精品解析：湖南省长沙市同升湖高级中学2025-2026学年高三上学期第一次月考数学试题

长沙市同升湖高级中学 2026届高三第一次月考数学试卷 时量：120分钟 满分：150分 命题人：审题人：高三数学组 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】集合为函数的定义域，集合为函数的值域，再根据交集的运算求解. 【详解】，，所以， 故选：D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求解集合和集合，再根据交集的定义即可求出. 【详解】因为集合， ， 所以. 故选：A. 3. 设是奇函数且满足，当时，，则（ ） A. -1.6 B. -1.2 C. 0.7 D. 0.84 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出函数的周期，再结合周期性求出函数值. 【详解】由，得，函数的周期是2， 又函数是奇函数，且当时，， 所以. 故选：B 4. ，则a，b，c的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，应用导数研究其单调性，进而比较，，的大小，若有两个解，则，，构造，利用导数确定，进而得到，即可判断a、c的大小，即可知正确选项. 【详解】令，则，，， 而且，即时单调增，时单调减，又， ∴，. 若有两个解，则，， 即，， 令，则，即在上递增， ∴，即在上，，若即，故，有 ∴当时，，故， 综上：. 故选：A 【点睛】关键点点睛：利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小. 5. 已知函数的定义域为，则“，，”是“”的（   ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据赋值法结合充分条件、必要条件的概念求解即可. 【详解】先说明充分性：因为，，， 令，得到：，所以， 再令，得到， 所以，充分性成立； 再说明必要性，因为，所以，且， 所以有，必要性成立； 故“，，”是“”的充要条件. 故选：C 6. 设集合，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出集合，利用集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】因为，，且， 所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 7. 下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用反比例函数性质判断A，利用偶函数的定义判断B，利用正切函数性质判断C，利用幂函数的性质判断D即可. 【详解】对于A，由反比例函数性质得是奇函数， 而，则在其定义域上不单调递增，故A错误； 对于B，因为，所以， 所以，可得是偶函数，故B错误； 对于C，由正切函数性质得在其定义域上不单调， 例如取，则，故C错误； 对于D，由幂函数性质得是奇函数，在其定义域上单调递增，故D正确． 故选：D 8. 已知函数，的定义域为，，且满足，，则（ ） A. B. 1 C. 2025 D. 2026 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件判断函数的对称性，并得到函数的周期性，再通过赋值法，结合函数的性质，即可求和. 【详解】由可得：，又因为..， 所以，即的对称中心为； 由可得：， 即（常数）， 令，则，所以，即的对称轴为； 所以，，故，， 所以，的周期. 因为，所以； 因为，令代入，所以； 根据对称性可知：，，，， 所以. 故选：D 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 命题“，”的否定是“，或” C. 如果，那么“”是“”的充分不必要条件 D. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】根据不等式性质，命题逻辑，充分条件判定及二次不等式恒成立的条件，逐一分析选项，验证每个命题的正误. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，原命题“存在x满足”的否定应为“所有x都不满足”，即“所有x都满足或”，原命题表述正确，故B正确； 对于C，若，，则，则，即，必要性成立； 若，，则，所以，充分性成立，所以如果，那么“”是“”的充要条件，故C错误； 对于D，当时，恒成立，当时，则，解得，综上所述，，故D正确. 故选：BD. 10. 已知函数，则（ ） A. 有一个零点 B. 的极小值为 C. 的对称中心为 D. 直线是曲线的切线 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由函数求导后，由导数的正负可求出函数的单调区间，再结合零点存在性定理分析判断，对于B，由选项A的得到函数的单调区间分析判断，对于C，令，可判断的图象关于原点对称，从而可判断出的对称中心，对于D，利用导数的几何意义分析判断即可. 【详解】对于A，由，得， 令，得；令，得或， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 且， 所以当时，，当时，存在唯一零点， 故函数在上只有一个零点，故A正确； 对于B，由选项A可知，函数的极小值为，故B正确； 对于C，令，定义域为，则， 所以函数为奇函数，对称中心为，将函数图象向下平移1个长度单位，得函数的图象， 所以的对称中心为，故C错误； 对于D，由选项A知，，令，又， 所以切线方程为，即， 所以直线是曲线在点处的切线，故D正确， 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合问题，考查利用导数解决函数零点问题，考查导数解决函数极问题，考查导数的几何意义，解题的关键是对函数求导，然后由导数的正负求出函数的单调区间，再分析判断，考查计算能力，属于较难题. 11. 已知函数，，则下列正确的选项有（ ） A. 若的定义域为，则的定义域为 B. 若函数是增函数，则实数的取值范围为 C. 当时，若是函数与函数的交点，则 D. 若，则的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A，通过复合函数定义域的求法即可求解；对于选项B，通过分离参数，利用导数研究函数的单调性与最值计算即可求解；对于选项C，通过变形得到，解出，即可得出结果；对于选项D，通过分类讨论含参函数的单调性，得出，构造函数，利用导数研究其单调性及最值计算即可求解. 【详解】对于选项A，因为的定义域为，所以， 所以，所以的定义域为，故A正确； 对于选项B，因为，且是增函数， 所以，且在定义域上恒成立， 则在上恒成立. 令，则， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以在时取到最小值，即，所以， 所以实数的取值范围为，故B错误； 对于选项C，因为， ， 当时，， 因为是函数与函数的交点， 所以， 即，即， 所以，所以，， 所以，故C正确； 对于选项D，若，则， 令，则， （1）当，即时，则，此时在上单调递增， 且当时，，不符合题意； （2）当，即，令，则， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以时，取到最小值， 即 即， 所以， 令，则， 易知当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 即当时，取到最大值，即， 所以， 当且仅当，时， 取到最大值，故D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：构造函数，利用导数研究其单调性及最值是解决函数问题最重要的方法. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，利用对数的运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】因为，，可得，， 所以. 故答案为： 13. 已知函数，，若恒成立，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】当时，不恒成立；当时，由恒成立的条件是，若恒成立，得，构造函数，利用导数求出最小值可得答案. 【详解】由已知， ①当时，恒成立， 但不能恒成立，所以不恒成立； ②当时， 因为，所以恒成立的条件是， 此时正负由决定， 即恒成立， 因为与都是单调递增函数， 为使乘积非负，两零点需重合，需， 故， 令，， 所以在上单调递减，， 即. 故答案为：1. 14. 若对任意，当时恒有，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先化简题设条件可得，用换元法将问题转化为在上没有零点，对参数分类讨论，并构造函数，利用导数求函数的最大值即可求解. 【详解】由得， 即， 设，则，所以问题转化为在上没有零点. 当0时，没有零点，满足题意； 当时，由得， 设， 则， 因为，所以在上单调递增，在上单调递减， 因为，所以， 所以. 综上，的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：将题设化简整理，用换元法将问题转化为在上没有零点是解题关键，本题考查利用导数求函数的最大值，分类讨论思想，函数与方程思想，属于较难题. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知椭圆，为椭圆上一点，分别为它的左右焦点，到距离之和为4，离心率． （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于两点，求三角形面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，结合椭圆的性质，求出即可． （2）联立直线与椭圆方程，利用弦长公式及点到直线距离公式求解即得． 【小问1详解】 依题意，，则，由离心率，得，解得， 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 设，， 由消去得，解得， 则弦长， 原点到直线距离， 所以三角形面积． 16. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）证明：． 【答案】（1） （2）单调递增区间为，，无单调递减区间 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求导，再求切线斜率和切点坐标，再写出切线方程. （2）由得增区间，由得减区间． （3）将函数解析式代入得，对求导得单调区间，求出最小值，得的关系，最后判断在定义域内是否都成立. 【小问1详解】 ， ， 故曲线在点处的切线方程为， 即曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 设， 当时，单调递减. 当时，，单调递增. 于是，故，在上单调递增. 故的单调递增区间为，，无单调递减区间． 【小问3详解】 设函数. 当时，单调递减. 当时，单调递增. 于是．对于，有，即. 当时，，即，此时. 当时，，即，此时. 综上，. 17. 已知等差数列满足公差，，.等比数列的首项，公比为3. （1）求数列，的通项公式； （2）数列的前n项和为，记数列的前n项和为，求. 【答案】（1），. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列性质得到方程组，求出，，求出公差和首项，得到通项公式，并根据等比数列通项公式求出； （2）计算出，利用错位相减法求和，得到答案. 【小问1详解】 为等差数列，故， 因为，，所以， 整理得，解得或， 当时，，当时，， 因为，所以，，故， 此时，所以， 因为等比数列的首项，公比为3，得. 【小问2详解】 由题，， ， ， 两式相减得 ， 故. 18. 如图，四棱锥中，． （1）当为正三角形时， （i）若，证明：直线平面PBC； （ii）若A，B，D，P四点在以为半径的球面上，则四棱锥的体积是多少？ （2）当为等腰直角三角形时，且，求二面角的余弦值的最小值． 【答案】（1） （i）因为，且，所以， 又为正三角形，所以， 因为，所以，进而． 因为，所以， 又因为，PB，平面PBC， 所以直线平面PBC. （ii） （2） 【解析】 【分析】（1）（i）根据勾股定理得，结合，再利用线面垂直的判定定理证明即可. （ii）建立空间直角坐标系，求出球心，设点P的坐标为，由和，求出，代入锥体体积公式即可求解. （2）设，求出平面BPD和平面PDC的法向量，利用向量法求得二面角的余弦值为，然后根据二次函数性质求解最值即可. 【小问1详解】 （i）略 （ii）延长BC至E，使得，进而，连结DE， 又有，可知，四边形ABED为正方形， 连结AE交BD于O，过点O作平面ABED， 以O为坐标原点，分别以OE，OD，Oz所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 因为A，B，D，P四点在以为半径的球面上，由球的性质可知球心M在z轴上，设点M的坐标为， 所以，解得，即. 又为正三角形，连结OP，可知，又平面， 进而可得平面AOP，所以点P在坐标平面内， 设点P的坐标为，又有， 则，，解得， 所以四棱锥的高， 直角梯形ABCD的面积， 所以四棱锥的体积. 【小问2详解】 因为为等腰直角三角形，且，连结OP，则． 建系方法如（ii）问，， 设点， 设平面BPD的一个法向量，则， 令，则，所以. 设平面PDC的一个法向量为，则， 令，则，所以. . 令，则， 所以. 当且仅当即时等号成立， 所以二面角的余弦值的最小值． 19. 设函数（）． （1）讨论的单调性； （2）若且函数有两个不同的零点，，且， ①求实数的取值范围； ②试比较与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1） 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）①； ②，理由如下： 不妨令， ， 由①知，，即，而， 只需证明，即证，令， 令，求导得， 函数在上单调递减，，即， 因此，所以. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再按分类讨论函数的单调性. （2）①把问题转化为直线与函数图象交点问题，结合导数求解.②判断大小，作差等价转化，利用导数证明即可. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 ①当时，， 函数有两个不同的零点， 等价于方程有两个不同的根， 等价于函数的图象与直线有两个不同的交点， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 而当从大于0的方向趋近于0时，在，当时，， 所以的取范围为. ②，理由略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙市同升湖高级中学 2026届高三第一次月考数学试卷 时量：120分钟 满分：150分 命题人：审题人：高三数学组 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 设是奇函数且满足，当时，，则（ ） A. -1.6 B. -1.2 C. 0.7 D. 0.84 4. ，则a，b，c的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的定义域为，则“，，”是“”的（   ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 设集合，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，的定义域为，，且满足，，则（ ） A. B. 1 C. 2025 D. 2026 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 命题“，”的否定是“，或” C. 如果，那么“”是“”的充分不必要条件 D. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是 10. 已知函数，则（ ） A. 有一个零点 B. 的极小值为 C. 的对称中心为 D. 直线是曲线的切线 11. 已知函数，，则下列正确的选项有（ ） A. 若的定义域为，则的定义域为 B. 若函数是增函数，则实数的取值范围为 C. 当时，若是函数与函数的交点，则 D. 若，则的最大值为 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，则________． 13. 已知函数，，若恒成立，则的最小值为_________． 14. 若对任意，当时恒有，则的取值范围是__________. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知椭圆，为椭圆上一点，分别为它的左右焦点，到距离之和为4，离心率． （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于两点，求三角形面积． 16. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）证明：． 17. 已知等差数列满足公差，，.等比数列的首项，公比为3. （1）求数列，的通项公式； （2）数列的前n项和为，记数列的前n项和为，求. 18. 如图，四棱锥中，． （1）当为正三角形时， （i）若，证明：直线平面PBC； （ii）若A，B，D，P四点在以为半径的球面上，则四棱锥的体积是多少？ （2）当为等腰直角三角形时，且，求二面角的余弦值的最小值． 19. 设函数（）． （1）讨论的单调性； （2）若且函数有两个不同的零点，，且， ①求实数的取值范围； ②试比较与的大小关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $