专题21.6 二次函数与反比例函数易错必刷题型专训（80题20个考点）-2025-2026学年沪科版九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题21.6 二次函数与反比例函数易错必刷题型专训（80题20个考点） 【易错必刷一 待定系数法求二次函数解析式】 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知某抛物线与二次函数的图象的开口大小相同，开口方向相反，且顶点坐标为，则该抛物线对应的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式．根据题意设顶点式，代入抛物线的顶点坐标为，由于抛物线与开口大小相同、方向相反可知，继而得到本题答案． 【详解】解：设顶点式， ∵顶点坐标为， ∴二次函数解析式为：， ∵抛物线与二次函数的图象的开口大小相同，开口方向相反， ∴， ∴， 故选：C． 2．（24-25九年级上·浙江·期末）已知二次函数（）的图象经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴ ∴ 故选：D． 3．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）如果抛物线经过原点，那么m的值等于 ． 【答案】2 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上的点的坐标都满足该二次函数的解析式，把点代入抛物线方程，列出关于m的方程，然后解方程即可． 【详解】解：把点代入抛物线， 则， 解得， 故答案为：2． 4．（2025九年级下·贵州广西·专题练习）如图，二次函数图像过原点，且，，求该二次函数的解析式．    【答案】 【分析】本题考查坐标与图形，求二次函数解析式．掌握利用待定系数法求函数解析式是解题关键． 由题意可知二次函数的图像的顶点坐标为，即可设其顶点式，再根据二次函数图像过原点，即将代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴顶点B的坐标为， ∴可设该二次函数的解析式为． ∵二次函数图象过原点， ∴， 解得：， ∴． 【易错必刷二 y=ax²+bx+c的图象与性质】 1．（24-25九年级上·全国·阶段练习）设是抛物线上的三点，则的大小关系是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得抛物线开口向下，与对称轴距离越大函数值越小，计算判断即可． 本题考查了抛物线的增减性，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵是抛物线上的三点， 且抛物线开口向下，与对称轴距离越大函数值越小， ∵， 故， 故选：A． 2．（24-25九年级下·甘肃临夏·阶段练习）已知点，，在抛物线上，且，则m的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．根据二次函数的解析式可得出二次函数的对称轴为，分两种情况讨论，根据图象上点的坐标特征，得到关于m的不等式，解不等式即可得出结论． 【详解】解：抛物线， 对称轴为， 点，，在抛物线上，且， 当，则且，不存在； 当，则， 解得或 故选：C． 3．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）点，均在二次函数的图象上，则，的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据函数解析式的特点，其对称轴为，图象开口向下，根据函数图象上的点离对称轴的水平距离越近，函数值越大，可判断的大小关系． 【详解】解：∵，， ∴对称轴为直线，开口向下， ∵，， ∴． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·北京·阶段练习）已知二次函数． (1)补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该函数图象； … 0 1 2 3 … … 0 3 … (2)根据图象回答：当时，的取值范围是______； (3)设，，过点与轴垂直的直线l与抛物线交于点，．其中，与直线交于点，若，直接写出t的取值范围______． 【答案】(1)，，；函数图象见解析 (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，正确画出函数图象，是解题的关键． （1）将的值代入解析式，求出值，填表，进而画出函数图象即可； （2）图象法进行求解即可； （3）图象法进行求解即可． 【详解】（1）解：， 时，；时，，时，， 描点、连线、绘制函数图象如下： 故答案为：，，； （2）解：观察函数图象知，当时，y的取值范围是， 故答案为：； （3）解：根据图象，当直线在点A和B之间时满足， ∴t的取值范围为， 故答案为：． 【易错必刷三 一次函数、二次函数图象综合判断】 1．（24-25九年级下·河南开封·阶段练习）若直线在平面直角坐标系中的位置如图所示，则二次函数的大致图象是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题目中一次函数图象，可以得到，，然后根据二次函数的性质，即可得到二次函数的图象的开口方向，对称轴的位置，即可判断二次函数图象． 【详解】解：根据一次函数图象经过一、二、四象限， ，， 二次函数的图象开口向下，二次函数的对称轴为直线，即对称轴在轴右侧， 故选：D． 2．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）一次函数经过一、三、四象限，则抛物线图像可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，二次函数的图象及性质．熟练掌握一次函数和二次函数图象及性质是解题的关键 根据一次函数的图象经过的象限确定，，进而根据二次函数的图象的开口方向、对称轴、于y轴的交点，即可解答． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限， ，， ∴二次函数的开口向上，， ∴对称轴在y轴右侧， 当时，， ∴二次函数图象与轴交点为，在轴正半轴 ． 结合以上特征，符合条件的是选项B． 故选：B． 3．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）“”是一款数学应用软件，用“”绘制的函数和的图象如图所示．若分别为方程和的解，则根据图象可知a b．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了函数图象与方程的解之间的关系，关键是利用数形结合，把方程的解转化为函数图象之间的关系．根据方程的解是函数图象交点的横坐标，结合图象得出结论． 【详解】解：∵方程的解为函数图象与直线的交点的横坐标， 的一个解为一次函数与直线交点的横坐标， 如图所示： 由图象可知：． 故答案为：． 4．（2023·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点． (1)求抛物线的对称轴及顶点坐标； (2)若，点在该抛物线上，且，比较的大小，并说明理由； (3)当抛物线与线段只有一个公共点时，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1)抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为 (2)，理由见解析 (3)m的取值范围为或 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，二次函数和一次函数的交点问题，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）抛物线化成顶点式，即可求出抛物线的对称轴及顶点坐标； （2）根据二次函数的图象和性质即可求出答案； （3）分三种情况讨论进行求解即可． 【详解】（1）∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为； （2），理由如下： ∵， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线. ∵， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． ∵， ∴关于对称轴对称的t的取值范围为， ∴； （3）由直线， 当时，， 当时，，解得 ∴， 分三种情况讨论： ①当抛物线过点B时，可得， 解得或. 当时，抛物线的表达式为， 联立 解得或. ∵， ∴两交点都在线段上． 当时，同理可得或（负值舍去）， ∴； ②当抛物线过点A时，可得， 解得或， ∴＜m≤； ③当直线与抛物线的公共点为抛物线顶点时， ∵由（1）知抛物线顶点的纵坐标为－2，故此情况不存在． 综上所述，m的取值范围为或 【易错必刷四 反比例函数、二次函数图象综合判断】 1．（24-25九年级上·内蒙古通辽·期末）函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数与二次函数图象的综合判断，运用数形结合思想是解题的关键． 根据二次函数的图象与性质及反比例函数的图象与性质逐项分析判断即可得解． 【详解】解：A、反比例函数的图象在第一、三象限，故，即；二次函数图象开口向下，且交轴于负半轴，故；故选项符合题意； B、反比例函数的图象在第一、三象限，故，即；二次函数图象开口向上，则，交轴于负半轴，则；互相矛盾，故选项不符合题意； C、反比例函数的图象在第二、四象限，故，即；二次函数图象开口向下，则，交轴于正半轴，则；互相矛盾，故选项不符合题意； D、反比例函数的图象在第二、四象限，故，即；二次函数图象开口向上，则，交轴于负半轴，则；互相矛盾，故选项不符合题意； 故选：A． 2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）在同一坐标系中，函数与的图象大致是图中的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数和二次函数的图象得出的范围，看看是否相同即可．本题考查了反比例函数和二次函数的图象和性质的应用，能理解反比例函数和二次函数的图象和性质是解此题的关键． 【详解】解：A、∵反比例函数图象经过第一、三象限， ∴得出， ∵二次函数的图象开口向上，对称轴在轴的正半轴， ∴二次函数得出，， ∴， ∴的范围不同，故本选项错误； B、∵反比例函数图象经过第一、三象限， ∴得出， ∵二次函数的图象开口向下，对称轴在轴的负半轴， ∴二次函数得出，， ∴， ∴的范围不同，故本选项错误； C、∵反比例函数图象经过第二、四象限， ∴得出， ∵二次函数的图象开口向上，对称轴在轴的负半轴， ∴二次函数得出，， ∴， ∴的范围不同，故本选项错误； D、∵反比例函数图象经过第一、三象限， ∴得出， ∵二次函数的图象开口向下，对称轴在轴的正半轴， ∴二次函数得出，， ∴， ∴的范围相同，故本选项正确； 故选：D． 3．（22-23九年级下·福建南平·自主招生）若直线与函数的图像有三个不同的交点，其横坐标分别为，，，设，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先作出分段函数的图象，根据函数的图象即可确定的取值范围． 【详解】解：分段函数的图象如图：    故要使直线为常数）与函数的图象恒有三个不同的交点，常数的取值范围为， 根据三个不同的交点，从左到右，其横坐标分别为，，， 由图可知， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象及反比例函数的图象，首先作出分段函数的图象是解决本题的关键，采用数形结合的方法确定答案是数学上常用的方法之一． 4．（2024九年级·全国·专题练习）如图1，为坐标原点，点在轴的正半轴上，四边形是平行四边形，，反比例函数在第一象限内的图象经过点，与交于点. （1）若点为的中点，且的面积. ①设的面积为，的面积为，则______（直接填“”、“”或“”），______； ②求的长和点的坐标. （2）在（1）的条件下，过点作，交于点（如图2），点为直线上的一个动点，连结、，当以、、为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出所有点的坐标，不必说明理由. 【答案】（1）①，，②， ；（2），；；. 【分析】（1）先设OA=a（a>0），过点F作FM⊥x轴于M，根据sin∠AOB=得出AH=a，OH=a，求出S△AOH的值，根据S△AOF=12，求出平行四边形AOBC的面积，根据F为BC的中点，求出S△OBF=6， 根据BF=a，∠FBM=∠AOB，得出S△BMF=BM•FM，S△FOM=6+a2，再根据点A，F都在y=的图象上，S△AOH=k，求出a，最后根据S平行四边形AOBC=OB•AH，得出OB=AC=，即可求出点C的坐标； （2）分别根据当∠APO=90°时，在OA的两侧各有一点P，得出P1，P2；当∠PAO=90°时，求出P3；当∠POA=90°时，求出P4即可． 【详解】（1）①，. ②设，如图3，过点作轴于，过点作轴于. ∵，∴，，∴. ∵，∴. ∵为的中点，∴. ∵，， ∴，. ∴. ∴. ∵点、都在的图象上，∴. ∴，∴，即.∴，. ∵，∴. ∴. （2）存在三种情况：如图4. 当时，在的两侧各有一点， 分别为：，； 当时，； 当时，. 提示：当时，易证点为的中点，则，设交轴于点，由，得，；当时，设，由构造方程求；当时，同理由构造方程求. 【点睛】本题考查反比例函数，熟练掌握计算法则是解题关键. 【易错必刷五 根据二次函数的对称性求函数值】 1．（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）聪聪在用描点法画二次函数的图像时列表格如下图，则图中横线处的数据是（    ） x … 0 1 … y … 3 ______ … A．3 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键；由表格可知二次函数的对称轴为，然后根据二次函数的对称性可进行求解． 【详解】解：由表格知：二次函数的对称轴为， ∴根据二次函数的对称性可知：与的函数值相等， ∴横线处的数据是3； 故选A． 2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）表格列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值，其中，a的值为（   ） x 0 y 4 0 0 a A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的对称性．掌握二次函数图象关于其对称轴对称是解题关键．根据表格可求出该抛物线的对称轴为，从而得出当时，y的值和当时，y的值相等，即得出a的值为4． 【详解】解：∵时，；时，， ∴该二次函数的对称轴为直线， ∴当时，y的值和当时，y的值相等． ∵当时，， ∴当时，， ∴a的值为4． 故选：A． 3．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知二次函数，下表给出了y与x的几对对应值： x … 0 1 2 3 4 … y … 11 m 3 2 3 6 11 … 由此判断，表中 ． 【答案】6 【分析】本题考查了二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据表格得出二次函数的对称轴为直线，由此即可得出答案． 【详解】解：由表格可知，和时函数值相等， 则二次函数的对称轴为直线， 因此当和时函数值相等， 即， 故答案为：6． 4．（24-25九年级上·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上． (1)抛物线的对称轴为______（用含的式子表示），当时，与的大小关系为______（填“”“”或“”）； (2)若，且对于每个，都有成立． ①求的取值范围； ②若抛物线还过点，求证：如果，那么． 【答案】(1)直线； (2)①或 ；②证明见解析 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）直接利用对称轴公式可得对称轴，利用抛物线的增减性即可判定与大小； （2）①利用抛物线开口向上，则离对称轴距离越近的点的函数值越小，可得点到对称轴直线的距离一定恒大于点到对称轴直线的距离，再结合，可得结果； ②分和两种情况讨论，分别判断和的大小关系，再结合，即可求证． 【详解】（1）解：∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线，抛物线与轴交点为， ∴关于直线的对称点为， ∵， ∴， 根据抛物线开口向上，在对称轴右侧随的增大而增大， ∴， 故答案为：直线；； （2）解：①∵对于每个，都有成立，且抛物线开口向上， ∴点到对称轴直线的距离一定恒大于点到对称轴直线的距离， ∵点到对称轴直线的距离为， ∴点到对称轴直线的距离恒大于， ∵， ∴或， ∴或； ②证明：当时， ∵， ∴点到对称轴直线的距离小于， ∵点到对称轴直线的距离为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴； 当时， ∵， ∴点到对称轴直线的距离小于， ∵点到对称轴直线的距离为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴． 综上，． 【易错必刷六 y=ax²+bx+c的最值】 1．（2025·浙江杭州·模拟预测）二次函数的最小值是（   ） A． B．1 C． D．7 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象的性质，根据抛物线解析式得出开口方向，即可求解． 【详解】解：∵，开口向上， ∴当时，y有最小值为， 故答案为：A． 2．（2025·广东汕头·一模）关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（   ） A．有最大值3 B．有最小值3 C．有最大值6 D．有最小值6 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据可得函数有最小值，再根据化成顶点式即可解答，正确理解二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：， ， 二次函数有最小值为6， 故选：D． 3．（24-25九年级上·全国·期中）已知函数，当时，该函数的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．将二次函数进行配方，利用二次函数的图像和性质确定最大值． 【详解】解：， ， 当时，该函数有最大值，最大值是， 故答案为：． 4．（24-25九年级下·福建泉州·阶段练习）若非零实数a，b，c，m满足．求证：． 【答案】见解析 【分析】依据题意，由非零实数a，b，c，m满足①，和②，结合，可得，然后将m代入①得，，故，则，再结合二次函数的性质即可判断得解． 本题主要考查了二次函数的最值、等式的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 【详解】证明：由题意，非零实数a，b，c，m满足①，和②， ∴得，，即 又， 将m代入①得， 设， 其为开口向下的二次函数，最大值在顶点处取得． 顶点横坐标为：， ∴当时取得最大值，最大值为此时 ． 【易错必刷七 利用二次函数对称性求最短路径】 1．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）如图，直线yx+3分别与x轴，y轴交于点A、点B，抛物线y=x2+2x﹣2与y轴交于点C，点E在抛物线y=x2+2x﹣2的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，CE+EF的最小值是（　　） A．4 B．4.6 C．5.2 D．5.6 【答案】C 【分析】C点关于对称轴对称的点C'，过点C'作直线AB的垂线，交对称轴与点E，交直线AB于点F，则C'F即为所求最短距离． 【详解】∵y=x2+2x﹣2的对称轴为，C(0，﹣2)， ∴C点关于对称轴对称的点C'(﹣2，﹣2)， 过点C'作直线AB的垂线，交对称轴与点E，交直线AB于点F， ∴CE=C'E， 则C'F=CE+EF=C'E+EF是CE+EF的最小值； ∵直线yx+3， 设直线C'F的解析式为， 将C'(﹣2，﹣2)代入得：， 解得：， ∴C'F的解析式为yx， 解方程组， 得：， ∴F(，)， ∴C'F． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的图象及性质；利用点的对称性，点到直线的垂线段最短，确定最短距离为线段C'F的长是解题的关键． 2．（2024·江西南昌·二模）如图，P是抛物线y＝x2﹣x﹣4在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为(   ) A．10 B．8 C．7.5 D．5 【答案】A 【分析】写出周长的解析式，用配方法表示顶点式，即可得出周长的最大值. 【详解】解：设P(x，x2﹣x﹣4)， 四边形OAPB周长＝2PA+2OA＝﹣2(x2﹣x﹣4)+2x＝﹣2x2+4x+8＝﹣2(x﹣1)2+10， 当x＝1时，四边形OAPB周长有最大值，最大值为10. 故选A． 【点睛】考核知识点：二次函数的最值运用.用配方法表示出顶点式，得出周长的最大值是解题的关键. 3．（22-23九年级上·山东济宁·期中）如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，对称轴是直线，点是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时点的坐标为 ． 【答案】 【分析】将对称至，连接，与对称轴的交点即为，再根据直线的解析式与对称轴求解的坐标即可． 【详解】解：根据对称轴公式，可得：，解得：， 即抛物线的解析式为：， 将代入得：， 抛物线的解析式为：； 顶点坐标 ； 连接交直线于点， 此时 最小，点即为所求 ， 由，， 设直线的解析式为，将点代入得， ， 解得：， ∴直线： 当时：， ． 【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． 4．（2024九年级上·全国·专题练习）如图所示，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，点为抛物线的顶点．在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的值最小，若存在，清求出点的坐标并求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，，最小值为． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来． 本题中，点与点关于抛物线的对称轴对称，根据“两点之间，线段最短”可知，抛物线的对称轴与直线的交点就是的值最小时点的位置，先求出直线的解析式，再求出点的坐标． 【详解】假设存在点，使得的值最小． ∵点与点关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴与的交点就是使得的值最小的点的位置，如图， ∵， ∴． 令，则，解得，，∴，， 令可得，， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为：， 又∵点在抛物线对称轴上，将代入直线的解析式， 得到：， ∴， 又∵， ∴， 即的最小值为． 【易错必刷八 已知二次函数的函数值求自变量的值】 1．（24-25九年级上·广东阳江·期中）已知抛物线经过点，则代数式的值为（    ） A．24 B．6 C．31 D．19 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数点的坐标特征，已知式子的值求代数式的值，熟练掌握该知识点是解题的关键．由题意可知，，整理为，然后代入求值即可． 【详解】解：抛物线经过点， 故选：C ． 2．（24-25九年级上·山西吕梁·期中）已知二次函数的图象上的部分点的坐标如下表，其中，则b的值为（    ） x … a … y … 2024 2024 … A．5 B．10 C．15 D．25 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，表格可知，当，，当，，代入解析式可得，，由此即可求解． 【详解】解：由表格可知，当，，当，， ∴，， ∴，， ∴是方程的两根， ∵， ∴，， ∴， 故选：B． 3．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，平行于轴的直线分别交抛物线与交于，两点，过点作轴的平行交于点，直线，交于点，则 ． 【答案】 【分析】法一：特值法：假设的横坐标为，则得出，根据轴，得出点纵坐标为，点纵坐标为，分别代入和中得，，，进而求比值即可求解；法二：设，同法一，得出，进而求比值，即可求解． 【详解】解：（法一特值法）： 假设的横坐标为， 将代入得，； 垂直于轴，所以点横坐标为 将代入得，， 轴， 点纵坐标为，点纵坐标为， 分别代入和中得，，， ． ； 法二：设，同法一，， 此时， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据平行于轴的点的纵坐标相同，平行于轴的点的横坐标相同，用点的纵坐标表示出各点的坐标是解题的关键． 4．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知二次函数． (1)当该抛物线过点． ①求该抛物线的解析式； ②当时，求y的范围． (2)若函数图象上有两个不同的点，，且．求证：． 【答案】(1)①；② (2)见解析 【分析】本题主要考查了二次函数图像和性质，二次函数与一元二次方程，本题解题关键在于准确理解题意、灵活运用二次函数的性质、学会代数运算能力和逻辑推理能力，以及综合分析能力。 （1）直接将点代入求解即可； （2）首先把抛物线的解析式转化为了顶点式，然后根据抛物线的开口方向、顶点坐标以及给定的x的取值范围，求出了y的取值范围， （3）把，代入抛物线表示出，再根据，可得，再根据图象，即可得出结论。 【详解】（1）①解：将代入二次函数的解析式， ∴． ∴． ∴二次函数的解析式． ②解：抛物线顶点式为， 抛物线开口向上，顶点为， 当时，；当时，。 因此，在区间时，y的取值范围为。 （2）证明：∵点，，是函数图象上两点， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点A，B是图象上不同两点， ∴， ∴． 【易错必刷九 根据二次函数图象确定相应方程根的情况】 1．（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知二次函数图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下： x … 0 2 … y … 15 0 0 … 则关于x的方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查的是二次函数的性质，先根据表格信息求解的对称轴为直线，再进一步求解即可. 【详解】解：由表格信息可得：的对称轴为直线， 而当时，， 根据对称性可得： 当时，， ∴的解为：，； 故选：A 2．（24-25九年级上·福建福州·期中）二次函数的部分对应值列表如下： … 0 1 3 5 … … 7 7 … 则一元二次方程的解为（   ） A．3或 B．或5 C．或6 D．2或 【答案】C 【分析】本题考查通过表格确定二次函数图象与的交点坐标解一元二次方程．利用时，； 时，得到二方程一元二次方程的两根为，由于把一元二次方程可看作关于的一元二次方程， 则或， 然后解一次方程即可． 【详解】解：观察表格，对于二次函数， ∵时，；时，， 即方程一元二次方程的两根为， 把一元二次方程看作关于的一元二次方程， ∴或， 解得． 故选：C． 3．（25-26九年级上·全国·周测）二次函数的图象如图所示．根据图象解答下列问题： （1）不等式的解集为 ． （2）若方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 ． 【答案】 或 【分析】本题主要考查，图象法解一元二次不等式，一元二次方程与二次函数综合等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）根据不等式的解集即为二次函数图象在x轴下方时自变量的取值范围求解即可； （2）根据方程有两个不相等的实数根即二次函数与直线有两个不同的交点进行求解即可． 【详解】（1）解：由函数图象可知不等式的解集为或， 故答案为：或； （2）解：解：由函数图象可知方程有两个不相等的实数根，即为二次函数与直线有两个不同的交点， ∴， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·浙江台州·期末）已知抛物线G的解析式为，直线的解析式为（）． (1)不论a取何值，抛物线G必过两个定点，请直接写出这两个定点的坐标：_________；_________． (2)若抛物线G的顶点在直线l上，求a与k的数量关系； (3)当时，若抛物线G在时的图象与直线有两个公共点，求a的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，二次函数与方程的关系． （1），则当代数式不含项时求出和的值，此时即过定点； （2）将二次函数解析式化为顶点式，求出抛物线顶点为，再代入，进而求解． （3）当时，直线的解析式为，联立得，解得，再抛物线G在时的图象与直线有两个公共点，得到，解不等式组即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，此时与无关，解得， ∴不论a取何值，抛物线G必过两个定点，， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴抛物线G的顶点为， ∵抛物线G的顶点在直线l上，直线的解析式为， ∴把代入得， 整理得； （3）解：当时，直线的解析式为， 联立得， ∴， ∴， ∵抛物线G在时的图象与直线有两个公共点， ∴， 解得． 【易错必刷十 根据交点确定不等式的解集】 1．（2025·江苏无锡·二模）已知二次函数与一次函数的图象交于两点，这两点的横坐标分别为和，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式之间的关系，根据函数图象找到二次函数图象在一次函数图象上方，二者交点处时自变量的取值范围即可得到答案，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由二次函数与一次函数， 可得图象如图， 根据图象可知：当时，，即， 故选：． 2．（2025·广东广州·一模）如图，抛物线与直线相交于点和点，点，的横坐标分别为和4，则当时的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据抛物线图象在直线图象上方部分对应x的范围即为时的取值范围，利用交点坐标即可解答． 【详解】解：根据图象：当时的取值范围为， 故选：C． 3．（24-25九年级上·甘肃武威·开学考试）二次函数（a，b，c是常数，且）的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与不等式（组）．先利用对称性得到二次函数的图象与轴的另一个交点坐标为，则设此二次函数解析式为，即，所以二次函数可表示为，接着解方程得到二次函数与轴的交点坐标为，，然后写出抛物线在轴下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：二次函数的图象的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为， 二次函数的图象与轴的另一个交点坐标为， 设此二次函数解析式为， 即， , ， 二次函数可表示为， 当时，， 解得，， 二次函数与轴的交点坐标为，， ， 抛物线开口向上， 当时，， 关于的不等式的解集为． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·河南周口·期中）如图，直线与坐标轴分别交于B，C两点，其中点坐标，抛物线与直线交于，两点． (1)求抛物线的解析式及点坐标； (2)直接写出关于不等式的解集． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，由直线经过，可得，求出b可得直线解析式，从而可得B，再代入二次函数的解析式，最后令，从而求得A的坐标； （2）依据题意，由，从而，则关于x不等式的解集可以看作在的图象上方部分及相交的对应的自变量的取值范围，最后结合图象，即可判断得解． 【详解】（1）直线经过， ∴， ， 直线， 令，则， ∴直线与轴交点． 抛物线经过， ， ∴， 抛物线解析式：， 令， 解得， ． （2）由题意，∵， ∴， ∴关于x不等式的解集与不等式的解集相同． ∴关于x不等式的解集可以看作在的图象上方部分及相交的对应的自变量的取值范围． ∴结合图象可得，或． 【易错必刷十一 根据反比例函数的定义求参数】 1．（24-25八年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）若点在反比例函数 的图像上，则m的值是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数上的点的坐标，将点P的坐标代入反比例函数解析式，直接计算即可求解． 【详解】解：点在反比例函数的图像上， 将代入函数解析式， 得：， ， 故选：B． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）若是反比例函数，则的取值为（    ） A．1 B． C． D．的任意实数 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义，其表达式应为（），需满足指数为且系数非零，据此计算即可． 【详解】解：∵是反比例函数， ∴且， 解得：． 故选：B． 3．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知反比例函数y＝的图象经过点(1，2)，则k的值为 ． 【答案】3 【分析】列等式k-1=1×2=2，计算即可． 【详解】∵反比例函数y＝的图象经过点(1，2)， ∴2=， ∴k-1=1×2=2， ∴k=3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了反比例函数图像与点的关系，熟记图像过点，点的坐标满足函数的解析式是解题的关键． 4．（23-24八年级下·湖南衡阳·期中）已知是的反比例函数，且函数图象过点． (1)求与的函数关系式； (2)当取何值时，． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设该反比例函数的表达式为：，将点A代入表达式即可求解； （2）将代入（1）所求表达式即可求解； 【详解】（1）解：设该反比例函数的表达式为：； 将代入得， ，解得： ∴． （2）将代入中， ，解得：． 【点睛】本题主要考查反比例函数，掌握反比例函数相关知识并正确计算是解题的关键． 【易错必刷十二 由反比例函数值求自变量】 1．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）在反比例函数的图像上的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，将各选项代入计算，满足，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数中，， 各选项中，只有，则是反比例函数的图像上的点， 所以选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意． 故选：D． 2．（24-25九年级上·河南·阶段练习）函数的图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，分和两种情况，根据反比例函数图象所在象限及增减性分别求解即可． 【详解】解：当时，函数的图象在第一象限，； 当时，函数的图象在第三象限，y随x的增大而减小， 令， 解得， , 综上可得，当时，x的取值范围是或． 故选D． 3．（2024·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和．则的值为 ． 【答案】0 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式是解决问题的关键．将点和代入之中得，，由此可得的值． 【详解】解：函数的图象经过点和， ，， ，， ． 故答案为：0． 4．（23-24九年级下·江西南昌·阶段练习）对于某个函数，若自变量取实数，其函数值恰好也等于时，则称为这个函数的“等量值”．在函数存在“等量值”时，该函数的最大“等量值”与最小“等量值”的差称为这个函数的“等量距离”，特别地，当函数只有一个“等量值”时，规定其“等量距离”为0． (1)请分别判断函数有没有“等量值”？如果有，直接写出其“等量距离”； (2)已知函数． ①若其“等量距离”为0，求的值； ②若，求其“等量距离”的取值范围． 【答案】(1)没有“等量值”；有“等量值”，其“等量距离”；有“等量值”，其“等量距离”； (2)①；② 【分析】（1）令对应的函数值等于自变量的值，看方程是否有解即可判断有没有“等量值”，然后解出对应方程的解并求出“等量距离”即可； （2）①根据题意可得关于x的方程有两个相等实数根，利用判别式求解即可；②解方程得到，，由，得到．则． 【详解】（1）解：当时，此时方程无解，则没有“等量值”； 当时，解得，则有“等量值”，其“等量距离”； 当时，解得或，则有“等量值”，其“等量距离”； （2）解：①∵函数的“等量距离”为零， ∴关于x的方程有两个相等实数根， 即关于x的方程只有一个实数根， ∴， 解得； ②令，则， ∴， ∴，， ∵， ∴． ∴， ∴函数的“等量距离”的取值范围为：． 【点睛】此题属于二次函数的综合题，考查了二次函数、反比例函数、一次函数的性质，解不等式组，解一元二次方程，以及新定义的应用．解题的关键是熟练掌握所学的性质，掌握新定义的应用进行解题 ． 【易错必刷十三 已知反比例函数的增减性求参数】 1．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）反比例函数中，当时，y随x增大而增大，则m的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的性质．根据反比例函数的性质，当比例系数时，在每个象限内，y随x的增大而增大．由此建立不等式求解m的取值范围． 【详解】解：∵在反比例函数中，当时，y随x的增大而增大， ∴， 解得． 故选：A 2．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知反比例函数，当时．随的增大而增大、则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数为常数，的增减性与的关系． 根据反比例函数的性质，当反比例函数中时，在每个象限内随的增大而增大，据此列出关于的不等式求解． 【详解】已知反比例函数，当时，随的增大而增大． 得．解得． 故选：B． 3．（2025·广西防城港·模拟预测）已知点、都在反比例函数的图象上，且当时，，则的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．就根据题意，结合反比例函数的增减性，可得k的取值范围，即可解答． 【详解】解：∵ 点、都在反比例函数的图象上，且当时，， ． 则k的值可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 4．（23-24九年级下·山东·课后作业）k为何值时，函数是反比例函数？k为何值时在每一象限内y随x的增大而增大？k为何值时在每一象限内y随x的增大而减小？ 【答案】k=0或k=－1时是反比例函数;k=－1时在每一象限内y随x的增大而增大; k=0时在每一象限内y随x的增大而减小 【分析】根据反比例函数的定义结合反比例函数的性质即可得出关于n的一元一次不等式以及一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）∵y与x是反比例函数， ∴ ，解得k=0或k=－1； （2）当<0，即 <-时，在每一象限内y随x的增大而增大，所以k=－1； （3）当>0，即 >-时，在每一象限内y随x的增大而减小, 所以k=0. 【点睛】本题考查反比例函数的定义以及反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键． 【易错必刷十四 已知双曲线分布的象限，求参数范围】 1．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）已知点，都在反比例函数的图像上，且当时，，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象和性质．由反比例函数的图象和性质，可得，解不等式即可得的取值范围． 【详解】解：∵点，都在反比例函数的图象上，且当时，， ∴， ∴， 故选：C． 2．（2025·广东茂名·模拟预测）如果反比例函数（是常数）的一支图象在第二象限，那么的值可以是（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数（是常数）的一支图象在第二象限，得到，解答即可． 本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数（是常数）的一支图象在第二象限， ∴， 故选：A． 3．（24-25九年级上·河北邢台·期末）如图是反比例函数的图象．整数的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由反比例函数的性质得，由图得，即可求解；理解反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， 图象在第一象限， ， 是整数， ， 故答案为：． 4．（2023·四川南充·一模）如图，直线与双曲线交于两点，与两坐标轴分别交于点、点． （1）求直线的解析式； （2）若点是双曲线上一动点，当与的面积相等时，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）点的坐标为或 【分析】（1）由，分别代入，计算可得m，n；再将A、B两点坐标代入到，计算可得到答案； （2）由可计算得到点C和D坐标；结合图形可知，结合设的坐标为可列出关于p的关系式，通过求解方程，从而完成求解． 【详解】（1）代入 得 双曲线解析式为 将代入 得 将代入，得 ∴， ∴直线的解析式为； （2）由（1）可得， ∴， 设点的坐标为 ∵且 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数、双曲线函数、直角坐标系、一次方程的知识；求解的关键是熟练掌握一次函数、双曲线函数的性质，从而完成求解． 【易错必刷十五 根据图形面积求比例系数（解析式）】 1．（24-25九年级上·吉林·期末）如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作轴于点，点是点关于轴的对称点，连接，若的面积为18，则的值为（   ） A．18 B． C． D． 【答案】C 【分析】设点，根据题意，得，根据对称，得，根据三角形的面积，解答即可． 本题考查了反比例函数的解析式确定，三角形面积计算，熟练掌握面积计算是解题的关键． 【详解】解：设点，根据题意，得， 根据对称，得，根据三角形的面积，得, 故， 故选：C． 2．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在直角坐标系中，点在反比例函数（，）的图象上，轴，垂足为，点在轴正半轴上，连接，交轴于点.若是的中点，且，则的值为（   ） A．1 B．0.5 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求反比例函数的几何意义，解题的关键是熟练掌握系数k的意义，连接，根据题意得出，，求出k的值即可． 【详解】解：如图，连接， 因为， 所以四边形是平行四边形， ∴ 又∵是的中点 ∴ ∴ ∴ ∵反比例函数图象在第二象限， ∴， 故选：D． 3．（24-25九年级上·吉林·期中）反比例函数的图象如图所示，若矩形的面积是8，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数中的面积问题，熟练掌握反比例函数中的面积问题是解题的关键．设点，根据矩形的面积列方程求解即可． 【详解】解：设点， 则，， 矩形的面积是8， ， 即， ． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，已知反比例函数的图象与直线交于点，两点分别在轴和轴的正半轴上，． (1)求反比例函数的解析式； (2)当时，直接写出反比例函数的取值范围 ． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解决本题的关键是先根据和求出点的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数的解析式． 根据和求出点的坐标为，利用待定系数法求出反比例函数的解析式为 分别求出当时的取值范围，再求出当时的取值范围，综合起来就是当时，反比例函数的取值范围． 【详解】（1）解：设点的坐标为， ， ， ， 解得：， ， 点的坐标为，点的坐标为， ， ， 又， ， 解得：， 点在第二象限， ， ， 点的坐标为， 把点的坐标代入比例函数， 可得：， 解得：， 反比例函数的解析式为； （2）解：当时，可得：， 若，则有， 当时，可得：， 若，则有， 综上所述，当时，直接写出反比例函数的取值范围为或． 故答案为：或． 【易错必刷十六 求反比例函数解析式】 1．（24-25八年级下·浙江温州·期末）点在反比例函数的图象上，则该函数图象还经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征．把已知点代入反比比例函数解析式求出，然后判断各选项点的坐标是否符合即可． 【详解】解：点在上， ， 只有D选项，符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）如图，平面直角坐标系中有以下四个点：．若函数的图象经过其中一点，其中的值最大是（   ） A．1 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式．把个点分别代入，求得的值即可判断． 【详解】解：当函数的图象经过点时，； 当函数的图象经过点时，； 当函数的图象经过点时，； 当函数的图象经过点时，； 所以的最大值为 6 ， 故选：B． 3．（23-24九年级上·天津和平·期末）已知反比例函数的图象在第二象限的一支上有一点，过分别向轴，轴作垂线段，与轴，轴围成的矩形面积为12，则当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题可先根据反比例函数的几何意义求出的值，进而得到反比例函数的解析式，再分别求出和时的值，结合反比例函数在第二象限的单调性确定的取值范围．本题主要考查了反比例函数的几何意义以及反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的几何意义和反比例函数的单调性是解题的关键． 【详解】解：∵ 过反比例函数图象上一点分别向轴，轴作垂线段，与轴，轴围成的矩形面积为，且该矩形面积为 ∴ ∵ 反比例函数的图象在第二象限 ∴ ∴ 反比例函数的解析式为 当时， 当时， ∵ 反比例函数在第二象限内随的增大而增大 ∴ 当时， 故答案为： 4．（24-25八年级下·福建泉州·期中）已知，与成正比例，与成反比例，且当时，；当时，．求出与之间的函数表达式． 【答案】与之间的函数表达式为． 【分析】本题考查了求函数的解析式，设，，则，然后当时，；当时，代入得出方程组可得，最后解方程组即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵与成正比例，与成反比例， ∴设，， ∴， ∵当时，；当时，， ∴，解得：， ∴与之间的函数表达式为． 【易错必刷十七 实际问题与反比例函数】 1．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）老李购买了价值50000元的鱼菜共生设备，该设备支持免息分期付款，首付8000元，后期每个月需支付相同的金额，则老李每个月的付款额与付款月数之间的函数解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式，正确理解题意是解题的关键．根据后期每个月需支付相同的数额，进而得到y与x的关系式． 【详解】解：由题意得，， 故选：D． 2．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）近视眼镜的镜片是凹透镜，研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距的关系式满足，小明原来佩戴300度近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗，复查验光时，所配镜片焦距调整为，则小明的眼镜度数（    ） A．下降了125度 B．下降了175度 C．上涨了125度 D．上涨了175度 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数的实际运用，求出函数值是解题的关键． 根据函数表达式，可求出现在小明佩戴的眼镜度数，两次比较，即可求解． 【详解】解：根据题意得， 当时，， ， ∴小明的眼镜度数下降了175度， 故选：B． 3．（24-25九年级下·江苏南通·阶段练习）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）成反比例函数关系，它的图象如图所示．当电流从6A增加到10A时，电阻小了 ． 【答案】2.4 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意得到反比例函数解析式是解题的关键. 根据题意，由待定系数法求出反比例函数解析式，再根据反比例函数的性质进行计算即可得到答案． 【详解】解：设， 把代入得：， 反比例函数的解析式为， 当时，， 当时，， 当电流I从增加到时，电阻R减小了 故答案为2.4． 4．（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地．为了安全、迅速地通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成了任务，你能解释他们这样做的道理吗？当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积的变化，人和木板对地面的压强将如何变化？如果人和木板对湿地的压力合计，(备注：不回答题干的问题)，那么： (1)直接写出p与S之间的函数关系式？ (2)当木板面积为时，压强是多少？ (3)如果要求压强不超过，木板面积至少要多大？ 【答案】(1) (2) (3)木板面积至少要 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，跨学科综合，正确理解题意是解题的关键． (1)由物理学的相关知识可知：人和木板对地面的压强=人和木板对地面的压力÷木板的面积； (2) 把代入即可求解； (3)先把代入，求出，再由反比例函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由物理学的相关知识可知，； （2）解：由题意得，把代入， 则； （3）解：把代入， 则， ∵， ∴在第一象限内，随着的增大而减小， ∴压强不超过，木板面积至少要． 【易错必刷十八 反比例函数与几何综合】 1．（2025·安徽·二模）如图，平行于轴的直线分别交反比例函数与的图象（部分）于点，，点是轴上的动点，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数和几何综合，设出A，B的坐标是解题关键．设的坐标为，的坐标为，然后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：设的坐标为，的坐标为， ∴， 故选：C． 2．（2025·广东韶关·一模）如图，是反比例函数在第一象限内的图象上的一点，其纵坐标为，点，均在轴上，且．若的面积为4，则的值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握知识点是解题的关键． 将点P的纵坐标代入反比例函数解析式求出，再由建立方程求解即可． 【详解】解：∵是反比例函数在第一象限内的图象上的一点，其纵坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故选：D． 3．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，点是轴负半轴上任意一点，过点作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点和点，若为轴上任意一点，连接、，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．设，由直线轴，则，两点的横坐标都为，而点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，可得到点坐标为，点坐标为，从而求出的长，然后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：设， 直线轴， ，两点的横坐标都为而点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上， 点坐标为，点坐标为， ， ． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，一次函数与反比例函数的图象交于两点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求该反比例函数的表达式； (2)当时，写出关于的不等式的取值范围； (3)连接，求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)4 【分析】（1）根据一次函数与反比例函数的图象交于两点，代入解析式计算即可． （2）利用交点坐标的横坐标，结合数形结合思想，给出解答即可． （3）取的中点E，连接，则，则，故，根据解答即可． 本题考查了待定系数法，反比例函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，两点间距离公式，根据图象交点求不等式的解集，熟练掌握待定系数法，求不等式的解集是解题的关键． 【详解】（1）解：根据一次函数与反比例函数的图象交于两点， 则，， 解得， 故点， ∴， 解得， 故解析式为；． （2）解： ∵， ∴不等式的解集是或． （3）解：根据图象，得一次函数与轴交于点，与轴交于点． 故点，， 故，， 取的中点E，连接，则， 则， 故， ∵， 故， ∴． 【易错必刷十九 一次函数与反比例函数图象综合判断】 1．（23-24九年级上·黑龙江绥化·期末）正比例函数与反比例函数在同一直角坐标系内的大致图象可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是一次函数与反比例函数图象综合判断，解题关键是熟练掌握相关函数图象． 根据值不同，正比例函数图象、反比例函数图象经过的象限不同对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：选项，该图象中正比例函数经过一、三象限， ，则，此时反比例函数图象应经过二、四象限，跟图象不符，选项错误； 选项，该图象中正比例函数经过二、四象限， ，则，此时反比例函数图象应经过一、三象限，跟图象不符，选项错误； 选项，该图象中正比例函数经过二、四象限， ，则，此时反比例函数图象应经过一、三象限，跟图象相符，选项正确； 选项，该图象中不存在正比例函数，不符合题意，选项错误． 故选：． 2．（24-25八年级下·山西长治·期中）在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的图象，解题时注意：系数k的符号决定直线的方向以及双曲线的位置．由图象结合性质判断反比例函数中的k和一次函数中的k的值是否一致即可判断． 【详解】解：A、反比例函数图象在第二、四象限，则，一次函数图象经过一、三、四象限，则， k的取值不同， 故此选项错误； B、反比例函数图象在第一、三象限，则，一次函数图象与y轴交于正半轴，则，即，k的取值不同， 故此选项错误； C、反比例函数图象在第二、四象限，则，一次函数图象经过一、二、四象限，则，与y轴交于正半轴，则，即，k的取值相同， 故此选项正确； D、反比例函数图象在第一、三象限，则，一次函数图象经过二、三、四象限，则，k的取值不同， 故此选项错误； 故选：C． 3．（2023·河北邯郸·一模）规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点，叫做整点，点，在反比例函数的图像上（如图）； （1）k＝ ，m＝ ； （2）已知，过点、作直线交双曲线于E点，连接OB，若阴影区域（不包括边界）内有4个整点，则b的取值范围是 ． 【答案】 4 4 【分析】（1）点)在反比例函数的图像上， 代入可求得k的值，再求得m的值； （2）先求得直线的解析式，再结合函数图像可求解． 【详解】解：（1）点、在反比例函数的图像上， ， ， 故答案为：4，4； （2）设直线的解析式为， ， ， ， 直线的解析式为， 如下图，当直线在点和点之间时， 阴影区域（不包括边界）内有4个整点， 当经过 点时，，解得； 当经过点时，，解得； 若阴影区域（不包括边界）内有4个整点，则b的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，一次函数的图形与系数的关系，反比例函数的图像和性质，数形结合是解题的关键． 4．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，反比例函数与一次函数的图象交于A、B两点． (1)求A、B两点的坐标； (2)根据图像直接写出不等式的解集； (3)求的面积． 【答案】(1)， (2)或 (3)6 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用了数形结合的思想，求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解． （1）联立一次函数与反比例函数解析式，求出方程组的解得到A与B的坐标即可； （2）由A与B交点的横坐标，以及0将x轴分为4个范围，找出一次函数图象位于反比例图象上方时x的范围即可； （3）由一次函数求出y的值，确定出D坐标，即为的长，依据三角形面积=三角形面积+三角形面积，求出即可． 【详解】（1）解：联立两函数解析式得：， 解得：或， 即，； （2）解：根据图象得：当或时，一次函数值大于反比例函数值， ∴不等式的解集为或； （3）解：令中，得到， 即， ∴， ∴． 【易错必刷二十 反比例函数、二次函数图象综合判断】 1．（24-25九年级下·陕西安康·期中）已知二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象，二次函数的图象与系数的关系，根据题意列不等式组，解不等式组即可得到结论，正确地识别图形是解题的关键． 【详解】解：根据题意：，整理得， 解得：． 故选：C． 2．（23-24九年级上·陕西西安·期末）已知二次函数的图象有最小值，则反比例函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象，反比例函数图象，根据二次函数图象判断出a的符号情况是解题的关键． 根据二次函数图象开口方向判断出a的正负情况，再根据反比例函数图象与系数的关系，判断出图象的大致情况即可得解． 【详解】解：∵二次函数的图象有最小值， ， ∴反比例函数位于第一、三象限， ∴只有B选项符合题意． 故选：B． 3．（24-25九年级上·山西临汾·期末）方程2x﹣x2=的正实数根有 个 【答案】0 【详解】在同一坐标系中，分别作出y1=2x-x2与y2=的图象如下： 由图象可以看出，正实数根有0个， 故答案为0. 【点睛】由图象看两函数的交点也是求实根个数时很常用的一种方法． 4．（2024·重庆·二模）小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整，并解决相关问题： （1）函数的自变量的取值范围是______；下表是与的几组对应值．表中的值为______，的值为______，请在平面直角坐标系中，根据描出的点，画出函数的大致图象； … 0 1 2 3 4 … … 2 4 2 … （2）结合函数图象，请写出函数的一条性质：____________； （3）解决问题：结合函数图像，直接解不等式，则的解集为______．（保留1位小数，误差不超过0.2） 【答案】（1）全体实数，，，图象见解析；（2）当时，该函数有最大值4；（3）或． 【分析】（1）根据分式有意义的条件即可求出自变量的取值范围，再代入m，n即可求出对应的x，y的值，再描点画图即可求解； （2）观察函数图象，即可得到函数的最值特点； （3）根据题意在同一坐标系中作出与，根据图象的特点即可判断． 【详解】（1）∵ ∴自变量x的取值范围是全体实数； 当y=，则 解得x=-1或x=3（舍去） ∴； 当x=4，则= ∴ 故答案为：全体实数：，； 函数图像如图所示； （2）由图可知，当时，该函数有最大值4； 故答案为：当时，该函数有最大值4； （3）在同一坐标系中作出与如下： ∴的解集为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质、分式方程的解的综合应用，解决此题的关键是能根据列表法、图象法观察图象，从而得到结论． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题21.6 二次函数与反比例函数易错必刷题型专训（80题20个考点） 【易错必刷一 待定系数法求二次函数解析式】 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知某抛物线与二次函数的图象的开口大小相同，开口方向相反，且顶点坐标为，则该抛物线对应的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江·期末）已知二次函数（）的图象经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）如果抛物线经过原点，那么m的值等于 ． 4．（2025九年级下·贵州广西·专题练习）如图，二次函数图像过原点，且，，求该二次函数的解析式．    【易错必刷二 y=ax²+bx+c的图象与性质】 1．（24-25九年级上·全国·阶段练习）设是抛物线上的三点，则的大小关系是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·甘肃临夏·阶段练习）已知点，，在抛物线上，且，则m的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）点，均在二次函数的图象上，则，的大小关系是 ． 4．（24-25九年级上·北京·阶段练习）已知二次函数． (1)补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该函数图象； … 0 1 2 3 … … 0 3 … (2)根据图象回答：当时，的取值范围是______； (3)设，，过点与轴垂直的直线l与抛物线交于点，．其中，与直线交于点，若，直接写出t的取值范围______． 【易错必刷三 一次函数、二次函数图象综合判断】 1．（24-25九年级下·河南开封·阶段练习）若直线在平面直角坐标系中的位置如图所示，则二次函数的大致图象是(　　) A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）一次函数经过一、三、四象限，则抛物线图像可能是（    ） A．   B．   C．   D．   3．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）“”是一款数学应用软件，用“”绘制的函数和的图象如图所示．若分别为方程和的解，则根据图象可知a b．（填“”“”或“”） 4．（2023·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点． (1)求抛物线的对称轴及顶点坐标； (2)若，点在该抛物线上，且，比较的大小，并说明理由； (3)当抛物线与线段只有一个公共点时，请直接写出m的取值范围． 【易错必刷四 反比例函数、二次函数图象综合判断】 1．（24-25九年级上·内蒙古通辽·期末）函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）在同一坐标系中，函数与的图象大致是图中的（    ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级下·福建南平·自主招生）若直线与函数的图像有三个不同的交点，其横坐标分别为，，，设，则的取值范围是 ． 4．（2024九年级·全国·专题练习）如图1，为坐标原点，点在轴的正半轴上，四边形是平行四边形，，反比例函数在第一象限内的图象经过点，与交于点. （1）若点为的中点，且的面积. ①设的面积为，的面积为，则______（直接填“”、“”或“”），______； ②求的长和点的坐标. （2）在（1）的条件下，过点作，交于点（如图2），点为直线上的一个动点，连结、，当以、、为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出所有点的坐标，不必说明理由. 【易错必刷五 根据二次函数的对称性求函数值】 1．（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）聪聪在用描点法画二次函数的图像时列表格如下图，则图中横线处的数据是（    ） x … 0 1 … y … 3 ______ … A．3 B． C．5 D． 2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）表格列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值，其中，a的值为（   ） x 0 y 4 0 0 a A．4 B．3 C．2 D．1 3．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知二次函数，下表给出了y与x的几对对应值： x … 0 1 2 3 4 … y … 11 m 3 2 3 6 11 … 由此判断，表中 ． 4．（24-25九年级上·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上． (1)抛物线的对称轴为______（用含的式子表示），当时，与的大小关系为______（填“”“”或“”）； (2)若，且对于每个，都有成立． ①求的取值范围； ②若抛物线还过点，求证：如果，那么． 【易错必刷六 y=ax²+bx+c的最值】 1．（2025·浙江杭州·模拟预测）二次函数的最小值是（   ） A． B．1 C． D．7 2．（2025·广东汕头·一模）关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（   ） A．有最大值3 B．有最小值3 C．有最大值6 D．有最小值6 3．（24-25九年级上·全国·期中）已知函数，当时，该函数的最大值是 ． 4．（24-25九年级下·福建泉州·阶段练习）若非零实数a，b，c，m满足．求证：． 【易错必刷七 利用二次函数对称性求最短路径】 1．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）如图，直线yx+3分别与x轴，y轴交于点A、点B，抛物线y=x2+2x﹣2与y轴交于点C，点E在抛物线y=x2+2x﹣2的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，CE+EF的最小值是（　　） A．4 B．4.6 C．5.2 D．5.6 2．（2024·江西南昌·二模）如图，P是抛物线y＝x2﹣x﹣4在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为(   ) A．10 B．8 C．7.5 D．5 3．（22-23九年级上·山东济宁·期中）如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，对称轴是直线，点是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时点的坐标为 ． 4．（2024九年级上·全国·专题练习）如图所示，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，点为抛物线的顶点．在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的值最小，若存在，清求出点的坐标并求出最小值；若不存在，请说明理由． 【易错必刷八 已知二次函数的函数值求自变量的值】 1．（24-25九年级上·广东阳江·期中）已知抛物线经过点，则代数式的值为（    ） A．24 B．6 C．31 D．19 2．（24-25九年级上·山西吕梁·期中）已知二次函数的图象上的部分点的坐标如下表，其中，则b的值为（    ） x … a … y … 2024 2024 … A．5 B．10 C．15 D．25 3．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，平行于轴的直线分别交抛物线与交于，两点，过点作轴的平行交于点，直线，交于点，则 ． 4．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知二次函数． (1)当该抛物线过点． ①求该抛物线的解析式； ②当时，求y的范围． (2)若函数图象上有两个不同的点，，且．求证：． 【易错必刷九 根据二次函数图象确定相应方程根的情况】 1．（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知二次函数图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下： x … 0 2 … y … 15 0 0 … 则关于x的方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25九年级上·福建福州·期中）二次函数的部分对应值列表如下： … 0 1 3 5 … … 7 7 … 则一元二次方程的解为（   ） A．3或 B．或5 C．或6 D．2或 3．（25-26九年级上·全国·周测）二次函数的图象如图所示．根据图象解答下列问题： （1）不等式的解集为 ． （2）若方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 ． 4．（24-25九年级上·浙江台州·期末）已知抛物线G的解析式为，直线的解析式为（）． (1)不论a取何值，抛物线G必过两个定点，请直接写出这两个定点的坐标：_________；_________． (2)若抛物线G的顶点在直线l上，求a与k的数量关系； (3)当时，若抛物线G在时的图象与直线有两个公共点，求a的取值范围． 【易错必刷十 根据交点确定不等式的解集】 1．（2025·江苏无锡·二模）已知二次函数与一次函数的图象交于两点，这两点的横坐标分别为和，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D．或 2．（2025·广东广州·一模）如图，抛物线与直线相交于点和点，点，的横坐标分别为和4，则当时的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 3．（24-25九年级上·甘肃武威·开学考试）二次函数（a，b，c是常数，且）的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是 ． 4．（24-25九年级上·河南周口·期中）如图，直线与坐标轴分别交于B，C两点，其中点坐标，抛物线与直线交于，两点． (1)求抛物线的解析式及点坐标； (2)直接写出关于不等式的解集． 【易错必刷十一 根据反比例函数的定义求参数】 1．（24-25八年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）若点在反比例函数 的图像上，则m的值是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）若是反比例函数，则的取值为（    ） A．1 B． C． D．的任意实数 3．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知反比例函数y＝的图象经过点(1，2)，则k的值为 ． 4．（23-24八年级下·湖南衡阳·期中）已知是的反比例函数，且函数图象过点． (1)求与的函数关系式； (2)当取何值时，． 【易错必刷十二 由反比例函数值求自变量】 1．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）在反比例函数的图像上的点是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河南·阶段练习）函数的图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 3．（2024·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和．则的值为 ． 4．（23-24九年级下·江西南昌·阶段练习）对于某个函数，若自变量取实数，其函数值恰好也等于时，则称为这个函数的“等量值”．在函数存在“等量值”时，该函数的最大“等量值”与最小“等量值”的差称为这个函数的“等量距离”，特别地，当函数只有一个“等量值”时，规定其“等量距离”为0． (1)请分别判断函数有没有“等量值”？如果有，直接写出其“等量距离”； (2)已知函数． ①若其“等量距离”为0，求的值； ②若，求其“等量距离”的取值范围． 【易错必刷十三 已知反比例函数的增减性求参数】 1．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）反比例函数中，当时，y随x增大而增大，则m的取值范围（   ） A． B． C． D． 2．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知反比例函数，当时．随的增大而增大、则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·广西防城港·模拟预测）已知点、都在反比例函数的图象上，且当时，，则的值可以是 ．（写出一个即可） 4．（23-24九年级下·山东·课后作业）k为何值时，函数是反比例函数？k为何值时在每一象限内y随x的增大而增大？k为何值时在每一象限内y随x的增大而减小？ 【易错必刷十四 已知双曲线分布的象限，求参数范围】 1．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）已知点，都在反比例函数的图像上，且当时，，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东茂名·模拟预测）如果反比例函数（是常数）的一支图象在第二象限，那么的值可以是（    ） A． B．0 C．1 D． 3．（24-25九年级上·河北邢台·期末）如图是反比例函数的图象．整数的值是 ． 4．（2023·四川南充·一模）如图，直线与双曲线交于两点，与两坐标轴分别交于点、点． （1）求直线的解析式； （2）若点是双曲线上一动点，当与的面积相等时，求点的坐标． 【易错必刷十五 根据图形面积求比例系数（解析式）】 1．（24-25九年级上·吉林·期末）如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作轴于点，点是点关于轴的对称点，连接，若的面积为18，则的值为（   ） A．18 B． C． D． 2．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在直角坐标系中，点在反比例函数（，）的图象上，轴，垂足为，点在轴正半轴上，连接，交轴于点.若是的中点，且，则的值为（   ） A．1 B．0.5 C． D． 3．（24-25九年级上·吉林·期中）反比例函数的图象如图所示，若矩形的面积是8，则k的值为 ． 4．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，已知反比例函数的图象与直线交于点，两点分别在轴和轴的正半轴上，． (1)求反比例函数的解析式； (2)当时，直接写出反比例函数的取值范围 ． 【易错必刷十六 求反比例函数解析式】 1．（24-25八年级下·浙江温州·期末）点在反比例函数的图象上，则该函数图象还经过点（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）如图，平面直角坐标系中有以下四个点：．若函数的图象经过其中一点，其中的值最大是（   ） A．1 B．6 C．8 D．9 3．（23-24九年级上·天津和平·期末）已知反比例函数的图象在第二象限的一支上有一点，过分别向轴，轴作垂线段，与轴，轴围成的矩形面积为12，则当时，的取值范围是 ． 4．（24-25八年级下·福建泉州·期中）已知，与成正比例，与成反比例，且当时，；当时，．求出与之间的函数表达式． 【易错必刷十七 实际问题与反比例函数】 1．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）老李购买了价值50000元的鱼菜共生设备，该设备支持免息分期付款，首付8000元，后期每个月需支付相同的金额，则老李每个月的付款额与付款月数之间的函数解析式为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）近视眼镜的镜片是凹透镜，研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距的关系式满足，小明原来佩戴300度近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗，复查验光时，所配镜片焦距调整为，则小明的眼镜度数（    ） A．下降了125度 B．下降了175度 C．上涨了125度 D．上涨了175度 3．（24-25九年级下·江苏南通·阶段练习）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）成反比例函数关系，它的图象如图所示．当电流从6A增加到10A时，电阻小了 ． 4．（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地．为了安全、迅速地通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成了任务，你能解释他们这样做的道理吗？当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积的变化，人和木板对地面的压强将如何变化？如果人和木板对湿地的压力合计，(备注：不回答题干的问题)，那么： (1)直接写出p与S之间的函数关系式？ (2)当木板面积为时，压强是多少？ (3)如果要求压强不超过，木板面积至少要多大？ 【易错必刷十八 反比例函数与几何综合】 1．（2025·安徽·二模）如图，平行于轴的直线分别交反比例函数与的图象（部分）于点，，点是轴上的动点，则的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广东韶关·一模）如图，是反比例函数在第一象限内的图象上的一点，其纵坐标为，点，均在轴上，且．若的面积为4，则的值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，点是轴负半轴上任意一点，过点作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点和点，若为轴上任意一点，连接、，则的面积为 ． 4．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，一次函数与反比例函数的图象交于两点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求该反比例函数的表达式； (2)当时，写出关于的不等式的取值范围； (3)连接，求的面积． 【易错必刷十九 一次函数与反比例函数图象综合判断】 1．（23-24九年级上·黑龙江绥化·期末）正比例函数与反比例函数在同一直角坐标系内的大致图象可以是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山西长治·期中）在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 3．（2023·河北邯郸·一模）规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点，叫做整点，点，在反比例函数的图像上（如图）； （1）k＝ ，m＝ ； （2）已知，过点、作直线交双曲线于E点，连接OB，若阴影区域（不包括边界）内有4个整点，则b的取值范围是 ． 4．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，反比例函数与一次函数的图象交于A、B两点． (1)求A、B两点的坐标； (2)根据图像直接写出不等式的解集； (3)求的面积． 【易错必刷二十 反比例函数、二次函数图象综合判断】 1．（24-25九年级下·陕西安康·期中）已知二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·陕西西安·期末）已知二次函数的图象有最小值，则反比例函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·山西临汾·期末）方程2x﹣x2=的正实数根有 个 4．（2024·重庆·二模）小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整，并解决相关问题： （1）函数的自变量的取值范围是______；下表是与的几组对应值．表中的值为______，的值为______，请在平面直角坐标系中，根据描出的点，画出函数的大致图象； … 0 1 2 3 4 … … 2 4 2 … （2）结合函数图象，请写出函数的一条性质：____________； （3）解决问题：结合函数图像，直接解不等式，则的解集为______．（保留1位小数，误差不超过0.2） 学科网（北京）股份有限公司 $$