC＝AB+BC＝5+2＝7. 【举一反三5】已知线段AB＝10cm，直线AB上有一点C，且BC＝6cm，AC的长为 　        　． 【答案】4cm或16cm 【解析】本题有两种情况： （1）当点C在线段AB上时，如图，AC＝AB﹣BC，又∵AB＝10cm，BC＝6cm，∴AC＝10﹣6＝4cm； （2）当点C在线段AB的延长线上时，如图，AC＝AB+BC，又∵AB＝10cm，BC＝6cm，∴AC＝10+6＝16cm． 故答案填4cm或16cm． 【举一反三6】如图，点C为线段上一点，点B为的中点，且． (1)图中共有多少条线段，请写出这些线段； (2)求的长； (3)若点E在直线上，且，求的长． 【答案】解：（1）图中的线段有：，共6条； （2）∵点B为的中点，， ∴， ∵， ∴； （3）如图1，当点E在上时， ∵， ∴； 如图2，当点E在延长线上时， ∵， ∴； 综上，的长为或． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.2线段、射线和直线 讲解目录 【知识点1】相交线 1 【知识点2】直线、射线、线段 1 【知识点3】垂线 2 【知识点4】点到直线的距离 3 【知识点5】直线的性质：两点确定一条直线 4 【知识点6】垂线段最短 4 【题型1】与线段中点有关的计算 5 【题型2】直线和线段的性质（基本事实） 7 【题型3】直线、射线、线段的表示及画法 8 【题型4】线段大小的比较 10 【题型5】线段的和差倍分 11 知识讲解 【知识点1】相交线 （1）相交线的定义 两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线． （2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类． （3）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）． 1.（2024春•襄都区月考）下列图形满足“直线l1与直线l2相交，点M既在直线l1，又在直线l2上”的是（　　） A． B． C． D． 2.（2023秋•佛山期末）若平面内互不重合的4条直线只有3个交点，则平面被分成了（　　）个部分． A．7或8 B．8 C．8或9 D．10 【知识点2】直线、射线、线段 （1）直线、射线、线段的表示方法 ①直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大写字母（直线上的）表示，如直线AB． ②射线：是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边． ③线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）． （2）点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外． 1.（2024秋•吴桥县期末）如图几何图形与相应语言描述相符的有（　　） ①直线a,b相交于点A ②射线CD与线段AB没有公共点 ③延长线段AB ④直线MN经过点A A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.（2024秋•房山区期末）如图，若射线AB上有一点C，下列与射线AB是同一条射线的是（　　） A．射线BA B．射线AC C．射线BC D．射线CB 【知识点3】垂线 （1）垂线的定义 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． （2）垂线的性质 在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一” “过一点”的点在直线上或直线外都可以． 1.（2025春•万年县期末）如图，直线AB与CD相交于点O，射线OE⊥CD于点O，若∠AOD=26°，则∠BOE的度数为（　　） A．116° B．126° C．144° D．154° 2.（2025春•蜀山区校级期末）已知∠AOB=25°，OD⊥OB，以O为顶点作射线OC，使∠AOC=2∠AOB，若设∠COD=α（0°＜α＜180°），则α的值有可能为：①α=15°；②α=65°；③α=115°；④α=165°．以上结论中正确的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【知识点4】点到直线的距离 （1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． （2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形． 1.（2025春•天河区期末）如图，直线外一点O，点C、D、E、F都在直线AB上，则点O到直线AB的距离是（　　） A．线段OC的长度 B．线段OD的长度 C．线段OE的长度 D．线段OF的长度 2.（2025春•罗湖区期末）如图，A，B，C，D四点在直线l上，点M在直线l外，MC⊥l,若MA=5cm,MB=4cm,MC=2cm,则点M到直线l的距离是（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 3.（2025春•寿县期末）如图，点A在直线l1上，点B，C在直线l2上，AB⊥l2，AC⊥l1，BC=3，AB=4，AC=5．有下列结论：①点A到直线l2的距离等于4；②点C到直线l1的距离等于3；③点C到AB的距离等于5．其中，正确的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【知识点5】直线的性质：两点确定一条直线 （1）直线公理：经过两点有且只有一条直线．           简称：两点确定一条直线． （2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了． 1.（2024秋•西山区期末）下列说法中，正确的是（　　） A．射线AB和射线BA是同一条射线 B．近似数3.1和3.10的精确度相同 C．若|a-1|=a-1，则a＞1 D．两点确定一条直线 2.（2024秋•徐州校级月考）下列几种生活、生产现象：①植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；②把弯曲的公路改直，就能缩短路程；③用两个钉子就可以把木条固定在墙上；④从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设．其中可用数学知识“两点确定一条直线”来解释的现象有（　　） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【知识点6】垂线段最短 （1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段． （2）垂线段的性质：垂线段最短． 正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言． （3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择． 1.（2025春•曲阜市期末）数学源于生活，用于生活，我们要会“用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界”．下列生活场景中，用到“垂线段最短”这一数学原理的是（　　） A． 打靶瞄准 B． 拉绳插秧 C． 跳远测量成绩 D． 弯曲河道改直 2.（2024秋•晋安区期末）在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“垂线段最短”来解释的是（　　） A． 平板弹墨线 B． 建筑工人砌墙 C． 弯河道改直 D． 测量跳远成绩 题型专练 【题型1】与线段中点有关的计算 【典型例题】如图，点A、B、C顺次在直线l上，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点．若想求出MN的长度，那么只需条件（　　） A.AB＝12 B.BC＝4 C.AM＝5 D.CN＝2 【举一反三1】如图，C，D是线段AB上的两点，且D是线段AC的中点，若AB＝10 cm，BC＝4 cm，则AD的长为(　　) A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.6 cm 【举一反三2】已知线段，点是直线上一点，，点是线段的中点，则的长为（    ） A.或 B. C. D.或 【举一反三3】电影《哈利•波特》中，小哈利波特穿越墙进入“站台”的镜头（如示意图的Q站台），构思奇妙，能给观众留下深刻的印象．若A、B站台分别位于，处，，则P站台用类似电影的方法可称为“     站台”． 【举一反三4】线段，点A在直线上，且，B为线段的中点，则线段的长为（　　） A．或B．或 C．或D．或 【举一反三5】任意画一个四边形ABCD，记其四边的中点分别为E，F，G，H，连接EF，FG，GH，HE，并量出它们的长，你发现了什么？量出图中∠1，∠2，∠3，∠4的度数，你又发现了什么？多画几个四边形试一试，你能得到什么猜想？ 【题型2】直线和线段的性质（基本事实） 【典型例题】高速公路是指专供汽车高速行驶的公路．高速公路在建设过程中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直以缩短路程．其中的数学原理是（　　） A.两点之间线段最短 B.两点确定一条直线 C.平行线之间的距离最短 D.平面内经过一点有无数条直线 【举一反三1】在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的是（    ） A.   B.   C.      D.   【举一反三2】在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是（　　） ①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上； ②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线； ③把弯曲的公路改直，就能缩短路程； ④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上． A.①③ B.②④ C.①④ D.②③ 【举一反三3】四个村庄A、B、C、D位置如图，现要在平面内建造一个天然气供应站，并从供应站向四个村庄铺设天然气管道，为使铺设的管道总长最短，则天然气供应站应建造的位置是(　　) A.点A处 B.线段AC的中点处 C.任意两村庄所连线段的中点处 D.线段AC和线段BD的交点处 【举一反三4】如图，蒙蒙同学用剪刀沿直线将一张圆形纸片剪掉一部分，发现剩下的部分的周长比原圆形周长要小，这其中的道理是 　 　． 【举一反三5】过一个已知点可以画            条直线，过两点可以画            条直线，过三点            画直线．(选填“能”“不能”或“不一定能”) 【举一反三6】用一个钉子把一根细木条钉在木板上，用手拨木条，木条能转动，这说明什么？在细木条上再钉一个钉子，细木条就被固定在木板上，这说明什么？ 【举一反三7】如图所示，工厂A与工厂B想在公路m旁修建一座共用的仓库O，并且要求O到A与O到B的距离之和最短，请你在公路m上确定仓库O的位置，同时说明你选择该点的理由． 【题型3】直线、射线、线段的表示及画法 【典型例题】下列语句中，正确的是（　　） A.反向延长线段AB，得到射线BA B.延长线段AB到点C，使BC=AC C.若AB=a，则射线AB=a D.取直线AB的中点C 【举一反三1】如图，用适当的语句表述图中点与直线的关系，错误的是（　　） A.点P在直线AB外 B.点C在直线AB外 C.直线AC不经过点M D.直线AC经过点B 【举一反三2】关于图中的点和线，下列说法错误的是（　　） A.点C在直线AB上 B.点C在线段AB上 C.点B在射线AC上 D.点B在线段AC上 【举一反三3】如图，图中以B为一个端点的线段共有（　　） A.2条 B.3条 C.4条 D.5条 【举一反三4】如图：图中射线有            条． 【举一反三5】如图，棋盘上有黑、白两色棋子若干，若直线l经过3枚颜色相同的棋子，则这样的直线共有 　 　条． 【举一反三6】如图，一根长10cm的木棒，棒上有两个刻度，把它作为尺子，量一次要量出一个长度，则能量出            个长度． 【举一反三7】如图，已知三点A、B、Q，请画直线AB，并描述点Q和直线AB的位置关系. 【举一反三8】如图，在平面内有 A，B，C三点，请在图中回答下列问题：    (1)画直线； (2)画射线； (3)画线段； (4)在线段上任取一点D (不同于 B，C)，连接，并延长至点 E，使； (5)在上述所画的图中，数一数，此时图中共有多少条线段？ 【题型4】线段大小的比较 【典型例题】把两条线段AB和CD放在同一条直线上比较长短时，下列说法错误的是（　　） A.如果线段AB的两个端点均落在线段CD的内部，那么AB＜CD B.如果A，C重合，B落在线段CD的内部，那么AB＜CD C.如果线段AB的一个端点在线段CD的内部，另一个端点在线段CD的外部，那么AB＞CD D.如果B，D重合，A，C位于点B的同侧，且落在线段CD的外部，则AB＞CD 【举一反三1】在线段MN上，分别以点M，N为圆心，c为半径画弧，交线段MN于点E，F，如图所示，则线段MF与NE的大小关系是（　　） A.MF＞NE B.MF＜NE C.MF＝NE D.不能确定 【举一反三2】点C为线段AB延长线上的一点、则线段AB、BC、AC间大小关系正确的是(　　) A.BC＞AB B.AB＞BC C.BC＝AB D.AC＞AB 【举一反三3】如图，AC＞BD，则AD与BC的大小关系是：AD 　  　BC．（填“＞”或“＜”或“＝”） 【举一反三4】如图，比较线段的长短：AB 　  　AC．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【举一反三5】比较图中下列线段的大小（填“＜”，“＞”或“＝”）： （1）AD 　      　BC； （2）AB 　      　CD； （3）AC 　      　BD； （4）AO 　      　CO． 【举一反三6】图①中的线段a与线段b一样长吗？图②中的线段AB与线段CD在同一直线上吗？先观察猜想，再借助工具验证． 【举一反三7】分别比较图（1）（2）（3）中各条线段的长短： （1） （2） （3） 【题型5】线段的和差倍分 【典型例题】如果A、 B、C三点在同一直线上，线段AB=3cm，BC=2cm，那么A、C两点之间的 距离为（   ） A.1cm B.5cm C.1cm或5cm D.无法确定 【举一反三1】已知在同一直线上有A，B，C三个点，且AB＝3，BC＝2，则AC的长为(　　) A.5 B. C.5或1 D.或1 【举一反三2】如图，线段AB＝8cm，点C是AB的中点，点D在CB上且DB＝1.5cm，则线段CD的长(　　) A.2.5cm B.3.5cm C.2cm D.3cm 【举一反三3】已知线段AB＝20cm，PA+PB＝30cm，下列说法正确的是（　　） A.点P不能在直线AB上 B.点P只能在直线AB外 C.点P只能在线段AB延长线上 D.点P不能在线段AB上 【举一反三4】画直线a，并在直线a上截取线段AB＝5cm，再在直线a上截取线段BC＝2cm，则线段AC的长是　　           ． 【举一反三5】已知线段AB＝10cm，直线AB上有一点C，且BC＝6cm，AC的长为 　        　． 【举一反三6】如图，点C为线段上一点，点B为的中点，且． (1)图中共有多少条线段，请写出这些线段； (2)求的长； (3)若点E在直线上，且，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$